vitesse et mouvements

VITESSE ET MOUVEMENTS
I – RAPPELS : REFERENTIELS ET TRAJECTOIRES
1- Référentiels
Système : il est constitué du solide dont on étudiera le mouvement. Si les dimensions du solide
peuvent être considérées comme négligeables par rapport aux distances qu’il parcourt ; le solide est
alors assimilé à un point matériel.
Activité : rétrogradation de mars
Référentiel : C’est un solide par rapport auquel , on choisit de décrire le mouvement d’un corps.
Décrire un mouvement n’a de sens que si l’on précise par rapport à quel référentiel ce mouvement est
considéré.
Quelques référentiels :
le référentiel terrestre, constitué par la Terre, permet l’étude des mouvements se déroulant à la
surface et au voisinage de la Terre.
Le référentiel géocentrique, constitué par le centre de la Terre et 3 étoiles fixes, permet l’étude
des mouvements de la lunes ou de satellites.
Le référentiel héliocentrique, constitué par le centre du Soleil et 3 étoiles fixes, permet l’étude des
mouvements des planètes.
2- Trajectoire
C’est l’ensemble des positions successives occupées par le point au cours du temps.
Remarque : La trajectoire dépend du référentiel choisi.
On peut repérer la position d’un point M sur la trajectoire, à chaque instant, grâce à des
coordonnées cartésienne x, y et z.
z




OM = x i + y j + z k
O

k

i
M

j
y
x
II – VITESSE
1- Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est la distance d parcourue par un mobile pendant une durée t :
Vm 
d
t
Vm en m.s-1 ; d en m ; t en s
2- Vitesse instantanée
La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis. (exemple : vitesse indiquée par un compteur
de voiture)
Calcul approché de vitesse instantanée :
M2
M4
M3
M5
Les points de la trajectoire ont été définis tous
les  = 60 ms
M1
La vitesse instantanée V2 au point M2 est égale à la vitesse moyenne de ce point entre les instant t1
et t3. (t1 et t3 sont très proche de t2).
V2 = M1M3 = M1M3
t3 – t1 2
Remarque 1 : Dans certains cas, on peut confondre la longueur de l’arc M1M3 avec celle du segment
[M1M3].
Vitesse et mouvement :
- Si la vitesse reste constante au cours du mouvement, le mouvement est uniforme.
- Si la vitesse augmente au cours du mouvement, le mouvement est accéléré.
- Si la vitesse diminue au cours du mouvement, le mouvement est décéléré ou retardé.
3- Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse v (t ) permet de définir le mouvement d’un point à l’instant t.
Caractéristiques du vecteur vitesse :
- point d’application : le point M considéré à la date t ;
- direction : tangent à la trajectoire à la date t ;
- sens : celui du mouvement à la date t ;
- norme : valeur de la vitesse instantanée à la date t.
Représentation du vecteur vitesse au point M2 :
Les relevés des points M se font tous les  = 60 ms
Origine : M2
Direction : M1M3
sens : M2 vers M3.
norme : v2 = M 1 M 2 /2 = 0,16 m.s-1

Echelle pour v : 1 cm pour 0,1 m.s-1
M0
M1
M2
M3
M4
III – ETUDE DE QUELQUES MOUVEMENTS D’UN SOLIDE
1 – Centre d’inertie
Ce point est le centre géométrique du solide si le solide est homogène. Son mouvement est plus
simple que les autres.
Quelques formes géométriques simples :
- pour une sphère homogène : G est le centre de la sphère
- pour un parallélépipède : G est le centre du parallélépipède
- pour un anneau : G est le centre de l’anneau (n’appartient pas à la matière ; se trouve hors de
l’anneau)
2- Solide en translation
a) Définition
Au cours d’un mouvement de translation, tous les points du solide ont, à chaque instant t, le même

vecteur vitesse v (t ) .
Attention : ce vecteur vitesse peut varier au cours du temps.
Voir TP
b) Exemples
Translation rectiligne uniforme:
B
A

B v B (t 2 )

v B (t1 )
A

v A (t1 )
(position des mobiles tous les 20 ms)

v A (t 2 )


Le vecteur vitesse est constant au cours du temps.( v A (t1 )  v A (t2 ) )


A t1, les points A et B ont même vecteur vitesse. ( v A (t1 )  v B (t1 ) )
Translation rectiligne accéléré :
B
A

v A (t1 )


v B (t1 )
A
B v B (t 2 )

v A (t 2 )
Au cours du temps, le vecteur vitesse est constant en direction et sens mais pas en norme


( v A (t1 )  v A (t2 ) ). Par contre à t1 de même qu’à t2, les points A et B ont même vecteur vitesse




v A (t1 )  vB (t1 ) et v A (t2 )  vB (t2 ) ( solide en translation).
Translation curviligne :
B
B
A

v A (t1 )

v B (t1 )
A

v B (t 2 )

v A (t 2 )
Au cours du temps, le vecteur vitesse varie en direction et
norme.




v A (t1 )  v A (t2 ) mais v A (t1 )  vB (t1 ) (solide en translation).
2- Solide en rotation autour d’un axe fixe (cf TP)
a) Définition
Un solide indéformable est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si les trajectoires de tous
les points de ce solide sont des arcs de cercle centrés sur l’axe de rotation et contenus dans un plan
perpendiculaire à l’axe de rotation
Seuls les points de l’axe de rotation sont fixes dans le référentiel choisi.
b) Vitesse angulaire 
 en radian angle dont a tourné le solide pendant l’intervalle
de temps .
 
 en s

A2
 en rad.s-1
A1
Pour une vitesse angulaire instantannée au point 1,
0-2
 02
2
A0
Exercice :
1) Le compte-tours d’une voiture indique 3000 trs/min. Calculer la vitesse angulaire correspondante
en rad.s-1.
 = (3000 x 2)/60 = 3,14.102 rad.s-1.
2) Un solide est en rotation. Pendant un temps  = 20ms, il tourne d’un angle de 10°. Calculer la
vitesse angulaire correspondante en rad.s-1.
 = (10 x /180)/20.10-3 = 8,7 rad.s-1.
c) Relation entre vitesse v et vitesse angulaire 
Soit l l’arc de cercle parcouru pendant l’intervalle de temps .
l = R
(R rayon du cercle)
Or
M2
l
M1


v = l/ = R/ = R
R1
R2

v
R
ou
R1
v = R
Remarque :
Tous les points d’un solide en rotation ont :
- la même vitesse angulaire 
- une vitesse instantanée v telle que v = R. (R étant la distance du point considéré à l’axe de
rotation)
Exemple : pour M1 on a v1 = R1.
pour M2 on a v2= R2. et comme R2 > R1 on a v2 > v1
d) Rotation uniforme
Un solide est animé d’un mouvement de rotation uniforme si  = cste.

Pour un point du solide, le vecteur vitesse v varie en direction et sens ; il est constant en norme.
La durée pour effectuer un tour est constante : le mouvement est dit périodique.
La période T du mouvement de rotation uniforme est égale à la durée d’un tour.
Si un tour
 = 2. rad
 = 1.T
T
 =  / = 2. /T
2

L’inverse de la période est la fréquence f du mouvement :
f 
1
T
ACTIVITE 1 : RETROGRADATION DE MARS
I - TRAJECTOIRE HELIOCENTRIQUE
Repère héliocentrique : repère dont le centre est le centre du soleil et dont les axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes.
On peut considérer que le centre T de la Terre et le centre M de mars décrivent dans le référentiel héliocentrique des
trajectoires circulaires contenues dans un même plan (l’écliptique) et ayant pour centre S, le centre du Soleil.
- On a tracé un cercle de centre S de rayon 4 cm qui représente l'orbite de la Terre. (voir document)
- Sachant que la distance Soleil - Terre est égale à l50 millions de km et que la distance Soleil- Mars est égale à
228 millions de km, calculer le rayon du cercle représentant l'orbite de Mars autour du soleil.
-
On a tracé le cercle représentant l'orbite de Mars autour du soleil. Vérifier la dimension de son rayon.
La position T4 est le point d'intersection de l’axe horizontale avec l'orbite terrestre (position de la Terre le 27
novembre 1990). A cette même date Mars et la Terre sont en opposition géocentrique (alignées avec le Soleil et
situées du même côté de celui-ci). On a donc placer le point M4.
Au cours de l'année la Terre et Mars tournent autour du Soleil dans le sens trigonométrique, la Terre en 365,25 jours
et Mars en 687 jours.
On a placé 8 positions pour la Terre T1, T2, ....... , T8.
- Calculer l'angle  séparant deux positions consécutives de la Terre (détailler les calculs).
-
Calculer l'intervalle de temps t entre deux positions consécutives, sachant que la période de révolution de la
Terre est de 365,25 jours.
-
La période de révolution de Mars étant de 687 jours, calculer de combien de degrés tourne Mars pendant la durée
t.
-
Placer alors les huit positions de Mars M1, ....... , M8 sur le schéma.
II - TRAJECTOIRE GEOCENTRIQUE
On se propose de déterminer la trajectoire de Mars dans le référentiel géocentrique, qui a pour origine le centre de la
Terre et dont les axes sont dirigés vers 3 étoiles lointaines ; on va donc opérer un changement de référentiel.
-
On a fixé la position T du centre de la Terre, qui sera le centre de notre référentiel géocentrique.
Les positions de Mars dans ce référentiel seront noté M’0, …, M’9.
Placer les points M’0, …, M’9 sachant que :
T0M0 = TM’0 ; T0M0 et TM’0 sont parallèles
T1M1 = TM’1 ; T1M1 et T’1M’1 sont parallèles …
- Tracer la trajectoire de Mars dans le référentiel géocentrique.
III - EXPLOITATION DES RESULTATS
Expliquer le thème rétrogradation.
Quelle conclusion peut-on faire après cette activité ?
Activité :
- Au milieu d'une feuille de papier quadrillée, qui représentera le référentiel héliocentrique (R), placer un point S
représentant le centre du Soleil S.
- Tracer un cercle de centre S de rayon 5 cm qui représentera l'orbite de la Terre.
- Sachant que la distance Soleil - Terre est égale à l50 millions de km et que la distance Soleil- Mars est égale à
228 millions de km, calculer le rayon du cercle représentant l'orbite de Mars autour du soleil.
-
Tracer le cercle représentant l'orbite de Mars autour du soleil. (Cette orbite est supposée circulaire de centre S et
son plan sera assimilé à celui de l’orbite terrestre).
Tracer un axe horizontal Sx et un axe vertical Sy (repère lié au référentiel héliocentrique R).
Noter la position T5 : l'intersection de Sx avec l'orbite terrestre (position de la Terre le 27 novembre 1990). A
cette même date Mars et la Terre sont en opposition géocentrique (alignées avec le Soleil et situées du même
côté de celui-ci). Placer le point M5.
Au cours de l'année la Terre et Mars tournent autour du Soleil dans le sens trigonométrique, la Terre en 365,25 jours
et Mars en 687 jours.
On veut placer 9 positions pour la Terre T1, T2, ....... , T9.
- Calculer l'angle séparant deux positions consécutives de la Terre (détailler les calculs).
-
Placer les huit positions manquantes sur le schéma.
Calculer l'intervalle de temps t entre deux positions consécutives, sachant que la période de révolution de la
Terre est de 365,25 jours.
-
La période de révolution de Mars étant de 687 jours, calculer de combien de degrés tourne Mars pendant la durée
t.
-
Placer alors les huit positions de Mars M1, ....... , M9 sur le schéma.
II - TRAJECTOIRE GEOCENTRIQUE
On se propose de déterminer la trajectoire de Mars dans le référentiel géocentrique, qui a pour origine le centre de la
Terre et dont les axes sont dirigés vers 3 étoiles lointaines ; on va donc opérer un changement de référentiel.
-
Au milieu d'une feuille de papier calque, qui représentera le référentiel géocentrique R', placer un point T
représentant le centre de la Terre.
- Tracer deux axes TX et TY orthogonaux représentant le repère associé au référentiel géocentrique R'.
- Disposer le calque sur la feuille de papier du repère héliocentrique, en plaçant par transparence, le point T sur la
position T1, les axes du repère R étant parallèles à ceux du repère R'.
- Pointer au crayon sur le calque la position de Mars M1 ( noter la position 1 sur le calque)
Procéder de la même manière pour les huit autres positions.
III - EXPLOITATION DES RESULTATS
Quelle conclusion peut-on faire après cette activité ?
Correction activité p46
a. Dans le repère associé au référentiel héliocentrique, Mars se déplace sur une orbite circulaire dont le centre est le
soleil. Dans le repère associé au référentiel géocentrique, Mars ne décrit pas une orbite circulaire. On peut donc dire
que la trajectoire de Mars dépend du repère dans lequel on étudie le mouvement, en précisant que les deux repères
sont associés à deux référentiels différents. Ceci pourra être étendu au cas d'un point mobile quelconque avec la
même restriction.
b. Les planètes inférieures (Mercure et Vénus) sont plus proches du Soleil que la Terre, les planètes supérieures ou
extérieures (de Mars à Pluton) sont plus éloignées du Soleil que la Terre.
c. Dans le référentiel géocentrique, la planète Mars décrit une boucle et semble donc revenir en arrière. Entre les
positions 4 et 8, le sens de son mouvement semble inversé.
d. Dans le référentiel héliocentrique, la Terre et Mars évoiuent sur des trajectoires de même centre et au passage par
la position 6, la Terre semble « doubler » Mars.
e. Pour une planète supérieure, on parle de conjonction avec le Soleil quand la Terre, le Soleil et la planète sont
alignés, le Soleil étant entre les planètes. Dans le cas d'une opposition, il y a toujours alignement mais la Terre est
entre la planète supérieure et le Soleil. Copernic aurait donc pu utiliser le mot opposition.
Représentation du vecteur vitesse au point M2 :
Les relevés des points M se font tous les  = 60 ms
M1
M0
M2
M3
Origine :
Direction :
sens :
norme :
M4

Echelle pour v :
B
A

v A (t1 )
B
A

v A (t1 )


v B (t1 )
A
B v B (t 2 )
B


v B (t1 )
A
B

v A (t 2 )
A
B v B (t 2 )

v B (t1 )
A

v B (t 2 )

v A (t 2 )

v A (t1 )

v A (t 2 )
Représentation du vecteur vitesse au point M2 :
Les relevés des points M se font tous les  = 60 ms
M1
M0
M2
M3
Origine :
Direction :
sens :
norme :
M4

Echelle pour v :
B
A

v A (t1 )
B
A

v A (t1 )

v B (t1 )
A

v B (t1 )
A

B v B (t 2 )
B

v A (t 2 )

B v B (t 2 )

v A (t 2 )
B
A

v A (t1 )

v B (t1 )
A

v B (t 2 )

v A (t 2 )