E115. Un impair, deux pairs, trois impairs. . .

E115. Un impair, deux pairs, trois impairs. . .
Vincent PANTALONI
28 novembre 2009
Enoncé : On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le
premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4
puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui
suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc..
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Solution : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Observations et conjectures.
Écrivons les premiers termes de la suite :
2 pairs
4 pairs
6 pairs
z }| {
}|
{
}|
{
z
z
1 ; 2; 4 ; 5; 7; 9 ; 10; 12; 14; 16 ; 17; 19; 21; 23; 25 ; 26; 28; 30; 32; 34; 36 ; . . .
| {z }
|
{z
}
3 impairs
5 impairs
Notons pour k entier non nul Tk le ke nombre triangulaire i.e.
Tk = 1 + 2 + · · · + k =
k(k + 1)
2
Notons (un )n∈N∗ la suite étudiée. u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 4. . .Par construction de la suite (un impair,
deux pairs, trois impairs. . . ) il est clair que chaque terme en fin de groupe (terme encadré) est un
terme d’indice T (k) pour un certain k dans N∗ . De plus, par construction aussi, comme le terme
suivant le dernier entier n d’un groupe est le plus petit entier de parité différente de n qui lui est
supérieur, on a donc que le terme suivant n est n + 1. Autrement dit :
Propriété 1 Pour tout k dans N∗ , uT (k)+1 = uT (k) + 1
Par observation des carrés (encadrés) ci-dessus on fait la conjecture suivante :
Propriété 2 Pour tout k dans N∗ , uT (k) = k2
On prouvera cette propriété plus loin ; en l’admettant, comment déterminer un pour n ∈ N∗ ?
2
Calcul de un .
① On cherche d’abord l’entier k tel que : T (k) 6 n < T (k + 1)
② Si n = T (k) alors un = k2 (utilisant la prop. 2) et sinon :
③ un = uT (k) + 1 + 2 × (n − T (k) − 1). Car un est le (n − T (k)) ième terme d’une progression
arithmétique commençant à uT (k) + 1 et de raison 2. Ainsi (utilisant la prop. 2) :
un = k2 + 1 + 2 × (n − T (k) − 1)
1
E115
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On peut expliciter k en fonction de n, en effet, on montrera que :
Propriété 3 Pour tout n dans N∗ , l’entier k tel que : T (k) 6 n < T (k + 1) est :
√
−1 + 1 + 8n
k=E
2
où E(x) est la partie entière du réel x, i.e. le plus grand entier inférieur ou égal à x.
En admettant ce résultat, cela donne pour u2009 :
√
−1 + 1 + 8 × 2009
= E(62, 88) = 62
k=E
2
On peut vérifier que T62 = 1953 et T63 = 2016. On a donc bien T (62) 6 2009 < T (63). Ainsi :
u2009 = 622 + 1 + 2 × (2009 − 1953 − 1) = 3845 + 2 × 55 = 3955
3
Preuves.
Prouvons les propriétés 2 et 3. La propriété 2 se prouve par récurrence :
Démonstration. Initialisation : T (1) = 1 et u1 = 1 = 12 donc on a bien uT (1) = 12 .
Hérédité : Supposons que pour un certain k dans N∗ on ait uT (k) = k2 . On sait que uT (k) est le
dernier terme du groupe de k nombres successifs de même parité. Les (k + 1) termes suivants de
la suite sont donc de la forme k2 + 1 + 2p pour p allant de 0 jusqu’à k :
k2 + 1; k2 + 3; . . . ; k2 + 1 + 2p; . . . k2 + 1 + 2k
Le dernier terme étant le dernier du groupe de k + 1 nombres successifs de même parité, i.e. on
a uT (k+1) = k2 + 1 + 2k = (k + 1)2 ce qui conclut l’hérédité. Ainsi par récurrence, on a bien que
pour tout k dans N∗ , uT (k) = k2 .
La propriété 3 découle d’une résolution d’inéquation du second degré :
Démonstration. Soit n dans N∗ . L’entier k tel que : T (k) 6 n < T (k + 1) est le plus grand entier
K tel que T (K) 6 n. On cherche donc le plus grand entier vérifiant l’inéquation de variable x :
x(x + 1)
6n
2
(1)
Cette inéquation est équivalente à x2 + x − 2n 6 0. Le trinôme x2 + x − 2n a pour tout entier n
deux racines réelles (car ∆ = 1 + 8n > 0) qui sont :
√
√
−1 + 1 + 8n
−1 − 1 + 8n
et x2 =
x1 =
2
2
Ainsi les réels
√ de (1)
sont les réels de [x1 ; x2 ]. Le plus grand entier solution de (1) est donc
solution
−1 + 1 + 8n
E(x2 ) = E
2
Ainsi on peut donner une magnifique formule pour un selon si n est un nombre triangulaire ou
pas (i.e. selon si 1 + 8n est un carré d’entier ou pas). J’ai utilisé la formule E(x) + 1 = E(x + 1)
valable pour tout réel x pour alléger un peu.
√
2
√
−1 + 1 + 8n
si 1 + 8n ∈ N, et sinon :
un =
2
√
√


1 + 1 + 8n
−1 + 1 + 8n
√
2
×
E
E


−1 + 1 + 8n
2
2

n−1−
un = E
+1+2×


2
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2
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