Quelques ordres de grandeurs

Groupe A
Nahel Khellaf
Sayanthiny Santhanantham
Changfeng Song
Notions et ordres de
grandeurs en mécanique
Sommaire
Introduction
I)
Les unités des notions en mécanique
A) Les unités fondamentales
B) Les unités dérivées
II)
Maquette de mesure du moment
A) Comment utiliser notre maquette?
B) Comment ca marche ?
a) Graduation
b) Liaison pivot
c) Système vis-tournevis
C) Problèmes rencontrés et solutions
a) Le bras
b) Les flancs
c) Le bâti et les entretoises
D) Phénomènes mis en avant
III) Quelques ordres de grandeur
Conclusion
Annexe
Introduction
Le but de notre projet est de montrer et de faire comprendre toutes les notions de
mécanique associées à quelques ordres de grandeurs. Premièrement, nous allons nous
concentrer sur les définitions de toutes les unités utilisées en mécaniques. Ensuite, nous nous
pencherons sur la maquette que nous avons réalisée. Enfin, nous verrons des ordres de
grandeurs de quelques unes de ces notions.
Les 7 unités fondamentales du Système International
Quand nous avons eu notre sujet nous nous sommes d’abord penchés sur les unités que
nous pouvions utilisés. Nous les avons listés puis nous avons supprimés ce qui était inutiles
comme l’intensité sonore, le module d’Young, la limite élastique et la résilience. Une fois que
nous avions listés les unités nous avons décidé de liés les unités entres elles. Nous avons donc
faits un tableau que vous pourrez voir en annexe I. Dans la suite, après nous être renseigné
auprès de notre tuteur, nous nous sommes informés sur les 7 unités fondamentales du système
international que nous pouvons voir sur le tableau ci-dessous :
Grandeur
Masse
Temps
Longeur
Température
Intensité électrique
Quantité de matière
Intensité lumineuse
Unité
kilogramme
seconde
mètre
kelvin
ampère
mole
candela
Expression
kg
s
m
kg
A
mol
cd
Nous avons donc décidés de ne prendre que les unités qui étaient en rapport avec la
mécanique qui est le kilogramme, la seconde, le mètre et le kelvin. Nous avons donc défini
ces 4 unités en détails puis les 3 autres moins développées.
KILOGRAMME
Le kilogramme est l’unité de base de masse du système international, noté kg.
C’est la seule unité du SI qui est exprimé au kilo (103).
Son nom provient du préfixe kilo du grec ancien « χίλιοι » (chílioi) signifiant mille et du
radical gramme, « γράμμα » (grámma), signifiant petit pois.
Le gramme est d’abord défini en 1795 comme étant « le poids absolu d'un volume d'eau pure
égal au cube de la centième partie du mètre, et à la température de la glace fondante », soit la
masse d’un centimètre cube d’eau pure à 4°C. C’est ce qui a fait du kilogramme la masse d’un
litre d’eau.
Dans le commerce, les objets échangés étant nettement plus lourd qu’un gramme et l’étalon
de masse constitué d’eau étant instable, on souhaite que l’étalon utilisé soit en métal d’une
masse 1000 fois plus élevée que le gramme : le kilogramme.
En 1799, le kilogramme est défini comme un étalon en platine. Ce n’est qu’en 1889 que le
kilogramme étalon est défini par la masse du Prototype International du Kilogramme.
Le PIK est constitué d’un alliage de 90 % de platine et de 10% d’iridium. Sa forme est
un cylindre de 39.17mm de hauteur et de diamètre.
Le PIK
Le PIK est conservé dans le Bureau International des Poids et Mesures, en France. Six copies
du PIK ont été données aux Etats membres pour servir d’étalons de masse nationaux.
En constatant que la masse du PIK varient au cours du temps le Comité International des
Poids et Mesures veut redéfinir le kilogramme comme une constante fondamentale, en 2005.
En 2011, la Conférence Générale des Poids et Mesures souhaite que le kilogramme soit
redéfini par la constante de Planck. Cette idée reste aujourd’hui en suspens.
Le kilogramme est un facteur important en mécanique. On peut chercher à minimiser la masse
d’un système pour qu’il soit le moins encombrant possible pour son transport et son utilisation
en modifiant par exemple ses matériaux et dimensions. On peut aussi utiliser la masse pour
effectuer des essais mécaniques comme le fluage : on encastre la partie supérieure d’un
système avec un bâti et on y accroche une masse sur sa partie inférieure à l’aide d’un fil. Au
cours du temps, le système se déforme plus ou moins en fonction de l’intensité de la masse
utilisée.
SECONDE
La seconde l’unité de base de temps du système international, noté s.
Son nom provient de l’expression latine « minutum secunda », qui signifiait littéralement
minute de second rang, c’est-à-dire seconde division de l’heure.
Au cours de l’Histoire, la seconde étalon a été définie de différentes manières afin de la rendre
la plus précise possible.
Elle a d’abord été donnée comme la fraction 1/86400 du jour solaire moyen. Cette durée est
proche de la période du battement du cœur d’un homme adulte au repos.
En 1956, elle a été basée sur la révolution de la Terre autour du Soleil et définie comme la
fraction 1/31 556 925, 9747 de l’année 1900.
En 1967, « la seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à
la transition entre les niveaux hyperfins F=3 et F=4 de l’état fondamental S½ de l’atome de
césium 133 » selon la 13ème conférence générale des poids et mesures. En d’autres termes, la
seconde est un multiple de la période de l’onde émise par un atome de césium 133 lorsqu’un
de ses électrons change de niveau d’énergie.
Aujourd’hui, la seconde est exacte jusqu’à la 14ème décimale (10-14 ). La précision,
justesse et fiabilité, du Temps Atomique International (TAI) est principalement obtenue
grâce à des horloges atomiques à jet de Césium. Elles sont 100 000 fois plus grandes que
celle du temps des éphémérides (ancienne échelle utilisée).
Des recherches sont effectuées dans le but d’obtenir une seconde étalon encore plus précise.
On prévoit que d’ici 2020, la précision obtenue à l’aide de l’atome de césium sera dépassée
lorsque le meilleurs des atomes sélectionnés (strontium, mercure, calcium, ytterbium…) aura
été choisi. L’astronomie sera donc abandonnée pour se pencher sur l’atome.
La seconde est utilisée en mécanique pour déterminer la durée d’un phénomène ou son
évolution au cours du temps dans tous les domaines. Par exemple, on peut chauffer un acier à
une certaine température puis le maintenir à température constante pendant une durée
déterminée avant d’effectuer une trempe afin que l’austénitisation soit complète, donc que le
matériau soit homogène. On peut aussi se pencher sur les moteurs. On souhaite, en utilisant
un moteur, minimiser sa durée d’accélération; soit qu’il atteigne une vitesse constante voulue
le plus rapidement possible.
METRE
Le mètre est l’unité de base de longueur du système international, noté m.
Son nom provient du grec « μέτρον », métron qui signifie mesure.
Le mètre a d’abord été défini en 1791 comme étant la dix-millionième partie de la moitié de
méridien terrestre soit le dix-millionième de la distance la plus courte que l’on peut parcourir
d’un pôle à un point de l’équateur.
Les Anglais utilisant le corps humain comme système de mesure, l’Académie Française des
Sciences à préférer utiliser la nature comme référence.
Le choix du pendule défini à une latitude de 45° au niveau de la mer comme étalon de
longueur est discuté puis rejeté car le mètre dépendrait de l’accélération de la pesanteur et de
la seconde selon l’équation :
. La valeur du mètre du pendule est égale à
0,993977 fois la valeur du mètre de la nouvelle unité.
Jean-Baptiste Joseph Delambre, astronome, est chargé de mesurer la distance entre
Dunkerque et Rodez tandis Pierre Méchain, astronome et mathématicien, mesure la distance
entre Barcelone et Rodez. Ils se sont donc retrouvés à Rodez pour établir précisément la
valeur du mètre. Cependant les incertitudes des instruments de mesures utilisés par Méchain
ont créés une incohérence entre les longueurs relevées et les longueurs astronomiques de la
position des étoiles.
C’est en 1795 que la France a adopté la mesure de Delambre comme mesure de longueur
officielle.
Jean-Baptiste Joseph Delambre, un astronome et mathématicien français (1749-1822)
De 1796 à 1797, seize étalons du mètre gravés dans du marbre sont placés dans Paris et sa
périphérie pour que la population puisse accéder à cette nouvelle mesure. Il n’en reste que
quatre aujourd’hui.
En 1799, Méchain maquille ses faux résultats afin de les présentés à une convention
internationale ce qui rend le mètre étalon actuel plus court de 0.2mm par rapport a sa
définition d’origine de 1791. Un nouvel-étalon en platine devient la Référence Internationale.
Ce n’est qu’en 1806 que sa fraude est découverte par Delambre mais le mètre de Méchain n’a
pas été rejeté pour autant. Il est utilisé pendant 90 ans.
C’est en 1837 que le système métrique décimal est adopté en France.
En 1889 Le Bureau International des Poids et Mesures redéfinit le mètre comme la distance
entre les deux extrémités d’une barre d’un alliage de platine et d’iridium. Cependant, les
propriétés physiques du matériau du mètre étalon pouvant s’altérer au cours du temps à cause
de son utilisation, sa longueur n’est pas fiable
.
Mètre étalon utilisé entre 1889 à 1960
En 1960, le mètre est redéfinit comme étant 1 650 763,73 longueurs d’onde d’une radiation
orangée émise par l’isotope 86 du krypton.
En 1983, la Conférence générale des poids et mesures redéfinit la vitesse de la lumière
dans le vide à 299 792 458 m/s ce qui a modifié la valeur du mètre : le mètre étalon
correspond à la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458
secondes.
La définition de 1983 est la plus précise que la précédente car elle dépend de la seconde qui
est l’unité du SI mesurée avec la plus faible incertitude aujourd’hui.
On peut noter qu’une unité de distance a été créée à partir de cette définition : l’année-lumière
(al), égale à la distance que parcourt la lumière dans le vide en une année julienne (365,25
jours).
Le mètre est utilisé en mécanique, par exemple, pour mesurer la position, la trajectoire, d’un
solide dans un plan ou dans l’espace.
KELVIN
Le kelvin est l’unité international de la température du système international, noté K.
Le kelvin s’appelait en 1954 le « degré kelvin » et se notait °K puis en 1967 le « degré » fut
supprimé lors de la treizième Conférence des poids et mesures et se note désormais K.
Dans l’histoire, les échelles de températures étaient définies grâce à deux points de références
basées sur la température de congélation de l’eau fixée à 0 et sur la température d’ébullition
de l’eau à 100. Ces deux points ont permis de crée une échelle centigrade en 1742 qui va être
longtemps confondu avec l’échelle Celsius.
Une notion rend inutile la références des deux points. Cette notion est la notion de
température thermodynamique qui introduira la notion du zéro absolue. La référence des deux
points va ainsi être remplacée par la référence d’un seul point qui sera le point triple de l’eau,
c’est-à-dire le point où les trois états de l’eau (solide, liquide et gazeux) se rencontrent. Ce
point est un point où la température et la pression ne varient pas.
Grâce à cette notion nous obtenons la définition suivante : « Le kelvin est la fraction 1/273,16
de la température thermodynamique du point triple de l'eau. » Cette définition a créé la
définition du degré Celsius qui s’est basé sur le kelvin. Par définition l’unité de température
Celsius est égale à l’unité de température kelvin. Mais malgré cela à cause du troisième
principe de la thermodynamique il existe comme même une différence entre les degrés
Celsius et le kelvin qui est une mesure absolue de la température. Le zéro absolue correspond
à la température de 0 K et de -273,15 °C ce qui implique que le point triple de l’eau est à la
température de 0,01°C.
AMPERE
L’ampère est l’unité de base de l’intensité courant électrique du système international, noté A.
Un ampère correspond au transport d’une charge électrique d’un coulomb par seconde à
travers une surface. Son nom a été crée à partir du nom de André-Marie Ampère, un
mathématicien, physicien et chimiste.
En 1948, le Comité International des Poids et Mesures a défini l’ampère comme « l'intensité
d'un courant constant qui, s'il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et
parallèles, de longueurs infinies, de sections négligeables, et distants d'un mètre dans le
vide, produit entre ces deux conducteurs, une force linéaire égale à 2×10-7 newton par
mètre ». C’est-à-dire que si nous prenons par exemple deux cylindres de longueurs infini et
distantes de un mètre, le produit de ces deux cylindres est une force linéaire égal à 2×107
newton par mètre.
Cette unité n’est pas utilisée en mécanique mais elle est surtout utilisée en électricité.
Un ancien ampèremètre pouvant mesurer un courant électrique maximale de 15 mA
MOLE
La mole est une unité de base de la quantité de matière du système international, noté mol.
Son nom provient du mot latin «molecula» qui signifie petite masse. Le « mole » qui a été
crée en 1897 est une reprise de l’unité allemande « Mole» qui date de 1894.
La mole contient autant d’entités élémentaires qu’il ya d’atome dans 12 grammes de
carbone 12.
Cette unité est beaucoup plus utilisée en chimie qu’en mécanique.
CANDELA
La candela est une unité de base de l’intensité lumineuse du système international, noté cd.
Le Candela a d’abord été définie comme étant le rayonnement émis par 1/60 cm² de platine à
son point de solidification en 1948. Elle a ensuite été redéfinie comme « une source qui émet
un rayonnement monochromatique de fréquence 540 ×1012 hertz et dont l'intensité
énergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian », où le stéradian est une
unité dérivée du système international utilisé pour mesurer des angles dans un solide.
La candela sert à mesurer l’intensité lumineuse. Elle a été remplacée par la bougie qui est
l’ancienne unité d’intensité lumineuse.
La bougie : Ancienne unité de mesure
Les unités dérivées
A partir des 7 unités fondamentales nous obtenons toutes les unités dérivées utilisées
en mécanique:
Grandeur physique Unité
Symbole
Vitesse
Mètre par seconde
Accélération
Mètre par seconde au carré
Fréquence
Hertz
Hz
Force
Newton
N
Moment
Newton mètre
Energie
Joules
J
Puissance
Watt
W
Pression
Pascal
Pa
Masse volumique Kilogramme par mètre cube
Masse molaire
Grammes par mol
M
Expression
Masse(kg)
m.s^(-1)
m.s-²
s^(-1)
kg.m.s^(-2)
1
kg.m².s^(-2)
1
kg.m².s^(-2)
1
kg.m².s^(-3)
1
kg.m^(-1).s^(-2)
^(-1)
kg.m^-3
1
g/mol
*10^-3
Longeur (m) Temps(s)
1
^(-1)
1
^(-2)
^(-1)
1
^(-2)
1
^(-1)
²
^(-2)
²
^(-3)
1
^(-2)
^(-3)
Ampère (A) Température(K) Quantité de matière(mol)
Par exemple la vitesse est exprimée en m/s et la masse volumique est exprimée en kg/m3.
Nous allons nous pencher sur les définitions de ces unités dérivés.
 METRE CARRE :
Le mètre carré est l’unité dérivée de surface du système international, noté m².
La surface, en physique, correspond à la limite d’un objet avec le reste de l’univers en deux
dimensions.
La surface de contact entre deux objets désigne leur frontière commune.
 METRE CUBE :
^(-1)
Le mètre cube est l’unité dérivée de volume du système international, noté m3.
Le volume représente l’extension d’un objet dans l’espace (trois dimensions).
 METRE PAR SECONDE:
Le mètre par seconde est l’unité dérivée de vitesse du système international, noté m.s-1.
La vitesse d’un parcours correspond à la distance parcourue divisée par le temps de parcours.
En mécanique, la vitesse traduit une variation de position. Le vecteur vitesse est donc la
dérivée du vecteur position par rapport au temps.
On utilise le mètre par seconde pour mesurer, par exemple, la vitesse de rotation d’un moteur
tournant à vitesse constante.
 METRE PAR SECONDE CARREE :
Le mètre par seconde carrée est l’unité dérivée d’accélération du système international, noté
m.s-2.
L’accélération traduit une variation de vitesse. En mécanique, le vecteur accélération est la
dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
On utilise le mètre par seconde carrée pour mesurer, par exemple l’accélération d’un moteur
dans un temps t jusqu’à ce qu’il atteigne une vitesse constante.
 HERTZ :
Le hertz est l’unité dérivée de fréquence du système international, noté Hz (s-1).
La fréquence est le nombre de fois qu’un phénomène se produit par unité de temps.
On utilise la fréquence en mécanique, par exemple, pour calculer la vitesse angulaire du rotor
d’un moteur à partir de l’équation ω=2πf.
 NEWTON :
Le Newton est l’unité dérivée de force du système international, noté N (kg.m.s-2).
Son nom vient du célèbre physicien et mathématicien Isaac Newton.
Isaac Newton philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et théologien
anglais(1642-1727)
La force (ou effort) est le produit de la masse d’un système par l’accélération de son centre de
gravité. Par abus de langage, le poids a tendance à être confondu avec la masse. Le poids est
une force.
Par exemple, le poids d’un système, très utilisé en mécanique, se calcule à partir du produit de
la masse totale du système par l’accélération de la pesanteur (la gravité). On utilise aussi la
force en dimensionnement des structures lorsque l’on applique un effort sur une poutre (de
traction-compression, de flexion, de torsion…).
 NEWTON METRE :
Le Newton mètre est l’unité dérivée du moment d’une force du système international, noté
N.m (kg.m2.s-2).
Elle est issue du produit de la force par un bras de levier de 1 mètre reliant le point
d’application de la force au point où s’applique le moment.
Schéma du frein de Prony
Le moment (ou couple) est très souvent utilisé en mécanique. Par exemple, on calcul le couple
mécanique utile d’un moteur à partir de la soustraction du couple électromagnétique initiale
du rotor par le couple réducteur d’un moto-réducteur afin de diminuer sa vitesse de rotation.
Le couple est aussi utilisé en dimensionnement des structures lorsqu’un couple extérieur
s’applique sur une poutre. Il est alors inclut dans le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures
de cette poutre.
 JOULE :
Bien que le Joule soit homogène au N.m, c’est l’unité dérivée du SI pour quantifier l’énergie
le travail ou la quantité de chaleur, notée J (kg.m2.s-2).
L’énergie, en physique, traduit la capacité d’un système à fournir du travail entraînant un
mouvement ou produisant par exemple de l’électricité, de la chaleur ou de la lumière.
Le travail, en mécanique, correspond au déplacement du point d’application d’une force.
Le transfert thermique correspond à un transfert d’énergie thermique (ou quantité de chaleur)
entre deux systèmes. Vulgairement, « la chaleur se déplace d’un objet vers un autre ».
L’énergie est donc utilisée en mécanique, par exemple, dans les cas énoncés précédemment.
 WATT :
Le Watt est l’unité dérivée du SI pour quantifier la puissance, le flux énergétique et le flux
thermique, noté W ou J.s-1 (kg.m.2s-3).
Son nom provient de son ingénieur éponyme James Watt.
James Watt, un ingénieur écossais (1736-1819)
La Puissance est la quantité d’énergie fournie par un système à un autre par unité de temps.
Le Watt correspond donc au transfert d’une énergie de 1 joule pendant 1 seconde.
Le Watt est utilisé en mécanique, par exemple, pour quantifier la puissance d’un moteur.
En électricité, on quantifie aussi la puissance avec une autre unité exclue du SI: le chevalvapeur européen, noté CV ou ch, qui correspond à 735,5 W et le horsepower (hp) égal à 746
W.
 PASCAL :
Le Pascal est l’unité dérivée de contrainte et de pression du SI, noté Pa ou N/m² (kg.m-1.s-2).
Son nom a été donné par le scientifique Blaise Pascal.
Blaise Pascal, un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et un théologien
français (1623-1662)
La pression, ou la contrainte en résistance des matériaux, correspond à une force divisée par
une surface.
L’effort chargé va donc être réparti équitablement sur toute la surface sur laquelle il est
exercé.
La pression est aussi exprimée en Bar. Un bar correspond à 105 Pa. Il correspond, à environ
1% près, à la pression atmosphérique moyenne à la surface de la mer sur Terre.
On utilise ainsi le Pascal en mécanique, mais plus précisément en résistance des matériaux,
lorsqu’on exerce, par exemple, une charge sur une poutre afin d’étudier son comportement.
 KILOGRAMME PAR METRE CUBE :
Le kilogramme par mètre cube est l’unité dérivée du SI utilisée pour quantifier la masse
volumique d’un corps, noté kg.m-3.
La masse volumique, comme son nom l’indique, correspond à la masse totale d’une substance
homogène, divisée par son volume.
Chaque matériau a sa propre masse volumique qui le caractérise.
On utilise le kilogramme par mètre cube en mécanique, par exemple, pour évaluer la masse
totale d’un assemblage pendant sa conception avant sa production.
Dans la suite de notre rapport, nous allons présenter la maquette que nous avons
fabriquée. Cette maquette sert à mesurer le moment mécanique.
Maquette de mesure du moment mécanique
Le moment d’une force par rapport à un point donné est une grandeur physique
vectorielle traduisant l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour de
ce point. Le but de cette maquette est de permettre à l’utilisateur de se rendre compte de la
notion de moment mécanique et de mieux l’évaluer.
A quoi sert notre maquette et comment l’utiliser ?
L’utilisateur saisit la partie sans masse du bras avec sa main. Il exerce ensuite une
force vers le bas afin de faire monter la masse liée à l’autre bout du bras. Ce système est
assimilable à celui d’une balance. La force appliquée varie en fonction de l’angle et vice
versa. Les valeurs de moments associées aux angles sont lues grâce à une graduation
circulaire située sur le flanc. Un trait sur le bras fait office d’aiguille pour indiquer la valeur
de moment exercé. L’utilisateur peut ainsi mesurer le moment qu’il applique au niveau de
l’axe à partir de la force qu’il exerce avec sa main. De plus, l’une des extrémités de l’axe est
associable à une tête de vis pour tournevis plat. Ainsi, l’utilisateur peut aussi mesurer le
moment qu’il applique au niveau de l’axe avec la rotation d’un tournevis comme s’il vissait
une vis ordinaire. (Cette vue de la maquette est reportée en annexe en plus grand format.)
Comment ça marche ?
-dF+mgLsin=0
dF=mgLsin
d
L
L
L

F
mg
Lsin
mg
mg
Nous allons aborder cette question d’un point de vue théorique par une étude statique.
Il y a un axe sur lequel vont être appliqués des moments au cours de l’utilisation.
Une masse est liée à une partie A du bras qui est lié à l’axe. La longueur L de cette
partie du bras correspond à la distance entre la masse et l’axe (plus précisément, le centre de
la section de l’axe). L’autre partie B du bras est aussi liée à l’axe. Pour cette étude statique, on
va poser un repère plan de sorte que le vecteur d soit horizontal et que le vecteur L soit inclus
dans le plan.
Pour l’utilisation type balance, l’utilisateur va saisir la partie B du bras à une distance
d de l’axe. Il utilisateur va ensuite appliquer un effort F que l’on supposera vertical vers le bas
afin de compenser le poids de la masse. Soit P le poids de la masse : P = m*g. Il est vertical et
dirigé vers le bas dans notre repère. Or dans un repère plan, le moment d’une force appliqué
en un point est égal à la force multipliée par le bras de levier qui sépare ce point de la
direction de la force.
Soit en image :
Les deux forces F et P provoquent donc deux moments sur l’axe :
- F provoque un moment sur l’axe égal à F*d car la direction du vecteur d est
perpendiculaire à celle du vecteur force F. d est les bras de levier.
-Le vecteur L n’est pas forcément horizontal. Cela dépend de la dimension du bras
choisi. Ainsi, on pose l’angle θ entre la droite dirigée par le vecteur L et une droite
verticale quelconque dans notre repère plan. Le bras de levier du moment du poids
appliqué sur l’axe est donc égal à L*sin(θ). Par conséquent, P provoque un moment
sur l’axe égal à m*g*L*sin(θ).
Ainsi, dans notre étude statique, ces deux moments se compensent. On en arrive à
l’équation dF=mgLsin(θ). L, m et g seront fixes. Donc les valeurs que l’on fait varier sont d, F
et sin(θ). Pour notre maquette, nous n’avons pas pris en compte d*F dans nos calculs car nous
aurions eu à y ajouter un angle ce qui les auraient réellement compliqués.
Pour l’utilisation type tournevis, le moment d*F est remplacé par un couple C fourni
par l’utilisateur directement au niveau de l’axe.
Le principe de cette maquette est, pour l’utilisateur, de lire le couple qu’il génère au
niveau de l’axe de rotation de l’arbre. Nous avons donc choisi de créer une graduation
circulaire. Pour cela, il faut établir des dimensionnements spécifiques avant tout.
Graduation :
Dimensionnements spécifiques du bras et la masse : Les premières cotes à poser sont celles
qui déterminent la graduation du moment. Pour cela, nous avons choisi arbitrairement une
longueur L de 360mm. La cote d est de 240mm environ soit 2/3 de L. Cette cote a été choisie
pour des raisons esthétiques. On peut noter que d peut varier. C’est ce que nous verrons plus
tard dans ce rapport.
La masse (l’objet) utilisée a une masse m de 2 kg pour veiller à ce que le bois résiste à son
poids
Dimensionnements spécifique des flancs : Deux flancs sont situés de part et d’autre du bras
afin de faire office de bâti (car les flancs sont encastrés dans le socle et dans 4 supports).
Chaque flanc est associable à un long prisme lié à un disque. Cette géométrie qui leur est
propre a été choisie : la partie prismatique est longue pour laisser de l’espace pour que le bras
et la masse puissent se déplacer. La partie cylindrique est utilisée afin de coller une graduation
angulaire type rapporteur dessus.
Caractéristiques de la graduation : Pour avoir un maximum de valeurs sans que le
rapporteur soit surchargé, nous avons choisi de mesurer une valeur tous les 5° de 0° à 120°.
Selon la formule, nous avons déjà posé m, L et d. Ainsi, le moment ne varie qu’en fonction de
sin(θ) donc de l’angle θ. En ayant choisi de faire une mesure tous les 5°, nous avons effectué
un tableau répertoriant toutes les valeurs d’angle de 0° à 120° avec leurs moments associés.
(Ce tableau est disponible en annexe) Ces valeurs sont alors reportées sur la graduation.
Nous voulons tout d’abord que l’axe tourne sur lui-même sans aucun autre
mouvement. On peut donc modéliser la liaison entre l’axe et le reste du système par une
liaison pivot.
Liaison pivot :
La liaison pivot est une liaison ne laissant qu’un degré de liberté aux
solides liés : une rotation. Cette liaison est souvent utilisée pour guider un arbre en rotation
sur son axe de révolution. Ainsi, concrètement, pour appliquer une liaison pivot à un arbre, il
faut le guider en rotation et y ajouter deux arrêts axiaux.
Guidage en rotation : Le guidage en rotation de l’axe est effectué par 2 roulements de
référence 6301 (de diamètre intérieur Φ12mm , extérieur Φ37mm et d’épaisseur 12mm).
Pour chaque roulement, la bague intérieure est liée à l’axe en rotation et la bague
extérieure est positionnée à l’intérieur du perçage d’un flanc. On peut noter que chaque flanc
est encastré dans le bâti.
Ce roulement a été choisi car son épaisseur est un multiple de 3 soit l’épaisseur d’une
couche de médium utilisé. Chaque flanc est alors constitué de 4 couches. La règle de montage
des roulements est : La bague qui tourne par rapport à la charge doit être montée serrée.
Cependant, étant donné les efforts axiaux et radiaux faibles que les roulements subissent, nous
n’avons pas pris en compte cette règle pour le montage.
Arrêts axiaux et serrage : Pour arrêter la translation de l’arbre selon la direction de son
axe de révolution dans les deux sens, 2 disques de diamètre Φ200mm percés en leurs centres
d’un diamètre Φ28mm sont situées de part et d’autre de l’axe en contact avec les roulements.
Ce diamètre a été choisi car le diamètre intérieur de la bague extérieure de chaque roulement
est de Φ29,5mm donc plus grand que Φ28mm.
Ainsi, chaque roulement est correctement mis en position d’un côté. Pour l’autre côté,
l’utilisation d’entretoises a été choisi afin d’assurer la bonne mise en position des roulements.
Nous verrons cela plus en détail dans la suite du rapport.
Montage final :
Chaque disque est vissé avec son flanc associé. (Les vis traversent les flancs et des
écrous serrent le tout. Ceci n’est pas visible sur le dessin) Ce dernier est encastré dans le bâti
et dans des supports fixes. Ces supports sont présents pour empêcher les flancs de fléchir.
Cette mise en position qui permet d’empêcher les roulements de translater vers l’extérieur de
l’assemblage. Or les roulements, arrêtés de ce côté, empêchent les entretoises de translater
vers l’extérieur de l’assemblage. Le bras, présent entre les deux entretoises, va les empêcher
de se déplacer vers l’intérieur de l’assemblage. Tout le montage est alors fixe sauf l’arbre qui
peut translater librement sur son axe de révolution. La présence d’une goupille liant le bras à
l’axe permet à d’arrêter l’axe axialement. L’autre utilisation de la goupille est détaillée dans
l’explication du système vis-tournevis.
De plus, les flancs sont percés d’un trou pour y laisser passer une tige filetée qui, avec
des écrous, contre-écrous et rondelles, va permettre d’empêcher les flancs de se détacher de
l’assemblage. (Cet ensemble n’est pas montré sur l’image de l’assemblage)
Système vis-tournevis :
Le but du mécanisme de cette maquette, pour l’utilisation type tournevis, est
d’entraîner le bras en rotation lorsque l’on fait pivoter l’axe. Ainsi, il est nécessaire de
transmettre le couple fourni par l’utilisateur, au niveau de l’axe, au bras. On peut noter que
pour l’utilisation avec la main type balance, le bras peut tourner autour de l’axe. Il n’y a aucun
couple à transmettre.
Transmission du couple : Notre première idée était d’abord d’utiliser une
clavette pour transmettre le couple. Nous n’avions qu’à usiner l’axe et faire un enlèvement sur
le bras nécessaire pour y placer la clavette
Cependant, usiner l’axe puis la clavette et assembler le tout aurait été plus fastidieux que la
solution que nous avons trouvé ensuite.
Nous avons favorisé l’utilisation d’une goupille en acier de diamètre Φ3mm et de
longueur L=50mm. Nous avons percé l’axe de manière à obtenir un trou débouchant de
diamètre Φ3mm passant par le centre de sa section pour y faire passer la goupille.
Nous avons ensuite effectué un enlèvement sur la couche centrale du bras (d’épaisseur
3mm) d’un rectangle 3mm sur 50mm dont le point d’intersection des diagonales se situe sur le
centre du trou percé pour l’axe. La goupille est insérée dans cet enlèvement.
Etant donné l’épaisseur d’une couche de médium de 3mm, le fait d’assembler toutes les
couches du bras enferme la goupille dans un prisme de dimensions 3*3*50mm.
La résistance au cisaillement de l’acier étant très grande par rapport au couple
maximal émis, une goupille de 3mm de diamètre et de 50mm de longueur suffit à transmettre
le couple sans se cisailler.
Une fois le type de transmission de couple choisi, il faut trouver un moyen d’utiliser
une vis ou d’en simuler une.
La vis : Pour inclure ce type d’utilisation à notre maquette nous avions d’abord voulu
utiliser une longue vis faisant office d’axe. Ainsi, nous aurions eu une tête de vis d’un côté
pour l’utilisation du tournevis et un écrou de l’autre pour serrer tout le montage.
Cette idée nous est venue avant de penser à la transmission du couple avec la goupille.
Il aurait fallu mettre en position au moins un des roulements sur un filetage ce qui est à
proscrire.
Nous avons ensuite voulu utiliser un axe plié pour simuler l’utilisation d’une clé Allen.
Cependant, par souci de réalisme, nous avons rejeté cette hypothèse.
Finalement, nous avons simplement opté pour un axe droit que l’on scie au niveau de
l’une des extrémités afin de simuler une tête de vis pour tournevis plat et d’utiliser un vrai
tournevis.
Cette solution est plus simple par rapport à la précédente car nous aurions dû plier un axe.
Nous avons rencontré plusieurs problèmes au cours de notre projet. Dans la suite du
rapport, nous allons nous pencher sur chacun d’entre eux et y ajouter les solutions pour
lesquelles nous avons opté.
Problèmes de dimensionnement rencontrés et solutions
Problèmes liés au bras :
Problèmes liés à sa surface : Pour dimensionner la surface du bras, nous avions
d’abord voulu en faire un simple prisme.
Cependant, nous nous sommes rendu compte que les premières mesures auraient été faussées
étant donné que la force appliquée aurait été « plus horizontale que verticale ».
Nous avons alors voulu dimensionner un bras en forme de « L » d’un angle de 135°
afin de répondre à ce problème. La position stable de l’ensemble {bras+masse} est alors
atteinte lorsque la masse est située le plus bas possible et qu’une branche du bras est verticale.
Ce modèle n’a pas été retenu car des concentrations de contraintes étaient localisées au niveau
du pli du « L » ce qui aurait provoqué la rupture de la pièce lors de son utilisation étant donné
que le bras est en bois et non aussi résistant qu’un métal.
Afin de réduire ces concentrations de contraintes nous voulions ajouter de la matière
entre les deux branches du « L ». On aurait ainsi un bras en forme de « D pointu ». Les
concentrations de contraintes auraient été réduites au niveau du pli mais d’autres auraient été
créées.
Ainsi, finalement, nous avons choisi de modéliser un bras en forme de croissant de
lune ou de banane. Aucun calcul de résistance du matériau n’est nécessaire car la forme
choisie ne provoque aucune concentration de contraintes sinon très peu.
Choix de l’épaisseur : Nous avons choisi de fabriquer un bras de 5 couches de médium de 3
mm d’épaisseur. Cet arbre de 15 mm d’épaisseur résistera ainsi facilement aux efforts qu’il
subit.
Problèmes liés aux flancs :
Problèmes liés à leurs surfaces :
La géométrie de la masse influe sur la hauteur de l’axe, soit sur la longueur des flancs.
Il faut que la masse ne touche le bâti qu’en position 0° ; sinon les valeurs de moments
associées aux premiers degrés seront faussées. Cela peut même empêcher le bras d’atteindre
la position 0°.
C’est pourquoi, pour positionner le poids choisi, nous avons utilisé de la ficelle en
chanvre entre la masse et le trou du bras associé à la masse et nous avons laissé la distance
nécessaire entre la masse et le bâti pour que la masse atteigne la position 0° et reste suspendue
à la ficelle.
Un socle mobile est ajouté à la maquette afin de poser la masse dessus après chaque
utilisation.
Initialement, le flanc ne possédait pas d’enlèvement au niveau du cercle de diamètre
Φ200mm. La surface du flanc aurait alors caché le bras de la position 0° à la position 37.
Aucune valeur n’aurait pu être lue dans cet intervalle. C’est pourquoi nous avons effectué
cet enlèvement afin de pouvoir lire les valeurs associées aux 40 premiers degrés.
Problèmes liés au bâti et mise en place d’entretoises :
La géométrie de la masse influe aussi sur la distance à établir entre les deux flancs car
nous avons choisi de mesurer le moment en partant d’un angle de 0°, soit lorsque
« l’aiguille » est verticale. Si la masse est trop volumineuse, les flancs gêneront son passage
en position stable.
Ainsi, nous voulions fabriquer deux entretoises en aluminium placées entre les flancs
et le bras afin d’augmenter et de régler la distance entre les flancs pour laisser passer la masse.
Cependant, une solution plus simple a été choisie.
Nous avons favorisé l’utilisation du médium car c’est un matériau plus simple à
utiliser pour cette application. Nous avons découpé plusieurs rondelles de diamètre intérieur
Φ12mm et de diamètre extérieur Φ20mm dans le but d’en coller plusieurs entre elles pour que
cet assemblage fasse office d’entretoise.
Ainsi, sachant que l’épaisseur du médium utilisé est de 3 mm, les entretoises à
fabriquer ont une longueur étant un multiple de 3mm. Nous avons finalement choisi de
fabriquer deux entretoises de longueurs 21 mm (soit composée de 7 rondelles). Si on ajoute à
la somme des longueurs des deux entretoises, l’épaisseur du bras, on obtient la distance
laissée entre les deux flancs pour faire passer la masse : 2*21 + 15 = 57. Ainsi, l’espace laissé
pour la masse est de 57mm. On pourra noter que le diamètre extérieur de la bague intérieure
de chacun des deux roulements est de Φ19,5mm.
Pour que le positionnement de chaque roulement soit efficace, il faut choisir un
diamètre extérieur d’entretoise supérieur à celui-ci.
C’est pourquoi nous avons choisi de fabriquer deux entretoises de diamètres extérieurs
Φ20mm.
Dans la suite de notre projet, nous allons nous pencher sur les phénomènes
mécaniques et mathématiques mis en avant dans cette maquette.
Phénomènes mis en avant dans cette maquette :
-
Selon la définition d’un moment, plus le bras de levier est long, plus la force à
appliquer nécessaire pour soulever la masse à une certaine hauteur sera faible.
D’un point de vue mécanique, le moment M = d*F. Or, F est la force
appliquée par l’utilisateur sur le bras et d est la distance qui sépare l’axe de la
main de l’utilisateur. Pour un moment M donné. Si d augmente la force F
nécessaire pour soulever la masse diminue. Pour l’utilisation type balance avec
la main, l’utilisateur peut prendre le bras à plusieurs distances différentes de
l’axe pour témoigner de ce phénomène.
-
De 0° à 90°, plus l’angle est grand, plus la force nécessaire pour soulever la masse
est grande. La force maximale est donc atteinte dans la position 90°. Après avoir
passé les 90 premiers degrés, plus l’angle est grand, plus la force nécessaire pour
soulever la masse est petite.
Mathématiquement, ce phénomène est dû la fonction sinus. Rappelons-nous
cette formule : M = m*g*L*sin(θ). Or M, g et L sont constants. M est donc
proportionnel à sin(θ) et on ne fait varier que θ. Or, lorsque θ débute de 0° et tend
vers 90°, sin(θ) est continue, croissante, débute de 0 et tend vers 1, sa valeur
maximale. C’est pourquoi l’effort nécessaire pour soulever la masse est de plus en
plus important à 90°. Après avoir atteint 90°, lorsque θ tend vers 180°, sin(θ) est
continue, décroissante et débute de 1 et tend vers 0. C’est pourquoi l’effort
nécessaire pour soulever la masse est de plus en plus petit et qu’en position 90°,
cet effort est maximal.
sin(θ)
1
0
θ
Dans la dernière partie de notre rapport, nous allons nous concentrer sur des ordres de
grandeurs de notions utilisées en mécanique.
Quelques ordres de grandeurs
Définition : Un ordre de grandeur permet une représentation simplifiée et synthétique de la
mesure d'une grandeur physique. Cette notion est utilisée notamment pour communiquer sur
des grandeurs de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit.
Nous utilisons des préfixes dans le but de rendre les mesures plus simples comme nous
pouvons le voir dans le tableau ci-dessous :
Multiples
Facteur
10^24
10^21
10^18
10^15
10^12
10^9
10^6
10^3
10²
10
Préfixe
yotta
zetta
exa
peta
téra
giga
méga
kilo
hecto
déca
Symbole
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
Sous-multiples
Facteur
Préfixe
10^-1
déci
10^-2
centi
10^-3
milli
10^-6
micro
10^-9
nano
10^-12
pico
10^-15
femto
10^-18
atto
10^-21
zepto
10^-24
yocto
Symbole
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Grec
Latin
Danois
Italien
Les ordres de grandeurs sont exprimés comme une puissance de 10. Les multiples de
10 sont dérivés du grec et les sous-multiples viennent du grec, du latin, du danois et de
l’italien
Le but de cette partie du projet est de donner un point de vue par rapport à ces notions
que l’on ne peut évaluer, quantifier ni même percevoir avec les sens humains. Ainsi, nous
avons établi deux tableaux présentés ci-dessous : l’un pour la notion de pression et l’autre
pour la puissance. (Les tableaux sont présentés en annexe).
Dans chaque tableau, les ordres de grandeurs sont rangés par ordre croissant
d’amplitude de bas en haut. Les différentes couleurs sont légendées pour chaque tableau.
Dans chaque ligne, un exemple concret avec son image associée sont présentés et nous avons
une valeur approximative d’amplitude associée à cet exemple avec son ordre de grandeur.
Grâce à ces tableaux, entre autres, nous pouvons comparer deux puissances dans le but de
comprendre la quantité de l’une des deux.
Ordres de grandeur des puissances
Ordres de grandeur(W) Valeur apporchée Source,consommateur ou récepteur de puissance
10^(6)
740 kW
Puissance du moteur de la Bugatti Veyron 16.4
10^(3)
1,5 kw à 3 kW
Puissance d'une bouilloire électrique domestique
Par exemple, la Bugatti Veyron est près de cinq cent fois plus puissante qu’une
bouilloire domestique. Cependant, si nous regardons de plus près les ordres de grandeurs,
nous pouvons voir que la Bugatti Veyron est mille fois plus puissante que la bouilloire. Les
ordres de grandeurs sont moins précis.
Nous pouvons conclure, pour cette partie, que les ordres de grandeurs sont utiles car
ils donnent une vague idée d’une valeur et permettent de mieux communiquer sur des
grandeurs. Enfin, ils nous permettent de comparer deux valeurs facilement seulement si leurs
amplitudes sont très différentes.
Conclusion
Dans ce projet, nous avons parcouru l’ensemble des définitions des unités des
notions utilisées en mécanique. Nous avons fabriqué une maquette pour mesurer le
moment mécanique. Enfin, nous nous sommes attardés sur quelques ordres de grandeurs
pour les notions de puissance et de pression. Etant donné la problématique très vaste et
théorique de notre projet, nous n’avons pas fait le tour de chacun de ces domaines.
Cependant, nous avons voulu apporter quelques éléments afin d’enrichir nos connaissances
et celles de ceux qui se pencheront sur notre projet.
Annexe
Tableau des valeurs de moments reportées sur la graduation de la
maquette :
θ
sin(θ)
M
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
0
0,08715574
0,17364818
0,25881905
0,34202014
0,42261826
0,5
0,57357644
0,64278761
0,70710678
0,76604444
0,81915204
0,8660254
0,90630779
0,93969262
0,96592583
0,98480775
0,9961947
1
0,9961947
0,98480775
0,96592583
0,93969262
0,90630779
0
0,61559844
1,22651181
1,82809068
2,41575668
2,98503731
3,5316
4,05128509
4,54013744
4,99443662
5,41072511
5,78583472
6,11691063
6,40143316
6,63723692
6,8225273
6,95589412
7,03632239
7,0632
7,03632239
6,95589412
6,8225273
6,63723692
6,40143316
120
0,8660254
6,11691063
Légende pour tableau des puissances :
Puissance inexploitable
Puissance exploitable
Puissance inférieure à
1W
Grandeur physique Unité
Symbole
Vitesse
Mètre par seconde
Accélération
Mètre par seconde au carré
Fréquence
Hertz
Hz
Force
Newton
N
Moment
Newton mètre
Energie
Joules
J
Puissance
Watt
W
Pression
Pascal
Pa
Masse volumique Kilogramme par mètre cube
Masse molaire
Grammes par mol
M
Expression
Masse(kg)
m.s^(-1)
m.s-²
s^(-1)
kg.m.s^(-2)
1
kg.m².s^(-2)
1
kg.m².s^(-2)
1
kg.m².s^(-3)
1
kg.m^(-1).s^(-2)
^(-1)
kg.m^-3
1
g/mol
*10^-3
Longeur (m) Temps(s)
1
^(-1)
1
^(-2)
^(-1)
1
^(-2)
1
^(-1)
²
^(-2)
²
^(-3)
1
^(-2)
^(-3)
Ampère (A) Température(K) Quantité de matière(mol)
^(-1)