Somme de distances dans un tore de PC
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Somme de distances dans un tore de PC Stéphane Vialle Février 2007 Cet exercice consiste à implanter un calcul de somme de distances entre villes, sur un cluster de PC. Le cluster de PC : On considère un cluster de PC construit autour d’un simple réseau FastEthernet. On perçoit ce cluster comme un tore (en dimension deux), et on se limite volontairement à des communications entre PC voisins. Chaque PC sera identifié par son numéro de ligne et son numéro de colonne, disponibles dans deux variables : (MaLigne, MaColonne). On suppose également connu la taille du coté du tore de PC : m. PC L : 0, C : PC L : 0, C : 1 PC L : 0, C : m-1 PC L : 1, C : PC L : 1, C : 1 PC L : 1, C : m-1 PC L : m-1, C : 0 PC L : m-1, C : 1 PC L : m-1, C : m-1 La bibliothèque de communication : on considère une bibliothèque proche de MPI. On suppose disposer d’une instruction Send non bloquante et bufferisée, et d’une instruction Recv bloquante : • Send(Ptr sur les données à émettre, taille à émettre, destinataire) • Recv(Ptr sur la zone à remplir, taille à recevoir, émetteur) On peut donc émettre les données sans soucis (elles sont sauvegardées automatiquement) et l’instruction Send rend la main immédiatement. L’instruction Recv bloque jusqu’à ce que les données soient bien reçues. Le problème : On considère un ensemble de n villes reliées par un réseau de routes. Toutes les distances minimales entre les villes sont connues. On dispose d’un tableau (Tab) de nxn cases, dont la case de coordonnée (ligne l, colonne c) représente la distance minimale pour aller de la ville l à la ville c. V0 V1 Vn-1 V0 Distances de la ville V1 vers les autres villes V1 Tableau Tab de nxn cases Vn-1 Distances de toutes les villes vers la ville Vn-1 Par conséquent, la ligne l contient les distances de la ville l vers toutes les autres. La colonne c contient les distances de toutes les villes vers la ville c. La distance l → c peut être différente de la distance c → l (présence de routes à sens unique). On cherche à identifier la ville « la mieux située » : c’est-à-dire celle dont la somme des n-1 distances vers les autres villes et des n-1 distances depuis les autres villes est la plus petite. Question 1 : On considère un tore de nxn PC (autant de PC que de cases du tableau, m = n). Ainsi chaque PC contient une case du tableau : le PC (ligne l, colonne c) contient la case Tab(ligne l, colonne c) Concevez et décrivez une circulation de données et un algorithme exécuté sur chaque PC qui permette à chaque PC de calculer la somme des distances de sa ville vers les autres villes : un PC de la ligne l calcule la somme des distances de la ville l vers toutes les autres et la stocke dans sa variable Somme_l. Cet algorithme doit évidemment fonctionner sur tous les PC. Evidemment, à la fin, tous les PC de la ligne l contiennent la même somme : 0 10 10 0 2 4 … 2 4 1 12 3 6 16 11 5 5 1 2 8 1 7 8 1 8 48 48 48 48 48 48 48 48 39 39 39 39 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 … Distribution des distances entre villes Distribution des sommes des distances de chaque ville vers les autres N’hésitez pas à faire des schémas, donnez bien l’algorithme complet : condition d’arrêt et valeurs initiales des variables que vous utiliserez. Question 2 : On considère encore un tore de nxn PC (autant de PC que de cases du tableau). Concevez et décrivez un algorithme qui permette à chaque PC de coordonnée (l,c) de calculer la somme des distances de la ville l vers les autres (question précédente) et la somme des distances des autres villes vers la ville c. Calculez ainsi deux variables (Somme_l, et Somme_c). Après calculs, vous devez obtenir par exemple : 0 10 10 0 2 4 12 6 2 12 4 6 1 11 11 0 Distribution des distances entre villes 24-24 20-24 18-24 29-24 24-20 20-20 18-20 29-20 24-18 20-18 18-18 29-18 24-29 20-29 18-29 29-29 Distribution des sommes Somme_l et Somme_c Ne calculez pas une somme puis l’autre en 2n étapes. Calculez ces deux sommes en n étapes environ, en concevant une double circulation de données qui utilise les liens horizontaux et verticaux à chaque étape. Question 3 : écrivez l’implantation de l’algorithme de la question 2, à l’aide des routines Send et Recv de l’énoncé. Soyez précis dans l’initialisation des diverses variables employées, dans les bornes des compteurs de boucles, … Question 4 : adaptez votre algorithme et votre implantation au cas d’un tore de pxp PC, en supposant que n = k.p (n est multiple de p).
