Journal des Sciences LES BORNES DES ZEROS D'UN POLYNOME EN UTILISANT LA METHODE DE GRAEFFE SUR LES MATRICES. 1 Ismaïla DIOUF, 2Ousmane MOUSSA TESSA, 1Babacar DIAKHATE Département Math-info FST-Université Cheikh Anta Diop-DAKAR-SENEGAL 2 Département de Mathématiques-Université Abdou Moumouni-NIAMEY – NIGER 1 * CORRESPONDANCE, E-MAIL:[email protected] Résumé : Dans ce papier, nous allons utiliser la méthode de Dandelin Graeffe et le théorème de Gerschgorin pour améliorer la valeur du module de la plus grande racine d'un polynôme à coefficients complexes. Même pour certains polynômes jugés « difficiles », la convergence obtenue en approximant ses racines est relativement rapide. MSC (2000): 12D10, 34L15, 34L16, 26C05, 26C10. Mots-clés : Zéros des polynomes, méthode de Dandelin-Graeffe, Théorème de Gerschgorin, Matrice compagnon (de Frobenius), valeurs propres. THEOREME DE GERSCHGORIN ET LA METHODE DE DANDELIN-GRAEFFE Il est bien connu que les zéros du polynôme complexe de degré sont les valeurs propres de sa matrice compagnon soit donc Il est commode et facile de déterminer des bornes concernant les modules des zéros d'un polynôme en se référant au résultat bien connu suivant (Voir dans Mignotte ([7]) ou dans Parodi ([9])): Ismaïla DIOUF et al /J. Sci. Vol. 13, N° 1 (Octobre 2013) 46-49 Page 46 Lemme 1 (Théorème de Gerschgorin). Soit A (aij) une matrice carrée d’ordre n et notons par CSj la somme des coefficients de la matrice A qui sont sur la je colonne exceptés sur la diagonale. Les valeurs propres de A sont sur la réunion des disques définie par : Il est clair qu’on a les mêmes résultats si l’on considère les lignes et non pas les colonnes de A. Pour notre propos, nous allons utiliser En analyse numérique, la méthode de Dandelin-Graeffe est utilisée pour le calcul du module de la plus grande racine d’un polynôme à coefficients complexes. Rappelons cette méthode : soit P un polynôme défini par : où les sont les racines de P. Définissons la suite de polynômes (Pm) associée à P telle que Notons P0 P et, si le polynôme Pm s’écrit sous la forme Alors le polynôme Pm 1 peut s’écrire comme suit : Définition 1. Soit CGm(P) la me puissance de C(P) avec m sous la forme . Nous appellerons matrice de graffe d’ordre m la matrice Proposition 1. Les valeurs propres de CGm(P) sont les puissances me des racines de P. Plus précisément, le polynôme caractéristique de CGm(P) est exactement la transformée de Graeffe d’ordre m de P notée Gm(P). Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients complexes. Il est clair que les racines de P sont les valeurs propres de C(P). Ainsi, les valeurs propres de sont celles de C(P) élevées à la puissance m. Or Gm(P) admet pour racines celles de P élevées à la puissance m ([3]). Il s’ensuit que les valeurs propres de CGm(P) sont les racines de Gm(P) d’où le résultat. Ismaïla DIOUF et al /J. Sci. Vol. 13, N° 1 (Octobre 2013) 46-49 Page 47 Remarque 1. Dans le théorème ci-dessus, m est sous la forme Cela est dû au fait que dans la méthode de Graeffe classique, à chaque étape, les racines obtenues sont les carrés des précédentes. Néanmoins, ce résultat peut être généralisé au cas m quelconque. En effet, grâce aux matrices, passer d’une étape dans ce cas à la suivante requiert la multiplication de par C(P) et . Remarque 2. Comme dans la méthode de Graeffe, le module de la plus grande racine z1 de P est approximativement la racine me de , (voir thèse de I.DIOUF ([2])). Dans le cas des matrices, l’approximation peut être faite en considérant la trace de . Autrement dit, on a l’approximation suivante : Exemple 1. Soit . On a A l’aide d’un logiciel de calcul (exple sage), on calcule facilement . On a donc sa trace est : 1853024483819138. Ainsi : Ce qui correspond au résultat escompté (la plus grande racine de P est 3). Ismaïla DIOUF et al /J. Sci. Vol. 13, N° 1 (Octobre 2013) 46-49 Page 48 Références: [1] E. Deutsch, Bounds for the zeros of polynomials, Amer. Math. Mon. 88 :205-206 (1981). [2] I. Diouf, Méthode de Dandelin-Graeffe et Méthode de Baker. Thèses de doctorat,(2007), Université Louis Pasteur. [3] Méthode de Dandelin-Graeffe revisitée [4] H. Linden, Bounds for the Zeros of Polynomials from Eigenvalues and Singular Values of Some Companion Matrices, Linear Algebra and its applications 271 :41-82 (1998). [5] M. Marcus, H. Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, Inc., New-York, 2nd ed., 1992. [6] M. Marden, The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable, American Mathematical Society, New York, 1949. [7] M. Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer Verlag, New York, 1992. [8] M. Mignotte, D. Stefanescu, Polynomials - An Algorithmic Approach, Springer Verlag, New York, 1999. [9] M. Parodi, La Localisation des valeurs caractéristiques des Matrices et ses Applications, Gauthier-Villars, Paris, 1959. Ismaïla DIOUF et al /J. Sci. Vol. 13, N° 1 (Octobre 2013) 46-49 Page 49