Leçon 15

Leçon 15
Approche thermodynamique du paramagnétisme & du ferromagnétisme
(PC)
-----------------------------Bibliographie : leçon difficile. Il faut insister sur l’aspect thermodynamique, & on est obligé de faire une
introduction de magnétisme.
 Dunod Thermo : chapitre 14. Bien.
 Masson (série Le Hir) PC-PSI : chapitre 3. Convenable.
 Hachette Thermo PC-PSI : chapitre 5. Trop de Mécanique Quantique.
 TecDoc Thermo 2 ème année : chapitre
I. FACTEUR DE BOLTZMANN :
1. Rappel : cas de l'atmosphère isotherme : l’intégration de la loi fondamentale de la statique :
 mgz 

 . La pression
Grad P  g , combinée avec l'équation d'état P  rT conduit à : P( z )  Po exp  
 k BT 
 mgz 
 W 
  n(W )  no exp  
 ,
étant proportionnelle à la densité particulaire, on a n( z )  no exp  
 k BT 
 k BT 
où W  mgz (énergie potentielle de pesanteur).
2. Application : modèle de l'ampérien basé sur une équivalence orbite électronique - dipôle
 
 MB 

magnétique, donc W   M .B   MB , & alors le facteur de Boltzmann vaut : N (W )  N o exp  
k
T
B 

II. THEORIE MICROSCOPIQUE DU MAGNETISME :

 dM
1. Vecteur aimantation: défini sur un échantillon d par : M 
, où M est le moment
d
magnétique de l'échantillon, résultante des moments électroniques élémentaires (diamagnétisme).

 I 



e
e 
 Calcul en physique classique : M  I .S   r  dr 
( r  mv )dt  
L , où L est le

2
2mT
2m
C
C
moment cinétique orbital.
 Calcul en physique quantique : le moment cinétique est quantifié suivant Lz  m. , la relation entre

e 
L , où g est le facteur de Landé (égal à 1 pour un moment
les 2 moments devient : M   g
2m
e
cinétique orbital, & à 2 pour un moment cinétique de spin. Alors Mz  mg.µ B où µ B 
est le
2m
magnéton de Bohr.
2. Champ nivelé : à condition que les dimensions de d soient grandes devant les dimensions


1   
atomiques, on a : M    µ i  , où les  i sont les moments magnétiques individuels des électrons,

d  i

qui devient une grandeur spatialement nivelée, variant de façon continue. µB étant en 1/m, on négligera la
contribution des atomes.
III. APPLICATION AU PARAMAGNETISME :
Limitation imposée par le programme : cas de spins à 2 niveaux, sans interaction. Alors il n'y a pas
µ B
de moment orbital, g = 2 & on pose x  B . L'électron étant de spin 1/2, m =  1/2 & le moment
k BT
 
magnétique vaut µB, & n'a que 2 orientations possibles, donc 2 populations notées N+ ( M & B de même
 
sens) & N- ( M & B de sens opposés).
ex
ex

1. Calcul de l'aimantation : N   N x
,
. En introduisant la densité
N

N
e  ex
e x  ex
1
N
n  , on obtient l'aimantation : Mz  N  µ B  N  µ B  nµ B .thx . Tracer la courbe Mz = f (x).
V
V


2. Interprétation : Mz dépend de deux phénomènes antagonistes : l'agitation thermique (T) tend à
disposer les moments de façon aléatoire, donc à diminuer Mz, & le champ B tend à les aligner sur sa
direction, donc à augmenter Mz. Attention ! Les moments individuels µ ne s'alignent pas directement,
mais en 2 temps : d'abord précession de Larmor autour de B, puis relaxation sur B.
 Si x >> 1, tous les moments sont alignés : c'est la saturation, Mz = MS = n.µB ;
 Si x << 1 : Mz  nµB.x, conduisant à la loi de Curie : M  C
µ2
B
, où C  n B est la constante de
T
kB
Curie : c'est le paramagnétique parfait.
3. Etude thermodynamique : les variables thermodynamiques deviennent : M, B & T, liées par
l'équation d'état Mz M(x). Le travail élémentaire vaut (en grandeurs macroscopiques nivelées) :
 
W  d (  M .B ) soit aussi : W  M .dB  B.dM . Le premier terme correspond à une translation du
moment magnétique, le second à une rotation, donc c'est lui qu'on garde. En choisissant (T, M) comme
variables indépendantes, & en posant Q  CM dT  k.dM . On fabrique les fonctions d'état dU, dS &
dF. On calcule k = - B, donc CM & U ne dépendent que de T. Il faudrait aussi (?) étudier la chaleur
massique.
IV. APPLICATION AU FERROMAGNETISME :
La seule modification par rapport au paramagnétisme est que les 2 spins sont maintenant en
interaction, modélisée par le champ moléculaire de Weiss, dont Heisenberg a montré que ce n'était pas
une interaction magnétique, mais l'interaction d'échange traduisant le principe d'exclusion de Pauli
auquel obéissent les électrons (corrélation des fonctions d'onde, phénomène purement quantique). Il nous
suffit de connaître l'expression du champ de Weiss (traduisant l'action des autres électrons), soit :
Bm  µ o M où  est une constante que l'on ajuste en fonction de l'expérience.
1. Calcul de l'aimantation : il suffit, par rapport au calcul précédent, de remplacer B par le champ
B  Bm , où B est le champ extérieur. On recherche une solution correspondant à une aimantation
 µ µ M 
 . On pose alors : Ms  nµ B ,
spontanée, donc pour B  0 . Il reste : M  nµ B .th  o B
 kB T 
noµB ²
M Tc
T
Tc 
. X  th  X  à résoudre
, X 
grandeur sans dimension. L'équation devient :
kB
Ms T
Tc
graphiquement.
2. Existence d'une aimantation spontanée & d'une température critique : la droite coupe la th
(en excluant la solution M = 0) si sa pente est inférieure à 1, donc pour T  Tc (température critique, dite
température de Curie). Pour T  Tc , le matériau est ferromagnétique, pour T  Tc , il est
paramagnétique. On peut en déduire une loi M (T) : si T  0 , M  MS & si T  Tc , M  0 d'où
X3
l'allure de la courbe. Au voisinage de la transition, un DL à l'ordre 3 donne, avec thX  X 
:
3

M
T
X3
T
X2
T 
soit :
. Alors X 
d'où : M  MS . 31   . La loi M (T) est
X X
 1
Ms
Tc
3
Tc
3
 Tc 
conforme à l'expérience, sauf près du point critique (exposant critique différent de 1/2). Expérience : le
clou.
3. Loi de Curie - Weiss : en champ faible (ou à haute température), on ne peut plus négliger le
µ

µ

champ extérieur B, on développe la th : M  nµ B .th  B B   o M   nµ B . B B  µ o M 
 k BT

 k BT

 2B
B
conduisant à, en faisant apparaître Tc & la constante de Curie C  n
: M C
.
T  Tc
kB
4. Etude thermodynamique en champ extérieur nul : on se limitera à la partie magnétique des
fonctions d'état. Alors l'énergie interne traduit toutes les interactions entre dipôles magnétiques, soit
(facteur 1/2 pour le double rôle, système fermé) :
 
M
1
1
1
1
 
U    µi .Bm    o M  µi    oVM 2   Nk B T 
2 i
2
2
2
 MS
i



2
selon
la
définition
de
 U 
l'aimantation, & en faisant apparaître Tc & Ms. D'où la chaleur massique C  
 , soit :
 T  B
Nk B d ( M / MS ) 2
. Comme M
est nul au-delà de Tc, C est discontinue à la transition :
2
d (T / Tc )
changement de phase de seconde espèce.
C