Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge
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Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Viscosité d’un fluide Observations – conclusions. observations • L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière. •La chute d'un parachutiste se fait contrairement à la loi de la chute libre. à vitesse constante, •La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli. conclusions • Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres. •Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement Viscosité d’un fluide Formalisation. La viscosité correspond à la résistance du fluide vis-à-vis de sa mise en mouvement. C’est une réponse à une contrainte de cisaillement. y A r v F h x F est une contrainte A F A r v est une gradient de vitesse h plastique newtonien épaississant parfait r v h On généralise cette notion au niveau infinitésimal F → τ xy A r v ∂v → h ∂y On définit ainsi la viscosité dynamique, ou absolue τ xy τ xy ∂v =µ ⇔µ= ∂v ∂y ∂y C’est une sorte de module d’Young ou de module de Coulomb [rappelez vous les milieux continus]. Pour un fluide parfait, µ=? L’unité de µ est le Pa.s ou le Poiseuille []=Pl. Elle dépend de la température et de la pression. La viscosité des liquides diminue beaucoup quand T augmente. Fluide µ (Pa·s) eau (0 °C) 1,787 x 10–3 eau (20 °C) 1,002·x 10–3 eau (100 °C) 0,2818·x 10–3 huile d'olive (20 °C) ≅ 100·x 10–3 glycérol (20 °C) ≅ 1,0 H2 (20 °C) 0,860·x 10–5 O2(20 °C) 1,95·x 10–5 On définit aussi la viscosité cinématique τ xy µ ν= = ρ ρ (∂v / ∂y ) Alors [ν]=m2/s Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Régimes d’écoulement On visualise un filet coloré dans un tube de verre. [expériences de Reynolds] 1 – le filet reste net et régulier, parallèle à l’axe du tube : l’écoulement est laminaire. 2 – le filet devient irrégulier, mais ne se rompt pas : l’écoulement est intermédiaire. 3 – le filet oscille, vibre, se rompt : l’écoulement est turbulent. Aspects quantitatifs On définit le nombre de Reynolds par vitesse moyenne viscosité cinématique ρvD Re = = ν µ vD diamètre de la conduite L’expérience montre qu’on peut séparer les différents régimes d’écoulement par : Re < 2000 : le régime est laminaire 2000 < Re < 3000 : le régime est intermédiaire Re > 3000 : le régime est turbulent La transition entre ces régimes est progressive. Un exemple : les écoulements industriels de l’eau. Pour l’eau, à 20°C, µ = 1,002·x 10–3 Que vaut la viscosité cinématique? Quelle doit être le diamètre des conduites et la vitesse du fluide pour que les écoulements soient laminaires? µ 10 −3 ν = = 3 = 10 −6 m 2 .s −1 ρ 10 Re = vD ν < 2000 ⇔ vD < 2000 × 10 -6 = 2.10 −3 Diamètre de la canalisation Vitesse d’écoulement 10 mm 0,2 m/s 100 mm 0,02 m/s 1m 0,002 m/s 5m 0,0004<1 mm/s !... Ce régime d’écoulement est très rare. Ce n’est le cas que si le fluide est très visqueux. Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Bilan d’énergie mécanique entre deux points d’une canalisation 2 1 2 2 v1 p1 + + z1 2 g ρg v2 p2 + + z2 2 g ρg 2 2 v2 p2 v1 p1 + + z1 = + + z2 Si Bernoulli : 2 g ρg 2 g ρg On tient compte de la viscosité, l’énergie mécanique diminue 2 2 v1 p1 v2 p2 + + z1 = + + z 2 + ∆H12 2 g ρg 2 g ρg A priori, les pertes de charges sont des fonctions de z. Peu satisfaisant en pratique → on globalise. Notion de vitesse moyenne ou vitesse débitante Q vm = S et on écrira 2 2 v1m v2 m p1 p2 + + z1 = α 2 + + z 2 + ∆H 12 α1 2 g ρg 2 g ρg 2 2 v1m v2 m p1 p2 + + z1 = α 2 + + z 2 + ∆H 12 α1 2 g ρg 2 g ρg Sens de α? r v (z ) dx 1 Ec = dmv 2 2 dm = ρdV = ρds × dx = ρv( z )dtds 1 3 Ec (ds ) = ρv dsdt 2 1 3 Ec = ∫∫ Ec (ds ) = ∫∫ ρv dsdt 2 S S 1 3 Ec = ∫∫ Ec (ds ) = ∫∫ ρv dsdt 2 S S 1 2 1 1 2 Ec = α mvm = α ρVvm = α ρSvm3 dt 2 2 2 3 1 ⎛ v ⎞ α = ∫∫ ⎜⎜ ⎟⎟ ds S S ⎝ vm ⎠ Pour un fluide parfait, α=1 Pour un écoulement laminaire, α=2 [on fera le calcul explicite] Pour un écoulement turbulent, α≅1. Ces résultats sont-ils étonnants, prévisibles? parfait [α=1] laminaire [α=2] On fera le calcul explicite un peu plus loin. turbulent [α≅1] couche limite Pour conclure, on peut commencer à généraliser l’Equation de Bernoulli pour les fluides réels, avec pertes de charge régulières. 2 2 v1m v2 m p1 p2 + + z1 = α 2 + + z 2 + ∆H 12 α1 2 g ρg 2 g ρg Peut on être quantitatif dans des cas particuliers? [c’est-à-dire, peut on calculer ∆H?] Pertes de charge régulières Pertes de charge régulières dans une canalisation à section droite. S χ L On considère que l’effet de la viscosité est un effet d’entraînement de la canalisation par le fluide. frottements visqueux Régime permanent pression Ffrottement = Fpression Forces de frottement : Ffrottement = τ × χ × L [τ=contrainte le long de la paroi] Forces de pression : Fpression = F1 − F2 ds d F1 d F2 d F1 − d F2 = ( p1 ( z ) − p2 ( z ) )ds = δp ( z )ds 2 2 v2 m v1m p2 p1 + + z1 = α 2 + + z 2 + ∆H 12 α1 2 g ρg 2 g ρg La géométrie de la canalisation implique * débit constant, donc vitesse moyenne aussi * α constant le long de la canalisation. On en déduit : δp ( z ) = ρg∆H12 Fpression = ∫∫ δp ( z ) = ρgS∆H12 S τχL = ρgS∆H12 vm2 Expérimentalement, on observe que τ = ρC f 2 où Cf est un coefficient sans dimension. On obtient pour la perte de charge : vm2 ρC f χL = ρgS∆H12 2 vm2 χL ∆H12 = C f 2g S En hydraulique, on appelle S/χ le rayon hydraulique RH et par définition, on note DH=4RH le diamètre hydraulique. Remarque : pour une canalisation circulaire, RH=R/2 et DH=D. vm2 χL L vm2 ∆H12 = C f = 4C f 2g S D 2g Pertes de charge régulières Coefficient de pertes de charge linéaires. 2 v L Il est d’usage de noter ∆H 12 = Λ pour les pertes D 2g de charge. v=Q/S est la vitesse moyenne, L la longueur de l’écoulement. Λ s’appelle le coefficient de pertes de charge régulières; il est fonction du régime de l’écoulement. Généralement, seule une détermination expérimentale de Λ est possible. Pertes de charge régulières Abaques de Nikuradze. réservoir ∆p Expérience de Nikuradze : Reynolds + modification de l’état de la canalisation en collant des grains de sable. ∅=k ∅=D L • In general, friction factor f = F (Re, – • Function of Re and roughness f = Laminar region f = – • e ) D 64 Re k (Re)1 / 4 Rough Blausius Independent of roughness Turbulent region – Smooth pipe curve • – f = 64 Re Rough pipe zone • f = All curves coincide @ ~Re=2300 All rough pipe curves flatten out and become independent of Re Smooth Blausius OK for smooth pipe 0.25 ⎡ 5.74 ⎞⎤ ⎛ e + ⎟⎥ ⎢log10 ⎜ ⎝ 3.7 D Re 0.9 ⎠⎦ ⎣ 2 Laminar Transition Turbulent Abaques de Nikuradze [diagramme de Moody] Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée La géométrie des écoulements peut être singulière 1 2 vm2 ∆H = K 2g K est sans dimension Il se rapporte à l’endroit où on mesure la vitesse moyenne! 2 1 v ∆H 12 = K1 2g 2 2 v ∆H 12 = K 2 2g Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge Viscosité d’un fluide Observations - Conclusions Formalisation Régimes d’écoulement Pertes de charge régulières Notion de pertes de charge régulières Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante Coefficient de pertes de charges linéaires Abaques de Nikuradze Pertes de charge singulières Equation de Bernoulli généralisée Généralisation de l’équation de Bernoulli, avec pertes de charges régulières et singulières. 2 2 2 i v 2j v1m v2 m Li v p1 p2 + + z1 = α 2 + + z2 + ∑ Λ i +∑Kj α1 2 g ρg 2 g ρg 2g Di 2 g i j
