Espaces vectoriels de dimension finie

UE4 algèbre linéaire
Université de Nice
Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 1.
Pourquoi un sev d'un ev de dimension nie est-il de dimension nie ?
Exercice 2.
Soient
a)
F ⊂E
Vrai ou faux ?
k -ev.
des
B est une base de E , on peut extraire de B une base de F .
b) Si F est une famille génératrice de E , on peut extraire de F une famille génératrice de F .
c) Une famille libre de vecteurs de F est aussi libre comme famille de vecteurs de E .
d) Une famille libre de Qn est libre comme famille de Rn .
e) Une famille de Rn qui n'admet pas de Q-combinaison linéaire non triviale est R-libre.
Si
Exercice 3.
Donner la dimension et une base du sev de
R4
formé des éléments
(x, y, z, t)
tels que


x + 3y + 4z = 0
2x + 2y + z = 0


4y + 7z = 0
Exercice 4.
Donner un exemple de famille de sev
tels que pour tous
i 6= j
on ait
Ei
qui ne sont pas en somme directe mais
Ei ∩ Ej = 0.
Exercice 5.
pour tout
Soit (Pi )i∈N une famille de polynôme à degrés échelonnés, c'est-à-dire telle que
i deg Pi = i. Montrer que la famille {Pi } est une base de k[X].
Exercice 6.
a1 , . . . , a n
[Gourdon, III.2 p.110] Soient
des réels deux à deux distincts. Quel
est la dimension du sev de l'espace des fonctions réelles engendré par les fonctions
Exercice 7.
a)
Etant
x 7→ |x − ai | ?
Décrire des algorithmes pour :
donnée
une
famille
de
vecteurs
x1 , . . . , x p ∈ k n ,
en
extraire
une
base
de
Vect {x1 , . . . , xp }.
b)
Compléter une famille libre de vecteurs de
Exercice 8.
Soient
E1
et
E2
kn
en une base.
deux sev de dimension nie d'une ev
E
(quelconque). Montrer
la formule de Grassmann :
dim (E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2 − dim (E1 ∩ E2 ).
Exercice 9.
de
E.
[Gourdon, III.3 p.111] Soient
Exercice 10.
Soit
intègre. Montrer que
Exercice 11.
que
E
E
un
k -espace
un
F
k ev de dimension nie et F et G deux sev
G ont-ils un supplémentaire commun ?
et
vectoriel de dimension nie qui est aussi une algèbre
est un corps.
E un espace vectoriel de dimension n et F, G, H
dim F + dim G + dim H > 2n + 1. Montrer que F ∩ G ∩ H 6= {0}.
[Indication:
Soient
a)
Soit
des sous-espaces tels
Utiliser la formule de Grassmann.]
Exercice 12.
E
A quelle condition nécessaire et susante
a1 , . . . , a k
Décomposition en éléments simples
des complexes deux à deux distincts.
Montrer que la famille
1
1
1
1
1
1
1
,
,...,
,
,...,
,...,
,...,
2
n
n
X − a1 (X − a1 )
(X − a1 ) X − a2
(X − a2 )
X − ak
(X − ak )n
de
C(X)
est libre.
1/3
b)
En déduire le théorème de décomposition en éléments simples dans
Exercice 13.
C(X).
Fonctions splines
x0 = −∞, xn+1 = +∞ et x1 < · · · < xn des réels. Quelle est la dimension de l'espace des
1
fonctions C sur R dont la restriction à chaque intervalle ]xi ; xi+1 [ est un polynôme de degré
Soient
au plus 2 ?
Exercice 14.
Soit
S
Suites linéaires récurrentes
l'espace vectoriel des suites complexes. On xe
k > 1
un entier et
αk−1 , . . . , α0
des
complexes et soit alors
L := {u ∈ S, ∀n ∈ N, un+k = αk−1 un+k−1 + · · · + α0 un }.
a)
Montrer que
b)
On note
Soient
est un ev de dimension nie.
P le polynôme X k −αk−1 X k−1 −· · ·−α0 . A quelle condition une suite géométrique
θ ∈ C est-elle dans L ?
de raison
c)
L
n > 0
un entier et
θ1 , . . . , θn
des complexes deux à deux distincts. Montrer que
l'ensemble des suites géométriques de raison
θ1 , . . . , θ n
S.
forme une famille libre de
d)
Lorsque
e)
Ecrire un exercice analogue pour les solutions d'équations diérentielles linéaires (à coef-
P
est scindé à racines simples, en déduire une base explicite de
L.
cients constants) et le résoudre. Quel est le lien entre ces deux exercices ?
Exercice 15.
a)
[Gourdon, II.10 p.94] Soient
Montrer que si
E
k
et qu'on a
E est de dimension nie sur k alors il est
E 6= {0} alors k 0 est de dimension nie sur k .
En déduire qu'il n'existe pas de corps intermédiaire entre
d)
Montrer que si
n
que |k| = p .
k
est un corps ni de caractéristique
Montrer de plus que si
qu'il existe des entiers
Exercice 16.
k ⊂ k 0 sont deux
n et m avec n
Nombres algébriques
(
Montrer que
x,
Pour tout réel
et
x.
√ √
2, 3
Montrer que
c)
Soit
x
nie sur
k
R
et
k 0 ev.
alors
k0
√
et
2+
√
3
E
et que
C.
p alors il existe un entier positif n tel
corps nis, alors ils ont même caractéristique
m tels que |k| = pn et |k 0 | = pm .
[Gourdon, problème II.6 p.89]
algébrique
.
polynôme non nul
un complexe)
x
P
à
p
et
coe-
qui n'est pas
sont des nombres algébriques.
Q[x] := {R(x), R ∈ Q[X]}
un Qespace vectoriel.
on note
C'est en particulier
b)
un
de dimension nie sur
x est dit
s'il existe un
P ∈ Q[X]) tel que P (x) = 0. Un réel (ou
cients rationnels i.e.
transcendant
algébrique est dit
E
divisant
Un nombre réel (ou complexe)
a)
k 0 et si k 0 est de dimension
dimk E = dimk k 0 × dimk0 E .
Montrer que si
si de plus
c)
deux corps commutatifs et
est de dimension nie sur
est de dimension nie sur
b)
k ⊂ k0
est algébrique si et seulement si
x un nombre algébrique et soit P
P est irréductible.
le sous-anneau de
Q[x]
R
engendré par
Q
est de dimension nie.
un polynôme non nul annulant
x de degré minimal.
Montrer que
d)
Montrer que x est algébrique si et seulement si Q[x] est un corps.
√
√
1
Exprimer √ √ comme un polynôme en
2
+
3.
2+ 3
e)
x et y deux nombres
Qespace vectoriel de
Soient
est un
algébriques. Montrer que
Q[x, y] := {R(x, y), R ∈ Q[X, Y ]}
dimension nie et en déduire que l'ensemble des nombres
algébriques forme un corps.
f)
P 6= 0 tel que P (x) = 0 et un polynôme Q 6= 0
polynôme R 6= 0 tel que R(x + y) = 0 ?
En pratique, étant donné un polynôme
que
Q(y) = 0,
comment trouver un
2/3
tel
g)
Montrer que
Q := {z ∈ C, z
est algébrique} est une clôture algébrique de
3/3
Q.