Leçon N1 Nombres relatifs

N.1
Nombres relatifs
I)
Rappels
4, + 15,7 et (+ 2) sont des nombres relatifs positifs.
Signe distance à zéro
– 3 et (– 7,84) sont des nombres relatifs négatifs.
0 est à la fois positif et négatif. C’est le seul.
a)
Repérage/comparaison
Droite graduée
Le nombre relatif – 4 est repéré par le point B.
B a pour abscisse – 4. on note B(- 4).
–5<2
Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
–5<–4
Lorsque deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Les nombres 5 et – 5 ont la même distance à zéro mais ont des signes différents : ce sont des nombres opposés.
b)
Propriété :
Exemples :
Propriétés:
c)
Addition
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
 On garde le signe commun aux deux nombres
 On additionne leur distance à zéro
Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :
 On repère celui qui a la plus grande distance à zéro et on garde son signe
 On soustrait leur distance à zéro
A = (– 7) + (– 3)
A = (– 10)
B = (+ 2) + (+ 8)
B = (+ 10)
C = (– 7) + (+ 4)
C = (– 3)
D = (– 5) + (+ 8)
D = (+ 3)
Ecritures simplifiées :
A=-7–3
B=2+8
C= - 7 + 4
D=-5+8
1) Pour effectuer une somme, on peut déplacer et regrouper les termes comme on veut.
2) La somme de deux nombres opposés est nulle (c.à.d. égale à zéro). Exemple : (– 7) + (+ 7) = 0
Soustraction
Propriété : Soustraire, c’est ajouter l’opposé
Ecritures simplifiées :
Exemples :
E = (+ 3) – (- 5)
E = (+ 3) + (+ 5)
E=+8
F = (- 6) – (+ 2)
F = (- 6) + (- 2)
F=-8
E=3+5
F=-6–2
Pour simplifier une somme-différence on retiendra la règle des signes :
+ + donne +
+– donne –
– + donne –
– – donne +
Exemple :
II)
G = (– 14,5) – (– 8) – (– 7) + (– 8) + (+ 15) – (+ 9)
G = – 14,5 + 8 + 7 – 8 + 15 – 9
G = – 14,5 – 9 + 7 + 15
G = – 23,5 + 22
G = – 1,5
Produit
Propriété :
Le produit de deux nombres de mêmes signes est positif.
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
La distance à zéro d’un produit s’obtient en multipliant les distances à zéro de chaque facteur.
Ecritures simplifiées :
2,37  10 = 23,7
5  (– 3) = – 15
– 64  0,1 = – 6,4
– 9  (– 8) = 72
Exemples :
(+ 2,37)  (+ 10) = (+ 23,7)
(+ 5)  (– 3) = (– 15)
(– 64)  (+ 0,1) = (– 6,4)
(– 9)  (– 8) = (+ 72)
(– 1)  (+ 6) = (– 6)
(– 1)  (– 5) = 5
Remarque :
Multiplier un nombre par (–1) revient à donner son opposé.
Notation :
On note – x l’opposé du nombre x.
Donc – x = (– 1)  x
Attention :
– a n’est pas toujours un nombre négatif.
Si x = – 5 alors – x = 5
Propriété :
Multiplier un nombre par un nombre positif ne change pas son signe.
Multiplier un nombre par un nombre négatif change son signe.
Conséquence :Le produit d’un nombre pair de facteur négatif est positif.
Le produit d’un nombre impair de facteur négatif est négatif.
Exemples :
III)
Propriété :
Exemples :
(– 2)  (– 5)  3,5  (– 1)  (– 10) = 350
(– 4)  3  (– 2)  (– 10)  2 = – 480
Quotient
La règle des signes pour un quotient est la même que celle pour un produit.
–3
3
3
– 3 : 10 =
=
=–
= – 0,3
10 – 10
10
–3
3
(– 3) : (– 10) =
=
= 0,3
– 10 10
Encadrement et valeurs approchées
A
C
B
2,3
2,4
L’abscisse du point C est comprise entre 2,36 et 2,37. En notant xC l’abscisse de C, on écrira 2,36 < xC < 2,37.
C’est un encadrement au centième près de xC. L’écart entre les deux bornes est de un centième.
2,36 est la valeur approchée par défaut au centième près de xC. C’est une valeur inférieure au nombre donné.
2,37 est la valeur approchée par excès au centième près de xC. C’est une valeur supérieure au nombre donné.
La troncature d’un nombre s’obtient en coupant l’écriture du nombre au rang demandé.
L’arrondi au dixième (par exemple) d’un nombre est la valeur approchée par défaut ou par excès au dixième
près la plus proche du nombre.
Pour donner la troncature d’un quotient, on arrête la division au rang demandé.
Pour donner l’arrondi d’un quotient, on continue la division un rang au delà de celui demandé.
Exemples :
Encadrement au
dixième
5
7
5
– 11
20
–
6
IV)
Valeur approchée
par défaut au
dixième près
Valeur approchée
par excès au
dixième près
Arrondi au
dixième
5
< <
7
5
<
<
– 11
20
<–
<
6
Vocabulaire
Calcul
C’est
Nom
a+b
la somme de a et de b.
a et b sont des termes.
a–b
ab
ab
a:b
a/b
ab
la différence entre a et b.
a et b sont des termes.
le produit de a par b.
a et b sont des facteurs
a
b
a est le numérateur.
l’écriture fractionnaire a sur
b.
b est le dénominateur.
V)
Troncature au
dixième
a est le dividende.
le quotient de a par b.
b est le diviseur.
Priorités
L’ordre des priorités est :
- les parenthèses
- les multiplications et divisions
- les additions et soustraction
Remarque
Dans une somme, on
peut permuter les termes
Dans un produit, on peut
permuter les facteurs
Exemples :
Un calcul sans parenthèses et formé uniquement de multiplications et de divisions s’effectue de gauche à
droite.
A = 100  (– 2)  (– 5)  3,1  (– 4)
A = – 50  (– 5)  3,1  (– 4)
A = 10  3,1  (– 4)
A = 31  (– 4)
A = – 124
B = 21 – 15  5 – 4  (– 2)
B = 21 – 3 + 8
B = 18 + 8
B = 26
– 12
+6
–3
C=4+6
C = 10
C=
Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
D = – 6  (3 – 4)
D = – 6  (– 1)
D=6
E = [– 20 – 5  (– 6)]  8
E = (– 20 + 30)  8
E = 10  8
E = 80
Un trait de fraction sous-entend des parenthèses autour du numérateur et autour du dénominateur.
12 – 4  2
6+72
12 – 8
F=
6 + 14
4
F=
20
1
F=
5
F=
F pourrait aussi s’écrire F = (12 – 4  2)  (6 + 7  2)