Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de Mathématiques / La Trigonométrie - Terminale Scientifique (S)
Cours de mathématiques (Terminale S)
II.
Chapitre 00 : La trigonométrie
1. Les angles orientés
A. Les radians
DÉFINITION
Le radian est une unité de mesure angulaire, notée
rad et définie par :
REMARQUE
A partir de ce chapitre, tous les angles sont exprimés par défaut en radians.
ASTUCE
Les mesures remarquables suivantes sont à connaître :
PROPRIÉTÉS
La longueur de l'arc de cercle de rayon
et d'angle
est égale à :
B. Le cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
On désigne les points
et
(
).
.
DÉFINITION
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre
direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
, de rayon
1, et dont le sens positif est le sens
PROPRIÉTÉS
Chaque point du cercle est associé à un réel de l'axe formé par la tangente au cercle en .
Par M. Mohamadou SINGARÉ ([email protected] | 06 46 19 68 96)
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PROPRIÉTÉS
Deux réels a et b peuvent être associés au même point du cercle, si et seulement s'il existe un entier k tel
que :
. Le réel a est alors égal au réel modulo
et on note :
.
PROPRIÉTÉS
Le sens indirect correspond au sens négatif.
C. L’angle orienté de deux vecteurs
DÉFINITION
Soient deux vecteurs non nuls
et
.
On appelle angle orienté (
) l'angle formé par les vecteurs et
correspondant à son sens (positive si direct, négative si indirect).
, dont la mesure est affectée du signe
DÉFINITION
Soient deux vecteurs non nuls
et
.
On appelle mesure principale de l'angle
(d'amplitude
( ; ) son unique mesure comprise dans l'intervalle
):
REMARQUE
Un angle orienté admet une infinité de mesures, toutes égales modulo
.
EXEMPLE
Soit l'angle orienté
Le réel
7π2 étant supérieur à π, il ne s'agit pas de la mesure principale de l'angle ( ; ). Pour la déterminer,
on soustrait une première fois la valeur
Le réel
étant aussi supérieur à
La mesure principale de l'angle
:
π, on soustrait une nouvelle fois la valeur
:
( ; ) est donc :
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THÉORÈME
Soient trois vecteurs non nuls
,
et
.
D'après la relation de Chasles pour les angles orientés :
2. Le cosinus et sinus
A. Caractérisation sur le cercle trigonométrique
THÉORÈME
Soient un réel
et
le point du cercle
trigonométrique associé à
Les coordonnées de
.
dans le repère sont :
et on a :
PROPRIÉTÉS





Pour tout réel
Pour tout réel
Pour tout réel
Pour tout réel
et tout entier
:
Pour tout réel
et tout entier
:
B. Les valeurs remarquables
C. Les formules des angles associés
PROPRIÉTÉS
Pour tout réel
:








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D. Les formules d’addition et de duplication
PROPRIÉTÉS
Pour tous réels
et
:






3. Les équations trigonométriques
A.
THÉORÈME
Soit un réel a.
L'équation
, d'inconnue
, a pour
, d'inconnue
, a pour
solutions réelles :
c'est-à-dire :
B.
THÉORÈME
Soit un réel a.
L'équation
solutions réelles :
c'est-à-dire :
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QUIZ
Enoncé
Corrigé
1 Quel est le sens direct dans le cercle trigonométrique ?
Dans le cercle trigonométrique, le sens direct est le sens inverse
des aiguilles d'une montre.
2 Quelle est la mesure en degré d'un angle de
?
Un angle de
3 A quelle condition deux points
et
image sur le cercle trigonométrique ?
radians
ont-ils la même
Deux points
radians fait
et
.
on la même image sur le cercle
trigonométrique si et seulement si
4 Quelle est la mesure principale d'un angle
?
5 D'après la relation de Chasles, que vaut
.
La mesure principale d'un angle
est l'unique
mesure de l'angle qui appartient à l'intervalle
?
D'après le relation de Chasles,
.
6 Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle se
lit-il en abscisses ou en ordonnées ?
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle se lit en
abscisses et le sinus d'un angle se lit en ordonnées.
7 A quel intervalle appartiennent
Pour tout réel
,
Pour tout réel
,
réel
pour tout
et
.
?
8 Pour tout réel
, combien vaut
9 Combien vaut
et
?
?
10 Combien valent
de
et
?
?
et
?
.
et
en fonction
;
et
et
.
.
?
11 Combien valent
fonction de
et
12 Combien valent
fonction de
et
et
en
et
en
et
.
et
.
?
13 Combien valent
fonction de
et
?
et
en
et
.
?
14 Vrai ou faux ?
Faux,
?
15 Combien vaut
16 Combien vaut
?
?
?
17 Quelles sont les solutions de l'équation
18 Quelles sont les solutions de l'équation
et
?
?
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ou
ou
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Méthode
Méthode №01 : Déterminer la mesure principale d’un angle
Méthode
Exemple
Description
Déterminer la mesure principale de
La mesure principale d'un angle est la mesure qui
appartient à l'intervalle
.
Etape 1Chercher
tel que
On cherche l'entier relatif
On cherche à déterminer la mesure principale de l'angle
On écrit que l'on recherche
.
tel que
:
.
tel que :
.
On résout cette inéquation pour obtenir un encadrement
de
:
.
⇒
Or
On calcule ensuite une valeur approchée de
et on choisit la valeur de
et
On choisit donc
vérifiant l'inégalité.
Etape 2Déterminer la mesure principale
Pour la valeur de
déterminée précédemment, on
calcule
.
La mesure principale de
est donc :
.
La valeur trouvée est la mesure principale de l'angle
Le
.
,
.
cherché est un entier relatif (un entier positif ou
négatif). On doit donc trouver le seul entier qui appartient à
l'intervalle considéré.
a donc pour mesure principale
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–
.
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Méthode №02 : Déterminer le cosinus et le sinus des angles associés
Méthode
Exemple
Description
Donner la valeur :
A partir de la valeur de
sinus des angles associés :
et de
, on sait déterminer le cosinus et le
de
et de
.
.
Etape 1
Reconnaître l'angle associé
Si l'on cherche
angle
ou
, on exprime
On reconnait que :
α en fonction d'un
dont on connait le cosinus et le sinus.
En particulier, si l'énoncé ne donne pas la valeur de
ou
, on choisira
.
On écrit ainsi
ou
.
On peut aussi avoir
ou
avec
Etape 2
.
Réciter la formule du cours
Or
D'après le cours, on sait que :
et
.




et
et
et
et

et
Etape 3
Donner
et/ou
On donne alors la valeur de
valeurs de cours
et/ou de
, qui est soit une des
On sait que
et
, soit donnée dans l'énoncé.
Etape 4 Conclure
On peut alors donner la valeur du cosinus ou du sinus cherché.
On obtient donc :
et
CONSEILS
Pour déterminer la valeur du cosinus et du sinus des angles ennoncés, il faut connaître deux choses : les valeurs de cosinus et de
sinus des angles classiques
ainsi que les formules du cosinus et du sinus des angles associés.
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Exercices
Exercice №01 : Repérage sur le cercle trigonométrique
Enoncé (Exo)
Corrigé
Placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants :

Exercice №02 : Donner le sinus d’un angle dont on connaît le cosinus
Enoncé (Exo)
Soit
Calculer
. On sait que
Corrigé
.
.

Exercice №03 : Déterminer la mesure principale d’un angle
Enoncé
Corrigé
Déterminer la mesure principale des angles suivants.
1
2
Exercice №04 : Réduire une expression trigonométrique à l’aide des propriétés élémentaires
Enoncé (Exo)
Corrigé
Simplifier les expressions suivantes.
1

2
3
Exercice №05 : Cosinus et sinus des angles associés
Enoncé (Exo)
Corrigé
Calculer les cosinus et sinus des angles associés suivants :
1
et
.
2
et
.
3
4
et
et

.
.
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Exercice №06 : Transformer une expression trigonométrique à l’aide des propriétés élémentaires
Enoncé (Exo)
Corrigé
A l'aide des formules de duplication, montrer les égalités suivantes :
1
.
2

.
Exercice №07 : Résolution d’équations trigonométriques
Enoncé (Exo)
Résoudre les équations trigonométriques suivantes sur
Corrigé
puis sur
.
1

2

3
Exercice №08 : Un algorithme de calcul de la mesure principale d’un angle
Enoncé (Exo)
Corrigé
Ecrire un algorithme qui calcule la mesure principale de l'angle saisi.
Exercice №09 : Angle orientés et relation de Chasles dans un triangle
Enoncé (Exo)
Soit le triangle
Corrigé
tel que :
et
Soit
le milieu de
et
le pied de la hauteur issue du sommet
.
Calculer la mesures principale de chacun des angles orientés suivants :
1
2
3
4
Exercice №10 : Formules d’addition du sinus et du cosinus
Enoncé (Exo)
Corrigé
En utilisant les formules d'addition ainsi que des valeurs trigonométriques remarquables, calculer :
1

2
Exercice №11 : Inéquation trigonométrique et intervalles de solutions
Enoncé (Exo)
Corrigé
Résoudre l’inéquation suivante :
1 Dans
R.
2 Dans l’intervalle

.
3 Dans l’intervalle des mesures principales
.
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
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Exercice №12 : Résolution d’équations trigonométriques
Enoncé (Exo)
Résoudre dans
Corrigé
R les équations suivantes :
1

2

3
Exercice №13 : Inéquation et cercle trigonométrique
Enoncé (Exo)
Résoudre, dans l’intervalle
Corrigé
, l’inéquation :
Problèmes
Problème №01 : De la tangente aux cosinus et sinus
Enoncé
Sachant que
Corrigé
, déduire :
1

2
Problème №02 : Coordonnées polaires et angles orientés
Enoncé (Exo)
Indication : les coordonnées polaires
de
Corrigé
dans le repère
sont définies par :


est le point de coordonnées polaires
dans le repère
.
1 Déterminer les coordonnées polaires du point , milieu du segment
.
2 Déterminer les coordonnées polaires puis les coordonnées cartésiennes du
point
, tel que le triangle
soit rectangle isocèle direct en

.
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