Machines thermiques à écoulement de fluide

THERMODYNAMIQUE DES SYSTEMES OUVERTS..
MACHINES THERMIQUES A ECOULEMENT STATIONNAIRE DE FLUIDE.
Remarque préliminaire : toutes les grandeurs massiques relatives au fluide seront notées en
lettres minuscules.
I : Description des systèmes ouverts.
1°) Le cadre de l'étude.
Les machines thermiques échangent avec l'extérieur du travail, de la chaleur et de la matière. Cela revient
à les analyser en termes de systèmes ouverts.
Compresseur ou pompe.
Turbine ou tuyère.
Echappement
Echappement
WM < 0
WM > 0


W
= travail
M
machine fourni par
l'arbre au fluide.
Ici, le fluide fournit
à l'arbre le travail
Admission
Admission



WM
Citons aussi :
les canalisations de jonction , dans lesquelles les évolutions sont (sauf indications contraires) supposées
isobares.
les échangeurs de chaleur, supposés en général parfaitement calorifugés (évolutions adiabatiques dans
un échangeur).
les vannes de détente, dans lesquelles les évolutions sont (sauf indications contraires) supposées isenthalpes (évolution avec frottement sans travail ni chaleur apportée).
 Transport de matière; débit de masse.
Le débit de masse Dm ( exprimé en kg/s en u.s.i.) d'un fluide en écoulement à travers
une surface  est égal à la masse traversant  par unité de temps, ou encore la masse traversant  pendant la durée dt est donnée par dm = Dm.dt.
Cas d'un écoulement unidimensionnel:
Le débit de masse à travers une section droite d'aire S d'un fluide de masse volumique
 et de vitesse d'écoulement c a pour expression: D m  . c. S .
Cas d'un régime permanent : Dm = Cste (vis à vis du temps, ou de la section considérée) .
2°) Les diagrammes principalement utilisés.
a) Le diagramme de WATT.
Pour les machines à flux continu de fluide, on utilise le
diagramme de WATT P(V) où V est le volume interne de la
machine.
Diagramme de Watt
de la machine
P
P2
P1
V
Le système de référence est ici la machine. Le diagramme de Watt est le seul
V2
V1
diagramme utilisable pour un système dont la masse varie (syst. ouvert lors des
phases d’admission et d’échappement).
Dans ce diagramme, une aire correspond à un travail We des forces extérieures de pression.
b) Le diagramme de Clapeyron.
Diagramme de
On représente la pression P du système en fonction du volume massique v du
Clapeyron
du fluide
fluide. Le système de référence est alors le fluide. Ce diagramme n’est utilisable
P
que pour un système fermé (de masse constante) ou pour un système ouvert en
P2
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P1
V
V2
V1
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régime stationnaire (car alors la masse admise sur chaque cycle de la machine est invariante).
Dans ce diagramme, une aire correspond à un travail massique we des forces extérieures de pression reçu
par le fluide (travail d’évolution).
c) Le diagramme entropique.
On représente la température T du système en fonction de l’entropie massique s du fluide : le système de
référence est ici encore le fluide. Mêmes conditions d’utilisation que pour le diagramme de Clapeyron.
Dans ce diagramme, une aire correspond à la quantité de chaleur massique reçue par le fluide.
d) Le diagramme de Mollier (ou diagramme enthalpique).
On représente l’enthalpie massique h du lfuide en fonction de son entropie massique s: le système de référence est ici encore le fluide. Mêmes conditions d’utilisation que pour le diagramme de Clapeyron ou pour le
diagramme entropique.
Une aire n’a pas ici d’interprétation immédiate. Son intérêt résulte de la formulation du 1er principe en
régime stationnaire pour les systèmes ouverts.
3°) Travail de transvasement W T.
On appelle travail de transvasement , noté WT le travail cédé par la machine au fluide
par toutes les forces de pression, à l'admission, à l'échappement et internes dans la machine.
Le travail élémentaire de transvasement massique s'écrit: wT = v.dP .
Cas d'une machine sans espace mort.
Notons P1 la pression à l'admission et P2 la pression à l'échappement. Soit V le volume de la machine.
P2
Alors WT = P VdP .
1
|WT| = aire hachurée dans le diagramme de Watt.
WT > 0 pour un compresseur () et WT < 0 pour une turbine ().
Cas d'une machine avec espace mort. On a WT = cycleVdP .
II : Premier principe pour les systèmes ouverts en régime permanent.
1°) Notion de travail utile (ou travail indiqué).
On appelle travail utile ou travail machine, noté WM, ou encore travail indiqué, noté
Wi, le travail directement échangé entre la machine et le fluide en transvasement : c'est
celui dû aux pièces mobiles de la machine.
Le travail indiqué concerne des « forces intérieures » s’appliquant dans la machine.
En thermodynamique chimique, dans le cas d’une pile d’oxydo-réduction par exemple, le travail indiqué
correspond à un travail électrique : c’est le travail utile récupérable dont la valeur maximale correspond à la
diminution de l’enthalpie libre du système (évolution à T et P constantes).
2°) Cas d'un fluide en écoulement pour une machine à 1 entrée et 1 sortie.
c2
Soit h l'enthalpie massique du fluide, ecin 
son énergie cinétique massique et e pot  g.z son énergie
2
potentielle massique (en prenant l'axe des z vertical ascendant).
On considère le système ouvert formé de l’organe d’une machine pourvue d’une entrée (paramètres indicés 1) et d’une sortie (paramètres indicés 2), où la surface ouverte  qui limite le système est donc déformable sous l’action de la pression extérieure Pe.
Soit wind le travail massique indiqué, reçu par le fluide en écoulement entre l’entrée () et la sortie ()
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et q la chaleur massique reçue entre ces mêmes points.
Le premier principe appliqué à un fluide en écoulement s'écrit en régime stationnaire :
2
wind  q  h  ecin  e pot 1 .
2
ou en termes de bilan de puissances: Pind  Pth  Dm . h  ecin  e pot 1 .
où Dm= m/dt est le débit masse, Pind la puissance mécanique indiquée reçue par le fluide en écoulement
entre les deux points  et  (ou puissance machine) et Pth la puissance thermique reçue par le fluide entre
ces points.
3°) Généralisation à une machine comportant plus de deux entrée/sorties.
Repérons les différentes ouvertures de la machine sur l'extérieur par un indice i. A chacune d'elles est affecté un débit masse Dmi (par convention Dmi < 0 pour une entrée et Dmi > 0 pour une sortie), une enthalpie massique, une vitesse, etc…
Le premier principe appliqué au fluide en écoulement s'écrit alors en régime stationnaire: Pind  Pth   Dm i .hi  (ecin ) i  (e pot ) i  , avec  D m i  0 .
i
i
 Différence entre travail indiqué et travail de transvasement:

Entre deux points A et B de l'écoulement, on a toujours : wind  ecin  e pot
BA  ABv.dP .
B
A
On aura donc wind  v.dP  wtransv. pour une évolution réversible, et à condition
de pouvoir négliger les variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle.
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4°) Les principaux organes constitutifs des machines thermiques.
 Les turbines et compresseurs.
Sauf indications contraires (!) on suppose que l'évolution du fluide est adiabatique (Pth = 0). On néglige
d'autre part les variations d'énergie cinétique et potentielle. Il reste donc:
D m .hB  h A   Pu , ou avec les grandeurs massiques: w u  hB  hA .
 Les échangeurs de chaleur, condenseurs ou évaporateurs.
Ces dispositifs assurent les échanges thermiques par circulation du fluide dans des canalisations.
Ils ne comportent pas de parties mobiles, donc Pu = 0.
En général, on suppose que les échangeurs sont parfaitement calorifugés et donc Pth = 0 (seuls sont à
prendre en compte les échanges thermiques dans l'appareil).
Ici aussi, on néglige les variations d'énergie cinétique et potentielle.
En régime stationnaire, dans un échangeur de chaleur, il y a conservation du débit enthalpique.  Dmi hi   Dm j h j .
entrant
sor tan t
5°) Écoulement permanent d'un gaz dans une tuyère.
Les équations générales:
1.
Conservation du débit masse: .S.c = cste.
2.
1er principe en régime stationnaire pour un fluide en écoulement: h 
sant que:
c2
 Cste , en suppo2
- l'évolution dans la tuyère est adiabatique,
- les variations d'énergie potentielle de pesanteur sont négligées.
Lecture de la vitesse c du gaz dans le diagramme enthalpique:
On envisage la détente du gaz à partir d'un réservoir où la vitesse est négligeable (l'air par exemple) et où
l'enthalpie massique vaut h0 (h0 est dite enthalpie génératrice).
La vitesse c dans une section quelconque de la tuyère est alors donnée par : c  2.(h0  h) .
En exprimant les enthalpies en kJ/kg, c est donnée en m/s par: c  44,72. h .
III : Prise en compte des irréversibilités : problèmes de rendements.
1°) Rendement indiqué par rapport à l'isentropique.
Considérons une transformation réelle, donc essentiellement irréversible, entre un état initial à la pression
P1 et un état final à la pression P2.
Envisageons maintenant la transformation dite de référence, réversible, allant du même état initial (pression P1) et aboutissant à un état final à la pression P2.
Si la transformation réelle est adiabatique, celle de référence est isentropique, et permet de définir le rendement par rapport à l'isentropique comme:
- pour une détente dans une turbine:
 sdét =
travail utile fourni réellement
.
travail utile fourni sur l' isentropiq ue
Typiquement, 0,7 < sdét < 0,9.
- pour une compression:
 scomp =
Typiquement, 0,75 < scomp < 0,85.
 Interprétation dans le diagramme entropique:
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travail utile reçu sur l' isentropiq ue
.
travail utile reçu réellement
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Cas d'une détente.
sdét =
rendement par rapport à l’isentropique:
Cas d'un GP à cp constante:
sdét =
h1 - h réel
2
isent
h1 - h 2
T
T1
.
M2
.
T
scomp
Cas d'un GP à cp constante : scomp =
=
h isen
2
h réel
2
- h1
- h1
T2isent  T1
T2réel  T1
P2< P1
M2réel
T2isen
T1 - T2réel
T1 - T2isent
P1
T2réel
Cas d'une compression.
On établit dans ce cas que:
M1
T2réel
.
T2
M2isen
isen
s
M2réel
P1 < P2
isen
P2
.
T1
M1
s
2°) Rendement mécanique.
Si l'on désire établir un bilan énergétique plus précis, il convient de prendre en compte, (en plus des rendements par rapport à l'isentropique) les rendements mécaniques définis comme:

détente
=
pour une détente (turbine):  m
travail (ou puissance ) mécanique (sur arbre )
.
travail (ou puissance ) indiquée
t
Ainsi, le travail massique mécanique disponible sur arbre, noté w dé
arbre s'écrit:


dét
dét
w arbre
 méca
sdét  h1  h2isent .

pour un compresseur (ou pompe):
 mcomp =
travail (ou puissance ) indiquée
.
travail (ou puissance ) mécanique (sur arbre)
comp
Ainsi, le travail massique mécanique fourni par l'arbre, noté w arbre s'écrit:
1
1
comp
w arbre  comp  comp  h2isent  h1 .
méca
s


3°) Rendement par rapport à une loi polytropique.
Soit le gaz, supposé parfait, pris dans l’état initial caractérisé par : une température T1 et une pression P1.
Supposons que ce fluide subit une évolution adiabatique irréversible (par ex. dans une turbine ou un
compresseur) le conduisant à un état final caractérisé par les paramètres T2 et P2.
On construit alors une évolution réversible du fluide entre les états (T1, P1) et (T2, P2),
caractérisée par une loi du type PVn = Cste, appelée loi polytropique, de coefficient polytropique n.
On peut ainsi définir un rendement de la transformation réelle par rapport à cette transformation réversible de référence, appelé rendement polytropique n.
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Exemple: étude d’une compression adiabatique irréversible de (P 1, T1) à (P2, T2).
réel
Le travail massique indiqué réel de compression s’écrit : Wind = h2 - h1 = cp.(T2 - T1).
P2
poly
ind
Le travail massique indiqué sur la transformation polytropique s’écrit : W
  v.dP , ce qui donne :
P1
R
n.r
(T2  T1 ) , où r est la constante massique du gaz parfait ( r 
).
M
n 1
W poly
n  1
Le rendement polytropique de cette compression s’écrit : n  indréel , soit n 
.

n 1 
Wind
Windpoly 
Complément : Diagrammes (P, v) et (T, s) de quelques cycles courants.
En préparation !
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