Sommes de deux carrés

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Sommes de deux carrés
Ici on classifié les nombres entiers qui sont représentables comme la somme de deux carrés
parfaits et on étude d’autres problèmes relevants.
Théorème 1. Considérons n ∈ N et sa factorisation à ses facteurs premiers n = pv11 · · · pvrr .
Le nombre n peut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si 2|vi quand
pi ≡ 3 (mod 4).
On va montrer ce théorème en trois étapes. On commence avec le théorème suivant, qui
un cas spécial du Théorème 1.
Lemme 2. Si a et b peuvent être écris comme la somme de deux carrés, alors ab est aussi
la somme de deux carrés.
Démonstration. On a que a = x2 + y 2 et b = z 2 + w2 , pour quelques √
x, y, z, w ∈ Z. On
√
2 + y2 =
observe
que
la
magnitude
des
nombres
complexes
x
+
iy
et
z
+
iw
est
x
a et
√
√
z 2 + w2 = b. Donc
ab = |x+iy|2 ·|z+iw|2 = |(x+iy)(z+iw)|2 = |(xz−yw)+i(xw+yz)|2 = (xz−yw)2 +(xw+yz)2 .
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Le lemme au-dessus essentiellement réduit le théorème 1 au résultat suivant.
Théorème 3. Un nombre premier p > 2 peut être écrit comme la somme de deux carrés si
et seulement si p ≡ 1 mod 4.
Démonstration. On a toujours que x2 ≡ 0, 1 mod 4. Donc x2 +y 2 ≡ 0, 1, 2 mod 4, qui implique
que si p > 2 est représentable comme la somme de deux carrés, alors nécessairement p ≡
1 mod 4.
( )
Réciproquement, supposons que p ≡ 1 mod 4. Donc −1
= 1, c’est-à-dire il existe r ∈
p
⌊
⌋
√
{1, . . . , p − 1} tel que r2 ≡ −1 mod p. On pose M =
p , pour que
√
M < p<M +1
√
(en général, on a que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1, mais dans ce cas on peut pas avoir que M = p
parce que un nombre premier n’est pas un carré parfait). Soit
X = {(a, b) ∈ Z2 : 0 ≤ a, b ≤ M }.
Pour chaque (a, b) ∈ X, on considère le nombre a + br. Puisque |X| = (M + 1)2 > p, les
nombres a + br ne peuvent pas être tous différents modulo p. Donc il existe deux éléments
de X (a, b) et (a′ , b′ ) qui sont distincts et pour lesquels a + br ≡ a′ + b′ r mod p. C’implique
que (a − a′ ) ≡ r(b′ − b) mod p et, par la suite (a − a′ )2 ≡ r2 (b′ − b)2 ≡ −(b′ − b)2 mod p. Donc
le nombre
m := (a − a′ )2 + (b − b′ )2
est un multiple de p qui est positif car (a, b) ̸= (a′ , b′ ). De plus, on a que −M ≤ a′ − a ≤ M
et −M ≤ b′ − b ≤ M , qui implique que m ≤ 2M 2 < 2p. Mais le seul multiple de p qui
est dans l’intervalle (0, 2p) est p. Donc m = p = (a − a′ )2 + (b − b′ )2 , qui est ce qu’il fallait
montrer.
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1
2
Démonstration du Théorème 1. Si n = pv11 · · · pvrr possède la propriété que 2|vi quand pi ≡
3 (mod 4), alors on peut écrire n = d2 m, où
∏
m=
pi .
1≤i≤r
pi =2 ou pi ≡1 (mod 4)
Du théorème 3, on trouve que pi = x2i + yi2 quand pi ≡ 1 (mod 4). Aussi, on a trivialement
que 2 = 12 + 12 . Donc le Lemme 2 implique que m est aussi la somme de deux carrés, soit
m = x2 + y 2 . Par la suite, n = (dx) + (dy)2 , qui est ce qu’il fallait démontrer.
Réciproquement, supposons que n = x2 + y 2 . On pose d = (x, y) et on écrit x = da et
y = db, où (a, b) = 1, pour que n = d2 (a2 +b2 ). Il suffit de montrer que a2 +b2 n’est pas divisé
par de nombres premiers p ≡ 3 (mod 4). En effet, soit p|a2 + b2 , p > 2. Puisque (a, b) = 1,
alors (ab, p) = 1. Donc
( )
−1
2
2
−1 2
a + b ≡ 0 (mod p)
=⇒
(ab ) ≡ −1 (mod p)
=⇒
=1
p
=⇒
p ≡ 1 (mod 4),
qui termine la démonstration.
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Théorème 4. Un nombre premier p > 3 peut être écrit comme x2 + 3y 2 , où x, y ∈ N, si et
seulement si p ≡ 1 mod 3.
Démonstration. On a toujours que x2 ≡ 0, 1 mod 3. Donc x2 + 3y 2 ≡ 0, 1 mod 3, qui implique
que si p > 3 est représentable comme la somme de deux carrés, alors nécessairement p ≡
1 mod 3.
Réciproquement, supposons que p ≡ 1 mod 3. Donc
( ) ( )( )
(p)
(p) (1)
p−1
p−1 3−1
−3
−1
3
=
= (−1) 2
(−1) 2 2 =
=
= 1,
p
p
p
3
3
3
par le Lemme ?? et la loi de réciprocité
quadratique. En particulier, il existe r ∈ Z tel que
⌊√ ⌋
p , pour que
r2 ≡ −3 mod p. On pose M =
√
M < p < M + 1.
Si
X = {(a, b) ∈ Z2 : 0 ≤ a, b ≤ M },
alors |X| = (M + 1)2 > p, Donc, comme avant, on trouve qu’il existe deux éléments de X
(a, b) et (a′ , b′ ) qui sont distincts et pour lesquels a + br ≡ a′ + b′ r mod p. C’implique que
(a − a′ ) ≡ r(b′ − b) mod p et, par la suite (a − a′ )2 ≡ r2 (b′ − b)2 ≡ −3(b′ − b)2 mod p. Donc le
nombre
m := (a − a′ )2 + 3(b − b′ )2
est un multiple de p qui est positif car (a, b) ̸= (a′ , b′ ). De plus, on a que −M ≤ a′ − a ≤ M
et −M ≤ b′ − b ≤ M , qui implique que m ≤ 4M 2 < 4p. Donc m ∈ {p, 2p, 3p}. Si m = p, on a
ce qu’il fallait montrer. Le cas m = 2p ne peut pas arriver parce que x2 + 3y 2 ≡ 0, 1, 3 mod 4
et 2p ≡ 2 mod 4. Finalement, si m = 3p, alors on trouve que 3|a − a′ . Donc a − a′ = 3u et
on trouve que 9u2 + 3(b − b′ )2 = 3p, c’est-à-dire p = (b − b′ )2 + 3u2 , qui est ce qu’il fallait
montrer.
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