L`amas thématique des mathématiques

La première planète extrasolaire
Sujet proposé par Théo Héikay
« Il n’y a pas de choses simples, mais il y a une manière simple de voir les choses. »
INTRODUCTION
Y a-t-il de la vie ailleurs ? Dans ce système solaire, à part la Terre, cela semble peu
probable, et en tout cas inobservé. Et plus loin ? Il faudrait qu’il y ait des planètes
autour d’étoiles proches du Soleil, si possible, pour qu’on ait une chance de les
étudier un jour. Car observer un objet de cette nature, tout près d’un objet si brillant
qu’il le dissimule dans ses feux, et si loin cependant que cette planète en est encore
plus indiscernable, a tenu pour longtemps de la vraie gageure. Une voie indirecte a
alors été suivie : un compagnon peut, en orbitant autour d’une étoile, créer de très
légers effets cinématiques sur celles-ci se manifestant dans des décalages Doppler du
rayonnement stellaire pouvant être mis en évidence par une optique
spectrophotométrique de très grande précision.
1995 a vu cette entreprise couronnée pour la première fois de succès, initialisant
désormais une quête fructueuse puisqu’ en date du 16 juillet 2011, 564 exoplanètes
dites encore planètes extrasolaires ont été ainsi (indirectement) observées, presque
toutes de masse supérieure à celle de la Terre.
PRÉREQUIS
Les notions nécessaires, comme la magnitude, le corps noir, la vitesse d’évasion ou la
vitesse thermique sont apportées dans le problème.
ÉNONCÉ
À l’automne 1995, des astronomes suisses ont découvert des variations périodiques
dans les vitesses radiales de l’étoile m Pegasi, très comparable au Soleil, de
magnitude visible apparente 6,18 et située à 44,7 années-lumière de nous. Ces
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résultats ont été attribués à la présence, autour de l’étoile, d’une planète dont la
période orbitale serait de 4,23 jours, et dont la masse serait comparable à celle de
Jupiter.
I _ Rappels sur des définitions astronomiques
) _ L’année lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en un an.
Donner la valeur de al (c = 3.108 m.s– 1).
Le parsec (pc) est la distance d’une étoile d’où on verrait le rayon de l’orbite terrestre
(UA) sous un angle de 1’’.
Donner la valeur du parsec (UA = 1,496.1011 m). Donner la relation numérique entre pc et
al.
) _ La notion de magnitude remonte à l’antiquité, quand Hipparque établissait le
premier catalogue d’étoiles en inventant la notion de grandeur, nombre entier,
d’autant plus élevée que l’étoile est faible, l’étoile la plus brillante étant de grandeur
1.
De façon moderne, la magnitude apparente d’une étoile est liée à son éclairement
(flux de puissance observé) par la relation
m = – 2,5 log E + cste
Plus précisément, il faut spécifier le domaine de rayonnement observé, la constante
étant fixée selon une source établie.
Pour une observation dans le domaine visible,
mV = – 2,5 log E – 14,2
II _ Propriétés de m Pegasi
On appelle magnitude absolue m la magnitude apparente qu’aurait l’étoile si elle
était placée à une distance de 10 pc. L’intérêt de cette notion est qu’elle permet de
comparer les luminosités intrinsèques des étoiles puisqu’elles sont placées ainsi
artificiellement à la même distance.
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1° _ Calculer la magnitude absolue MV(©) du Soleil (L © = 3,86. 10 W).
2° _ Donner la relation entre magnitude apparente et magnitude absolue. On appelle m – M
le « module de distance ». Pourquoi ?
3° _ Calculer MV pour M. Le résultat est-il plausible pour une étoile semblable au Soleil ? On
appréciera le rapport des luminosités du Soleil et de M Pegasi.
III _ Propriétés de la planète extrasolaire
1° _ En utilisant la 3e loi de Kepler (a3/T2 = GM/42) calculer, en UA, la distance
approximative de la planète à son étoile.
La comparer avec celles du système solaire (M© = 2.1030 kg). Commenter.
2° _ On suppose que la planète se comporte comme un corps noir (elle émet par
unité de surface une puissance T4,  = 5,67.10– 8 SI) sphérique de rayon R. Son albédo
(rapport de la puissance réfléchie à la puissance incidente) est .
Si L est la luminosité de l’étoile, donner l’expression de T en fonction de , L et R, en partant
de l’équilibre énergétique de la planète.
Estimer la température de surface de la planète supposée semblable à Jupiter ( = 0,34).
3°_ Démontrer que la vitesse de libération v à la surface d’une planète de masse M et de
rayon R est
2GM
R
Démontrer que la masse moyenne d’agitation thermique d’une particule de masse m d’un
gaz de température T est
v1 =
3kT
m
Discuter l’existence possible d’une atmosphère à la surface de la planète.
(Masse de Jupiter M = 1,9.1027 kg, rayon de Jupiter R = 71 300 km, masse de
l’atome d’hydrogène m = 1,67.10– 27 kg).
vt =
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CORRECTION DE L’AUTEUR
I _ a) La durée de l’année (365,25 j de 86 400 s chacun) est 1 a = 3,16. 107 s d’où
al = cT = 3,16.107 = 9,48.1015 m
UA
soit
d
1,496.1011
d=
= 3,086.1016 m

18060
60
D’après la définition du persec 1’’ =
d’où pc = 3,26 al.
II _ a) La luminosité du Soleil L © donne, à une distance d, un éclairement
L©
EV =
4d²
(4d² est la surface de rayon d).
La magnitude absolue est calculée d’après l’éclat à d = 10pc d’où
L©
MV(©) = – 2,5 log
– 14,2
4(10pc)²
A.N. On trouve MV(©) ~ 4,5.
II _ ) Si pour une étoile donnée de luminosité L, E est l’éclat à la distance d, et E 10
l’éclat à la distance de 10 parsec, on a L = 4d²E = 4(10pc)²E10
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Soit
E
10
=  ²
E10
d
si d est mesurée en pc. Par ailleurs
m = – 2,5 log E + cste
M = – 2,5 log E10 + cste
d’où
m – M = – 2,5 log
E
10
= – 5 log
E10
d
d’où m – M = 5 log d – 5 module de distance.
m – m mérite son nom parce qu’il n’est fonction que de la distance, et
qu’inversement sa connaissance permet d’atteindre la distance.
) _ Pour M Pegasi, MV = mV + 5 – 5 log d soit
44,7
MV = 6,18 + 5 – 5 log
~ 5,5
3,26
Cette valeur est proche de celle du Soleil, ce qui confirme que M Pegasi est bien une
étoile de type solaire.
MV (©) – MV (Pegasi) = 4,5 – 5,5 = 1 = – 2,5 log
E10(©)
E10(Pegasi)
d’où
E10(©)
= 100,4 ~ 2,5
E10(Pegasi)
qui est le rapport des luminosités.
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III _ a) La masse de M Pegasi doit être comparable à celle du Soleil ce qui n’a pas
une grande incidence car
GMT² 1/3
a= 

 4² 
varie peu avec M. On sait, d’après la trajectoire de la Terre que
GM©(1 an)²1/3
UA = 

4²


d’où
a
 4,23 2/3
=
 ~ 0,05
UA 365,25
Cette planète, de nature géante, est extrêmement proche de l’étoile. Ce n’est pas sans
poser un problème sur la compréhension des systèmes planétaires car, dans le
mécanisme de formation adopté actuellement pour le système solaire, les planètes
géantes sont à grande distance du Soleil.
b)
La planète reçoit de l’étoile et par unité de surface perpendiculaire au
L
rayonnement une puissance
. La puissance absorbée est donc
4d²
R²
(1 – )L 
4d²
À l’équilibre énergétique
R²
(1 – )L 
= 4R²T4
4d²
d’où
(1 – ) L1/4
T = 

 16d² 
A.N. L ~ 0, 4 L © ~ 1,5.1026 W. m– 1 ; d ~ 0,05  1,496 ; 1011 = 7,5.109 m ;  = 0,34 .
D’où T ~ 1250 K qui est une température de surface très élevée pour une planète.
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c) L’énergie totale d’un corps de masse m, de vitesse v, situé à une distance r du
centre d’un objet attractif massif de masse M >> m, est
GmM
1
E = mv² –
r
2
On obtient v = v1 pour E = 0 (l’objet de masse m peut aller jusqu’à l’infini avec une
vitesse nulle) d’où pour la planète de masse m et de rayon R,
2GM
R
Pour un gaz en équilibre à la température T, le théorème de l’équipartition de
1
l’énergie donne kT par degré de liberté.
2
Pour l’énergie cinétique de translation, il y a 3 degrés de liberté d’où
1
1
mvt2 = 3  kT
2
2
v1 =
soit
3 kT
m
Pour la planète extrasolaire assimilée à Jupiter, R = 7,13.107 m, M = 1,9.1027 kg soit
vt =
v1 ~ 60 Km. S– 1
Pour un gaz d’hydrogène (m = 1,67. 10– 27 kg) à la température de 1 250 K,
vt ~ 5, 6 km. S– 1
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L’hydrogène qui est le gaz le plus léger et donc a de plus de facilité à s’échapper à
cependant une vitesse moyenne d’agitation thermique nettement inférieure à la
vitesse de libération de la planète extrasolaire. L’existence d’une atmosphère sur cette
planète est donc plausible.
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Orbites de Satellites
Sujet proposé par Théo Héikay
« J’aime les vieilles questions.
Ah ! Les vieilles questions, les vieilles réponses, il n’y a que ça ! »
Introduction
Les planètes du système solaire possèdent pour la plupart des satellites naturels.
L’homme a également inventé des satellites artificiels, d’abord autour de la Terre,
puis des planètes et l’intérêt scientifique, technologique, économique (pour ne pas
parler du militaire) de ces satellites est unanimement reconnu. Comme sont reconnus
aussi les problèmes qu’ils peuvent poser à l’environnement, voire de façon très
directe lorsque des morceaux menacent immédiatement la vie humaine.
Le présent problème examine quelques phénomènes généraux concernant les
satellites sur leur trajectoire, considérée comme circulaire pour simplifier.
Prérequis
Notions de mécanique appliquées à la gravitation. Résolution d’équations
différentielles.
Énoncé
I _ Modification de trajectoire
a) On considère un satellite de masse m en orbite elliptique autour de la Terre
(masse MT).
En appliquant la conservation du moment cinétique aux points M1 (apogée) et M2 (périgée),
montrer que l’énergie totale E du système (m, MT) dans un référentiel géocentrique est
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GMTm
a1 + a2
où a =
est le demi-grand axe de l’ellipse.
2a
2a
b) On considère que le satellite est initialement en orbite circulaire (cas particulier
d’ellipse,

a = a1 = a2). Un moteur agit sur le satellite de telle sorte que sa vitesse v devienne

instantanément  v ( > 0).
Donner, suivant la valeur de , la forme de la nouvelle trajectoire.
E=–
II _ Rendez-vous spatial
Deux satellites S0 et S1 sont sur une même orbite circulaire autour de la Terre, de
rayon a, qu’ils parcourent avec la même vitesse angulaire 0. S0 précède S1 d’une

distance ℓ0. Grâce à son moteur, à t = 0, S1 se donne une variation de vitesse  v0 (

réel << 1), où v0 est la vitesse initiale du satellite (v0 = 0a). On supposera qu’en toute
circonstance les orbites des satellites restent circulaires.
(a) Donner l’expression de la nouvelle vitesse angulaire 1 de S1 en fonction de 0 et .
(b) Écrire l’équation donnant l’ensemble des dates pour lesquelles les directions Terre-satellite
de S0 et S1, sont confondues, c’est-à-dire pour lesquelles S1 « rattrape » S0.
(c) Quelle peut être la valeur de  pour que S1 rattrape S0 au bout d’une période de S0 ?
(d) Le mot « rattrape » n’est pas tout à fait exact dans la mesure où il sous-entend que
les deux satellites sont exactement sur la même orbite, ce qui est la condition
nécessaire des rendez-vous spatiaux.
À partir d’une situation analogue à leur situation initiale, décrive qualitativement la suite de
manœuvre amenant S1 au rendez-vous avec S0.
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III _ Effet dynamique de l’atmosphère
On suppose que la haute atmosphère, supposée ténue, de masse volumique , a un
effet de freinage tel sur un satellite que sa variation d’énergie par unité de temps
dE
= – kv où k est une constante positive et v la vitesse
peut se mettre sous la forme
dt
du satellite.
On admettra que l’orbite du satellite, initialement de rayon a et de période T0, reste
circulaire au cours du temps, de période T(t), rayon r(t).
(a) Discuter qualitativement le comportement de la trajectoire au cours du temps en
décrivant notamment l’évolution de r, v, et T.
dT
(b) Trouver l’expression de en fonction de k, m, T et MT
dt

t
(c) Intégrer cette équation en supposant une loi de puissance pour T telle que T = T0   où
t0
t0 est le temps initial.
(d) Déterminer r(t).
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CORRECTION DE L’AUTEUR
I _ a)
La
conservation
Ea 2 – Ea
1
2
2
du
GMTm
1
En M1, E = mv12 –
a1
2
GMTm
1
En M2, E = mv22 –
a2
2
moment cinétique donne
v1a1
=
v2a2
d’où
= – GMTm(a1 – a )
2
soit finalement
GMTm
GMTm
= –
a1 + a2
2a


c) Le point M où le changement de vitesse se fait est tel que OM orthogonal à v :
c’est un sommet de la nouvelle trajectoire. Avant ce changement, l’orbite
circulaire est telle que
E= –

GMTm m v0
=
a2
a
soit
v0 =
GMTm
a
Après le changement de vitesse, l’énergie devient
GMTm 1 GMTm 2
1

E’ = m ² v0 –
=
( – 2)
a
2
2 a
1) si 0 <  <
I.
2 la trajectoire est elliptique (E’ < 0) avec trois cas
0 <  < 1. Il y a freinage. Le nouveau demi-grand axe est :
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a’ =
II.
a
< a
2 – ²
a = 1 pas de changement.
III.
0 < 2  < 2. Il y a accélération.
Le nouveau demi-grand axe est
a’’ > a
2) Si  =
2 la trajectoire est parabolique (E’ = 0).
3) Si  >
2 la trajectoire est hyperbolique (E’ < 0).
II __
a) Pour l’orbite initial circulaire l’énergie du système (S 1, Terre) dans le
référentiel géocentrique est
Gm1MT
1
E1 = m1v02 –
a
2
On a aussi d’après I b),
GmMT
1
mv02 = –
2a
2
On voit que, pour une orbite circulaire, si E est l’énergie totale et r le rayon, v la
vitesse, on a les relations
E1 = –
E . r = cste et
E
= cste
v²
Soit encore
dE
dr
=–
E
r
dE
dv
= 2
E
v
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Après la modification de vitesse, l’énergie (S1, Terre) devient
E’1 =
Gm1MT
1
m(v0 + v0)2 –
a
2
Soit dE1 = mv02 d’où
dE1
dr
dv
= – 2 et
= 2
= – 
E1
r
v
Comme  =
v d
dv
dr
d
,
=
–
d’où
= – 3. La nouvelle vitesse angulaire de S1

r 
v
r
est donc
1 = 0 (1 – 3)
b) L’angle entre la direction de S0 et S1, est alors
c)
ℓ0


(TS0 , TS1) = 0(1 – 3)t –
a

(ℓ0 petit devant a)

Les directions se confondent si (TS0 , TS1) = 2k, k entier relatif, d’où l’ensemble des
valeurs possibles de t, données par
ℓ0
+ 2k
a
Comme ℓ0 << a, le premier rattrapage se fait pour k = 0. Si l’on veut qu’il ait lieu pour
2
t = T0 =
, on a finalement
0
– 30t =
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ℓ0
2a
La valeur négative de  signifie, selon un paradoxe apparent, que le satellite S1 doit
freiner pour rattraper S0 devant lui.
=–
d) La série de manœuvres à accomplir pour un rendez-vous spatial est dictée par les
résultats précédents.
Les différentielles de II a) montrent que si un satellite accélère ( > 0), son rayon
augmente ainsi que sa période, sa vitesse et sa vitesse angulaire diminuent. C’est
l’inverse s’il freine ( < 0) ; son rayon diminue ainsi que sa période. Sa vitesse et sa
vitesse angulaire augmentent.
S’il faut que S1 rattrape S0 , il doit d’abord freiner, dépasser S0 sur une orbite
légèrement plus basse, puis accélérer pour remonter à une orbite supérieure afin que
S0 le rattrape, etc…
III ____ a) Le satellite voit son énergie totale diminuer en permanence parce que
dE = – kv dt < 0. D’après les résultats précédents, le satellite voit augmente sa
vitesse sur une orbite de plus en plus basse, avec une période de plus en plus courte.
Il va donc se désintégrer à terme.
b) D’après I.a)
d 3 dE
=

2 E
Or
T=
2
dT
d
soit
=–
.


T
D’où
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dT
3 dE
=–
.
T
2 E
Soit
1 dT 3
v
= k
T T
2
E
On trouve la relation entre T et E d’après les égalités de II. a) pour une orbite
circulaire
T = 2
r
GMTm
avec r = –
v
2E
v =
–2
E
m
Soit
T=
GMT
2
m3/2( – E) –
3/2
d’où
–
v
=
E
–1
- Em
d’où
 GMT2/3
E=
 m
 2T 
1 dT
3
1  GMT- 1/3
= – k 
T dt
2
m  2T 
soit finalement
dT
3k
= –
(2 GMT)-1/3T4/3
dt
m
c) On met cette équation sous la forme
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dT
= – A T4/3
dt
Après dérivation de T(t) = T0(t/t0)  , on identifie les termes en t ce qui donne  = – 3,
et les termes constants, ce qui donne
3
= T01/3  t0
A
d’où
 t  – 3  3 3
T(t) = T0   =   t – 3
t0
A
Soit encore
 m 3
T(t) =   2 GMTt – 3
k
d)
T = 2
GMT
d’après I. b)
r
r
et v =
v
d’où
T = 2
r3
GMT
Ou
T²
4²
=
r3
GMT
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qui est aussi la troisième loi de Kepler appliquée à une orbite circulaire de rayon r,
d’où
GMT1/3 2/3
r(t) = 
 T
 4² 
soit finalement
 m  2 GMT –2
r(t) =  
t
k (2)1/3
qui est une expression de type
 m 2 GMT
t -2
r(t) = a   avec at02 =  
.
k (2) 1/3
t0
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« Petits » corps du système solaire
Sujet proposé par Théo Héikay
« Les hommes d’habitude, voient les choses telles qu’elles sont et disent ’’pourquoi ?’’.
Je rêve de choses qui ne sont pas et je demande ’’pourquoi pas ?’’. »
INTRODUCTION
À côté des planètes, de dimensions plus faibles, et nettement plus nombreuses, on
trouve les astéroïdes et les comètes. Ces objets, même s’ils peuvent donner lieu à des
phénomènes spectaculaires comme la queue des comètes, sont en général
d’observation difficile en raison de leur petitesse. Pourtant il est tout à fait essentiel
de bien les connaître car ils sont le plus souvent les témoins des conditions originelles
ayant prévalu à la formation du système solaire. Corps solides, ils réfléchissent la
lumière visible du Soleil. Corps chauds, ils émettent un rayonnement thermique
infrarouge. C’est donc dans ces deux domaines des ondes électromagnétiques que se
font les observations, et le lancement de satellites a nettement amélioré notre
connaissance de l’infrarouge émis par les objets célestes.
Dans cette veine, le lancement de sondes, outre de très belles images d’objet aux
formes souvent torturées, a fourni une meilleure compréhension des petits objets du
système solaire et des conditions de formation de ce dernier.
PRÉREQUIS
Ils sont pour l’essentiel fournis par l’exercice qui, parfois, simplifie les théories
existantes sans en travestir les résultats, comme dans le cas de la théorie cinétique des
gaz et du recensement des chocs des molécules.
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ÉNONCÉ
L’étude du rayonnement des comètes et des astéroïdes permet de remonter à deux
caractéristiques essentielles : leur taille et leur albédo (rapport de l’énergie qu’ils
réfléchissent à l’énergie qu’ils reçoivent). Ce dernier est relié à leur constitution, et
l’ensemble permet d’appréhender leur masse. On dispose ainsi d’informations
précieuses sur la dynamique et la nature de ces objets, et à partir de là, sur le
comportement et l’évolution du système solaire.
I _ Détermination de la taille et de l’albédo
L’observation d’un petit corps peut se faire en lumière visible, cet objet réfléchissant
vers la Terre une partie de la lumière solaire reçue, ainsi qu’en infrarouge car le
rayonnement solaire absorbé en fait un émetteur thermique, assimilable à un corps
noir.
Soient EV et EIR les éclats (énergie reçue par unité de temps et unité de surface
réceptrice perpendiculaire à la direction d’observation) de l’objet en visible et en
infrarouge.
On considère le petit corps A à son opposition (la Terre se situe entre lui et le Soleil).
Sa distance à la Terre est alors ℓ et sa distance au Soleil d. Il est assimilé à un objet
sphérique de rayon r et d’albédo . La distance de la Terre au Soleil est l’unité
astronomique UA (d = 1 + UA). La luminosité du Soleil est L©.
a) Considérant qu’à l’opposition, l’objet A réfléchit vers la Terre quatre fois plus de
lumière visible qu’il ne le ferait pour une répartition isotrope dans tout l’espace,
exprimer EV (1).
b) Considérant que l’objet A se comporte comme un corps noir émettant thermiquement
de façon isotrope un rayonnement infrarouge dans tout l’espace, exprimer EIR (2).
c) De (1) et (2), tirer  et r en fonction de EIR et EV.
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d) Pour l’astéroïde Ida, on a ℓ = 1,86 UA, EV = 0,54 nW/cm², EIR = 0, 77 n W/cm².
Calculer r et .
(On rappelle UA = 1,5.1011 m, L© = 3,86.1026 W)
La sonde Galileo a survolé cet astéroïde et révélé un objet irrégulier, allongé de
dimensions 50 km  15 km environ.
Est-ce compatible avec les résultats précédents ? (L’analyse spectrophotométrique révèle
un astéroïde dit de type S, c’est-à-dire silicaté pour lequel l’albédo est typiquement
de 0,1 à 0,2).
Si l’on prend  ~ 3g/cm3 pour un minéral silicaté, estimer la masse de Ida.
En fait, Galileo a mis en évidence la présence d’un petit satellite, Dactyl, qui orbite
autour de Ida en 20 heures, à une distance d’environ 100 km.
Estimer la masse de Ida en utilisant la 3e loi de Kepler (a3/T2 = GM/4² où a est le rayon de
la trajectoire du satellite, T sa période, M la masse de l’objet principal).
En considérant Ida comme un « cigare » cylindrique ayant 50 km de long et 15 km de
diamètre, calculer la masse volumique ’ réelle de Ida. Comparer avec .
’
Calculer l’indice de « porosité » de Ida  = 1 –
. Que conclure quand à la structure interne

de Ida ? Peut-on suggérer un mécanisme pour sa formation ?
e) La comète de Halley a été « redécouverte » en 1982, à une distance ℓ ~ 5 UA.
Les mesures du rayonnement donnaient : EV = 2,1.10– 3 nW/cm², EIR = 1,3.10– 2
nW/cm².
Calculer r et . La sonde Giotto en frôlant la comète (1985) a révélé un objet plus sombre que
tout objet connu, en forme de « cacahuète » de dimensions 15  8 km environ. Le modèle est-il
compatible avec ces observations in situ
En supposant que la comète est faite de glace poreuse ( ~ 0,5/cm3) estimer la masse de Halley.
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21/55
II _ La situation particulière des comètes
La méthode précédente est applicable a priori à tout corps du système solaire, petit ou
non, comètes, astéroïdes, planètes, etc. Les comètes présentent cependant une
situation particulière en ce sens qu’elles développent cette structure qui les rend si
spectaculaires (atmosphère puis chevelure et queues) lorsqu’elles se rapprochent du
Soleil, en raison de la sublimation de la glace s’échauffant sous l’effet de l’énergie
croissante apportée par le rayonnement solaire. Soit L la chaleur latente de
sublimation de la glace pour une molécule et Q le flux (nombre par unité de temps
par unité de surface) de particules sublimées.
a. Écrire l’équation de l’équilibre énergétique de la comète en considérant qu’elle rayonne
comme un corps noir de température T.
b. On veut déterminer la distance au Soleil en de-ça de laquelle la comète
développe son atmosphère, ce qui invalide le modèle précédent. On considère
que cette distance est celle à laquelle la chaleur nécessaire à la sublimation
devient comparable à celle émise par rayonnement thermique, à savoir
lorsque QL ~  T4. On doit exprimer Q en fonction de la température T de la
comète. Soit donc un gaz à la température T, contenant n particules par unité
de volume, de masse m.
1

En utilisant le théorème de l’équipartition de l’énergie  kT par degré de liberté donner la
2

vitesse thermique moyenne v des particules en fonction de m et T.
Exprimer le flux de particules heurtant la surface de n et v : Pour cela on considère un
élément de volume cubique dont l’une des faces repose sur la surface et on admettra
que la répartition isotrope des vitesses peut être simplifiée par des mouvements
selon trois axes de coordonnées seulement. On suppose ensuite que chaque particule
heurtant la surface s’y condense et on utilise la notion d’équilibre thermodynamique
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22/55
pour affirmer que le flux de particules sublimées Q est égal au flux de particules
condensées.
Exprimer alors Q en fonction de n, T et m.
c. Rappeler l’équation d’état d’un gaz parfait reliant la pression P à n et T. En supposant
que la pression de vapeur PV du matériau cométaire sublimé suit une telle loi, montrer
que l’on a
Q=
PV
12kTm
On considère la comète comme un bloc de glace (propre). La chaleur latente de
sublimation de la glace dépend peu de la température.
On la prendra égale à 2,5.106 J.kg– 1.
d. En déduire la valeur numérique de L. Le diagramme de phrases de l’eau est
connu, en l’équation de la courbe de sublimation dans un diagramme P,T).
Remplir le tableau suivant ( = 5,67.10– 8).
T(K)
150
170
200
250
T4 (W/m²)
PV (Pa)
3,5.10– 5
1,7.10– 3
1,7.10– 3
77
QL (W/m²)
Commenter les comportements respectifs de T4 et QL. On appréciera en
particulier la température à laquelle ces deux termes s’égalent (on peut par
exemple tracer les courbes log (T4) et log(QL) en fonction de T).
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23/55
e. Utiliser l’équation de II.a. pour trouver la distance au Soleil correspondante. On
pourra utiliser pour cela la valeur de  pour Halley.
À quelle région du système solaire cette distance correspond-elle ?
La plupart des comètes, probablement parce qu’elles sont constituées de glace (sale)
semblent développer leur atmosphère après avoir passé l’orbite de Jupiter.
Cela est-il compatible avec le résultat précédent ? Certaines comètes commencent
cependant à développer leur atmosphère à des distances supérieures, sans doute
parce qu’elles sont constituées de matériaux beaucoup plus volatils que la glace
d’eau (glace de CO2 par exemple).
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24/55
CORRIGÉ DE L’AUTEUR
I __ a) Le Soleil étant une source isotrope, la puissance reçue par l’objet A est égale à
d
r²
L©
où d est l’angle solide sous lequel A est vu du Soleil, soit d =
4
d²
A réfléchit vers la Terre une puissance
 r²
  L© 
 4  d ’,
4  d²
où d ’ est l’angle solide sous lequel la Terre est vue de A, soit
 R²©
d ’ =
.
d²
L’éclat EV est égal à cette puissance divisée par la surface perpendiculaire au
rayonnement
( R²©) d’où
 L© r²
EV =
(1)
4 d²ℓ²
b) Pour calculer EIR on appliqué le même raisonnement sachant que A absorbe la
partie (1 – ) de la puissance incidente et qu’en tant que corps noir il émet de
façon isotrope dans tout l’espace.
D’où
(1 – ) L©r²
EIR =
16d²ℓ²
c) De (1) et (2), on tire aisément
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25/55
EV
=
EV + 4EIR
4 d²ℓ²(EV + 4E IR) 1/2
r = 

L©


d) A.N. pour Ida.
On trouve  ~ 0,15 et r ~ 13 km.
Ces résultats sont compatibles avec les observations de Galileo. L’albédo trouvé est
bien conforme à un astéroïde de type S. Le volume d’une sphère de rayon 13 km est
équivalent à celui d’un « cigare » de 50 km de hauteur et de 15 km de diamètre, à
savoir 8800 km3 environ.
Avec  ~ 3.103 kg/m3, on trouve une masse d’environ 2, 6. 1017 kg.
L’application de la 3e loi de Képler à la trajectoire de Dactyl donne
4a3
M=
~ 1,2.1017 kg
GT²
La masse volumique « réelle » ’ est moins élevée que celle du matériau censé
constituer l’astéroïde, à savoir
1,2.1017
’ ~
~ 1400 kg/m3 = 1,4 g/cm3
3,8.1013
L’indice de porosité est alors
’
p=1–
= 0,53

L’astéroïde serait donc loin d’être compact et le matériau silicaté serait en fait plein
d’interstices : on peut suggérer que l’astéroïde s’est formé par accrétion progressive
de petits corps laissant entre eux, lors de leur fusion, de tels interstices.
e) A.N. pour Halley
On trouve  ~ 0,04 ( = 0,1 pour du charbon) et r ~ 9 km.
Résultats compatibles avec les observations de Giotto.
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26/55
Masse de Halley :
M~
4 3
r  ~ 1,5.1015 kg
3
II _ a) À l’équilibre énergétique, on a
 r²
(1 – ) L© 
= 4  r²  T4 + 4  r² Q L.
4  d²
soit encore
(1 – ) L©
=  T4 + QL.
16  d²
b)
D’après l’équilibre de l’énergie, la vitesse cinétique d’une particule sera
3
1
mv² = kT (3 degrés de liberté pour la translation)
2
2
soit
v=
3
kL
m
1
du nombre de particules va frapper la face du cube à la
6
surface de la comète. Si cette face a comme surface S, les particules heurtant la
surface pendant l’instant dt sont comprises dans un parallélépipède de section S et
de hauteur v dt, ce qui donne nv particules par unité de temps et unité de surface.
D’après le modèle, seul
On a finalement
Q=
1
1
 nv = n
6
6
3kT
m
c) On trouve aisément l’équation d’état du gaz parfait P = knT
d’où
Q=
PV
6kT
3kT
=
m
PV
12 m KT
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27/55
d) L est la chaleur de sublimation par molécule, soit 2,5.106 J/N où N est le
nombre de molécules d’eau contenues dans 1 kg, d’où L = 7,5.10– 20 J/molécule.
Le tableau rempli est le suivant :
_
T(K)
150
170
200
250
T4 (W/m²)
29
47
90
220
PV (Pa)
3,5.10– 5
1,7.10– 3
1,7.10– 3
77
QL (W/m²)
0,13
4,4
4,05.102
1,6.105
On voit que la part de l’énergie utilisée dans la sublimation de la glace cométaire,
négligeable à températures basses (et fortes distances) devient comparable
rapidement à l’émission thermique, puis prépondérante à des températures plus
élevées (et des distances plus faibles).
Une rapide résolution graphique montre que les deux types d’énergie sont
comparables pour
T ~ 190 K, correspondant à  T4 ~ Q L = 75 W/m². De l’équation II. a), on déduit
aisément,
1/2
 (1 – )L 
d=
 ~ 4,5. 1011 m = 3 UA
32   T4 
Ce qui correspond à une région comprise entre Mars et Jupiter, compatible avec les
observations.
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28/55
Planétologie comparée
Sujet proposé par Théo Héikay
« Oh puissance d’imaginer, toi qui nous emportes parfois
si loin hors de nous qu’on ne s’aperçoit pas que sonnent
alentour mille trompettes, qui te met en mouvement ? »
INTRODUCTION
L’astrophysique présente en particulier deux intérêts essentiels :
 Montrer l’universalité des lois physiques « terrestres »
 Montrer en quoi le milieu terrestre est singulier.
C’est cet aller-retour qu’on trouve à l’œuvre dans la planétologie. Les observateurs
des planètes du système solaire montrent des phénomènes interprétables en termes
de connaissances issues de l’observation de faits terrestres comparables.
Inversement, l’immense diversité des phénomènes planétaires à l’œuvre dans le
système solaire permet de mieux comprendre la grande singularité de la Terre et les
raisons de cette singularité.
Le présent problème examine dans un esprit comparatif les propriétés des planètes
telluriques et la Lune de différents points de vue : formation, structure interne,
vitesse d’évasion, températures, périastre et apoastre.
PRÉREQUIS
Les différentes notions nécessaires sont introduites dans le texte (équation d’équilibre
d’hydrostatique, vitesse d’évasion, émission du corps noir, périastre et apoastre).
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ÉNONCÉ
On donne le tableau suivant, pour la Lune et les planètes telluriques
Objet
Terre
Lune
Mercure
Vénus
Mars
Masse (kg)
5,97.1024
7,3.1022
3,3.1023
4,87.1024
6,4.1023
Rayons (103 km)
6,38
1,74
2,44
6,05
3,39
Demi-grand axe
de l’orbite (UA)
Excentricité
1
-
0,387
0,723
1,524
0,017
-
0,206
0,007
0,093
Albédo
0,3
0,07
0,06
0,76
0,15
Pression au sol
(atm)
1
0
0
90
7.10 – 3
15
3
170
480
– 55
T (°C) moyenne
On y trouve notamment les caractéristiques des ellipses orbitales des planètes : le
demi – grand axe (a) et l’excentricité (e) qui est le rapport CS/a où S est la position du
Soleil (foyer de l’ellipse) et C le centre de celle-ci. L’albédo () est le rapport de
l’énergie solaire réfléchie par la planète à l’énergie solaire incidente.
I _ Évolution originelle des planètes telluriques
a) Utiliser les données des deux premières lignes pour construire un graphe donnant la
masse volumique des différents objets en fonction de leur rayon.
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30/55
b) On remarquera qu’il est possible de tracer une droite passant assez bien par 4
de ces 5 objets.
Que peut-on en déduire quant à l’origine du 5e objet ?
II _ Structure interne des planètes telluriques
Soit P® la pression à l’intérieur d’une planète, supposée sphérique et de masse
volumique  uniforme, à une distance r du centre. On rappelle que l’équation
d’équilibre hydrostatique, qui donne la variation de pression dP sur une couche
sphérique d’épaisseur dr, s’écrit
Gm(r)
dP = –
dr
r²
où M ( r ) est la masse de la sphère de rayon r.
a) Déterminer la pression PC au centre de la planète en fonction de G,  et R rayon
de la planète, en admettant que la pression à la surface est négligeable.
b) Réaliser l’application numérique pour les objets du tableau. Que penser de
la structure interne de Mars ? Peut-on justifier la non-existence actuelle d’un
champ magnétique dipolaire martien ?
c) On considère une comète de noyau sphérique de rayon RC = 1 km, de
masse volumique C = 500 kgm– 3. Calculer sa masse et sa pression au centre.
Que penser de la structure interne du noyau ?
III _ Vitesses d’évasion
On considère un satellite de masse m orbitant à une distance  d’un objet de masse
M >>m. Les deux sont considérés comme sphériques. La vitesse de m dans un
référentiel lié à M est v. On appelle vitesse de libération v 1 la valeur de v telle que le
mobile puisse s’écarter à l’infini de M avec une vitesse alors nulle.
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31/55
Exprimer v1 en fonction de M et . Calculer les vitesses de libération à la surface des objets.
Commenter en rapprochant ces valeurs trouvées avec la présence ou non d’atmosphère
(révélée par la valeur de la pression au sol).
IV_ Températures
Sous l’effet du rayonnement solaire les planètes s’échauffent et rayonnent à leur tour,
mais dans l’infrarouge. On admet qu’elles se comportent comme des corps noirs
sphériques (elles émettent de façon isotrope un rayonnement de puissance  T4 par
unité de surface.  est la constante de Stefan-Bolztmann = 5,67.10– 8 SI).
a) L© étant la luminosité solaire, exprimer la puissance solaire absorbée par l’objet en
fonction de L© , a, D er R (D distance Soleil-planète)
b) Donner la puissance émise par la planète à la température Te (température effective
déduite des lois du corps noir) et déduire Te en fonction de L© , D, , de l’équilibre
énergétique de l’objet.
c) Faire l’application numérique (on assimilera D à a) et comparer la valeur de Te avec les
températures observées. Commenter. (UA = 1,496.1011m, L© = 3,86.1026 W )
d) Différencier l’expression de IV. b) pour exprimer dTe en fonction de dD.
V _ Périastre et apoastre
Le point d’une orbite planétaire le plus éloigné de l’étoile attractive s’appelle
apoastre (aphélie pour le Soleil). Le plus rapproché, le périastre (périhélie pour le
Soleil). On rappelle que les distances de l’astre au périastre et à l’apoastre sont
respectivement a(1 – e) et a(1 + e).
a) Donner l’expression littérale de l’écart entre les distances de l’aphélie et du périhélie.
b) Faire l’application numérique pour les 4 planètes. Calculer Te correspondant. Que
penser du Te de Mars pour son régime climatique ?
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32/55
CORRIGÉ DE L’AUTEUR
I _ a) Le tableau servant pour le graphe est le suivant :
Objet
Rayon (103 km)
(g/cm3)
Terre
6,38
5,52
Lune
1,74
3,33
Mercure
2,44
5,44
Venus
6,05
5,25
Mars
3,39
3,94
c) Le point représentatif de Mercure est notablement en-dehors de la droite. On
peut raisonnablement penser que Mercure provient en fait de la rupture d’un
objet plus important. Cela est cohérent avec son orbite plus excentrique (e =
0,2) et située relativement en-dehors du plan moyen des orbites des planètes
du système solaire (l’angle entre les deux plans est de 7°)
II _ a)
M ( r) =
4
  r3
3
d’où
dP = –
4 G 2
 rdr
3
d’où par intégration
P (r) – 0 =
2 G 2 2 2
 (R – r )
3
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33/55
2G2 2
R
3
GM
qu’on peut encore mettre sous la forme PC =
2R
b) A.N.
On a
P( r ) = PC pour r = 0,
Objet
PC (atm)
Terre
1,7.106
d’où
PC =
Lune
4,7.104
Mercure
2,5.105
Vénus
1,4.106
Mars
2,5.105
La lune et Mars ont une pression interne relativement basse, sans doute trop faible
pour que dans le cas de Mars (la Lune n’a probablement pas de noyau de fer) le fer
soit à l’état liquide, ce qui explique l’absence de champ magnétique martien.
Mercure, par son origine, est atypique.
Elle présente d’ailleurs un champ magnétique.
c) Pour la comète,
4
RC3  C soit M ~ 2. 1012 kg
3
La pression PC ~ 4.10– 4 atm. Cette pression est extrêmement faible, le milieu est
poreux car sa masse volumique est deux fois plus faible que la glace le constituant. Il
s’agit donc d’un milieu lâche, peu résistant, quasiment vaporeux, à tel point que
l’équation d’équilibre hydrostatique ci-dessus n’est pas valable, la gravité étant trop
faible par rapport aux forces et cohésion de la glace, même poreuse. Cela se constate
d’ailleurs par la forme non sphérique des noyaux cométaires. La fragilité de la
cohésion cométaire explique également la facilité qu’ont le Soleil et des planètes
comme Jupiter à les rompre par effet de marée.
M=
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34/55
III _ Dans un référentiel lié à la masse M, le système planète-satellite a une énergie
totale
GmM ste
1
mv² –
= c (pour un système isolé)
r
2
Si v1 est la valeur de v à la distance r pour laquelle on peut avoir v = 0 avec  infini, v1
est telle que E = 0 – 0 = 0.
D’où
E=
v1 =
2GM
r
A.N.
Objet
v1(km/s)
Terre
11,2
Lune
2,4
Mercure
4,3
Vénus
10,3
Mars
5,0
La Lune et Mercure n’ont pas d’atmosphère. Celle de Mars est ténue. Un objet
retiendra d’autant moins facilement une atmosphère que la vitesse de libération à sa
surface sera faible.
IV _ a) La puissance incidente sur un objet est celle qui est interceptée par une
section R². À une distance D la puissance solaire totale (L © ) est répartie
uniformément sur une surface
4D².
La puissance absorbée par l’objet est donc
R2
(1 – ) L ©
4D²
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35/55
b) La puissance émise par l’objet est 4R²Te4 , d’où à l’équilibre,
R2
(1 – ) L ©1/4
4
4R²Te = (1 – ) L ©
et Te = 

4D²
 16D² 
c) A.N.
Objet
Te (°C)
Tobservée (°C)
Terre
– 18
15
Lune
1
3
Mercure
167
170
Vénus
– 42
480
Mars
– 56
– 55
Dans le cas de Vénus, très nettement, et de la Terre, l’effet de serre explique que la
température observée est plus élevée que la température effective théorique.
Pour les objets ayant peu ou pas d’atmosphère, l’effet de serre est négligeable ou nul.
La comparaison des températures et l’écart de température entre le point subsolaire
et la face opposée au Soleil peut être considérable. Moyenner la température
observée revêt une signification artificielle.
d) Par différentiation de
L © (1 – )
Te = 

 16D² 
1/4
qu’on peut mettre sous la forme Te = kD –1/2, on a
dTe
1 dD
=–
Te
2 D
Soit
Te = –
1 D
 Te
2 D
pour
D
D
petit
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36/55
V _ a) D = a(1 + e) – a(1 – e) = 2ae et
D
= 2e d’où |Te| = eTe.
D
b) A.N.
Objet
D (km)
|Te| (K)
Terre
5.106
4
Mercure
2,3.107
90
Vénus
1,5.106
2
Mars
4,3.107
20
L’écart de température entre périhélie et aphélie est très important pour Mercure
mais on ne peut parler de conséquence climatique en l’absence d’atmosphère. L’écart
est important pour Mars en raison de l’excentricité de l’orbite. Il a pour conséquence
d’accentuer les contrastes climatiques lors de l’année martienne entre les 2
hémisphères martiens. Il doit être ajouté à une précession importante probable de
l’axe de rotation martien, ce qui doit entraîner une évolution climatique relativement
chaotique pour Mars.
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37/55
Le destin des poussières interplanétaires (effet Poynting-Robertson)
Sujet proposé par Théo Héikay
INTRODUCTION
Le « ménage cosmique » est mal fait. Il y a de la poussière partout, en particulier au
sein du système solaire, entre les planètes et les baignant en permanence, reliquat de
la nébuleuse originelle, mais aussi produit des collisions d’astéroïdes plus récentes
ou traînées de comètes de passage, etc. ces poussières ont un destin individuel qui
résulte des influences conjuguées du Soleil (attraction, pression de radiation, vent
solaire) et des planètes (perturbations gravitationnelles). Le présent problème
examine certaine de ces influences et la façon dont elles déterminent le destin des
poussières, tout en aboutissant à ce résultat que le ménage reste à faire.
PRÉREQUIS
Notions fondamentales de mécaniques appliquées notamment à la gravitation.
ÉNONCÉ
On cherche quelle est la trajectoire d’une poussière interplanétaire sous l’action
combinée de l’attraction gravitationnelle du Soleil (FG) et de la force de pression
répulsive due au rayonnement solaire (FN).
I_ Influences respectives de FG et FR
On considère une poussière sphérique de rayon a, de masse volumique , orbitant
sur une trajectoire circulaire de rayon r0 autour du Soleil (luminosité L*, masse M*).
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38/55
a) _ Calculer FG et FR (dans ce dernier cas on supposera que chaque photon incident sur
la poussière lui transmet intégralement sa quantité de mouvement). En déduire FR /FG
en fonction de a, , M*, L*.
b) _ Prenant   4g /cm3, discuter du destin de la poussière en fonction de son rayon
(L* = 3,83  1026 W, M* = 2.1030 kg).
II _ Effet Poynting-Robertson
On se place dans le cas FR < FG et l’on tient compte du phénomène de l’aberration de
la lumière, à savoir que les rayons solaires n’arrivent pas parallèlement au rayon
v
vecteur Soleil-poussière réel mais avec un angle  = (v est la vitesse de la poussière,
c


ce qui crée une force de freinage F’ , composante tangentielle de la force FR ).
C’est l’effet Poynting-Robertson.
a) _ Le freinage entraîne dE < 0 où E est l’énergie totale du système (Soleil-poussière)
dans un référentiel héliocentrique.
b) À partir du théorème de l’énergie cinétique, établir l’équation différentielle vérifiée par
la fonction r(t).
c) Résoudre cette équation pour trouver le temps  de chute de la poussière sur le Soleil
en fonction de a, , L* et r0 (qu’on supposera beaucoup plus grand que le rayon du
Soleil R*). Donner la relation numérique entre  (en années) et  (en g/cm3), a (en
m) et r0 (en UA).
d) Faire l’application numérique pour  = 4,3 g/cm3, a = 1 m, r0 = 1 UA et 40 UA
e) L’effet Poynting-Robertson aboutirait à vider le système solaire sa poussière. On
constate que cette poussière est bien présente. Quels sont les phénomènes physiques
qu’il faudrait en fait prendre également en compte pour expliquer cette permanence ?
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CORRIGÉ DE L’AUTEUR
I _ a) _ FR =
GmM*
r02
Pour calculer FR, il faut connaître la quantité d’énergie radiative reçue par seconde
par la poussière. Le Soleil émettant de façon isotrope, cette énergie est égale à
a2
.
L* 
4r20
E
On sait qu’un photon d’énergie E emporte une quantité de mouvement  FR qui est
c
la quantité de mouvement reçue par la poussière en une seconde est donc
a2
FR = L* 
4cr20
a2
3L*
1
d'où FR / FG = L*
=
4cGM*m 16cGM* a
b) _ Pour  = 4 g/cm3,on obtient FR / FG =
0,14  10 – 6
.
a
Donc si a  0,14 m, FR  FG.
Les petites poussières sont évacuées du système solaire par la pression de radiation
solaire.
II _ a) _ Dans le cas de la seule attraction gravitationnelle, en
circulaire, on a
mv² GM*m
=
soit v =
r
r²
GM*m
, pour une orbite
r²
GM*
et une énergie totale
r
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GM*m
GM*m
1
1
E = mv² –
= – mv² = –
.
r²
2r
2
2
Si E diminue, en fonction d’un freinage par exemple, on voit que r diminue et que v
augmente. Dans le cas présent, la force résultante agissant sur la poussière est FG – FR
a2 
1 
égale à GM*m – L* .
4c
r² 
1
Cette force est attractive (FG > FR), également en et les conclusions sont inchangées
r²
pour ce qui est des conséquences d’un freinage, en l’occurrence dû à l’effet PoyntingRobertson.

v 
v
b) _ la force de freinage est F’ = FR  ( F = – FR
vectoriellement)
c
c
Pendant dt, la perte d’énergie totale est donc :
a2


dE = F  dl = – F’vdt = – L*
v² dt
4c2r2
dE
a2
1
Comme E = – mv², on a
= L*
dt
E
2mc2r2
2
Or
E= –
GM*m
2r
soit
Er = cste
d’où
dr
dE
= –
E
r
soit
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dr
a2
= – L*
dt
r
2mc2r2
Et finalement
a2
dt
mc2
c) _ r0 étant la distance initiale, l’intégration de cette équation donne :
a2
r²0 – R²* = L*

mc2
soit
mc2
4c2ar20
(r0 >> R*)  =
r²
0 =
3L*
L* a2
2r dr = – L*
d) _ Avec les unités demandées ( en g/cm3, a en m et r0 en UA) on obtient :
  7  102  ar²0
Pour a = 1,  = 4,3 et r0 = 1, on obtient   3  103
Et pour r0 = 40,   5  106 a
d) _ La permanence de poussière interplanétaire s’explique par l’existence de
phénomènes physiques non pris en compte par le modèle. En particulier
l’existence du vent solaire qui a tendance à repousser les poussières et donc à
les empêcher de tomber sur le Soleil, ainsi que l’existence des perturbations
planétaires.
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L’Expansion de l’Univers
Par Théo Héikay
À l’occasion de la fête de la science (octobre 2010), j’ai voulu dans cet article raconter
l’histoire de l’Expansion de l’Univers.
L’idée d’un Univers en expansion a germé aux alentours de l’année 1917. Jusqu’à
cette date, les physiciens de l’époque considéraient que l’Univers était globalement
statique. Et même le plus novateur d’entre eux, Albert Einstein (1879-1955), épousa
cette thèse, alors même que l’expansion de l’Univers s’intégrait naturellement dans
sa théorie cosmologique. En effet, la théorie de la relativité générale d’Einstein,
s’appliquait à la géométrie de l’Univers tout entier. Mais Einstein supposa d’emblée
que l’Univers était statique, autrement dit, que son rayon était contant. En
conséquence, la solution était trouvée, mais sa principale faille était qu’elle était vide
de matière. Or comment peut-on nier l’existence de la matière ? Le modèle proposé
était donc rectifiable. C’est alors que Einstein révisa sa formulation antérieure en lui
rajoutant une constante. La modification opérée n’était pas arbitraire, car la solution
proposée était générale. Son seul défaut était d’exiger une constante supplémentaire,
ce qu’on appelle couramment aujourd’hui, la Constante cosmologique. Les
physiciens en revanche, ont une préférence pour des solutions simplifiées, non pour
des raisons purement esthétiques (encore que la recherche de l’esthétisme peut être
utile en science) mais parce que le nombre de degré de liberté des paramètres
dénombrables, limite une meilleure comparaison avec l’expérience. On se souvient
par exemple que la simplicité du modèle planétaire de Copernic a eu raison du
modèle proposé par Ptolémée, car ce dernier comportait trop de cercles épicycles et
déférents.
1917 marque donc le coup d’envoi de l’expansion de l’Univers, dans la mesure où, un
mathématicien néerlandais, nommé Willem de Sitter (1872-1934) proposa une
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généralisation des équations (cosmologiques) d’Einstein. W. de Sitter trouva des
solutions non statiques mais dépourvues encore de matière. Après plusieurs années
de tâtonnement, Sidney A. Friedman, météorologue de formation montra qu’à
condition d’accepter l’idée d’un Univers non statique, il serait possible de trouver des
solutions incorporant de la matière.
L’idée d’un Univers en cours de dilation commençait à être acceptée dans la sphère
des physiciens. On ignore si elle a incité les astronomes à tester les prédictions qui en
découlaient, à savoir que les galaxies devaient s’éloigné les une des autres dans un
Univers en expansion (ou, en revanche, converger dans un Univers en contraction).
Ce dont on est sûr, c’est que les bases de la découverte de ce qu’il est convenu
désormais d’appeler l’expansion de l’Univers étaient jetées.
J’essaierai de parler de cette découverte, mais aussi de ses enjeux et des récents
progrès réalisés grâce aux télescopes spatiaux, sans oublier les théories alternatives.
I- La découverte de l’expansion de l’Univers
L’astronome William Herschel (1738-1822) recensa des objets nébuleux qui furent
considérés comme des éléments constitutifs de notre galaxie, la Voie lactée. Il n’était
cependant pas encore possible d’évaluer leur distance, par ailleurs, les erreurs de
mesures de mouvement propre empêchaient de les positionner très loin. Néanmoins,
un certain nombre d’astronomes étaient convaincus de la nature extragalactique de
certaines nébuleuses. La confirmation de ce résultat a été faite par l’astronome
américain Edwin Hubble (1889-1953) qui arriva à identifier des étoiles variable dans
la galaxie d’Andromède. Par suite, Hubble mena une étude sur d’autres nébuleuses
de grande dimension, NGC 6822, M 33. La démonstration du concept d’objets
extérieurs, d’Univers-îles venait d’être faite, même si Hubble ne parlait de « système
stellaire lointain », que de « galaxie ».
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L’identification des galaxies comme étant des objets extérieurs à notre Voie lactée
était faite en partie en 1925 grâce aux recherches de Hubble.
La mesure de la vitesse des astres se faisait par le biais de l’analyse spectrale par
application de la loi de l'effet Doppler -Fizeau. Cette loi nous enseigne que les
longueurs d’onde se décalent avec la vitesse de l’astre. À cette époque, l’un des
professeurs du jeune étudiant Edwin Hubble, Slipher notait que les nébuleuses
avaient des vitesses très grandes par rapport à celles des étoiles et de plus leurs
vitesses divergeaient de l’observateur (exception faite à la grande galaxie
d’Andromède) comme si celui-ci était placé au centre.
La première tentative d’une corrélation de la vitesse de fuite des galaxies et de leur
distance fut faite par Knut Lundmark,. Si l’on se réfère sur les rares mesures
disponibles, Lundmark prédisait une loi quadratique admettant un extremum local
(en l’occurrence, un maximum). Quelques années plus tard, Edwin Hubble prenait
l’option d’une représentation linéaire qui s’est avérée être très efficace jusqu’à des
distances de plusieurs milliards d’années-lumière. La loi de Hubble est d’une
simplicité lumineuse :
v=HD
où v est la vitesse de fuite de la galaxie, D sa distance et H une constante de
proportionnalité, la Constante de Hubble. L’évaluation de la constante dite de
Hubble se situe entre 50km.s- 1.Mpc- 1 et 100 km.s- 1.Mpc- 1 , si la mesure de la vitesse se
fait en km.s- 1 et la distance en Mégaparsecs (1Mpc = 3,26 millions d’années –lumière).
Qu’est ce qui suggère ces incertitudes ? Pourquoi toutes les galaxies semblent-elles
diverger d’un point fixe (l’observateur en l’occurrence) ? Qu’en résulte-t-il de notre
compréhension de l’Univers ? C’est ce que je vais tenter d’expliquer.
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II- L’éclairage de la relativité générale
La déflexion (déviation d’un faisceau d’électrons par un champ électrostatique ou
magnétique) de la lumière au voisinage du Soleil fut l’une des toutes premières
vérifications expérimentales de la théorie Einsteinienne. Le champ de gravitation
intense déforme pour ainsi dire la géométrie de l’Univers, en conséquence, la
lumière qui épouse les lignes naturelles de l’Univers (appelées encore les
géodésiques), est déviée. Ce phénomène a été mis en exergue ces dernières années
de manière amplifiée dans les amas de galaxies agissant comme des gigantesques
lentilles optiques déformant l’image des objets placés en filigrane.
Einstein nous enseigne que l’Univers est courbe dans son ensemble. Un rayon
épousant une géodésique de l’Univers suivrait une trajectoire courbe. Ce qui modifie
du même coup la perception euclidienne que nous avons de l’Univers. La
visualisation de la courbure de l’espace à trois dimension, jointe à la quatrième
dimension qu’est le temps, n’est cependant pas aisée. Honnêtement, on imagine
plutôt l’espace réel comme une sphère. Or dans cette vision des choses, un rayon
lumineux se déplaçant dans l’espace physique réel serait condamné à rester à la
surface de la sphère. Il y va de même pour toute matière réelle. En supposant que la
croissance du rayon R de la sphère est proportionnel au temps cosmique t, on prouve
aisément que deux points de la sphère _ par exemple, deux galaxies _ s’éloignent l’un
de l’autre avec une vitesse qui serait proportionnelle à la mesure de leur distance
dans l’espace physique, i.e le long d’un arc de cercle de la sphère. C’est justement ce
que nous enseigne la loi de Hubble. Par ailleurs, l’observateur à la surface de la
sphère a l’impression de voir les autres points de la surface s’éloigner comme s’il
était au centre. La connaissance de la variation du rayon de la sphère en fonction du
temps nous permet de démontrer aisément que l’âge de l’Univers est donné par
l’inverse de la constante de Hubble. L’échelle des âges est une conséquence de ce
point crucial.
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La prédiction de l’âge de l’Univers par une constante de Hubble supérieure à 75
km.s- 1.Mpc-1 est notablement au dessous des 20 milliards d’années d’âge prédits par
les modèles d’évolution stellaire appliqués aux vieux amas globulaires. Il est par
conséquent clair qu’il faut élucider la principale difficulté avec les grandes valeurs de
la constante de Hubble, pour ne pas se retrouver avec un Univers plus jeune que son
contenu. La constante cosmologique serait peut-être la réponse à ce dilemme, mais
nous avons vu que les physiciens et astronomes refusaient cette solution ultime. Le
problème reste donc entièrement ouvert.
Précisons toutefois que l’explication géométrique discutée ci-dessus ne fait pas
l’unanimité dans la sphère scientifique. Le physicien Louis-Victor de Broglie, (18921987) suggéra une explication différente avec sa théorie dite de la « lumière fatiguée ».
D’après de Broglie, les photons (les grains de lumière) sont affectés pendant leur
long trajet dans l’espace. Une explication naturelle est donc trouvée par la loi linéaire
de Hubble à savoir : Plus le cheminement est long, plus la perte d’énergie (qui se
traduit par le décalage vers les grandes longueurs d’ondes) est importante. Cette idée
est toujours d’actualité et a été reprise sous différentes formes. À l’aide de certains
tests, on évalue la variation des grandeurs observables comme la brillance
superficielle des galaxies, la forme des courbes de luminosité des supernovae et la
température du rayonnement du fond cosmologique. En comparant les résultats
obtenus avec la prédiction des théories, avec ou sans expansion, les mesures bien que
difficiles, semblent confirmer l’hypothèse de l’expansion géométrique.
La théorie de l’Univers stationnaire a été âprement défendue par l’astronome
britannique Fred Hoyle. Sa théorie présente quelques aspects séduisants dont la
perfection de son principe cosmologique. Selon ce principe, aucun observateur n’est
privilégié, que ça soit dans l’espace _ la description de la nature est faite par
l’équivalence des points de l’espace _ ni dans le temps. À moins de créer de la
matière spontanément, au fur et à mesure de la dilation de l’Univers, ce dernier point
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s’oppose à toute idée d’expansion. La théorie a été modifiée afin qu’elle intègre les
résultats observationnels récents comme la découverte du Rayonnement fossile mais
obtenir l’adhésion de la communauté scientifique.
Pour clore ce chapitre, je peux dire que, l’explication géométrique traduit mieux la loi
de Hubble. Notre Univers serait en pleine expansion !
III- La mesure de la constante de Hubble présente quelques difficultés
Il est relativement facile de mesurer les vitesses de fuite des galaxies par la
spectroscopie, en tenant compte du décalage des raies spectrales. Supposons que ce
c 
décalage soit , alors la vitesse de la galaxie serait v =
, c étant la vitesse de la

lumière, ce, en vertu de la loi Döppler-Fizeau.
Si la distance D d’une galaxie de vitesse radiale v, pouvait se mesurer, la constante de
v
Hubble se déduirait très facilement car H =
. La difficulté majeure concerne la
D
distance des galaxies lointaines. D’où l’incertitude sur l’estimation de H.
Essayons d’analyser l’origine de cette difficulté.
C’est par comparaison avec une galaxie semblable, plus proche qu’on obtient la
distance d’une galaxie lointaine. Mais ce qui vient d’être dit autorise à risquer une
question : que signifie « semblable » ?
Deux galaxies qui ont la même énergie cinétique interne – cette énergie se mesurant
soit par la vitesse de rotation du gaz pour les galaxies spirales en rotation rapide, soit
par la vitesse moyenne d’agitation des étoiles (dispersion des vitesses) pour les
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galaxies elliptiques ayant peu ou pas de rotation _ doivent avoir la même masse en
vertu d’un théorème de mécanique (théorème du viriel) et donc la même luminosité
dans la mesure où il existe une corrélation entre la masse et la luminosité. Deux
galaxies semblables auront par conséquent intrinsèquement la même luminosité. En
comparant l’éclat (c’est-à-dire la magnitude apparente) des deux galaxies semblables,
nous obtenons le rapport de leurs distances, dans la mesure où l’éclat varie selon
une loi très bien connue (l’éclat diminue comme l’inverse du carré de la distance, par
un effet de dilution du rayonnement). Ce qui veut dire que connaissant la distance de
la galaxie proche, la distance de la galaxie lointaine se déduit immédiatement de ce
rapport des distances.
La complexité de la nature nous empêche d’appliquer la simplicité de ce principe.
Car une même énergie cinétique est associée non à une luminosité mais à une
distribution de luminosités, distributions bien représentées par une courbe de Gauss.
La solution serait peut-être de considérer la valeur moyenne. Hélas, il en est rien, car,
pour des distances faibles, on observe toutes les galaxies d’une énergie cinétique
interne donnée, alors que pour des distances très grandes, on ne voit que les plus
lumineuses. La moyenne n’a pas un sens équivalent à faible distance et à grande
distance. Par ailleurs, le nombre de galaxies croît avec la distance, d’où
l’augmentation des chances à grande distance, d’avoir des galaxies anormalement
lumineuses. Le sens de la valeur moyenne est faussé par l’intervention de ce
deuxième facteur. Mon propos est illustré par la figure 1, qui représente la magnitude
absolue (luminosité intrinsèque en échelle logarithmique) en fonction du module de
distance (distance exprimée en échelle logarithmique) pour un échantillon de plus de
20 000 galaxies extrait du CD-Rom produit par la base de données extragalactiques
LEDA (PGC-ROM 2001). Cette figure à elle seule est l’illustration de l’essentiel de ce
qu’il faut comprendre sur le biais de Malmquist qui parasite la détermination de la
constante de Hubble :
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) La coupure est associée à la limite de visibilité atteinte par les grands catalogues
(magnitude apparente de 15). Au-delà de cette coupure, il est très difficile de détecter
les galaxies, car elles sont trop peu lumineuses. Notons que les galaxies lumineuses
sont vers le bas du graphique. Le graphique serait une bande horizontale, si toutes
les galaxies étaient visibles. En réalité les galaxies restantes sont de manière
intrinsèque brillantes avec des grandes distances.
) Supposons que nous isolions un instant la coupure, et complétons par la pensée
les points manquants, nous nous apercevons que, le nombre de galaxies croît avec la
distante, ce pour un même intervalle en distance (le graphique indique plus de points
à droite qu’à gauche).
) La probabilité de trouver une galaxie exceptionnellement brillante s’accroît dans
un échantillonnage plus vaste, ce qui explique pourquoi les galaxies
exceptionnellement brillantes (les points les plus bas du graphique) n’apparaissent
qu’à des distances très grandes.
Ces raisons font qu’on a tendance à minorer les distances, donc à majorer la valeur
de la constante de Hubble. Proportionnellement, on minore l’âge de l’Univers. Dès
les années 1920, un astronome suédois, Malmquist (1893-1983), comprit l’origine de
ce biais statistique, en étudiant les luminosités des étoiles. D’où l’appellation, biais de
Malmquist.
Le travail qui nous attend est donc d’avoir une meilleure approximation des
incertitudes induites par la comparaison des galaxies lointaines aux galaxies proches.
Améliorer ces incertitudes, c’est :
a) Mieux évaluer la distance des galaxies dites de calibration (ie des galaxies proches)
b) Mieux évaluer des mesures relatives aux galaxies lointaines.
Accrochons-nous à l’espoir que le raffinement de ces mesures sera bientôt possible.
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IV- Les évaluations venues de l’espace
La distance des galaxies dites de calibration dépend de l’étude des étoiles qu’elles
contiennent. Il est par conséquent possible de reconnaître des étoiles semblables à
celles rencontrées dans le voisinage du Soleil, compte tenu de la proximité de ces
galaxies, d’où à une meilleure évaluation de leur distance. Certaines comme les
étoiles de Céphéides, se prêtent singulièrement bien à cette identification, car la
variation de leur magnitude est périodique. Mieux la période de variation est
corrélée à leur luminosité. Malheureusement, nous ne pouvons appliquer la méthode
géométrique de triangulation aux distances des Céphéides de notre voisinage, car,
trop lointaines. Ce n’est que par une méthode indirecte que nous parvenons à
connaître leur luminosité. La comparaison avec les Céphéides extragalactiques,
reconnues dans les galaxies proches, conduit à une distance encore incertaine pour
ces galaxies.
Pouvons-nous obtenir la distance des Céphéides proches par une méthode
géométrique ? Si oui, quel savoir-faire disposons-nous ? Nous sommes en effet
limités par le pouvoir de séparation des instruments. Il nous faut mesurer le
déplacement apparent des étoiles, provoqué par la rotation de la Terre sur son orbite.
Les calculs prouvent que pour les Céphéides les plus proches, et ce jusqu’à 3000 a.l.,
le déplacement en question n’excède pas 1 millième de seconde de degré (angle sous
lequel on voit une pièce de monnaie de 1 € placée à 4 700 km !). Or l’atmosphère
terrestre transforme les images ponctuelles en images de 50 à 100 fois plus grandes
que le déplacement à mesurer, en conséquence, une telle précision absolue est quasi
1
inaccessible depuis le sol ( c’est un peu comme si l’on voulait mesurer au
de mm,
10
une longueur marquée au stylo).
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L’astronome français P. Lacroute, proposa de lancer il y a déjà plus de 25 ans, un
satellite capable d’atteindre la précision requise. Il serait probablement possible
d’évaluer la position absolue des astres, par une visée simultanée dans deux
directions, ce avec une précision de 0,001’’, soit dix fois mieux que ce que l’on peut
obtenir depuis le sol. Ce rêve s’est concrétisé par le lancement du satellite
HIPPARCOS (High Precision Parllax Collecting Satellite) en 1989. Sous la direction
de J. Kovalevsky et de C. Turon, quelques astronomes français ont levé le défi de
mener à bien ce projet ambitieux. Il en découle des premières estimations de ce
satellite que, les galaxies servant d’étalonnage à l’échelle des distances seraient plus
lointaines que ce que nous pensions. Ces distances de référence augmenteraient de 10
à 20%.
Une deuxième évaluation vient encore de l’espace et singulièrement du HST, le
« Hubble Space Telescope », un télescope composé d’un miroir de 2,4 mètres de
diamètre et placé sur orbite circulaire à une altitude de 610 km en 1990 (un défaut
de construction optique a été corrigé en 1993 en ajoutant une lentille correctrice, en
raison de sa myopie).
On arrive à reconnaître les Céphéides dans les galaxies beaucoup plus lointaines. Il
faut donc s’attendre à une croissance du nombre de galaxies de calibration et surtout,
à une obtention directe de la constante de Hubble.
Qu’est-ce que cela veut dire ?
Rappelons que la loi dite de Hubble nous permet de prédire l’éloignement des
galaxies avec une vitesse appelée « vitesse cosmologique ». Mais alors, tout comme
ce qui se passe au niveau des molécules de gaz, la vitesse dite « mécanique »
d’agitation des galaxies s’ajoute à la « vitesse cosmologique ». L’ordre de grandeur
de cette vitesse d’agitation est d’environ de quelques centaines de kilomètres par
seconde, si bien que pour des distances très grandes, elle est négligeable devant la
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vitesse cosmologique. Inversement, à faible distance, on néglige la vitesse
cosmologique. La vitesse observée n’est cependant plus corrélée à la distance. Dans
ce cas, la constante de Hubble ne peut être déduite des galaxies trop proches.
La mesure directe des distances des Céphéides appartenant à des galaxies lointaines
par le télescope HST, permettra de calculer la constante de Hubble sans avoir
recours aux galaxies proches. Les débuts de ce travail, ont été marqués par le
programme W. Freedman.
On a cru rapidement, en observant les premières images des Céphéides de la belle
galaxie spirale M100, appartenant probablement à l’amas de galaxie Virgo, que la
constante de Hubble H = 85 km.s-1.Mpc-1, mais on s’est aperçu que la vitesse
cosmologique attribuée à Virgo par Freedman était trop élevée _ une meilleure
estimation aurait donné une valeur H = 72 85 km.s-1.Mpc-1.
Par ailleurs, on sein de la communauté scientifique, on y trouve des écoles qui
pensent que la galaxie M100 serait située en avant de l’amas Virgo, ce qui a pour
conséquence de réduire considérablement la vitesse cosmologique de cette galaxie et
donc la constante de Hubble qui en est déduite.
Précisons que Freedman a obtenu son résultat quand parallèlement d’autres auteurs
trouvaient des résultats similaires par des méthodes différentes : fluctuations de la
brillance de surface avec la distance par Tonry, universalité de la fonction de
luminosité des nébuleuses planétaires par Jacoby et calibration des supernovae par
Phillips et Pierce, séparément. On a cru un moment que le débat sur la constante de
Hubble était définitivement clos. Malheureusement, on avait pas intégré toute la
subtilité du biais de Malmquist, subtilité clamée par Sandage et Tammann depuis
longtemps mais admirablement analysée par l’astronome finlandais P. Teerikorpi en
collaboration avec l’équipe française regroupée autour de L. Gouguenheim et L.
Bottinelli. Ces chercheurs ont imaginé de tracer un diagramme où la constante de
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Hubble est portée en fonction de la distance et de la luminosité (distance évaluée par
la vitesse et luminosité estimée par l’énergie cinétique de rotation) pour chaque
galaxie de l’échantillon, afin de mettre en exergue l’existence de ce biais.
En analysant ce diagramme, il est clair que la constante de Hubble est surévaluée si
la galaxie considérée est peu lumineuse et/ou lointaine. La principale difficulté se
trouve en effet là. Deux facteurs simultanés influence le biais. Ce diagramme a le
mérite de sélectionner les galaxies non-biaisées, et de donner une meilleure
correction de la constante de Hubble, pour ces seules galaxies.
Le résultat conduit à une valeur de la constante de Hubble  70 km.s-1.Mpc-1.
V- Conclusion provisoire
La finesse de la constante de Hubble dépend des progrès effectués dans les mesures
et dans l’analyse. La constante est passée de 500 à 200, puis il y a eu deux
paradigmes:
D’une part, ceux qui pensaient que H = 100 km.s-1.Mpc-1 et d’autres au contraire pour
qui H = 50 km.s-1.Mpc-1 . Aujourd’hui la valeur admise de H est comprise dans
l’intervalle *45, 85+, sur la base de la calibration ancienne. Si le satellite HIPPARCOS
modifie cette calibration on pourrait encore s’attendre à une diminution, car le biais
de Malmquist peut également s’avérer être utile pour les distances stellaires. De
plus, l’âge des amas globulaires est aujourd’hui de 13,7 milliards d’années. Il est donc
susceptible de se concilier aux faibles valeurs de la constante de Hubble. Sandage, le
premier à avoir ouvert une voie nouvelle sur les petites valeurs de H, conclut dans
un article récent : « Il n’y a pas de problème pour l’échelle de temps en cosmologie »…
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Quelle certitude ? Quelle espérance ? Quel savoir ? Que devons-nous retenir de cette
tentative d’explication de l’expansion de l’Univers à haute voix ?
D’abord une façon de chercher du sens dans l’insignifiant ; du « projet » dans le plus petit des
hasards ; de l’événement dans la ténuité des choses.
Sur un plan plus personnel, j’ai voulu en rédigeant ces lignes apporter un peu de lumière dans
un sujet obscur. Et c’est ce dont nous avons tous besoin : un peu plus de lumière. Je ne sais pas
si je suis parvenu à mon but, mais je me suis fait plaisir en rédigeant ces lignes. Puissent-elles
nous servir. Je ne sais ce qui me fait dire que la perte de la certitude est en même temps
l’invitation au méta-point de vue.
L’acquisition de la relativité n’est pas la chute dans le relativisme. Toute découverte d’une
limite à la connaissance est en elle-même un progrès de connaissance.
It is worth remembering, if only for the sense of calm that it provides, that
We belong to those who reject darkness
Teacher and Researcher
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