Chapitre 3.2 – L`énergie potentielle élastique d`un ressort idéal

Chapitre 3.2 – L’énergie potentielle élastique
d’un ressort idéal
Le travail fait par un ressort
Le travail Wr effectué par un ressort idéal dépend de l’évolution de la déformation e de
celui-ci entre un état initial ei et un état final e f . Il est proportionnel à la variation du carré
de la déformation tel que :
Wr =
où
1 2 1
2
kei − ke f
2
2
Wr : Travail effectué par la force du ressort (J).
k : Constante du ressort (N/m).
ei : Déformation initiale du ressort (m).
e f : Déformation finale du ressort (m).
Preuve :
Rappelons l’expression de la force d’un ressort Fx en
fonction de son étirement x :
Fx = −kx
v
v
Rappel : Fr = − ke
v e = xi
Fr i
Fx
xi
−kx i
−kx f
xf
W
0
Aire d’un trapèze :
x
2
x(m )
ef = xf
v
Fr
(h + H ) L
A=
xi
0
x f x(m )
Évaluons le travail effectué par le ressort qui correspond à l’aire sous la courbe du
graphique de force en fonction du déplacement ayant la forme d’un trapèze :
Wr = aire sous la courbe
⇒
Wr =
(− kx
i
− kx f
2
)(
x f − xi )
k
(xi + x f )(x f − xi )
2
k
2
2
⇒
Wr = − x i x f − x i + x f − x i x f
2
1 2 1
2
⇒
Wr = kxi − kx f ■
2
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
⇒
(Aire du trapèze)
(Factoriser –k / 2)
Wr = −
(
)
(Effectuer le produit)
(Simplification)
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Théorème de l’énergie cinétique avec énergie potentielle du ressort
À partir du travail de la force d’un ressort idéal Wr ,
nous pouvons modifier le théorème de l’énergie
cinétique en y incluant un terme d’énergie potentielle
U r associé à la déformation e du ressort. Ce nouveau
terme correspond à une énergie emmagasinée dans la
déformation du ressort. Elle est libérée lorsque le
ressort reprend sa forme naturelle :
K f + U r f = K i + U r i + Wautre
où
K i et K f
1
U r = ke2
2
tel que
e
K=
0
e
Ur =
1 2
ke
2
1 2
mv
2
v
v
x(m )
: Énergie cinétique initiale et finale de l’objet (J).
U r i et U r f : Énergie potentielle du ressort initiale et finale (J).
: Constante du ressort (N/m).
: Déformation du ressort (m).
k
e
Wautre
: Travail total effectué sur l’objet par les autres forces (J).
Preuve :
À partir du théorème de l’énergie cinétique, séparons le travail effectué par le ressort et le
travail effectué par les autres forces afin d’y inclure un terme d’énergie potentielle du
ressort :
K f = K i + Wtot
⇒
K f = K i + Wr + Wautre
⇒
1 2 1
2
K f = K i +  kei − ke f  + Wautre
2
2

⇒
Kf +
⇒
K f + U r f = K i + U r i + Wautre ■
1
1 2
2
ke f = K i + kei + Wautre
2
2
(Remplacer Wr =
1 2 1
2
kei − ke f )
2
2
(Isoler termes finaux et initiaux ensemble)
(Remplacer U r =
1 2
ke )
2
Le travail de la force conservative du ressort
La force du ressort est une force conservative, car elle établie le lien suivant entre le travail
Wr qu’elle effectue et la variation d’une énergie potentielle ∆U r :
Wr = − ∆U r
où
Wr : Travail effectué par la force du ressort (J).
∆U r : Variation de l’énergie potentielle du ressort (J).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
( ∆U r = U r f − U r i )
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Preuve :
À partir du calcul du travail Wr du ressort et de la définition de l’énergie potentielle du
ressort, établissons un lien entre le travail et la variation de l’énergie potentielle :
Wr =
1 2 1
2
kei − ke f
⇒
2
2
1 2
ke )
2
Wr = U r i − U r f
(Remplacer U r =
⇒
Wr = −(U r f − U r i )
(Factoriser signe négatif)
⇒
Wr = −∆U r
■
Situation 2 : Bloc et ressort. On suppose un bloc de 0,3 kg et que sa vitesse initiale est
nulle lorsque le ressort est comprimé de 20 cm (le bloc est attaché au ressort). On désire
déterminer le module de la vitesse du bloc lorsque le ressort est étiré de 10 cm. La
constante de rappel du ressort est de 40 N/m.
Situation initiale
Situation finale
ef
ei
v
vf
v
vi = 0
− 0,2
0
0
x(m )
Mesures :
Mesures : vi = 0 et ei = −0,2 m
0,1 x(m )
v f = ? et e f = 0,1 m
Évaluons nos termes d’énergies :
1 2 1
2
kei = (40 )(− 0,2 ) = 0,8 J
2
2
1
1
2
2
= ke f = (40 )(0,1) = 0,2 J
2
2
•
Ki = 0
•
Uri =
•
Kf =?
•
Ur f
•
Wautre = 0
Avec le théorème de l’énergie cinétique, évaluons la vitesse finale :
K f + U r f = K i + U r i + Wautre
⇒
K f + (0,2 ) = (0 ) + (0,8)
(Remplacer val. num.)
⇒
K f = 0,6 J
(Évaluer K f )
⇒
⇒
⇒
1
2
mv f = 0,6
2
2 × 0,6
vf =
=
m
v f = ± 2 m/s
(Kf =
2(0,6 )
= 4
0,3
1
2
mv f )
2
(Isoler v f )
(Évaluer v f )
Remarque : La vitesse calculée n’est pas vectorielle. Il y a deux possibilités de direction.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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