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VAUDON Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques
IRCOM – Université de Limoges
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I - Les équations de MAXWELL
***************
I) Les relations fondamentales issues des expérimentations
I.1) La loi de FARADAY
Considérons un circuit électrique fermé (C). Ce circuit délimite un ensemble de
surface : soit S l’une d’entre elles.
L’expérience montre que si on déplace un aimant au voisinage de ce circuit, il y a
apparition d’un courant induit, indiquant par là même l’existence d’une f.e.m. induite.
r
dS
r
B
(C)
Figure I : Flux du champ magnétique à travers une surface délimitée par un
conducteur fermé
Cette f.e.m. peut être évaluée de deux manières :
- en l’exprimant en fonction du champ électrique présent dans le circuit (C) :
f .e. m. =
r r
E
∫ .d l
(I-1)
(C )
- en l’exprimant en fonction des variations temporelles du champ
magnétique qui traverse une des surfaces (S) s’appuyant sur le contour (C):
r
∂φ
∂ r r
∂B r
= − ∫∫ B.d s = − ∫∫ .d s
f .e.m. = −
∂t
∂t s
s ∂t
(I-2)
D’où l’égalité déduite des relations (I-1) et (I-2) :
r
r r
∂B r
∫ E.d l = − ∫∫ ∂t d s
(C )
(S)
(I-3)
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Lorsque les conditions de continuité et de dérivation sont réunies, on peut appliquer le
théorème de STOKES qui montre que la circulation du vecteur champ électrique sur un
contour fermé (C) est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers toute surface
s’appuyant sur (C) :
∫
(C )
r r
E.d l =
r r r
(
∇
∫∫ ΛE )d s
(I-4)
(S)
Des relations (I-3) et (I-4), on déduit :
r
r r r
∂B r
∫∫ (∇ΛE )d s = − ∫∫ ∂t .d s
(S)
(S)
(I-5)
et puisque cette égalité doit être vraie pour toutes les surfaces (S) qui s’appuient sur le contour
(C), on en déduit :
r
r r
∂B
∇ΛE = −
∂t
(I-6)
I.2) Le théorème d’AMPERE
Considérons à nouveau un contour fermé (C), définissant un surface (S). Par rapport à
la situation précédente, nous supposons cette fois qu’il existe un courant total I qui traverse la
surface (S), et nous nous interrogeons sur les propriétés du champ magnétique présent sur le
contour (C).
r
B
r
ds
I
(C)
Figure II : Circulation du champ magnétique sur un contour fermé entourant
un courant.
AMPERE a montré, essentiellement par des expérimentations en courant continu, c’est
à dire avec des courants et des champs qui ne varient pas dans le temps, que :
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r r
r r
B
.
d
l
=
µ
.
I
=
µ
.
J
∫
0
0 ∫∫ .d s
(C )
3
(I-7)
(S)
r
où J représente la densité surfacique de courant, dont le flux à travers (S) définit le courant I
qui traverse cette surface. Le paramètre µ0 est la perméabilité du vide.
Par un raisonnement analogue à celui du paragraphe précédent, on obtient :
∫
r r
B.d l =
(C )
r r r
r r
(
∇
Λ
B
).
d
s
=
µ
.
∫∫
0 ∫∫ J.d s
(S )
(I-8)
(S)
et donc :
r r
r
∇ΛB = µ 0 .J
(I-9)
relation obtenue, rappelons le, en courant continu.
I.3) Le théorème de GAUSS pour des charges électriques
En synthétisant les travaux connus sur l’électrostatique, et en faisant usage de son
importante culture de mathématicien, GAUSS a montré que le flux du vecteur champ
électrostatique à travers toute surface fermé (S) (qui délimite donc un volume (V)), est égal à
la somme des charges intérieures à ce volume, divisée par ε0 (permittivité du vide):
r r
∫∫ E.d s =
(S)
∑ Qint
ε0
=
1
. ρ.dv
ε 0 ∫∫∫
( V)
(I-10)
où ρ représente la densité volumique de charge, dans le cas d’une distribution continue.
Lorsque les conditions de continuité et de dérivation sont réunies, on peut appliquer le
théorème d’OSTROGRADSKY qui montre que le flux d’un vecteur à travers une surface
fermée (S) délimitant un volume (V) est égal à l’intégrale sur le volume de la divergence de
ce vecteur
r r
r r
E
.
d
s
=
(
∇
∫∫
∫∫∫ . E ).dv
(S)
(I-11)
( V)
Des relations (10) et (11), on déduit :
r r
1
(
∇
∫∫∫ . E).dv = ε .∫∫∫ ρ.dv
0 (V )
( V)
(I-12)
et puisque cette relation doit être vérifiée pour tous les volumes (V) :
r r ρ
∇.E =
ε0
I.3) Le théorème de GAUSS pour des charges magnétiques
(I-13)
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Un raisonnement analogue peut être mené pour le champ magnétique, la différence
essentielle étant qu’aucune expérimentation n’a jamais pu mettre en évidence l’existence de
charge magnétique libres, analogue aux charges électrostatiques. On en déduit :
r r
∇.B = 0
(I-14)
II) La contribution de MAXWELL
En résumé, lorsque MAXWELL travaillait sur l’électromagnétisme, les relations (I-6),
(I-9), (I-13) et (I-14) étaient déjà connues :
r
r r
∂B
∇ΛE = −
∂t
r r
r
∇ΛB = µ 0 .J
r r ρ
∇.E =
ε0
r r
∇.B = 0
(I-15)
On peut considérer que le génie de MAXWELL a été dans la prise de conscience que
la seconde de ces équations était incomplète. Sa validité en régime indépendant du temps a
fait l’objet de toutes les vérifications, mais il y a un problème en régime variable. Si nous
prenons la divergence de chacun des membres de l’égalité (I-9), nous obtenons :
r r r
r r
∇ .(∇ ΛB)=µ0.(∇ .J)
(I-16)
Dans la relation (I-16), le membre de gauche est toujours nul (La divergence d’un
rotationnel vaut toujours 0), tandis que le membre de droite n’a aucune raison d’être nul en
régime variable.
Pour le montrer, considérons un volume (V) délimité par une surface fermée (S).
Pendant un bref instant dt, la quantité de charge contenue dans ce volume peut varier, ce
qu’on peut exprimer par les relations :
Q(t)= ∫∫∫ρ.dv
et
(V)
dQ (t)
=  ∂ρ .dv
dt ∫∫∫
∂t 
(V ) 
(I-17)
Mais la quantité dQ(t)/dt représente le courant qui entre ou sort dans le volume (V) en
traversant la surface (S), ce que l’on peut écrire sous la forme :
r r
rr
dQ (t)
=−∫∫ J.d s = −∫∫∫(∇. J).dv
dt
(S)
(V)
(I-18)
Des relations (I-17) et (I-18), on déduit une équation appelée « équation de continuité
de la charge » qui traduit le fait que même en régime variable, il ne peut y avoir création
spontanée d’une charge électrique : si pendant un instant dt, il y a augmentation ou diminution
des charges contenues dans un volume (V), c’est que des charges sont entrées ou sorties en
traversant la surface (S).
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r r dρ
∇ .J + =0
dt
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(I-19)
Cette équation dont le fondement physique est assuré montre véritablement que la
relation (I-9) telle qu’elle est écrite est incomplète.
Il fallait donc imaginer de la compléter sans ne rien mettre en cause de ce qui était déjà
établi. De nombreuses possibilités étaient offertes, mais une des plus naturelles est celle suivie
par MAXWELL qui permet de rendre nul, y compris en régime variable, la divergence du
membre de droite de la relation (I-9) en posant simplement cette divergence égale à l’équation
de continuité:
r
r r ∂ρ r r
r r r r
E
∂
∂
∇ .J + =∇. J + ε0.∇.E =∇ . J +ε0 =0
∂t
∂t
∂t 

(
)
(I-20)
r
r
r
Ainsi, en remplaçant le vecteur J par le vecteur  J +ε0 ∂E  , MAXWELL a formé un
∂t 

groupe cohérent d’équations qui prennent en compte tous les aspects physiques fondamentaux
des phénomènes électromagnétiques.
r
r r
∂B
∇ΛE = −
∂t
r
r r
r

∂
E
∇ ΛB =µ0. J +ε0 
∂t 

r r ρ
∇.E =
ε0
r r
∇.B = 0
(I-21)
Ce sont les équations de MAXWELL dans le vide. En régime harmonique, la
dérivation par rapport au temps est remplacée par (jω), et elles prennent la forme :
r r
r
∇ ΛE= −jω.B
r r
r
r
∇ ΛB=µ0. J+ jω.ε0.µ0.E
r r ρ
∇.E =
ε0
r r
∇.B = 0
(I-22)