On rappelle que N désigne l`ensemble des nombres entiers naturels

DIVISIBILITE - NOMBRES PREMIERS
On rappelle que N désigne l’ensemble des nombres entiers naturels (entiers positifs)
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs (entiers positifs ou négatifs)
I/ Divisibilité dans Z
A. Définition
Soit a et b deux nombres entiers relatifs.
« b divise a » signifie qu’il existe un nombre entier relatif k tel que : a = kb, ce que l’on écrit
en abrégé : ba.
ba   k  Z / a = kb.
Dans ces conditions, on dit que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b.
Exercice : Un nombre entier naturel N dont le nombre des dizaines est noté D et dont le
chiffre des unités est noté u, s’écrit : N = 10D + u.
On considère le nombre N ’ = D + 2u.
1) Démontrer l’équivalence entre les deux propriétés suivantes :
« N est divisible par 19 »
« N’est divisible par 19 ».
2) En utilisant plusieurs fois de suite cette équivalence étudier si le nombre 29 431 est
divisible par 19.
1) Par hypothèse, N est divisible par 19 autrement dit il existe un entier naturel k tel que : 10D + u = 19k.
Dans ces conditions, l’entier N’ = D + 2u s’écrit encore N’ = D + 2(19k – 10D)  N’ = 219k – 19D 
N’ = 19(2k – D). Par conséquent N’ est divisible par 19.
Réciproquement, si N’ est divisible par 19 il existe un entier naturel k tel que : D + 2u = 19k. Dans ces
conditions, l’entier N = 10D + u s’écrit encore N = 10(19k – 2u) + u  N = 1910k – 19u. Soit :
N = 19(10k – u).
Par conséquent N est divisible par 19.
Donc
N = 10D + u est divisible par 19 si, et seulement si, N’ = D + 2u est divisible par 19.
2) Le résultat précédent appliqué à l’entier N = 29 431 permet d’écrire que :
19  29 431  19  102943 + 1  19  2943 + 2  19  2945  19  10294 + 5
19  10294 + 5  19  294 + 25  19  304  19  1030 + 4  19  30 + 24  19  38.
Comme 38 = 219, on en déduit que :
29 431 est divisible par 19.
B. Propriétés
1. Quel que soit l’entier relatif a,
0, a, - a, 2a, - 2a, … sont des multiples de a,
1, - 1, a et – a sont des diviseurs de a.
2. a étant un entier relatif non nul, ba  b  a.
Démonstration
Par hypothèse a  0 et ba donc :  k  Z* / a = kb.
Alors : a = kb où k  1 d’où a  b.
Conséquence :
Tout nombre entier non nul admet un nombre fini de diviseurs (au maximum 2a diviseurs)
3. a et b désignant deux nombres entiers relatifs, (ab et ba)  (a = b ou a = - b).
Démonstration
Par hypothèse, (ab et ba)   (k, k’)  Z 2 / b = ka et a = k’b
  (k, k’)  Z 2 / a = k’(ka)
  (k, k’)  Z 2/ k’k = 1
 k = k’ = 1 ou k = k’ = - 1.
Dans ces conditions, a = b ou a = - b.
4. a, b et c désignant trois entiers relatifs, (ab et bc)  (ac).
Démonstration
Par hypothèse, (ab et bc)   (k, k’)  Z 2 / b = ka et c= k’b
  (k, k’)  Z 2 / c = k’(ka)
  K  Z / c = Ka
autrement dit, a divise c.
5. a, b et c désignant trois nombres entiers relatifs, ab  acbc.
Démonstration
Par hypothèse, ab   k  Z / b = ka. Donc, quel que soit l’entier relatif c,
 k  Z / bc = (ka)c = k(ac),
autrement dit, ac divise bc.
6. a, b, c et d désignant quatre nombres entiers relatifs, (ab et cd)  acbd.
Démonstration
Par hypothèse, (ab et cd)   (k, k’)  Z 2 / b = ka et d= k’c
  (k, k’)  Z 2 / bd = (ka)(k’c)
  (k, k’)  Z 2 / bd = (kk’)(ac),
c’est-à-dire que ac divise bc.
7. Théorème : a, b et c désignant trois nombres entiers relatifs,
(ab et ac)  (ab + c et ab – c).
Plus généralement, si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire (bu + cv) où u
et v désignent deux nombres entiers relatifs.
Démonstration
Par hypothèse, (ab et ac)   (k, k’)  Z 2 / b = ka et c= k’a.
Donc, quels que soient les entiers relatifs u et v,
 (k, k’)  Z 2 / bu + cv = (ku + k’v)a
ce qui s’écrit encore
 K  Z / bu + cv = Ka,
ce qui se traduit par « a divise toute combinaison linéaire des entiers b et c ».
Exercice :
1) Montrer que, si un entier divise 3n – 5 et 2n + 1, alors cet entier divise 13.
2) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que 3n – 5 divise 2n + 1.
II/ Nombres premiers
A. Définition
Un nombre entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et
lui-même.
Conséquence :
0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
2 est le seul nombre premier pair.
Exercice : 1) Déterminer, s’il en existe, les valeurs de l’entier naturel n pour lesquelles un est
premier : a) un = n2 + 2n + 1 ; b) un = n2 + 8n – 20.
2) a et b désignent deux entiers naturels distincts de 0 et de 1.
En utilisant le carré de a2 + 2b2, démontrer que l’entier a4 + 4b4 n’est jamais
premier.
B. Théorème 1
Soit a un nombre entier naturel strictement supérieur à 1. Alors :
 a admet un diviseur premier ;
 si a n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que
2p a .
Démonstration
Si a est un nombre premier, aa donc a admet bien un diviseur premier.
Péano (1858-1932), mathématicien italien, a proposé une construction axiomatique de N
c’est-à-dire qu’il en a recensé les propriétés non démontrables, en nombre minimal, à partir
desquelles on démontre les autres, par exemple :
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément (ce que l’on peut encore traduire par
toute suite d’entiers naturels strictement décroissante est finie).
Si a n’est pas un nombre premier, il admet au moins un diviseur strictement compris entre 1
et a. Considérons alors l’ensemble des diviseurs de a dans N* - {1}. Cet ensemble est une
partie non vide de N, donc il admet un plus petit élément p.
p est nécessairement premier sinon (raisonnement par l’absurde) il existerait un diviseur d0
de p strictement compris entre 1 et p et :
(d0 p et pa)  d0 a
ce qui contredirait le choix de p.
De plus, pa   k  Z / a = pk avec p k.
Donc p2  pk soit p2  a d’où p  a .
C. Théorème 2
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
La démonstration est due à Euclide (IIIème siècle avant Jésus-Christ). C’est Euclide qui a
introduit la méthode de raisonnement déjà vue dans la démonstration précédente, à savoir le
raisonnement par l’absurde.
Pour démontrer le théorème en question on suppose vraie la négation de la conclusion,
c’est-à-dire que :
il existe un nombre fini de nombres premiers.
Soit p1, p2, …, pn ces nombres entiers premiers. On considère alors le nombre entier
N = p1 p2 …  pn + 1.
Comme N > 1, N admet au moins un diviseur premier pi, parmi les n nombres premiers p1,
p2, …, pn. Alors
(piN et pi p1 p2 …  pn )  piN - p1 p2 …  pn soit pi1
ce qui est impossible par définition d’un nombre premier.
D. Théorème de décomposition
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2.
 n se décompose en un produit de facteurs premiers ;
 cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
Démonstration
 D’après le théorème 1, n admet un diviseur premier p1 donc, il existe un entier naturel n1
tel que :
n = n1 p1 avec 1  n1 < n.
- si n1 = 1 alors la décomposition de n en produits de facteurs premiers est terminée.
- si n1  2, alors on recommence le processus avec n1 qui admet donc un diviseur premier
p2 c’est-à-dire qu’il existe un entier naturel n2 tel que :
n1 = n2 p2 avec 1  n2 < n1.
On itère ce processus tant que le quotient ni n’est pas égal à 1. On obtient ainsi une suite
d’entiers naturels strictement décroissante :
1  … ni < … < n2 < n1 < n.
Donc cette suite est finie (cf. l’axiome de Péano) c’est-à-dire qu’elle s’arrête après un
nombre fini k de processus identiques à celui que l’on vient de décrire. Alors
n = p1 p2 …  pk .
 On admettra l’unicité de cette décomposition.
Exercice :
1. Trouver tous les entiers naturels dont le cube divise 18 360.
2. En déduire, dans l’ensemble N, la résolution de l’équation d’inconnue b :
b 3 b 2  (b  1) 2  18 360.


III/ Le crible d’Eratosthène
Il sert à dresser la liste des nombres entiers premiers inférieurs à un nombre entier donné.
Le principe :
Lorsque l’on vient de classer p comme nombre premier (par exemple p = 2), et que tous ses
multiples de la forme kp (où k  N*-{1}) ont été rayés,
 le plus petit nombre non classé p’ est premier (donc, après 2, il s’agit de p’ = 3)
 le plus petit multiple de p’ non classé est p’2.
Exercice :
a. Ecrire la liste des nombres premiers inférieurs à 50 en utilisant le crible d’Eratosthène.
b. Le nombre 1517 est-il premier ? Expliquer comment on utilise le résultat précédent pour
conclure.
c. Quels sont les entiers naturels a et b vérifiant :
a2 = b2 + 1517.