Dimension 1
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MATHÉMATIQUES MAT-5110-1 Introduction aux vecteurs PRÉTEST A Durée 2 heures 30 SOLUTIONNAIRE Préparé par Roderich Jr Denis Vérifié par Gilles Dulac et par Martin Leblanc Novembre 2006 Mat-5110-1 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Dimension 1 Question 1 5 points a) Réponse : a et e b) Réponse : c et f ; b et d c) Réponse : b et d Accorder 5 points si les trois réponses sont exactes. Accorder 3 points s’il y a deux réponses exactes. Accorder 1 point s’il y a une réponse exacte. Accorder 0 point pour tout autre cas 5 3 1 0 Dimension 2 Question 2 10 points B A F E D C Hypothèses : ABCD est un trapèze E et F sont les milieux des côtés non parallèles AD et BC respectivement Conclusion à démontrer : AB + DC EF = 2 2 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Affirmations Justifications 1. a) EF = EA + AB + BF 1. a) Relation de Chasles b) EF = ED + DC + CF b) Relation de Chasles 2. 2EF = EA + AB + BF + ED + DC + CF 3. Prétest A 2. Par addition des relations a) et b) 2EF = EA + ED + AB + DC + BF + CF Par l’associativité vectorielle. 2EF = A B + DC Car EA + ED = 0 et BF + CF = 0 par addition de vecteurs opposés. 2EF = AB + DC 3. Par le calcul de la longueur d’un vecteur 2 EF = AB + DC Car AB parallèle à DC AB + DC Donc, EF = 2 Accorder 10 points si la démonstration contient les affirmations appropriées accompagnées des justifications adéquates. Accorder 8 points si la démonstration contient les affirmations appropriées accompagnées partiellement des justifications adéquates. Accorder 6 points si la démonstration contient les affirmations appropriées, mais que les justifications sont absentes. Accorder 0 point pour tout autre cas 3 10 8 6 0 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Dimension 3 Question 3 10 points Première solution : Développement du membre de gauche (u + v) + w = = = = = = (a, b) + (c, d) + (e, f) (a + c, b + d) + (e, f) (a + c + e, b + d + f) (a, b) + (c + e, d + f) (a, b) + (c, d) + (e, f) u + (v + w) Substitution des vecteurs par leurs composantes Addition des composantes des vecteurs Addition des composantes des vecteurs Associativité de l’addition Addition des composantes des vecteurs Substitution des composantes par leurs vecteurs Deuxième solution : Développement du membre de droite (u + v) + w = = = = = = (a, b) + (c, d) + (e, f) Substitution des vecteurs par leurs composantes (a, b) + (c + e, d + f) Addition des composantes des vecteurs (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs (a + c, b + d) + (e, f) Associativité de l’addition (a, b) + (c, d) + (e, f) Addition des composantes des vecteurs u + (v + w) Substitution des composantes par leurs vecteurs Troisième solution : Développement des membres de gauche et de droite séparément (u + v) + w = (a, b) + (c, d) + (e, f) Substitution des vecteurs par leurs composantes = (a + c, b + d) + (e, f) Addition des composantes des vecteurs = (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs et, u + (v + w) = (a, b) + (c, d) + (e, f) Substitution des vecteurs par leurs composantes = (a, b) + (c + e, d + f) Addition des composantes des vecteurs = (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs donc, (u + v) + w = u + (v + w) Transitivité Accorder 10 points si les deux membres sont développés et accompagnés des justifications adéquates. Accorder 8 points si les deux membres sont développés et accompagnés partiellement de justifications adéquates. Accorder 6 points si les deux membres sont seulement développés, mais que les justifications sont absentes. Accorder 0 point pour tout autre cas 4 10 8 6 0 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Dimension 4 Question 4 Affirmations : 10 points a) Vraie b) Fausse c) Fausse d) Vraie Affirmations fausses : Correction : b) AB - CB + CE = AB + BC + CE = AC + CE = AE c) AE - BE = AE + EB = AB = AD + DB = AD - BD Accorder 1 point par bonne réponse. Accorder 3 points par correction adéquate. Accorder 0 point pour tout autre cas. 1, 2 , 3 ou 4 3 ou 6 0 Dimension 5 Question 5a 10 points Corriger selon la GRILLE C θ AB - AC - AC 120º AB α Échelle 1 cm 1,5 cm AB + AC θ AB + AC = 5 cm AC AB - AC = 3 cm 5 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Grandeur du vecteur AC Par la loi des cosinus, on a : 2 2 2AC = AB + AC + AB - AC 2 2AC = 52 + 32 - 2×5×3×- 2 - 2 AB + AC AB - AC cos 120 1 2 2 2AC = 25 + 9 + 15 2 2AC = 49 2AC = 49 2AC = 7 AC = 3,5 cm Mesure de l’angle θ entre les vecteurs (AB + AC) et AC Par la loi des sinus, on a: sin θ sin 120 = AB - AC 2AC sin θ = 3 3/2 7 sin θ = 3 0,8660 sin θ = 0,3711 7 Donc, m ∠θ = 21, 8° m θ 22 Grandeur du vecteur AB Par la loi des cosinus, on a: 2 2 2 AB = AB + AC + AC - 2 AB + AC AC cos θ 2 AB = 52 + (3,5)2 - 2 5 3,5 cos 22 2 AB = 25 + 12,25 - 35 0,9272 2 AB = 37,25 - 32,45 2 AB = 4,8 AB = 2,19 cm AB 2, 2 cm Mesure de l’angle α entre les vecteurs AB et AC Par la loi des cosinus, on a : AB - AC 2 2 = AB + -AC 2 - 2 AB -AC cos α 32 = (2,19)2 (3,5)2 2 2,19 3,5 cos α 6 Prétest A Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A 9 = 4,80 + 12,25 - 15,33 cos α 15,33 cos α = 17,05 - 9 8,05 cos α = 0,5257 m ∠α = 58, 3° m α 58 cos α = 15,33 Réponses : AC = 3,5 cm AB 2, 2 cm Mesure de l’angle entre les vecteurs AB et AC : 58 Dimension 5 Question 5b 10 points Désignons par u le vecteur vitesse du hockeyeur, par v le vecteur vitesse du joueur adverse , par w le vecteur vitesse résultant et par θ l’angle de déviation entre les vecteurs u et w. trajectoire du joueur adverse Échelle 1 cm 6 0 trajectoire du hockeyeur v 120 u 60º v w Première solution : Par le calcul des composantes des vecteurs Calcul des composantes des vecteurs u et v u x = u cos180 = 20 1 = -20 km/h u y = u sin180 = 20 0 = 0 km/h 1 = 7,5 km/h 2 3 15 3 v y = v sin 300 = 10 =km/h 12,99 km/h 2 2 v x = v cos 300 = 15 7 5 km/h Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Calcul des composantes du vecteur résultant w w x = u x + vx = -20 + 7,5 = -12,5 km/h w y = u y + v y = 0 - 12,99 = -12,99 km/h Grandeur du vecteur résultant w w = w x 2 w y2 w = (-12,5) 2 (- 12,99) 2 w = 156,25 + 168,74 w = 324,99 325 Donc, w = 5 13 km/h w ≈ 18 km/h Mesure de l’angle de déviation θ entre les vecteurs u et w wy -12,99 tanθ = = = 1,0392 mθ = 46,1° mθ 46° wx -12,5 Seconde solution : Par la résolution des triangles quelconques Grandeur du vecteur résultant w Par la loi des cosinus, on a : 2 2 w = u + v 2 - 2 u v cos 60 2 w = 202 + 152 - 2 20 15 1 2 2 w = 400 + 225 - 300 2 w = 325 w = 325 = 5 13 w ≈ 18 km/h Mesure de l’angle de déviation θ entre les vecteurs u et w Par la loi des sinus, on a : sin θ sin60 = v w sin θ 3/2 15 3/ 2 15 3 3 3 = sin θ = = = = 0,7206 15 5 13 5 13 10 13 2 13 Donc, mθ = 46,1° m∠θ 46° 8 Prétest A Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Dimension 6 Question 6 5 points a) Réponse : Fausse b) Réponse : Fausse c) Réponse : Vraie Énoncé de la propriété : Distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle Accorder 1 point par bonne réponse. Accorder 2 points si la propriété est appropriée. Accorder 0 point pour tout autre cas. 1, 2 ou 3 2 0 Dimension 7 Question 7 5 points Corriger selon la grille A Désignons respectivement par F la grandeur et par θ l’angle d’orientation de cette force résultante F. Par la méthode du parallélogramme, y Échelle 1 cm 10 N F 30 N 50 N x 9 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Grandeur de la force résultante F : F 4,4 cm F 44 N Orientation de la force résultante F : m ∠θ 128° Par la méthode du triangle, y Échelle 1 cm 10 N 30 N F 30 N 50 N x Grandeur de la force résultante F : F 4,4 cm F 44 N Orientation de la force résultante F : m ∠θ 128° Dimension 8 Question 8 5 points Corriger selon la grille A Calcul des composantes des vecteurs AB et CD AB = (1, -3)(-1, 5) = (-1 - 1, 5 - (-3)) = (-2, 8) CD = (-4, 3)(5, 0) = (5 - (-4), 0 - (-3)) = (9, -3) Calcul des composantes des vecteurs u et v 1 1 -2 8 u = AB = (2, 8) ( , ) = (-1, 4) 2 2 2 2 1 1 9 -3 v = CD = (9, -3) ( , ) = (3, -1) 3 3 3 3 10 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Calcul des composantes du vecteur w w=u+v w = (-1, 3) + (3, -1) w = (2, 3) Réponse : Le vecteur w a pour composantes w1 = 2 et w 2 = 3. Dimension 9 Question 9 5 points Corriger selon la grille A Désignons par u le vecteur vitesse du dirigeable, par v le vecteur vitesse du vent, par w le vecteur résultant et par θ l’angle de déviation entre les vecteurs u et w . v Échelle 1,5 cm 10 km/h 45º Première solution : Par le calcul des composantes des vecteurs u w Calcul des composantes des vecteurs u et v u x = u cos90 = 50 0 = 0 km/h u = 50 km/h v = 10 km/h u y = u sin 90 = 50 1 = 50 km/h u = 50 km/h 2 = -5 2 km/h = -7,07 km/h 2 2 v y = v sin 225 = 10 = -5 2 km/h = -7,07 km/h 2 v x = v cos 225 = 10 v = 10 km/h Calcul des composantes du vecteur w w x = u x + vx = 0 - 5 2 = -5 2 km/h = -7,07 km/h w y = u y + v y = (50 - 5 2) km/h = 42,93 km/h Grandeur du vecteur résultant w w = w x 2 w y2 w = (-5 2)2 (50 - 5 2)2 w = ou bien 50 + 1842,89 w = (-7,07)2 (42,93)2 w = w = 1892,89 49,98 + 1842,89 w = 1892,96 11 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Donc, w = 43, 51 km/h ⇒ w ≈ 43, 5 km/h Réponse : La vitesse réelle de la montgolfière est de 43,5 km/h. Seconde solution : Par la résolution des triangles quelconques Grandeur du vecteur résultant w Par la loi des cosinus, on a : 2 2 w = u + v 2 - 2 u v cos 45 2 w = 502 + 102 - 2 50 10 2 2 2 w = 2500 + 100 - 500 2 2 w = 2600 - 500 2 2 w = 100(26 - 5 2) 2 w = 1892,89 w = 1892,89 = 43,51 w ≈ 43, 5 km/h Réponse : La vitesse réelle de la montgolfière est de 43,5 km/h. Dimension 10 Question 10 10 points Corriger selon la grille A Désignons par u le vecteur vitesse de l’avion, par v le vecteur vitesse du vent, par w le vecteur résultant, par θ l’angle que fait le vecteur résultant w avec la direction positive de de l’axe des x et par α l’angle entre l’angle entre les vecteurs u et w. w u v Échelle 1,5 cm 20 km/h 120º u = 150 km/h v = 35 km/h α 30º x 12 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Première solution : Par le calcul des composantes des vecteurs Calcul des composantes des vecteurs u et v 3 u x = u cos 30 = 150 = 75 3 km/h = 129,90 km/h 2 1 u y = u sin 30 = 150 = 75 km/h 2 v x = v cos90 = 35 0 = 0 km/h v y = v sin 90 = 35 1 = 35 km/h Calcul des composantes du vecteur w w x = u x + vx = 75 3 + 0 = 75 3 km/h = 129,90 km/h w y = u y + v y = 75 + 35 = 110 km/h Calcul de la mesure de l’angle θ wy 110 110 tanθ = = = = 0,8468 mθ = 40, 3° mθ 40° wx 75 3 129,90 Calcul de l’angle de déviation α mα = mθ - 30° = 40° - 30° mα = 10° Réponse : L’avion déviera de 10º par rapport à sa direction originale. Seconde solution : Par la résolution des triangles quelconques Grandeur du vecteur résultant w Par la loi des cosinus, on a : 2 2 w = u + v 2 - 2 u v cos 120 2 w = 1502 + 352 - 2 150 35 1 2 2 w = 22500 + 1225 + 5250 2 w = 23725 + 5250 2 w = 28975 w = 28975 = 5 1159 w ≈ 170, 22 km/h 13 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Mesure de l’angle de déviation α Par la loi des sinus, on a : sin α sin120 = v w sin α 3/ 2 = 35 5 1159 sin α = ou bien sin α 0,8660 = 35 170,22 sin α = 35 3/ 2 35 3 7 3 = = = 0,1781 5 1159 10 1159 10 1159 35 0,8660 30,31 = = 0,1781 170, 22 170, 22 Donc, m∠α = 10, 3° m∠α = 10° Réponse : L’avion déviera de 10º par rapport à sa direction originale. Dimension 11 Question 11 5 points Corriger selon la grille A w = 5u - 4v w = 5(2, 3) - 4(3, 2) w = (10, 15) - (12, 8) w = (-2, 7) Réponse : Le vecteur w a pour composantes w1 = - 2 et w 2 = 7. Dimension 12 Question 12 5 points Corriger selon la grille A w = pu + qv (5,3) = p(-2, 3) + q(3, -1) (5,3) = (-2p, 3p) + (3q, -q) (5,3) = (-2p + 3q, 3p - q) -2p + 3q = 5 1 3p - q = 3 2 Alors, on obtient le système d’équations linéaires suivant : 14 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A Par la méthode d’élimination, on a : 1 1 -2p + 3q = 5 3 3 2 9p - 3q = 9 4 3 + 4 p = 2 dans 22 7p = 14 p = 2 q = 3 3 2 - q = 3 -q = 3- 6 Réponse : w = 2u + 3v Dimension 13 Question 13 5 points Corriger selon la GRILLE A Puisque le « travail efficace W» est défini comme le produit scalaire du vecteur force F par le vecteur déplacement d , alors on a : W = F d W = F d cos 60 W = 150 N 2 km 1 2 W = 150 kJ Réponse : Le travail fait sur le traîneau est de 150 kJ. 15 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A GRILLE A Accorder 5 points si la démarche est appropriée. Accorder 3 points si la démarche est appropriée, mais que le résultat est inexact à cause d’une erreur mineure Accorde 0 point pour tout autre cas. 5 3 0 DÉFINITIONS DÉMARCHE APPROPRIÉE : L’ensemble des étapes de la solution devrait conduire au bon résultat. ERREUR MINEURE : Erreur liée à un élément de la démarche qui ne fait pas spécifiquement l’objet de l’évaluation. Exemples d’erreurs mineures : erreur de transcription, calcul arithmétique erroné, erreur de signe, erreur d’arrondissement, omission des unités, etc. GRILLE B Accorder 10 points si la démarche est appropriée. Accorder 8 points si la démarche est appropriée, mais que le résultat est inexact à cause d’une erreur mineure Accorder 6 points si la démarche est appropriée, mais que le résultat est inexact à cause d’une erreur majeure ou d’erreurs mineures. Accorder 4 points si la démarche est partiellement appropriée. Accorde o point pour tout autre cas. 10 8 6 4 0 DÉFINITIONS DÉMARCHE APPROPRIÉE : L’ensemble des étapes de la solution devrait conduire au bon résultat. DÉMARCHE PARTIELLEMENT APPROPRIÉE : Au moins la moitié des étapes de la solution sont pertinentes et correctes. ERREUR MINEURE : Erreur liée à un élément de la démarche qui ne fait pas spécifiquement l’objet de l’évaluation. Exemples d’erreurs mineures : erreur de transcription, calcul arithmétique erroné, erreur de signe, erreur d’arrondissement, omission des unités, etc. ERREUR MAJEURE : Erreur liée à un élément de la démarche qui fait spécifiquement l’objet de l’évaluation. Exemples d’erreurs majeures : erreurs de manipulation algébrique, utilisation d’une formule erronée, etc. 16 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire GRILLE C Comportement observable Démarche L’élève emploie une démarche appropriée. L’élève montre qu’il comprend le conceptclé ou la situationproblème visés par le comportement observable évalué par la question. L’élève emploie une démarche partiellement appropriée. Erreurs Il n’y a pas d’erreur dans la solution proposée. Il y a une erreur mineure dans la solution proposée. Il y a des erreurs mineures ou une erreur majeure dans la solution proposée. Il n’y a pas d’erreur dans la solution proposée. Il y a une erreur mineure dans la solution proposée. Il y a des erreurs mineures ou une erreur majeure dans la solution proposée. L’élève ne montre pas qu’il comprend le L’élève emploie une concept-clé ou la démarche situation-problème visés par le inappropriée. comportement observable évalué par la question. 0 à 10 points Note 9 7 5 Clarté de la Total communication oui +1 10 non 9 oui non +1 8 7 oui +1 6 non oui 5 5 +1 non oui 6 5 +1 4 3 non oui 1 0 17 Prétest A non 3 +1 2 1 0 Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A DÉFINITIONS COMPORTEMENT OBSERVABLE : La première étape de la correction consiste à regarder si la démarche entreprise par l’élève montre qu’il utilise adéquatement le concept-clé (par exemple : priorité des opérations) tel qu’il est mentionné dans la définition du domaine d’examen ou qu’il ou elle a compris l’énoncé de la situation du problème proposé (situation-problème). Ces éléments seront spécifiés à chaque item pou lequel cette échelle descriptive peut être utilisée. CLARTÉ DE LA COMMUNICATION : L’information est transmise dans un langage approprié et facilement lisible. Le correcteur n’a pas à interpréter la démarche de l’élève. DÉMARCHE APPROPRIÉE : La démarche comporte les étapes qui, ensemble, mènent à la résolution du problème. Une démarche peut être appropriée même si le résultat est inexact et qu’elle comporte certaines erreurs dans l’application des opérations et des relations. ERREUR MINEURE : Erreur liée à un élément de la solution qui ne se rattache pas au comportement observable visé. ERREUR MAJEURE : Erreur liée à un élément de la solution qui se rattache au comportement observable visé. émoignet DÉMARCHE PARTIELLEMENT APPROPRIÉE : Une partie de la démarche témoigne d’une certaine compréhension de la question donnée, mais l’ensemble ne permet pas de résoudre cette question. Cette partie de la démarche peut comporter certaines erreurs dans l’application des opérations et des relations. 18
