calcul numérique

1
1 / nombres et calcul numérique
différents ensembles de nombres :
son nom
ensemble
définition
dire qu’un nombre est entier signifie que ………………………………………………………
dire qu’un nombre est irrationnel signifie que …………………………………………………
un nombre rationnel
a
(élément de
b
) est décimal (élément de
) si …
ajouter * (ex : R*, Z*…) signifie que ………………………………………………………..
exercices 46 et 47 page 30
dans le tableau suivant, mettre une croix si le nombre indiqué appartient à l’ensemble correspondant :
nombre
0
15
–3
1,5
– 2,5
1
2
8
4
3
5
5
3
7
16
1
16
1
2
puissances entières d’un nombre réel
soit a un réel quelconque
a1 =
a3 =
a2 =
de façon générale, si n est un entier naturel, an =
–2
0
a =
a–1=
si de plus a est non nul,
a =
de façon générale, si n est un entier naturel, a – n =
effectuez ces calculs, en donnant le résultat achevé le plus simple possible :
2 2  33 
2
 1
   33 
 2
2 3  32  5 
2
4
 1
 2
    
 2
 5
2 4  33 
2
1  3
2     
3  2
des formules indispensables à connaître sur les puissances :
(a et b sont des réels non nuls, n et p sont des entiers)
an  ap = …………
an
 ………………
ap
(an)p = ……….
(ab)n = …………
n
 a
   ………….
 b
ci-dessous, donnez le résultat en utilisant des puissances de 2, 3 ou 5 :
10 2
2
4

2 2 
25 3
2
 1
3
2 4
   33 
2  2

 2
 
2
6 3 2 
2
2
5
1  3
2     
3  2
2
3
puissances de 10 :
100 =
101 =
102 =
103 =
10– 1 =
10– 2 =
10– 3 =
en général, 10n =
(n entier positif)
en général, 10– n =
(n entier positif)
la notation scientifique des nombres :
Quand un nombre est très grand, ou très proche de zéro, son écriture contient tellement de
chiffres 0 que sa lecture en devient presque impossible. On a alors recours à la notation
scientifique, très utilisée en physique : par exemple
240 000
=
2,4

105

la puissance
de 10 donne
l’ordre de
grandeur (ici,
les centaines
de milliers)

ce nombre
doit être au
moins égal à 1
et strictement
inférieur à 10.
Ecrire en notation scientifique :
40 000 000 =
0, 000 000 25 =
(500)3 =
1
=
2
1

25000
0,000025 
remarque : toutes les calculatrices permettent d’obtenir directement les nombres en notation
scientifique, notamment avec des touches comme 10x , E ou exp, mais la lecture à l’écran
demande une interprétation. Ainsi par exemple, 1.253E-3 devra se lire : 1,253  10-3.
Le 1) des exercices 39 & 40 page 29
3
4
les nombres premiers
un nombre entier naturel est dit nombre premier s’il possède deux
diviseurs et deux seulement (qui sont alors 1 et lui-même)
Par exemple 2, 3 et 5 sont premiers, 17 est premier, 37 est premier, etc… Par contre, 4 n’est
pas premier (il se divise par 2), 10 n’est pas premier (il se divise par 2 et par 5), 1000 n’est
pas premier (il se divise par 10), etc…
La liste des nombres premiers est infinie, et tout ordinateur bien programmé vous la sort (tout
au moins son début) amicalement et automatiquement. Elle est donnée dans les bons ouvrages
de maths ou encyclopédies dignes de ce nom. Voici les nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
On remarquera que 0 n’est pas premier (il a une infinité de diviseurs) et que 1 n’est pas
premier (il n’en a qu’un seul).
méthode pour étudier si un nombre entier est premier
1er cas : on programme son ordinateur qui vous sort aussitôt et amicalement la liste de tous les
nombres premiers désirés ; si vous savez faire, vous n’avez pas besoin de conseil.
2ème cas : vous disposez d’un ordinateur, mais ne savez pas le programmer ; demandez alors à
quelqu’un qui sait de vous refiler son langage et son programme.
3ème cas : vous savez programmer, mais ne disposez pas d’ordinateur. C’est, notamment, ce
qui se produira en interro. Voici comment faire :
Si le nombre est pair, il n’est pas premier (car il se divise par 2) ; si la somme de ses chiffres
donne 3, 6 ou 9 il ne l’est pas (car il se divise par 3) ; s’il se termine par 5 il ne l’est pas (car il
se divise par 5).
On le divise alors à la calculatrice par les nombres premiers successifs (il faut donc connaître
le début, évident, de la liste, disons jusqu’à 30 ou 40…). Si une division tombe juste, le
nombre n’est pas premier. Quand le carré du diviseur dépasse le nombre étudié, alors on peut
affirmer que celui-ci est premier.
Exemple : 193 est-il premier ?
Il n’est pas pair ; 1 + 9 + 3 = 13 et 3 + 1 = 4 ; il ne se termine pas par 5. Je prends ma
calculatrice et je commence mes divisions par les nombres premiers de la liste ci-dessus :
193  7  27,57..
193  11  17,54..
193  13  14,84
aucune de ces divisions ne tombe juste.
Inutile de chercher plus loin, car 17 2  289 et 289 > 193.
On peut donc affirmer que 193 est bien un nombre premier.
Le b) de l’exercice 61 page 32
4
5
la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
C’est une opération banale et classique, utile dans de nombreux exercices (notamment les
calculs avec des fractions).
Si le nombre est premier, il est tout décomposé. Ainsi 2 = 2, 3 = 3, etc…
Si le nombre n’est pas premier, on recherche tous ses facteurs premiers et on écrit :
4  2 2 , 6  2  3 , 8  2 3 , 12  2 2  3 , etc…
Jusque là le problème est franchement évident. Il ne l’est plus autant avec des nombres à 3 ou
même 4 chiffres. Voici comment procéder et disposer avec, par exemple, 600 :
600 2
300 2
150 2
on effectue les divisions successives par les nombres premiers de la liste : 75 3
25 5
5
5
1
on peut alors écrire : 600  2 3  3  52
le b) de l’exercice 72 page 35
la recherche du PGCD de deux nombres entiers
PGCD est l’abréviation de « plus grand commun diviseur ». Ne me demandez pas pourquoi
on ne dit pas « plus grand diviseur commun ».
Pour rechercher le PGCD de deux entiers n et p on dispose de deux méthodes :
1 méthode(la plus facile à programmer sur un ordinateur) : par divisions successives.
On divise n par p, puis p par le reste de la division, puis le diviseur par le reste de la division,
etc… Le PGCD cherché est le dernier reste non nul de ces divisions successives.
exemple : recherche par la 1ère méthode du PGCD de 50 et 80 :
80  50  1 reste 10 50  10  5 reste 0
On a donc PGCD (50 , 80) = 10
ère
2ème méthode :
1) on les décompose en produit de facteurs premiers ;
2) on conserve les facteurs premiers communs affectés de leur plus petit exposant.
exemple : recherche par la 2ème méthode du PGCD de 50 et 80 :
1) 50  2  52 et 80  2 4  5
2) on a donc PGCD (50 , 80) = 2  5  10
recherchez PGCD (400 , 480)
Pour simplifier une fraction de deux entiers
a
on divise a et b par leur PCGD.
b
Deux nombres entiers sont dits « premiers entre eux » si leur PGCD est égal à 1.
a
une fraction de deux entiers
est irréductible si les deux entiers a et b sont premiers entre eux.
b
5
6
effectuez ces calculs élémentaires :
1 1 1
  
2 3 4
3 1
7  
5 3
1 2
2  
5 3
 1 1
2   
 3 2
1 2 3
  
5 3 4
 1 2
3   
 4 3
 1 2
5   
 3 5
 1 2  1 1
     
 5 3  3 4 
 2 1  1 2 
     
 5 3  2 3 
les racines carrées
l’écriture
a n’est permise que si a est un réel ……………………………...
par définition,
a est ……………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
simplification des racines carrées
pour simplifier l’écriture
a où a est un entier naturel :
1) On calcule a à la calculatrice. Si le résultat est entier, la simplification est toute
trouvée ;
2) Si le résultat n’est pas entier, on décompose a en produit de facteurs premiers ;
3) On garde les exposants pairs les plus grands possibles ;
4) On sort de la racine les facteurs d’exposants pairs, en divisant ces exposants par 2.
Par exemple pour simplifier 500 :
1) on écrit 500  2 2  53  2 2  52  5
2) on a donc 500  2  5  5
en conclusion
500  10 5
6
7
simplifier ces racines et calculs :
49 
175 
468 
121 
625 
72 
1080 
588 
27  48  12 
32  18  50 
formulaire des racines
ab  a  b
a

b
a
b
ATTENTION !!!
27
8


2
49
la racine d’un produit est égale au produit des
racines
la racine d’un quotient est égale au quotient
des racines
la racine d’une somme (ou d(une
différence) n’est pas égale à la somme (ou
à la différence) des racines !!!!
18
125


25
72
8
12
225



9
25
24
rendre rationnels les dénominateurs
pour les cas suivants, on multiplie numérateur et dénominateur, par le dénominateur.
1
1
3



2 3
2
6
pour les cas suivants, on multiplie numérateur et dénominateur, par le conjugué du
dénominateur
1
2 3
52



32 2
3 3
53
exercice 36 page 29
7