les nombres

Chapitre 1
I.
2nde
LES NOMBRES
ENSEMBLE DE NOMBRES
a) Entiers naturels
Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0. Par exemple,7  IN mais –7  IN et 3,8 IN
Cet ensemble est noté IN (comme naturel). On dit que ces entiers sont naturels ; car on les utilise naturellement dans la vie de
tous les jours.
Il existe une infinité d’entiers naturels.
b)
Entiers relatifs
… ;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;… sont les n. (ils sont négatifs, positifs ou nuls)
L’ensemble de ces nombres est noté Z. Ce symbole vient du mot allemand « die Zahl » qui signifie nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que « IN est inclus dans Z » : IN  Z
c)
Nombres décimaux
L’ensemble des décimaux est l’ensemble des nombres positifs ou négatifs à virgule ayant une partie décimale finie : -3,89  ID ;
-5,2  ID.
Cet ensemble est noté ID.
Tous les entiers relatifs sont des nombres décimaux car 2 = 2,00 ; 0 = 0,00 ; -4 = 4,00. On dit que « Z est inclus dans ID » :
IN  ZID.
d) Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont les quotients
a
où a est un entier relatif et b un entier relatif non nul.
b
l’écriture
a
est appelée écriture fractionnaire. Par exemple 7  Q ;
b
3,8 =
5
2
38
Q;
1
 Q ; 3,8  Q car
3

10
l’ensemble de ces nombres est noté Q (comme quotient)



Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels . On dit que « ID est inclus dans Q » : IN  ZID  Q

e) Les autres nombres : nombres réels
Ils existent des nombres qui n’appartiennent à aucun des ensembles que nous venons de voir.
3
On démontre par exemple que 2  Q ; 
Q;Q
2
Ces nombres sont appelés nombres irrationnels (i.e « qui ne sont pas rationnels »).
Ils appartiennent avec tous les nombres précédents à l ‘ensemble des nombres réels qui est noté IR (comme
réel).

L’ensemble des nombres réels est aussi l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée. (c’est à dire
munie d’un repère (O ;I)). Cette droite, qui représente alors IR est appelée droite des réels ou droite numérique.
M
-5
O
-2
0
I
1
1
22
3  3,8
5
2
abscisse du point M
dans le repère (O ;I)
zéro est le seul nombre à la

fois positif et négatif
Tous les rationnels sont des réels. On dit que « Q est inclus dans IR » : IN  Z  ID  Q  IR
f) Représentation par ensembles
IR
Q
3,8
ID
Z
-1
-7
0
IN
2
1
3
-1,2
-27
9
1
105
53
6
- 3
2
5
- 9
 
10-2
5

7
13

19
Remarques :
- Dans les exercices « soit x un nombre quelconque » sera désormais remplacé par : « soit x  IR » ou « soit x un nombre


réel »
- Le signe * placé en haut à droite de la lettre désignant un ensemble de nombres, prive celui-ci de zéro.
ainsi IR* désigne les réels non nuls.
- Le signe + ou - placé en haut à droite de la lettre désignant un ensemble de nombre, prive celui-ci des nombres négatifs
positifs
ainsi IR+ désigne l’ensemble des réels positifs (avec zéro)
IR– désigne l ‘ensemble des réels négatifs (avec zéro)
II .NOMBRES PREMIERS
a) Diviseur d’un nombre entier naturel
Soit a  IN, b  IN* : on dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel k tel que a = kb
ex : 12 = 4  3 = 1  12 = 6  2
4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12
par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12  5  IN
b) Définition
Un nombre entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
ex : 12 n’est pas premier
5 est premier
Les premiers nombres premiers :
2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;…….
(voir crible d’Eratosthène cahier d’exercices)
Remarques
1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1
2 est le seul nombre premier pair
Il y a une infinité de nombre premier

c) Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème :
tout entier naturel non premier se décompose en produit de facteurs premiers
ex : 28 = 2  14 = 2  2  7 = 22  7
C’est trouver tous les diviseurs premiers d’un nombre.
28 2
14 2
7 7
1
60 = 2  30 = 2  2  15 = 2  2  3  5 = 22  3  5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
d) Critères de divisibilité
Un nombre est divisible
par 2 si le nombre se termine par un chiffre pair : 0, 2, 4, 6, 8
par 3 si la somme des chiffres du nombres est divisible par 3
par 5 si le nombre se termine par 0 ou 5
par 9 si la somme des chiffres du nombre est divisible par 9
e) Application
1. Simplifier des fractions
84 2  2  3  7 7


60 2  2  3  5 5
fraction irréductible
2. Simplifier des racines carrées

2100 =
=


223557
2
2
2 35 7
=

22  52 
 3  7


=
2  5
2
 37
= 2  5  21

= 10 21
 3. Calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels

pgcd( 36 ; 120) = ?
36
2
120
2
18
2
60
2
9
3
30
2
3
3
15
3
5
5
1
1
pgcd ( 36 ; 120) = 2  2  3 = 12

III. CALCUL NUMERIQUE
a) Fractions : Signe, simplification, égalité, addition, multiplication.
b) Puissances : Définition, propriétés.
c) Racines carrées : Définition, propriétés.
d) Notation scientifique
p
La notation scientifique d’un nombre décima est de la forme a  10 où a est un nombre décimal compris entre 1 et
10 exclu ( 1  a 10 ) et p un nombre entier relatif.

2
Ex : 593,7  5,937 10
2
0,051  5,1 10
7300  7,3  10


3
Remarques :

Cette notation est souvent employée dans les sciences, car elle permet d’écrire plus simplement des quantités souvent
très grandes ou très petites,


La calculatrice a les moyens d’entrer un nombre directement en notation scientifique.
e) valeur approchée
On appelle valeur approchée d’un nombre x à la précision e ou à e près tout nombre a tel que a – e  x  a + e
ex:
1,4 est une valeur approchée de
car 1,4 – 0,1  2  1,4 + 0,1
1,4 = a 0,1 = e
2=x
2 à 0,01 près (10-1 près)
On considère le nombre   3,14159265359 ...
 Troncature à 6 décimales : 3,141592
 Valeur approchée à 10-2 près par défaut : 3,14
 Valeur approchée à 10-2 près par excès : 3,15
 Valeurarrondie à 10-2 près : 3,1416
 Valeur arrondie à 4 chiffres significatifs : 3,142
IV. TECHNIQUES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
a) Développer, réduire, ordonner
Pourquoi ? Pour obtenir une expression plus simple.
Comment ? en utilisant la distributivité :
Pour tous nombres a, b et c, a(b + c) = ab + ac
Puis on réduit en regroupant les termes semblables et on ordonne suivant les puissances croissantes ou
décroissantes de x .
Ex :
2
f (x)  x  1 2x  x  4


2
3
2
f (x)  
2x  2x  x  x  4 x  4
2
3
f (x)  3x  6x  x  4
3
2
f (x)  x  3x  6x  4
b) Factoriser
Pourquoi ? Pour résoudre certaines équations, simplifier des écritures ou étudier le signe d’une expression.
Comment ? En utilisant 2 méthodes possibles :


Reconnaître un produit remarquable
Ex :
2
f (x)  9x  12 x  4
f (x)  (3x  2)

2
f (x)  (4 x  9)  (x  5)(2x  3)
2
f (x)  (2x  3)(2x  3)  (x  5)(2x  3)
f (x)  (2x  3)2x  3  x  5
Reconnaître un facteur commun
f (x)  (2x  3)(3x  8)
Ex :

Enchaîner les deux techniques
Ex :
2
f (x)  x(4 x  8)  (x  2)
f (x)  4 x(x  2)  (x  2)
2

f (x)  (x  2)4 x  x  2
f (x)  (x  2)(5x  2)
c) Vérifier une égalité A = B

3 méthodes :
 On part d’un des 2 membres, on le transforme pour obtenir l’autre membre.
Ex : Montrons que
2
2
(x  3)  1  x  6x  8
2
2
x  6x  9  1  x  6x  8

 On transforme séparément les membres A et B pour obtenir le même résultat C.
Ex :
2
2
2
A  (x  3)  1  x  6x  9  1  x  6x  8
2
2
B  (x  4)(x  2)  x  4 x  2x  8  x  6x  8
Donc A = B.

 On transforme la différence A – B pour obtenir 0.
Ex :
2
A  (x  3)  1
B  (x  4)(x  2)
2
A  B  (x  3)  1  (x  4)(x  2)
2
2
2
2
A  B  x  6x  9  1  (x  4 x  2x  8)  x  6x  9  1  x  4 x  2x  8
2
2
A  B  x  x  6x  6x  8  8  0

d) Résoudre une équation
Résoudre dans IR une équation, c’est trouver tous les réels (s’il y en a) vérifiant l’égalité donnée.
Quatre équations de référence :
équation
Résolution
ax  b  0
Une solution unique : x  
(a  0)
x


2
b
a



 a
a  0 : deux solutions a et - a
a  0 : pas de solution
a  0 : une seule solution 0
équation
Résolution







Equation produit du type
(3x  2)( 2x  1)  0

Un produit de facteur est nul si l’un au moins des facteurs
est nul.
L’équation équivaut à :
3x  2  0 ou 2x  1  0
On résout séparément :
3x  2  0 (solution :

2x  1  0 (solution : -

2x  1
x2
3
2
et 
3

1
)
2
L’équation produit a deux solutions :

Equation quotient du type
)
3


2
1
2
2x  1
n’existe que si le
x2
dénominateur est non nul, c’est-à-dire x  2 .
2 ne peut donc pas être solution de cette équation.

On dit qu’on résout cette équation dans l’ensemble de tous
Le quotient

les réels sauf 2. Cet ensemble est noté IR- 2 .

2x  1 3
 ce qui est équivalent à
1
x2
x2
2x  1  3(x  2) soit 2x + 1 = 3x - 6
2x  1

 3 s’écrit

soit  x  7 ou x  7
comme 7  2 , l’équation admet 7 comme solution.



