Jean-Pierre Laffargue Page 1 14/03/2005 Contrôle continu d

Contrôle continu d’économie de l’incertain
(2008-2009)
Les problèmes qui suivent sont extraits de l’excellent livre de Gabrielle Demange et JeanPierre Ponssard : Théorie des jeux et analyse économique, Presses Universitaires de France,
1994. Une copie doit être remise pour deux étudiants. Les discussions sur les problèmes, y
compris avec moi, sont encouragées.
Problème 1. Oligopole en prix.
On considère un secteur d’activité où n entreprises vendent des produits qualitativement
différenciés. L’entreprise i , i  1,...., n , doit déterminer le prix p i de ses produits. La
demande d i qui s’adresse à l’entreprise i est définie par :
d i  (  p) / n   ( p  pi ) , i  1,...., n ,
avec :
 n

p    pk  / n ,   0 ,   0 ,   0 .
 k 1 
Les fonctions de coût sont identiques pour toutes les entreprises et égales à : C  cqi pour une
entreprise i qui produit q i . Le profit de l’entreprises i est noté  i et il peut s’exprimer
comme une fonction de p  ( p1 , p 2 ,..., p n ) , soit :
 i ( p )  ( pi  c) d i ( p ) .
1) Calculer l’équilibre de Nash p * (on supposera   c ).
2) Que devient cet équilibre quand  tend vers l’infini ? Commenter ce résultat.
Problème 2. Bataille publicitaire
n firmes se partagent un secteur où la demande totale est égale à D (la demande est supposée
inélastique au prix, dans le court terme). Chaque entreprise choisit une variable xi  0 ,
interprétée comme un budget publicitaire. Les ventes de chacune sont proportionnelles au
budget retenu. Le profit de la firme i est ainsi :

n


j 1

 ( x1 ,...., xn )  DPxi /  x j   xi , si :
 ( x1 ,...., xn )  0 , si :
n
x
j 1
j
n
x
j 1
j
0
0
P représente le gain obtenu pour chaque unité vendue.
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1) Montre que le jeu possède deux équilibres de Nash.
2) Ces équilibres sont-ils Pareto optimaux ?
Problème 3. Un partage équitable
Cinq pirates se partagent un butin de 100 pièces d’or. Le plus âgé propose la méthode
suivante : les pirates sont rangés d plus vieux au plus jeune ; le plus vieux (pirate 1) propose
un partage, c’est-à-dire (n1 , n2 , n3 , n4 , n5 ) , où les ni désignent des entiers positifs ou nuls de
somme égale à 100. Les cinq pirates votent alors séquentiellement de 1, à 5, à main levée ; ils
peuvent accepter ou refuser. Si la moitié au moins des pirates (ici trois) accepte, le partage
devient effectif : le pirate i reçoit ni pièces d’or. Sinon le pirate 1 est éliminé et la même
procédure recommence avec les pirates ( 2,3,4,5) : le pirate 2 propose un partage, on vote, etc.
1) Trouver l’équilibre du jeu correspondant.
2) Généraliser à un nombre N quelconque de pirates.
PS. On suppose qu’aucun pirate n’est coopératif : s’il est indifférent entre accepter ou refuser
un partage, il le refuse.
Problème 4. Concurrence en prix et cartel
On considère trois entreprises produisant des biens similaires. Si les prix choisis sont
respectivement p1 , p2 , p3 , la demande q1 qui s’adresse à la firme 1 est :
q1  100  3 p1  p2  p3
(sous réserve que q1  0 ) et symétriquement pour les demandes des firmes 2 et 3. On suppose
que les coûts de production sont nuls. Chaque entreprise fixe son prix de façon à maximiser
son profit.
1) Calculer l’équilibre du jeu.
2) En formant un accord les firmes peuvent-elles améliorer leurs profits ? On pourra
rechercher le meilleur accord symétrique dans lequel toutes les entreprises choisissent
le même prix.
3) On considère la même situation que ci-dessus, mais répétée deux fois. Après la
première étape les firmes observent les prix des concurrents et fixent (éventuellement
de nouveaux prix. Chaque firme cherche à maximiser ses profits actualisés :  1   2 ,
où  1 et  2 sont les profits de la première et de la seconde étape. Qu’est ce qu’une
stratégie dans ce jeu ? Montrer qu’il existe un équilibre dans lequel les firmes jouent
en première période l’accord envisagé dans la deuxième question si le facteur
d’accumulation  est suffisamment proche de 1.
PS. L’équilibre recherché dans la troisième question est Nash, mais pas parfait.
Problème 5. Valeur de l’information dans un oligopole
On considère le modèle suivant : n entreprises produisent le même bien ; le coût de
production pour la firme i d’une quantité q i de bien est : Ci qi , où Ci  0 est un
paramètre donné. Le pris du bien est déterminé par la fonction inverse de demande :
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 n

p(q1 ,..., q n ; D)  D  a  qi 
 i 1 
où a  0 est un paramètre, et où D est une variable aléatoire de loi F , d’espérance D et
de variance  2 . Les entreprises déterminent leur production q i , mais certaines d’entre
elles, avant de prendre leur décision, connaissent la valeur prose par D , alors que les
autres ne connaissent que la loi F . On note I l’ensemble des entreprises informées.
1) Q’est-ce qu’une stratégie :
 Pour une firme informée
 Pour une firme non informée
Qu’est-ce qu’un équilibre dans ce jeu ?
2) On suppose qu’aucune entreprise n’est informée ( I vide). Calculer l’équilibre
(q1* ,..., q n* ) du jeu, le prix correspondant et l’espérance des profits en fonction de a , n
des C i et de D .
3) On suppose I non vide. Ecrire les conditions du premier ordre caractérisant un
équilibre ; en déduire qu’il est unique et que l’espérance de production de chaque
firme i est égale au q i* obetnu dans la question2.
4) Si toutes les firmes sont informées, montrer que le profit de chaque firme s’est accru
de  2 / a(n  1) 2 par rapport à l’équilibre de la question 2. Qu’en est-il si certaines
firmes sont informées et d’autres pas ? A-t-on intérêt à être informé ?
PS. Les entreprises ne connaissent pas les prix d’équilibre quand elles prennent leurs
décisions.
Problème 6. Jeu d’entrée à information incomplète
Un concurrent noté C envisage d’entrer sur un marché détenu par un monopole M .
Si C n’entreprend aucune action (choix noté N ), son profit est 0 et celui du monopole est
1. On notera les profits dans l’ordre suivant : (profit du concurrent, profit du monopole).
Les profits sont donc ici : (0,1) .
Si C entre sur le marché (choix noté E ), le monopole a le choix entre :
 Ne pas réagir (choix noté P ) : les profits sont alors (1,0) .
 Déclencher une guerre des prix (choix noté R ) , ce qui donne les profits (1,1) .
 Contre-attaquer (choix noté A ). L’issue d’une telle attaque dépend des réserves
financières du monopole : les profits sont (2,2) si ces réserves sont élevées et
(2,2) si elles sont basses. Bien entendu, le monopole connaît l’état de ses réserves
alors que le concurrent ne dispose que d’une estimation ( p,1  p) de l’état de
celles-ci. p est la probabilité que les réserves sont élevées.
1) Construire l’arbre du jeu (le jeu sous forme extensive).
2) Préciser la nature de l’information (complète, parfaite) dans les trois cas
suivants : p  1 , p  0 , p  1 / 2 . Simplifier la forme extensive du jeu
lorsque p  1 et lorsque p  0 . Dans les deux cas calculer l’équilibre.
Dans toute la suite : p  1 / 2 .
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3) Supposons que le concurrent soit effectivement entré. Représenter sous sa
forme extensive le sous-jeu correspondant. Mettre ce sous-jeu sous forme
normale et déterminer l’équilibre bayésien. Interpréter.
4) En déduire l’équilibre du jeu global.
PS. Un jeu est à information parfaite s’il n’y a pas de ligne pointillé dans la forme extensive. Il
est à information complète si les caractéristiques, mais pas les actions de chaque joueur sont
connues de tous. L’équilibre bayésien est l’équilibre de Nash où les gains sont remplacés par
les espérances des gains.
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