Chute d`un corps dans un fluide et gravitation-Satellites - Poly

POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section Orthoptiste / stage i-Prépa intensif -
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Chapitre 7 : Chute d’un bille dans un fluide
I. Deux nouvelles forces :
a) la Poussée d’Archimède :
Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale ascendante
valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps immergé :
, de
*
b) Forces de frottement fluide :
•
Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) :
* A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l’objet ; pour une bille
ηr.
de rayon r plongée dans un fluide de viscosité η :
(valable pour les vitesses faibles)
Formule de Stokes
•
Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) :
•
Généralisation, selon la vitesse de l’écoulement, les forces de frottement fluide sont de la
forme :
II.
Chute d’une bille dans un fluide :
Système : {la bille}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces :
2ème Loi de Newton :
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a) 1er cas : si on peut négliger la Poussée d’Archimède
devant le poids P :
l’équation précédente devient :
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant :
d’où, avec
et f = kv
Equation différentielle régissant les variations
de v au cours du temps
)
Point-Méthode :
(ED 1) et sachant que la bille est
Etant donnée l’équation différentielle
lâchée à t = 0 sans vitesse initiale, déterminer A et B et β pour qu’une solution de cette équation
différentielle soit de la forme
donc :
On remplace dans l’ED1 et on obtient :
[
En développant :
g
D’où :
g
En identifiant les coefficients on obtient :
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soit :
Ainsi :
Condition Initiale :
Or :
Ainsi, :
)
On retrouve la solution générale :
b) Détermination de la vitesse-limite
:
1ère méthode : quand t tend vers l’∞,
et
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et
d’où :
2ème méthode : on part de l’équation différentielle
si
l’équation différentielle devient :
et :
La vitesse-limite de chute de la bille est donc :
c) Constante de temps
La constante de temps
:
est la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint 63% de sa vitesse-limite
Soit à résoudre :
=
=
≈ ln
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Remarques :
•
Au bout de 5τ, la vitesse est égale à la vitesse-limite, le régime permanent est atteint.
Preuve :
=
•
)
d) 2ème cas : si on ne peut plus négliger la Poussée d’Archimède
P:
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant :
Si les frottements sont de la forme f = kv :
Vitesse-limite :
si
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devant le poids
l’équation différentielle devient :
et :
Si les frottements sont de la forme f = kv² , on obtiendrait de même :
et
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Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites
I. Loi de gravitation universelle : ( Isaac Newton - 1686 )
D’après la 3ème Loi de Newton, deux corps A et B dont la répartition des masses est à symétrie
sphérique et dont la distance d’éloignement est grande devant leurs tailles, exercent l’un surl’autre des
, de même direction, de même valeur, mais de sens opposés, telles que :
forces attractives
II. Référentiels usuels :
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-
Héliocentrique : défini par le centre du Soleil et 3 étoiles loitaines fixes sur la voûte céleste ;
sert à étudier le mouvement des planètes du système solaire
Géocentrique : défini par le centre de laTerre et 3 étoiles lointaines fixes sur la vôute céleste ;
sert à étudier le mouvement des satellites de la Terre
III.
Etude du mouvement d’un satellite en orbite circulaire autour de
la Terre :
Système : {le satellite S}
Référentiel : géocentrique considéré comme galiléen
Bilan des forces : force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite
2ème Loi de Newton :
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est dirigée dans le sens opposé à celui du vecteur , donc
centre de la Terre
est centripète, c’est-à-dire dirigée vers le
La base de Frénet : elle est constituée de deux vecteurs, l’un tangent à la trajectoire (sens arbitraire),
l’autre normal à la trajectoire et orienté vers l’intérieur de la courbe
Dans cette base, l’accélération s’exprime par :
étant colinéaires,
est entièrement porté par
Le mouvement d’un satellite en orbite de la Terre est circulaire uniforme, de vitesse :
Remarques :
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•
•
la vitesse diminue lorsqu’on s’éloigne de la planète, et augmente
lorsqu’on s’approche de sa surface.
Si l’on pose :
IV.
Période de révolution du satellite :
3ème Loi de Képler
:
V. Satellite géostationnaire :
Un satellite géostationnaire est un satellite qui se trouve en permanence à la verticale du même lieu ;
pour un observateur en ce lieu, le satellite paraît donc immobile. ( satellites d'observation, de
télécommunications, de télédiffusion)
a) Conditions pour que le satellite soit géostationnaire :
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•
•
•
•
Le mouvement du satellite doit se faire sur une trajectoire circulaire de centre le centre de la
Terre
La période du satellite géostationnaire doit coïncider avec celle de la rotation de la Terre sur
elle-même, soit : T = 24h =
(jour sidéral)
Le satellite doit tourner dans le même sens que la Terre
Le plan de rotation de la Terre doit être perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre et
contenir G, le centre de la Terre
b) Altitude du satellite géostationnaire :
Unités : T en secondes :
Application numérique : h = 3,5786.
c) Vitesse du satellite géostationnaire :
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d) Conclusion :
Un satellite géostationnaire est en orbite dans le plan équatorial
à 36 000 km d’altitude
et tourne à une vitesse de 11 000 km/h
e) Complément (Hors-Programme) : Mise en orbite d’un satellite géostationnaire
Lancement du satellite depuis Kourou sur une
orbite de transfert.
Le satellite décrit plusieurs révolutions sur
l'orbite de transfert.
Lors d’un passage à l’apogée, la mise à feu du
moteur d’apogée place le satellite sur une orbite
circulaire équatoriale à environ 36 000 km du
sol.
D'ultimes corrections de trajectoires rendent la
satellite géostationnaire. Il est mis
ultérieurement à poste à l’emplacement
souhaité.
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VI.
Lois de Képler :
Les Lois de Képler sont des lois issues de l’observation du Système solaire, et décrivant les
propriétés principales du mouvement des planètes autour du soleil.
1ère Loi : Loi des orbites
Les planètes décrivent une ellipse dont l’un des foyers est le Soleil.
L'aphélie est le point de l'orbite le plus éloigné du Soleil (3 juillet pour nous)
Le périhélie est le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil (3 janvier pour nous)
Aphélie et périhélie sont mesurés de la surface de la planète à la surface du Soleil (et non de centre à
centre)
Remarque : pour la Terre on parle d’apogée et de périgée :
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En réalité, à l'exception de Mercure, les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes ont
une très faible excentricité orbitale ; on peut approximer la trajectoire de toutes les autres planètes
à une trajectoire est quasi-circulaire.
De la 1ère loi, on déduit que le Soleil exerce sur une planète une force centripète (ou centrale, ou
radiale) sur le centre de gravité des planètes.
2ème Loi : Loi des aires
A durée égale, aires balayées égales.
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Si S est le Soleil et P une position quelconque d'une planète, l'aire balayée par le segment [SP] entre
deux positions P1 et P2 pendant la durée ∆t, est égale à l'aire balayée par ce segment entre deux
positions P3 et P4 pendant la même dur ée ∆t.
Conséquences :
•
•
a vitesse d'une planète devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du soleil ; est
maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et minimale au voisinage du rayon le
plus grand (aphélie).
Le mouvement des planètes en orbite elliptique n'est donc pas uniforme. Elles accélèrent
lorsqu'elles s'approchent du Soleil, ralentissent lorsqu'elles s'en éloignent
3ème Loi : Loi des périodes
Dans l’approximation circulaire des orbites des planètes autour du Soleil, on a, pour chaque planète
éloignée (centre à centre) d’une distance r par rapport au Soleil, et de période sidérale T :
(voir démonstration plus haut)
Remarques :
•
•
•
Les lois de Kepler ne sont pas seulement applicables aux planètes mais à chaque fois qu'une
masse se trouve en orbite autour d'une autre masse. C'est le cas, par exemple, de la Lune et de
la Terre ou d'un satellite en orbite autour de la Terre
ne dépend que de l’astre attracteur, pas de la masse de l’objet attiré ; en effet :
avec M : masse de l’astre attracteur
Les périodes de révolution s'accroissent lorsqu'on s'éloigne du Soleil
VII. Champ de gravitation terrestre :
a) Champ de gravitation terrestre :
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,
Par analogie avec le poids d’un corps dans le champ de pesanteur terrestre
en posant :
=
Champ de gravitation créé par la Terre
en un point situé à un rayon r de son centre
Remarques :
•
Ce champ diminue rapidement avec l’éloignement ; il varie en
•
En particulier, en posant
=
b) Champ surfacique :
=
=
donc à la surface de la Terre, où h = 0, on a :
expression du champ surfacique :
Application numérique :
=
=
est l’expression du champ de gravitation créé par la Terre à sa surface dans le repère
géocentrique,
g est l’expression du champ de pesanteur dans un référentiel terrestre
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c) Expression du champ de gravitation en fonction du champ surfacique :
=
Or
⇒ G.
=
expression du champ à l’altitude h en fonction du champ surfacique :
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