Document - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2016-2017
◦
Enoncé du DS commun de physique n 1 - Electricité
Document
Cédric Ray et Jean-Claude Poizat
La physique par les objets quotidiens
c
Belin - Pour la Science.
Document sur la montre à quartz (extrait)
Fascinés par l'ordre et la symétrie, les frères Pierre (1859-1906) et Jacques Curie (1856-1941) se passionnent
pour la cristallographie . En 1880, ils montrent qu'un cristal de quartz soumis à une pression mécanique présente
une diérence de potentiel électrique (autrement dit une tension) entre ses faces : ils viennent de découvrir l'eet
piézoélectrique. Le phénomène inverse existe d'ailleurs : si on applique une tension électrique sur les faces d'un
tel cristal, ce dernier va se déformer (c'est l'eet piézoélectrique inverse).
Avant de voir comment exploiter les propriétés d'un cristal piézoélectrique pour mesurer le temps, revenons
sur cette dernière notion. Toutes ces mesures reposent sur la même idée : il s'agit de repérer un phénomène
périodique, c'est-à-dire qui se répète à l'identique d'une façon qu'on estime régulière : la rotation de la Terre
autour de l'axe polaire, ou le mouvement d'un balancier par exemple. Lorsque ce phénomène périodique se
produit, on choisit un événement précis, le coucher du soleil ou l'instant où le balancier redescend vers la
gauche. La durée qui sépare deux événements successifs s'appelle la période : c'est l'unité élémentaire de mesure
du temps.
Il sut alors de compter combien de fois l'événement se produit pour en déduire une mesure du temps qui
s'est écoulé. Ainsi, l'unité légale du temps (la seconde) est dénie par la durée d'un phénomène périodique
répété un certain nombre de fois. Pour être précis, il s'agit de la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation
correspondant à la transition entre les deux niveaux dits hyperns de l'état fondamental de l'atome de césium
133 au repos !
Pour mesurer le temps, il est donc nécessaire de disposer d'un système qui reproduit un phénomène de
manière périodique avec une grande précision si possible. Nous appellerons un tel système un oscillateur : il est
la base de tout système de mesure du temps.
Coucou en quartz
Dans une montre à quartz, l'oscillateur est un cristal de quartz en vibration. En eet, l'excitation d'un
cristal de quartz par l'application très brève d'une diérence de potentiel provoque une vibration du cristal (par
eet piézoélectrique inverse) pendant une certaine durée, la vibration s'atténuant ensuite progressivement. Pour
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comprendre ce phénomène, songez à un diapason qui après avoir été heurté sur un coin de table, vibre pendant
une durée signicative à la fréquence de 440 Hz (le la actuel de la gamme musicale). Dans le quartz toutefois,
la vibration engendre à son tour, par eet piézoélectrique, une oscillation de la tension entre les faces du cristal.
Ces oscillations électriques sont ampliées au moyen d'un circuit intégré, puis réappliquées sur le quartz an
d'entretenir l'oscillation mécanique régulière du cristal à sa fréquence naturelle, appelée fréquence propre.
L'excitation d'un oscillateur à une fréquence égale à celle de la fréquence propre de l'oscillateur est un
phénomène physique important dont vous avez certainement entendu parler : la résonance. Dans la plupart des
montres à quartz, le cristal est taillé de manière à ce que la fréquence propre d'oscillation soit de l'ordre de 32
kHz, ce qui signie qu'il se produit 32 000 oscillations par seconde. Cette fréquence varie avec la forme et les
dimensions du cristal, donc en fonction des angles de coupe. Le quartz s'est imposé plutôt que d'autres cristaux
car sa fréquence propre est dénie avec une très grande précision.
Enn, les oscillations électriques aux bornes du cristal sont aussi envoyées dans la partie diviseur du circuit
intégré, qui assure la commande de l'achage (i.e. des aiguilles ou de l'écran à cristaux liquides). La gure 8
résume les diérentes étapes de la mesure.
Seuls quatre éléments sont indispensables au bon fonctionnement d'une montre à quartz : voyons lesquels.
Le cristal de quartz
Le cristal de quartz est généralement taillé en
forme de diapason ou en lamelle, selon une orientation cristalline bien précise. En eet, l'angle de
coupe dans le cristal permet d'ajuster la fréquence
de vibration du quartz. Le cristal (gure 10) est
recouvert d'une ne couche de métal (de l'or par
exemple) an de pouvoir appliquer et mesurer les
diérences de potentiel entre les faces. L'ensemble,
protégé par une enveloppe en aluminium, est relié
au circuit intégré.
La pile
La pile est la source d'énergie de la montre,
pour le circuit intégré qui déclenche et entretient
la vibration du quartz, et pour l'achage qui
consomme la majeure partie de l'énergie fournie.
Ces piles sont le plus souvent de petites piles bouton qui donnent à la montre une autonomie de
plusieurs années. Elles fournissent de l'électricité
grâce à des réactions chimiques, dites d'oxydoréduction, qui libèrent des électrons d'un côté de la
pile et en captent de l'autre.
Le circuit intégré
Le circuit intégré compte les oscillations électriques en provenance du quartz. Il divise ce
nombre de signaux pour renvoyer une fréquence
adaptée au système d'achage (par exemple 1
Hz pour le mouvement de l'aiguille des secondes).
C'est aussi lui qui assure l'entretien des oscillations
du cristal en simpliant la tension présente sur les faces de ce dernier et en la réappliquant aux bornes du cristal.
Un processeur eectue dans ce but la plupart des opérations complexes : il se trouve en général au centre du
circuit intégré.
L'achage
Il y a deux types d'acheur : l'écran à cristaux liquides ou le système d'aiguilles. Dans le premier, le circuit
intégré contrôle la tension nécessaire à l'achage des chires. On a souvent tendance à considérer que l'achage
à cristaux liquides signale une montre à quartz, tandis que celui à aiguilles serait réservé aux montres à ressort.
Si l'achage numérique a longtemps symbolisé la montre à quartz (la révolution des cristaux liquides et la
mise au point des premières montres à quartz ayant eu lieu quasi au même moment), aujourd'hui pratiquement
toutes les montres du commerce sont des montres à quartz.
Dans un système d'aiguilles, l'impulsion électrique délivrée par le circuit intégré est convertie en un mouvement mécanique qui fait tourner l'aiguille des secondes. Un ensemble complexe de roues dentées et autres
engrenages, hérité de l'horlogerie traditionnelle, entraîne ensuite le mouvement de l'aiguille des minutes et
de celle des heures. Cette conversion de l'électricité en mouvement est dévolue à un micromoteur pas à pas
contenant une petite bobine, visible si l'on ouvre la montre (gure 11).
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Données sur l'amplicateur opérationnel
On admettra que i− = i+ = 0. Trois régimes de fonctionnement de l'amplicateur opérationnel sont possibles :
- soit le fonctionnement est linéaire, ce qui implique
V+ = V−
i+
et suppose −Vsat < Vs < Vsat ,
- soit l'amplicateur opérationnel est en saturation positive, ce qui implique
i−
V+
Vs = Vsat
V−
+
∞
−
Vs
et suppose V+ > V− ,
- soit il est en saturation négative, ce qui implique
Vs = −Vsat
et suppose V+ < V− .
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énoncé
I- Principe de l'oscillateur électrique
I.A - Analogie entre oscillateurs mécanique et électrique
Oscillateur mécanique
On s'intéresse à un système masse-ressort qui coulisse sans frottements solides sur une tige horizontale. La
position de la masse (m) supposée ponctuelle est repérée sur l'axe de la tige par l'abscisse x comptée à partir
de la position d'équilibre du système.
1)
Figure 1 Oscillateur mécanique
La masse est soumise à :
• son poids m ~g ;
~ de la tige ;
• la réaction (verticale) N
• la force de rappel du ressort (de constante de raideur k ) : −k x ~ux ;
• la force exercée par l'opérateur fx ~ux ;
• la force de frottement uide exercée par l'air −λ ẋ ~ux , où λ > 0.
1.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l'équation diérentielle suivie
par x.
1.b) Déterminer les expressions de l'énergie cinétique Ec de la masse, de l'énergie potentielle Ep dont
dérive la force exercée par le ressort et de la puissance des actions non conservatives Pnc dues à l'air.
1.c) Montrer que, en appliquant un théorème énergétique, on peut retrouver l'équation diérentielle
suivie par x.
2) Oscillateur électrique
On réalise un circuit RLC composé d'un résistor de résistance R, d'une bobine d'inductance L et d'un
condensateur de capacité C . On note q la charge portée par une des armatures du condensateur (cf. gure 2)
et i l'intensité qui parcourt le circuit.
q
C
i
L
R us
ue
Figure 2 Oscillateur RLC
Montrer que la charge q suit l'équation diérentielle d'un oscillateur : q̈ + ωQ0 q̇ + ω02 .q = f (t).
Déterminer en particulier les expressions de la pulsation propre ω0 et du facteur de qualité Q en fonction de R,
L et C .
2.b) Rappeler les expressions de l'énergie du condensateur, de celle de la bobine et de la puissance
dissipée par le résistor.
2.a)
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Analogie
Déduire de ce qui précède une analogie entre les grandeurs mécaniques et les grandeurs électriques.
On remplira le tableau suivant :
3)
3.a)
mécanique
électricité
Ec
Ep
Pnc
x
ẋ
m
λ
k
3.b) Si le système masse-ressort est un bon modèle mécanique d'un cristal, qu'est-ce qui, dans le
document introductif permet, pour un cristal de quartz piézoélectrique, de conclure que le circuit RLC est alors
un bon modèle électrique ?
I.B - Réalisation d'oscillations non amorties
Relaxation pseudo périodique du quartz
On suppose que le quartz modélisé par le dipôle de la gure 2 est branché aux bornes d'un interrupteur
qu'on ferme à t = 0, de sorte que ue = 0 si t > 0, le condensateur étant initialement chargé : q(t = 0− ) = q0 et
i(t = 0− ) = 0.
4.a) Etablir une condition sur Q pour que des oscillations existent, bien qu'elles soient amorties.
4.b) Déterminer la forme de la relaxation q (t) dans le cas d'oscillations amorties. On exprimera uniquement la pulsation Ω de ces oscillations et le temps caractéristique d'amortissement τ en fonction de ω0 et
Q.
4.c) Tracer l'allure de q (t).
5) Oscillations innies du quartz
5.a) Déterminer la condition électrique pour que les oscillations perdurent sans être amorties.
5.b) Montrer que le montage de la gure 3) permet de réaliser une "résistance négative" −R0 . On
suppose que l'amplicateur opérationnel fonctionne en régime linéaire.
4)
Figure 3 Réalisation d'une résistance négative
ment.
5.c)
Proposer une utilisation de la précédente "résistance négative" pour que le quartz oscille indéni-
I.C - Précision de l'oscillateur
Etude de la résonance en intensité du quartz
Pour étudier la fréquence propre du quartz, on suppose que celui-ci est maintenant excité sinusoïdalement :
on le branche à un générateur basse fréquence de pulsation ω = 2π f , de telle sorte que dans le schéma de la
gure 2, ue = U cos (ω t).
ũs
en fonction de Q, ω0 et ω .
6.a) Déterminer la fonction de transfert H̃ = ũ
e
6.b) Tracer l'allure de l'évolution du gain G = |H̃| avec ω . Où se trouve la résonance dont parle le
document ?
)
√ 0 et ∆ω = |ω1 − ω2 | la bande
On appelle ω1 et ω2 les deux pulsations telles que G (ω1 ) = G (ω2 ) = G(ω
2
passante.
6.c) Montrer que ∆ω = ωQ0 . En déduire un condition pour que la précision de la fréquence de résonance
soit la plus grande possible.
6)
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II- Réalisation pratique d'un oscillateur à quartz
II.A - Caractéristique électrique d'un diapason à quartz
En fait, on ne dispose pas de cristal de quartz seul mais plutôt d'un diapason dans lequel un cristal de quartz
est encapsulé. De ce fait, il est nécessaire d'adapter le raisonnement de la première partie.
7) Modélisation d'un dipôle linéaire
Le diapazon à quartz est un dipôle linéaire (appelé par la suite D). On s'intéresse au régime sinusoïdal forcé
de pulsation ω . ũ et ĩ sont les complexes associés respectivement à la tension aux bornes de D et à l'intensité qui
le parcourt (dans les conventions récepteur, cf. gure 4). Z̃ est l'impédance complexe de D et Ỹ son admittance
complexe.
7.a) Perd-on en généralité en s'intéressant au régime sinusoïdal forcé de pulsation ω ? Pourquoi peut-on
utiliser les complexes associés aux grandeurs physiques réelles ?
7.b) Rappeler la relation qui lie ũ, ĩ et Z̃ ainsi que celle qui lie ũ, ĩ et Ỹ .
8) Pertinence physique de la modélisation
On propose de modéliser par la suite le dipôle D suivant le schéma électrique de la gure 4.
8.a) En s'appuyant sur le document introductif, justier une telle modélisation.
Figure 4 Modélisation du dipôle "D"
Le module Y de l'admittance Ỹ du dipôle "D" en fonction de la fréquence est représenté sur la gure 5
(l'échelle est logarithmique). Les points expérimentaux ont été obtenus par V.G., élève de PC en 2015-2016
au lycée Janson de Sailly dans le cadre de son TIPE. Le trait continu est la courbe relative à la modélisation
proposée.
Figure 5 Evolution du module de l'admittance du dipôle D avec la fréquence.
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Discuter de la pertinence de la modélisation proposée au vu de la gure 5.
Etude mathématique de la modélisation
2
02
0
On pose la fonction Q(ω) = ωω2−ω
.
−ω02
0
9.a) Montrer que Ỹ (ω) = j C ω Q(ω), avec ω0 = √ 1 , la pulsation propre du quartz seul. Que vaut ω00
LC
en fonction de ω0 , C et C 0 ?
En fait C 0 C .
C
.ω0 .
9.b) Montrer que ω00 ≈ 1 + 2.C
0
9.c) Tracer l'allure de Q(ω).
9.d) Peut-on repérer facilement sur la gure 5 la position correspondant à ω ≈ ω0 ≈ ω00 ?
8.b)
9)
II.B - Oscillateur à quartz
Quadripôle F
On réalise le quadripôle F dans lequel est inclus le dipôle D (cf. gure 6). Soit H̃(ω) =
transfert complexe de F .
10)
ũB
ũA ,
la fonction de
quadripôle F
dipôle
D
R
C2
C1
uA
uB
Figure 6 Quadripôle "F "
1
Exprimer l'inverse de la fonction de transfert de F , H̃(ω)
, en fonction de ω , R, C1 , C2 et Z̃ ,
l'impédance de "D".
A(ω) et B(ω) sont les parties réelle et imaginaire de l'inverse de la fonction de transfert de F :
10.a)
1
= A(ω) + j.B(ω)
H̃(ω)
C2
.
10.b) Montrer que B(ω) = R ω C1 + C2 + CC0 1Q(ω)
11) Montage amplicateur inverseur
11.a) Montrer, en supposant que l'amplicateur opérationnel fonctionne en mode linéaire, que le montage
amplicateur inverseur de la gure 7 délivre une tension proportionnelle à la tension d'entrée, et de signe opposé :
uA = −γ uB .
11.b) Montrer que le rapport γ est positif et peut être plus grand ou plus petit que 1.
12) Oscillateur
On crée une rétroaction du quadripôle F sur lui même grâce à l'amplicateur inverseur. Ainsi l'entrée de F
(uA ) est la sortie de l'amplicateur et réciproquement : la sortie de F (uB ) est l'entrée de l'amplicateur.
12.a) Pourquoi faut-il que la fonction de transfert H̃ de F soit réelle pour qu'il y ait apparition d'un
signal ? Quel est alors le signal obtenu ?
1 C2
12.b) En déduire que la condition d'oscillation est Q(ω) = − (C1C+C
0.
2) C
12.c) Dans quel domaine de fréquence l'oscillation a-t-elle lieu ? En déduire que la pulsation de l'oscillateur est bien xée.
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R2
R1
−
uB
∞
uA
+
Figure 7 Amplicateur inverseur
II.C - Obtention d'une horloge qui bat la seconde
13) Comparateur
Pour mettre en forme le signal uB (t) délivré par l'oscillateur, on dispose d'un comparateur (cf. gure 8).
L'amplicateur opérationnel est alors en régime saturé.
+
uB
∞
−
u0
Figure 8 Comparateur
13.a) Sur un même chronogramme, tracer les allures de uB (t) et u0 (t).
13.b) Qualier les signaux uB (t) et u0 (t).
14) Diviseur de fréquence
14.a) Déterminer grâce au document donné en introduction la fréquence
de uB (t) et u0 (t).
On dispose de diviseurs de fréquence (cf. gure 9) : si la fréquence de un (t) est f , alors la fréquence de
un+1 (t) est f2 .
f
2
un
un+1
Figure 9 Diviseur de fréquence
14.b) Combien de diviseurs de fréquence comme ceux de la gure 9 faut-il mettre en cascade pour
obtenir un signal uN (t) de fréquence 1 Hz ?
15) Conclusion : faire un schéma de l'oscillateur à quartz avec des blocs "amplicateur", "quadripôle F ",
"comparateur", "diviseur de fréquence". On reliera ces blocs entre eux comme il convient.
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