Bases de géométrie plane

Chapitre 2
2nde D4
-1-
Chapitre II : Bases de géométrie plane.
I) Propriété, équivalence.
1) Propriété et réciproque
Définition 1: Une propriété mathématique est une affirmation qui est toujours vraie.
Elle ne comporte aucune exception.
Une propriété se présente souvent sous la forme :
Si « hypothèse de la propriété ( p )», alors « conclusion de la propriété ( q ) ».
Ou
« hypothèse de la propriété » implique « conclusion de la propriété ».
On dit que l’on a une implication. ( p  q )
Exemple :
Propriété 1 : Si « M est un point de la médiatrice du segment [AB] », alors « MA  MB ».
Définition 2 : L’énoncé réciproque d’une propriété s’obtient en inversant conclusion et
hypothèse.
Exemples :
L’énoncé réciproque de la propriété 1 est :
Si « MA  MB », alors « M appartient à la médiatrice du segment [AB] ». ( q  p )
Cet énoncé est vrai, c’est donc une propriété appelée propriété réciproque de la propriété 1.
Autre exemple :
Si « un quadrilatère est un losange », alors « ses diagonales sont perpendiculaires » est un
énoncé vrai, c’est donc une propriété.
L’énoncé réciproque est faux, en effet, un quadrilatère peut avoir des diagonales
perpendiculaires sans être pour autant un losange. (il faudrait de plus que les diagonales se
coupent en leurs milieux.)
2) Equivalence.
Définition 3 : Quand l’énoncé réciproque d’une propriété est vrai, on peut regrouper propriété
et propriété réciproque en un seul énoncé utilisant l’expression si et seulement si.
On dit alors que l’on a une équivalence.
Exemple :
« Un point appartient à la médiatrice d’un segment » si et seulement si « il est équidistant des
deux extrémités de ce segment ».
Remarques :
« Un point appartient à la médiatrice d’un segment » équivaut à (ou est équivalent à) « ce
point est équidistant des deux extrémités du segment ». ( p  q )
ou
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Pour qu’un point appartienne à la médiatrice d’un segment, il faut et il suffit qu’il soit
équidistant des extrémités de ce segment.
II)
Droites et centres remarquables du triangle.
Propriétés :
1) Les médiatrices.
Les médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point, noté O et appelé centre du
cercle circonscrit à ce triangle.
Le cercle passe par les sommets du triangle, donc : OA  OB  OC .
Remarque : Un point situé sur la médiatrice  du segment[AB] est équidistant de A et de B :
M   MA  MB
B'
A
C
O
A'
C'
2) Les hauteurs.
B
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point, noté H et appelé
orthocentre du triangle.
Conséquences :
_ En calculant l’aire avec chacune des trois hauteurs, on obtient les
égalités :
AK  BC  BL  AC  CJ  AB
_ L’aire d’un triangle reste constante si l’on déplace un sommet
parallèlement au côté opposé :
A
L
J
H
C
K
B
A'
A
C
AABC 
K'
K
B
AK  BC A ' K ' BC

 AA ' BC
2
2
3) Les médianes.
Les médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un point, noté G appelé centre de
gravité du triangle.
2
2
2
AG  AA ' ; BG  BB ' ; CG  CC '
3
3
3
où A’,B’,C’ sont respectivement les milieux de [BC], [AC],
[AB].
Remarque : La médiane partage le triangle en deux triangles de
même aire :
1
AABA '  AACA '  AABC
2
A
C'
B'
G
B
A'
C
A
R
Q
I
B
4) Les bissectrices.
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P
C
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Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point, noté I et appelé centre du cercle
inscrit à ce triangle.
Le cercle est tangent intérieurement aux côtés du triangle, donc : IP  IQ  IR .
Remarque : Un point situé sur la bissectrice D d’un angle BAC est équidistant des deux côtés
de l’angle : M  D  MQ  MR
(D)
A
Q
M
R
C
B
III)
Le triangle rectangle.
1) Triangle rectangle et cercle circonscrit.
Théorèmes : Soit ABC un triangle et C le cercle de diamètre [BC].
Si A est un point du cercle C, alors ABC est rectangle en A.
Si ABC est rectangle en A, alors A est un point du cercle C.
Le triangle ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [BC] si, et seulement si, le
triangle ABC est un triangle rectangle en A d’hypoténuse [BC].
A
B
C
I
Remarques :
(BA) et (CA) sont deux hauteurs : A est donc l’orthocentre.
Les trois médiatrices ont en commun le milieu I de [BC], donc le cercle circonscrit est le
cercle de diamètre [BC].
La médiane AI est égale à la moitié de l’hypoténuse BC.
2) Théorème de Pythagore.
Théorème direct : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC 2  AB 2  AC 2 .
Théorème réciproque : Si BC 2  AB 2  AC 2 , alors le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle ABC est rectangle en A si, et seulement si, AB 2  AC 2  BC 2 .
B
C
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A
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-43) Trigonométrie du triangle rectangle.
Définitions : Soit ABC un triangle rectangle en C.
Cosinus de l’angle  :
côté adjacent AC
.
cos( ) 

hypoténuse
AB
Sinus de l’angle  :
côté opposé BC
.
sin( ) 

hypoténuse AB
Tangente de l’angle  :
A
côté opposé
BC
.
tan( ) 

côté adjacent AC
Propriétés : tan( ) 
sin( )
cos( )
et
B
C
 sin( )    cos( ) 
2
2
1
Valeurs exactes usuelles :

Sin(  )
Cos(  )
30°
1
2
45°
2
2
2
2
3
2
60°
3
2
1
2
Résumé : Démontrer qu’un triangle ABC est rectangle en A
On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ;
On peut démontrer que A appartient au cercle de diamètre [BC] ;
On peut démontrer que les angles b et c sont complémentaires ;
On peut démontrer que la médiane issue de A est égale à la moitié de BC.
IV)
Parallèles et sécantes.
1) Deux parallèles et une sécante : égalités d’angles.
Définitions : une droite  coupe deux droites d1 et d 2 en A et B.
(D)
A
(D1)
(D2)
B
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Les angles â et b sont correspondants.
Les angles b et c sont alternes-internes.
Les angles â et d sont alternes-externes.
Théorème : Si d1 est parallèle à d 2 , alors les angles correspondants sont égaux : â  b
Réciproquement, si â  b , alors d1 est parallèle à d 2 .
d1 // d 2  â  b
d1 // d 2  b  c
d1 // d 2  a  d
2) Deux parallèles et une sécante : Théorème de Thalès.
Deux droites sécantes en A sont coupées par les droites (BC) et (DE).
A
B
D
D
B
A
E
E
C
C
 D  ( AB)
AD AE  DE 


Théorème direct : Si  E  ( AC ) , alors


AB
AC
 BC 
( DE ) //( BC )

Théorème réciproque :

les points A,D,B et les points A,E,C sont alignés dans le même ordre,

Si et
, alors les
 AD AE


 AB AC
droites(DE) et (BC) sont parallèles.
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3) La droite des milieux.
ABC un triangle quelconque. Le point I est le milieu de [AB].
Théorème direct :Si J est le milieu de [AC], alors la droite (IJ) est parallèle au 3ème côté (BC)
1
et IJ  BC .
2
Théorème réciproque : La droite passant par le milieu I de [AB] et parallèle à (BC) coupe le
côté [AC] en son milieu J.
V)
Cercles et angles.
1) Vocabulaire et définitions.
Le cercle C de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M tels que OM  r .
Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points N tels que ON  r .
La tangente en A au cercle C est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon [OA].
Deux points distincts A et B du cercle C permettent de définir : la corde [AB] et deux arcs
de cercle AB ( un grand et un petit).
Si M est un point de C distinct de A et B, alors l’angle AMB est un angle inscrit dans C.
Lorsque M appartient au grand arc AB, l’angle inscrit AMB intercepte le petit arc AB.
L’angle AOB est l’angle au centre qui intercepte le petit arc AB.
2) Les angles.
La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
La somme des angles d’un quadrilatère convexe vaut 360°.
Des angles opposés par le sommet sont des angles dont les côtés sont portés par deux
droites sécantes.
Théorème : Des angles opposés par le sommet sont égaux.
Théorème : Un angle inscrit dans un cercle mesure la moitié de l’angle au centre qui
1
intercepte le même arc : AMB  AOB .
2
Conséquence : Deux angles inscrits dans un même cercle, et qui interceptent le même arc, ont
la même mesure.
Pour tout point M et N du même arc AB, AMB  ANB .
Emilie Bouchez
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