Leçons d`Algèbre (session 2004)
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Leçons d'Algèbre (session 2004) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications. Dans la leçon "Groupes opérant sur un ensemble, orbites. Exemples et applications", les illustrations géométriques font défaut. 101 L'action de G sur G/H par translation est mal comprise. Le noyau du morphisme correspondant est très rarement explicité. (Soit H un sous groupe d’un groupe G. Alors G agit sur (G/H)g par translation à gauche : g.(xH) = gxH. Cette action est transitive ; http://www.les-mathematiques.net/d/c/a/node11.php3) Les classes de conjugaison de Sn devraient être connues. (cf Delcourt p 47) 102 103 Sous-groupes discrets de Rn. Réseaux. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications. Dans la leçon sur les groupes, plusieurs candidats mentionnent la notion de produit semi-direct, sans en maîtriser les définitions équivalentes et sans être capables de regarder si Z/4Z est produit semi-direct de 2 sous-groupes stricts. Le jury s'attend à trouver chez les candidats la connaissance des groupes finis d'ordre inférieur à 10 et de leur version géométrique. Il en va de même pour A4 et S4. Groupes finis. Exemples et applications. 104 1. Si on parle "du" groupe diédral, il faut être capable d'en proposer une caractérisation. 105 106 Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications. Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications. Les propriétés algébriques du groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie sont la plupart du temps absentes de la leçon correspondante (théorème de simplicité en particulier). 107 108 109 Sous-groupes finis de O(2,R), de O(3,R). Applications. Exemples de parties génératrices d'un groupe. Anneaux Z/nZ. Applications. 2. Un homomorphisme d'anneaux envoie, par définition, l'élément unité de A sur celui de B. On peut alors trouver sans difficulté tous les homomorphismes d'anneaux de Z/mnZ dans . Nombres premiers. Applications. 110 3. Pour la leçon "Nombres premiers" il faut prendre garde aux prérequis et à l'ordre d'introduction des notions et résultat. Exemples d'application des idéaux d'un anneau commutatif unitaire. 111 il conviendrait que les liens entre idéaux et divisibilité ne soient pas ignorés. polynomes : la division euclidienne n'est pas maîtrisée. L'indépendance du PGCD par rapport au corps de base n'est pas connue. Anneaux principaux 112 Dans les leçons sur les matrices ou les polynômes, il est inutile de tout faire sur un anneau principal (et non un corps) si on ne connaît pas d'applications du cas général. Corps finis. Applications. 113 4. Dans la leçon sur les corps finis, les candidats confondent parfois Fq et Fp avec p premier et q = pn . Certains résultats relatifs à Fp (comme la description des carrés) sont adaptés imprudemment à Fq. Il serait bon de préciser dans quel circonstances on peut assimiler Fq à un sous-corps de Fq' . 5. Si l'on termine la leçon "Corps finis" par l'énoncé du théorème de Wedderburn, il faut s'assurer qu'on ne l'a pas utilisé avant. Il est fréquent qu'un énoncé précédent décrive "tous" les corps finis. 6. Si l'on a décrit tous les corps finis, il faut être capable de présenter explicitement un corps à 9 éléments, ainsi que de décrire F4 et F8. 7. La construction explicite des tables additives et multiplicatives des corps F4, F8,... n'est pas sans intérêt, notamment en vue des applications en codage et cryptographie. 8. Pour traiter des corps finis, il est inutile de plonger d'emblée un tel corps dans une extension algébriquement close. Si on le fait, il faut donner quelques arguments pour l'existence d'une telle extension. Il faut pouvoir énoncer un résultat d'unicité "du" corps de décomposition d'un polynôme. Le théorème de Wedderburn est souvent cité, parfois sans hypothèse de finitude, mais la moitié des candidats ne connaît pas d'exemple de corps non commutatif. Groupe des nombres complexes de module 1. Applications. 114 nombres complexes : la construction par couples de réels, le plus souvent présentée, est peu satisfaisante. Les applications proposées sont pauvres, on ne dit rien de l'indice d'un point par rapport à une courbe, rien de la topologie plane, rien sur les extensions cyclotomiques et leurs liens avec les constructions à la règle et au compas d'un polygone régulier. Il faut savoir que exp : C -> C* est un homomorphisme surjectif de groupes, et connaître au moins les grandes lignes d'une démonstration. Équations diophantiennes du premier degré ax +by = c. Autres exemples d'équations diophantiennes. 115 Dans la leçon sur les équations diophantiennes, les candidats pourraient considérer des systèmes d'équations du premier degré, leur lien avec les groupes abéliens de type fini, avec des manipulations sur les lignes et les colonnes, l'équivalence des matrices... 116 Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications. 117 il est bon de connaître des algorithmes de décomposition en éléments simples sur R et C, de savoir trouver la primitive d'une fraction rationnelle réelle,... Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications. 9. Le candidat doit connaître les polynômes irréductibles sur R et savoir exprimer Im(z) en termes de z et de son conjugué. 118 Très peu de candidats ont compris la différence entre irréductibilité sur Z[X] et Q[X]. Algèbre des polynômes à n indéterminées (n >= 2). Polynômes symétriques. Applications. 10. La leçon sur k[X1, ...., Xn] est très mal traitée: le théorème de structure sur les polynômes symétriques est souvent énoncé de manière imprécise et sans aucune application. Quand sa preuve est proposée, elle est presque toujours entachée d'erreurs. Les sommes de Newton sont rarement connues, tout comme les propriétés arithmétiques de k[X1, ...., Xn] par rapport à k[X]. les candidats devraient décomposer un polynôme symétrique en polynômes symétriques élémentaires et ce de manière algorithmique .... 119 Racines des polynômes à une indéterminée. Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme. Exemples et applications. Les problèmes de localisation dans R ou C sont trop rarement évoqués. Il en va de même de la dépendance continue des racines par rapport aux coefficients. polynomes : la division euclidienne n'est pas maîtrisée. L'indépendance du PGCD par rapport au corps de base n'est pas connue. 120 121 Polynômes orthogonaux. Exemples et applications Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications. les candidats devraient savoir trouver un système d'équations linéaires décrivant un sous-espace vectoriel de Rn engendré par un nombre fini de vecteurs donnés explicitement et ce de manière algorithmique .... La leçon "Dimension d'un espace vectoriel. Exemples et applications" est rarement bien traitée. On observe un manque de logique dans l'ordre des notions introduites. 122 123 Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Résolution d'un système d'équations linéaires. Exemples et applications. La leçon sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice est mieux traitée que les années précédentes, mais rarement bien abordée. Une fois définies ces opérations et leur interprétation matricielle, il convient d'exhiber divers algorithmes utilisant les opérations élémentaires appropriées qui aboutissent à des résultats variés: génération de GLn(k) et de SLn(k), décompositions LU et de Bruhat, théorème des diviseurs élémentaires sur un anneau euclidien, résolution d'un système linéaire, calcul du rang. 124 125 Déterminant. Exemples et applications. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications. 1. Les exposés sur la réduction des endomorphismes gagneraient à être illustrés par des exemples matriciels judicieusement choisis, c'est-à-dire d'une taille suffisante pour être révélateurs. 126 Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications. Endomorphismes diagonalisables. 2. Les candidats butent très souvent sur la diagonalisabilité éventuelle des rotations planes. 127 Exponentielle de matrices. Applications. 128 3. Une matrice diagonalisable n'est pas forcément une matrice diagonale. Le jury n'a pas de difficulté pour montrer que le théorème de Dunford ne facilite pas le calcul de l'exponentielle d'une matrice. Endomorphismes nilpotents. 4. Si A dans Mn(R ) est une matrice nilpotente, on peut justifier l'égalité exp (ln(In + A)) = In +A sans passer par une équation différentielle. Les candidats ne pensent pas à exploiter la théorie des développements limités. Beaucoup de candidats ne parviennent pas au résultat. 5. A propos de la leçon "Endomorphismes nilpotents", de nombreux candidats exposent une version incomplète de la réduction de Jordan tirée d'un ouvrage de grande diffusion. Ceci provoque des catastrophes lorsqu'on leur demande de dire si les matrices et sont semblables. 6. A propos d'endomorphismes nilpotents, les candidats devraient être capables de faire le lien entre la forme de Jordan et les noyaux emboités. 7. L'énoncé du théorème de Jordan ne devrait jamais être omis des leçons sur les endomorphismes nilpotents. Dans cet énoncé, il faut préciser la structure en terme de blocs de Jordan 129 et non en se contentant d'indiquer que la première diagonale supérieure est remplie de 0 et de 1 sans autre précision. Diverses leçons permettent aux candidats d'introduire des formes réduites de matrices: mise sous forme triangulaire, décompositions de Dunford, Jordan, et Frobénius. Les liens entre les divers énoncés correspondants, par exemple qu'une fois obtenue la forme de Jordan pour les nilpotents Dunford entraîne Jordan, ne sont pas bien compris des candidats. Il en est ainsi du lien, certes assez compliqué, entre décompositions de Jordan et Frobénius. 130 131 132 Polynômes d'endomorphismes. Applications. Exemples de décompositions remarquables dans le groupe linéaire. Applications. Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications. 8. Trop de candidats confondent encore la réduction de Gauss de formes quadratiques avec la diagonalisation de la matrice associée à la forme. 9. A propos de la leçon sur les formes quadratiques, le jury regrette que les candidats se limitent le plus souvent au cas ou R est le corps sous-jacent ou aux espaces euclidiens. Le contexte plus général des corps commutatifs de caractéristique distincte de 2 devrait être traité. les candidats devraient calculer la signature d'une forme quadratique, et ce de manière algorithmique .... Le sujet est souvent mal assimilé. Les sources de difficultés les plus fréquentes sont: L'articulation entre les résultats généraux et ceux spécifiques à R et C, Le lien entre formes quadratiques et homomorphismes symétriques sur R. Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications. 133 La leçon sur la dualité peut traiter des hyperplans affines, des inéquations linéaires, des polyèdres. 134 135 136 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie. Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Formes réduites. Applications. Coniques. Un sujet aussi vaste que les coniques nécessite que l'on restreigne son propos. Il n'est pas possible de faire le tour de la question en trois pages. 137 dans la leçon sur les coniques, on peut citer des motivations liées par exemple à la mécanique du point, le mouvement des planètes... 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie ; convexité. Applications. Homographies de la droite complexe. Applications. Applications des nombres complexes à la géométrie. Utilisation des angles en géométrie. Utilisation des groupes en géométrie. Exemples de propriétés projectives et d'utilisation d'éléments à l'infini. Constructions à la règle et au compas. Applications affines Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 et 3. Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement. L'intitulé de la leçon est parfois mal cerné par le candidat. En particulier, les leçons «méthodes» (combinatoires, hilbertiennes...) doivent mettre en avant des méthodes. Il ne faut pas donner seulement une suite de théorèmes; il ne faut pas non plus donner un catalogue d'exemples sans dégager la ou les méthodes qui les gouvernent. 11. D'une manière générale, les leçons sur les groupes sont plutôt bien traitées. Par contre, les plans d'algèbre linéaire sont souvent recopiés et mal maîtrisés; ceux sur les polynômes manquent de substance. 12. Certaines notions sur les groupes (produit semi-direct, groupes résolubles), qui ne paraissaient pas comprises voici deux ou trois ans, sont maintenant mieux connues des candidats. 13. Il n'est pas nécessaire d'invoquer les théorèmes de Sylow pour montrer qu'un sousgroupe distingué de A5 qui contient un 5-cycle contient tous les 5-cycles. Il faut pouvoir dire combien de classes de conjugaison de 5-cycles A5 possède. 10. La géométrie a de nombreuses relations avec l'algèbre linéaire. Ceci n'apparaît pas suffisamment dans les plans proposés. Les leçons d'algèbre linéaire sont celles qui sont le plus volontiers choisies par les candidats (61%). Plusieurs candidats ont placé toute leur leçon dans le cadre des corps R ou C. S'il est souvent conseillé de traiter ces cas à part, il est déraisonnable de s'y limiter dès le début. Applications: Beaucoup de candidats savent citer la cryptographie à clefs publique R.S.A. Ils pourraient aussi exploiter le domaine des codes correcteurs qui permet d'illustrer une grande partie de l'algèbre linéaire. Dans les leçons sur les matrices ou les polynômes, il est inutile de tout faire sur un anneau principal (et non un corps) si on ne connaît pas d'applications du cas général. Le théorème des nombres premiers et le théorème de Dirichlet, figurent dans le plan de candidats qui ne semblent avoir aucune idée sur les méthodes requises pour les démontrer. En particulier, les nombres décimaux, la recherche du caractère premier d'un entier, le centre de gravité d'un triangle (le fait de montrer que les médianes sont concourantes est parfois difficile), la rotation dans le plan sont des notions sur lesquels certains butent. si on définit dans un anneau principal le P.G.C.D. d de a et de b par (d) = (a) + (b) le théorème de Bezout qui donne l'existence de u et v tels que d = au + bv devient vide. QUESTIONS Montrez que On(R) est produit semi direct de SOn(R) et de Z/2Z, et dire quand ce produit est direct Les leçons contenant des théorèmes d'existence doivent, autant que possible, déboucher sur des procédés effectifs de construction : décomposition de "Dunford" d'une matrice (le jury en proposera peut-être une, de taille petite), écriture d'un élément de SLn(K) comme produit de matrices de transvection, recherche de bases orthogonales pour une forme quadratique, écriture d'un polynôme symétrique à l'aide des polynômes symétriques élémentaires, calcul d'un polynôme cyclotomique (lorsque le candidat cite cette notion dans son plan), etc. Ainsi, après un exposé sur le groupe orthogonal, il peut demander quel est le composé de deux retournements dans R3 ; après le théorème de structure des sous-groupes de Zn, il peut demander de compléter le "vecteur" (6,10,15) de Z3 en une base de Z3 ; après avoir écouté des exposés savants sur les polynômes cyclotomiques, un jury a demandé si X4 + 1 en était un, le plus souvent en vain, etc. Quelle que soit la définition donnée d'un espace vectoriel de dimension finie on doit être en mesure de savoir démontrer qu'un sous-espace vectoriel d'un tel espace vectoriel est de dimension finie. En dehors de Z et de K[X] , les anneaux cités en exemple sont rarement étudiés. Aucun candidat, semble-t-il, ne s'est jamais demandé si l'anneau des décimaux est principal... Les exemples d'idéaux sont particulièrement pauvres, les candidats semblent ignorer par exemple les idéaux maximaux de C[X1,...,Xn] . (http://gala.univperp.fr/~graillat/agregation/Nullstellensatz.pdf) Il semble que les candidats ne connaissent pas d'autre exemple de bases duales que celui fourni par l'interpolation de Lagrange. D'autre part, on devrait pouvoir préciser la signification de la phrase : "il n'y a pas d'isomorphisme canonique de E dans E* ". un groupe dont tous les sous-groupes sont cycliques est-il cyclique ? quelles sont les différentes façons de déterminer la signature d’une permutation ? Leçons d'Analyse (session 2004) 201 202 203 204 205 Espaces de fonctions. Exemples et applications. Exemples de parties denses et applications. Utilisation de la notion de compacité. le théorème d'Ascoli, rarement cité, n'est pas appliqué correctement. Les topologies faibles et leurs applications ne sont pas mentionnées. Connexité : exemples et applications Espaces complets. Exemples et applications. par exemple, beaucoup ont du mal à voir que l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R n'est pas complet si on le munit de la norme de la convergence en moyenne et ne savent pas à quoi ressemble son complété le théorème d'interversion des limites est rarement cité. 206 207 208 209 210 211 Utilisation de théorèmes de point fixe. Prolongement de fonctions. Applications. Utilisation de la continuité uniforme en analyse. Utilisation de la dénombrabilité en analyse et en probabilités. Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés. Exemples et applications. on voit très peu d'opérateurs "concrets". Les applications du théorème de Baire ne sont jamais illustrées. Utilisation de la dimension finie en analyse. Méthodes hilbertiennes en dimension finie et infinie. L'intitulé de la leçon est parfois mal cerné par le candidat. En particulier, les leçons «méthodes» (combinatoires, hilbertiennes...) doivent mettre en avant des méthodes. Il ne faut pas donner seulement une suite de théorèmes; il ne faut pas non plus donner un catalogue d'exemples sans dégager la ou les méthodes qui les gouvernent. Le cadre naturel de l'égalité de Parseval est l'espace de Hilbert Dirichlet , souvent utilisé par les candidats. 212 plutôt que l'espace dit de Le théorème de Hahn-Banach (qui n'est pas au programme) est très souvent présenté, mais plus rarement sous l'angle géométrique; lorsque l'on place le candidat dans la situation hilbertienne, il est parfois démuni pour y transcrire plus simplement son résultat. Le fait que Pythagore, les formules du parallélogramme ou de la médiane, soient les outils pour faire de la "géométrie" dans les Hilbert (et l'illustrer avec des diagrammes simples) n'est pas en général bien mis en valeur. La projection orthogonale est mal comprise, le théorème de Lax Milgram est ignoré, aucun candidat ne sait donner une base hilbertienne de L 2(R) ; certains candidats exposent le théorème de projection sur un convexe fermé sans faire de dessin, et sans comprendre la condition d'angle obtus. Bases hilbertiennes. Exemples et applications. 213 Le cadre naturel de l'égalité de Parseval est l'espace de Hilbert plutôt que l'espace dit de Dirichlet , souvent utilisé par les candidats. Applications du théorème d'inversion locale et du théorème des fonctions implicites. 214 215 216 217 218 Certains candidats savent démonter le théorème des fonctions implicites mais ne peuvent déterminer la tangente à une courbe plane d'équation f(x,y) = 0. Applications différentiables définie sur un ouvert de Rn. Exemples et applications. Étude de courbes. Exemples. Etude locale de surfaces. Exemples Applications des formules de Taylor. il ne faut pas refuser d'utiliser les différentielles. Dans les applications, on peut penser à la méthode de Newton, (vitesse de convergence), aux erreurs dans l'intégration numérique, à l'étude de la convergence de suites récurrentes. Ce thème peut aussi être relié à celui de certains développements asymptotiques, ainsi qu'à la démonstration du théorème central limite. La formule d'Euler Mac Laurin serait également bienvenue. Problèmes d'extremums. 219 220 les candidats devraient proposer de vrais exemples pour illustrer les extrema liés, plutôt que l'inégalité arithmético-géométrique. Équations différentielles X' = f(t,X); exemples d'études qualitatives des solutions. Équations différentielles linéaires, systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et appls. Dans les leçons sur les équations différentielles linéaires, les candidats omettent fréquemment de mentionner la dimension de l'espace affine des solutions. Lorqu'ils citent ce résultat, ils ne savent pas toujours le déduire du Théorème de Cauchy-Lipschitz. 221 222 223 224 225 226 227 228 l'exponentielle de matrice doit être mentionnée. Et au delà, on pourrait parler d'équations différentielles d'ordre deux à coefficients polynomiaux, ainsi que de solutions périodiques, lorsque les coefficients sont périodiques. Cette leçon peut aussi être l'occasion d'exploiter les propriétés de la transformation de Laplace. Exemples d'équations différentielles. Solutions exactes ou approchées. Convergence des suites numériques. Exemples et applications. Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples. Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération un+1 = f(un). Exemples. Développement asymptotique d'une fonction d'une variable réelle. Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples. Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications. Dans la leçon fonctions monotones, fonctions convexes , les candidats ne font jamais le lien entre les deux notions. On pourrait penser aux inégalités de convexité autres que l'inégalité de Hölder, au théorème des trois cercles, à quelques notions sur les fonctions à variation bornée... 229 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples. Illustrer par des exemples et des contre-exemples la théorie des séries numériques. 230 on peut inclure: inégalité de Carleman, séries trigonométriques, Euler Mac Laurin à l'ordre 1 ou 2, .... Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(X)=0. Exemples. 231 la méthode de Newton n'est pas bien comprise, en particulier l'existence d'un point fixe super attractif On voit peu de résultats asymptotiques, aucun calcul effectif. Intégrale d'une fonction d'une variable réelle. Suites de fonctions intégrables. 232 233 234 235 236 237 238 La leçon "Intégrale d'une fonction d'une variable réelle, suites de fonctions intégrables" a parfois été mal traitée : dans cette leçon, il faut insister sur l'aspect "variable réelle" et non faire un cours de théorie générale de la mesure; il est par exemple anormal que ne soient pas du tout mentionnés dans cette leçon les liens entre intégrales et primitives et leurs conséquences Espaces Lp, 1 <= p <= +infini Interversion d'une limite et d'une intégrale. Exemples et applications. Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles. Problèmes de convergence et de divergence d'une intégrale sur un intervalle de R. Méthodes de calcul des valeurs approchées d'une intégrale. Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications. le cadre choisi doit être cohérent. Lorsque l'intégrale de Lebesgue est choisie, l'holomorphie sous le signe somme est le plus souvent absente, ainsi que la convolution et la transformation de Fourier. Transformation de Fourier et produit de convolution. Applications. 239 Les leçons sur la transformation de Fourier ne doivent pas omettre la théorie L2. Suites et séries de fonctions: exemples et contre-exemples. 240 les exemples significatifs manquent le plus souvent. De plus, les convergences L1, L 2 ou LP, ainsi que les convergences probabilistes ne sont que très rarement abordées. 241 Exemples d'utilisation de fonctions définies par des séries. Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. 242 le théorème d'Abel, s'il est bien sur cité, n'est pas introduit. Les plans correspondant à ces leçons sont particulièrement pauvres en applications. 243 244 Fonctions d'une variable complexe, holomorphie. Exemples et applications. Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Développement d'une fonction périodique en série de Fourier. Exemples et applications. 245 Le cadre naturel de l'égalité de Parseval est l'espace de Hilbert Dirichlet , souvent utilisé par les candidats. plutôt que l'espace dit de la théorie L 2 est souvent absente, les propriétés de la convolution sont inconnues. Les candidats ne font pas une distinction assez nette entre série trigonométrique et série de Fourier. Les théorèmes de convergence sont mal connus, qu'il s'agisse des hypothèses ou des conclusions. Le lien entre la régularité de f et la décroissance de ses coefficients de Fourier semble ignoré, et n'est jamais cité. 246 247 248 249 250 251 Exemples de problèmes d'interversion de limites. Approximation des fonctions numériques par des fonctions polynomiales ou polynomiales par morceaux. Exemples. Le jeu de pile ou face (suites de variables de Bernoulli indépendantes). Loi binomiale, loi de Poisson. Applications. Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples. Parties convexes, fonctions convexes (d'une ou plusieurs variables). Applications Les développements touchant à la méthode de Newton, du gradient,... gagneraient à être accompagnées de figures permettant de dégager la démarche. La vision géométrique reste toujours au second plan. Pour des applications de à valeurs dans Rm, beaucoup de candidats pensent que "a critique" signifie que df(a) = 0 et non rang (df(a)) < m. Les lemmes de Sard et Morse offrent d'intéressants dvpss aux bons candidats. très peu de candidats savent interpreter le gradient. Certains candidats savent démonter le théorème des fonctions implicites mais ne peuvent déterminer la tangente à une courbe plane d'équation f(x,y) = 0. , fonctions génératrices ou caractéristiques). Equations différentielles: Dans les leçons sur les équations différentielles, l'aspect qualitatif passe souvent à la trappe ; on s'attendrait à voir le candidat dresser des portraits de phase, s'exercer à pister les courbes intégrales, à les piéger dans les "entonnoirs", à les situer par rapport à des "barrières", et ce sur des exemples simples (du type Liouville y' = x + y2 par exemple) ; le théorème des bouts est souvent mal compris du point de vue pratique. Le jury a apprécié certaines études qualitatives d'équations différentielles (linéaires ou non) et encourage donc les candidats à aller dans ce sens. Dans ce genre de leçons, il faut d'autre part garder un bon équilibre entre les exemples théoriques et les exercices de calcul. Fourier: Les leçons consacrées à Fourier ou à la convolution sont valorisées par un candidat qui sait souligner l'utilisation technique de ces outils (boîtes noires, filtrage) ou envisage des ponts avec les probabilités (loi d'une somme de variables indépendantes, fonctions génératrices ou caractéristiques). La construction de l'intégrale de Lebesgue ne se prête pas à un développement détaillé dans le cadre d'une leçon. En revanche, le jury' attend que les candidats aient assimilé le maniement: o des théorèmes de convergence dominée et monotone. o des espaces Lp qui fournissent des exemples d'espaces de Banach. o des applications aux probabilités. Rares sont les candidats qui savent appliquer la méthode de variations des constantes, même dans le cas d'une équation d'ordre deux. QUESTIONS Il convient que les candidats soient capables d'exploiter les résultats sur les contractions dans Rn , la méthode de Newton et ses variantes. Par exemple, on s'attend à ce qu'ils puissent donner des réponses raisonnables aux questions suivantes: Séparation des zéros Étant donné une application f de classe Cl d'un ouvert dans Rn, un point non critique de f, donner une condition suffisante pour que l'équation f (x) = 0 ait une solution unique dans une boule fermée . (On peut faire intervenir , et .) Test d'arrêt Avec les notations ci-dessus, et si l'on suppose que la suite définie par u0 = a et un+l = un -(Df)-1f(un) converge vers l, trouver une constante M telle que l'on ait . Analyse fonctionnelle: Dans les leçons d'analyse fonctionnelle, on est surpris des lacunes de certains candidats : par exemple, beaucoup ont du mal à voir que l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R n'est pas complet si on le munit de la norme de la convergence en moyenne et ne savent pas à quoi ressemble son complété; on peut aussi souhaiter que les candidats sachent distinguer parmi les espaces fonctionnels usuels ceux qui sont séparables de ceux qui ne le sont pas. Ces lacunes sont d'autant plus regrettables que le jury a pu constater par ailleurs qu'une leçon comme "Espaces fonctionnels, exemples et applications" offre à un candidat bien préparé de larges possibilités de montrer ses qualités et d'obtenir une excellente note. Plusieurs candidats ont sur la théorie des équations différentielles ordinaires, une culture qui ne dépasse pas l'énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il serait souhaitable qu'ils aient un peu réfléchi à certaines questions naturelles autour de ce résultat. Par exemple, plusieurs candidats ont été mis en difficulté sur l'énoncé suivant: "Soit v champ de vecteurs de classe Cl sur RN , et soit x, solution définie sur l'intervalle ]a,b[ de l'équation différentielle x' = v (x). Si cette solution x est bornée sur un voisinage de b dans ]a,b[, alors on peut la prolonger à un intervalle de la forme ]a, b'[ avec b' > b. " Outre le fait qu'il constitue un exemple de résultat qualitatif sur les équations différentielles, cet énoncé est également un exemple particulièrement naturel d'application en analyse de la notion d'uniforme continuité ou de celle d'espace complet. Sur ces deux derniers thèmes, les candidats ont eu souvent tendance à proposer des exemples peut-être moins naturels (intégrale de Riemann pour les fonctions réglées) ou d'emblée plus sophistiqués - quoiqu'également naturels et bienvenus, comme celui de la transformation de Fourier sur L2. Toujours à propos des équations différentielles, les candidats restent mal à l'aise avec tout ce qui n'est pas calcul explicite de solutions ou application directe du théorème de Cauchy- Lipschitz. Par exemple, pour deviner le comportement des solutions de l'équation de Riccati x' = x - x2 (avec x à valeurs réelles), la plupart des candidats procèdent à un calcul exact des solutions, entreprise qui, pour n'être pas formidable, demeure toutefois malaisée: il faut décomposer une fraction rationnelle en éléments simples, distinguer selon la position de x(0) par rapport à 0 et 1 pour aboutir à des formules qu'il faut ensuite savoir exploiter d'autant plus rapidement qu'elles sont assez simples - sans être absolument évidentes... Tout cela est bien compliqué, surtout un jour d'oral, alors qu'il serait plus simple de remarquer que (pour ) la solution x = 1 est asymptotiquement stable tandis que la solution x = 0 est instable. Par ailleurs, les candidats doivent pouvoir résoudre effectivement des équations comme celles ci : y' = sin y ou y' = y2/(y2+1) démontrer que le produit de deux suites convergentes est une suite convergente. que peut-on dire d’une suite bornée admettant une unique valeur d’adhérence ? les propriétés « R admet une borne supérieure » et « R est complet » sont-elles équivalentes ? donner un exemple de série satisfaisant le test de Cauchy mais pas celui de D’Alembert. démontrer que la série de terme général 1/n^2 converge. Donner un équivalent de son reste. une application transformant tout connexe en connexe est-elle continue ? le produit de deux applications uniformément continues sur un intervalle l’est-il encore ? comment estimer la vitesse de convergence de la suite proposée ? démontrer qu’une fonction dérivable à dérivée nulle est constante. Leçons de Calcul Scientifique (session 2003) 301 Appliquer et comparer des méthodes numériques ou symboliques de réduction des matrices dans des problèmes issus de modélisations. Utiliser et comparer des méthodes numériques ou symboliques de résolution de systèmes linéaires dans des problèmes issus de modélisations. Dégager et étudier par des méthodes numériques ou symboliques des systèmes d'équations non linéaires - par exemple polynomiales - dans des problèmes issus de modélisations. Utiliser dans des problèmes issus de modélisations des résultats relatifs à l'approximation ou à l'interpolation de fonctions. Utiliser et comparer des méthodes numériques ou symboliques de résolution de systèmes ou d'équations différentiels ou aux dérivées partielles dans des problèmes issus de modélisations. Application de la transformation ou des séries de Fourier - par exemple aux équations aux dérivées partielles. Exemples de propriétés qualitatives d'une équation différentielle ou d'un système différentiel. Interprétation sur un exemple. Utiliser et comparer des méthodes de factorisation et de recherche des racines d'un polynôme. Appliquer et comparer des méthodes de minimisation dans des problèmes issus de modélisations. Problèmes liés à la représentation des courbes et des surfaces. Etudier la dépendance des solutions d'une équation par rapport à un paramètre dans des problèmes issus de modélisations. PGCD, PPCM: méthodes de calcul et applications dans des problèmes issus de modélisations. Applications des congruences ou des corps finis à des problèmes issus de modélisations. Applications de la convexité dans des problèmes issus de modélisations. 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 Les points suivants, qui devraient être acquis au niveau de la licence, continuent à présenter des diffcultés: utilisation de la différentielle d'une fonction de Rd dans Rddans la méthode de Newton, rapport entre différentielle et gradient, signification géométrique du gradient (surfaces, courbes de niveau ). application du théorème des fonctions implicites, Sur les points suivants, les candidats devraient être mieux exercés à mettre en relations propriétés locales et globales: notion de convexité (parties de Rn, fonctions de variables réelles), et son utilisation dans les problèmes de minimisation. existence locale et prolongement des solutions d'équations différentielles ordinaires. L'analyse numérique est moins bien acquise que par le passé, entrainant des performances médiocres sur des questions faciles: analyse numérique linéaire, allant de la résolution des systèmes à la réduction des opérateurs linéaires, algorithmique non linéaire, par exemple méthode de Newton, schémas de résolution d'équations différentielles ordinaires.
