Questions ROC sur les complexes

Questions ROC sur les complexes
Pondichéry 2008
On suppose connus les résultats suivants
1. Dans le plan complexe , on donne par leurs affixes zA , zB et zC trois points A,B et C.
→ →
zB − zC CB
z −z
Alors z − z  =
et arg  B C = (CA ; CB) (2π)
 A C CA
zA − zC
2. Soit z un nombre complexe et θ un réel : z = eiθ ⇔ |z| = 1 et arg(z) = θ + 2kπ , k ∈ Z
Démontrer que la rotation r d'angle α et de centre Ω d'affixe ω est la transformation du plan
qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' − ω = eiθ(z − ω)
Amérique du Sud 2006
→→
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; u ; v ). On prendra pour unité
graphique 1 cm.
→
→
→ →
On rappelle que pour tout vecteur w non nul d'affixe z , on a |z| = || w || et arg(z) = ( u , w )
Soit M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m, n et p tels que m ≠ n et m ≠ p.
→ →
p − m
1. Démontrer que arg
 = (MN , MP)
n − m
p − m
2. Interpréter géométriquement le nombre n − m


Centres étangers 2007
1. Démontrer qu'un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si −z = − z
−
2. Démontrer qu'un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z , on a l'égalité z−z = |z|²
Amérique du Nord 2006
Prérequis : le module d'un complexe z , noté |z| vérifie |z|² = z−z
Démontrer que :
pour tous nombres complexes z1 et z2 , |z1 × z2| = |z1| × |z2|
1 1
pour tout nombre complexes non nul z , z =
  |z|
Centres étrangers 2006
On rappelle les deux résultats suivants :
i. Si z est un nombre complexe non nul , on a les équivalences suivantes :
|z| = r
z = r(cos θ + i sin θ)

⇔ 
arg z = θ (2π)
r > 0
cos(a + b) = cosa cos b − sin a sin
ii. Pour tous réels a et b : 
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Montrer que pour tous complexes non nuls z1 et z2
|z1z2| = |z1| × |z2| et arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (2π)
Métropole 2006
Prérequis : si z et z' sont 2 complexes non nuls , arg(zz') = arg(z) + arg(z') (2π)
→
→ →
pour tout vecteur w non nul d'affixe z , arg(z) = ( u ; w ) (2π)
z'
1. Soit z et z' deux complexes non nuls : démontrer que arg   = arg(z') − arg(z) (2π)
z
→ →
c − a
2. Soit A,B,C trois points d'affixes respectives a,b,c : démontrer que arg 
 = (AB;AC)
b − a