Les fractions

Calculs
I.
Ecriture fractionnaire
1. Egalité de deux fractions :
a) Simplification d’une fraction :
On fait apparaître un diviseur commun au numérateur et au dénominateur et ensuite on
simplifie par ce diviseur.
Exemple : Error!= Error! =
Error!
si b0 et c0, on a :
a ac

b bc
et
a a:c

b b:c
Exercice 1 : Simplifie les fractions suivantes : Error! ; Error! ; Error!; Error! ; Error!.
Remarque Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre alors on
obtient la même fraction.
Exemple
Error!= Error! = Error! donc
Error!= Error!
b) Réduction de fractions au même dénominateur :
On détermine un multiple commun (le plus petit possible) aux dénominateurs des fractions
puis on procède comme dans l’exemple ci-dessous :
Exemple : Error!et Error!.
Le plus petit multiple commun à 15 et 6 est 30 donc le dénominateur commun à ces deux
fractions est 30 et on a alors :
3 3 2 6
7 7  5 35
et 


 .
15 15  2 30 6 6  5 30
Exercice 2 : Réduis au même dénominateur
5 2
1
,
et .
2 3
6
Remarque : Cela permet de comparer deux ou plusieurs fractions.
2. Inverse
Définition : soit x un nombre relatif non nul . On appelle inverse de x le nombre qui multiplié
par x vaut 1.
Exemples :
l’inverse de 7 car Error! 7 = 1
3 est l’inverse de Error!car 3  Error!= 1
Error!est l’inverse de Error!et Error!est l’inverse de Error!
Error!est
1 est l’inverse de 1
0 n’a pas d’inverse.
Notation : l’inverse de x non nul est noté Error! ou x –1 .
Exemples : si x = 3 alors Error! = Error!ou x –1 = Error!
si x = Error! alors Error!= 2 ou x –1 = 2
Propriété : L’inverse de Error!(a et b non nuls) est Error!
3. Multiplication de deux ou plusieurs fractions :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
𝑎
𝑏
Exemple :
𝑐
𝑎×𝑐
𝑑
𝑏×𝑑
× =
( avec c0 et d0)
3 5 3 5
3 5
1
 


5 9 5 9 5 3 3 3
4. Quotient de deux nombres en écriture fractionnaire
Rappels :
Le quotient de a par b (avec b0) est le nombre x qui vérifie
on le note
a  b ou
b x  a .
a
.
b
Règle : diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.
c
d
Pour diviser par
(avec c0 et d0) on multiplie par son inverse
.
d
c
On a donc :
a
b  a c
avec b0, c0 et d0.
c b d
d
Exemples :
A = 3 : Error!= 3  Error!= Error!
C = Error! =Error! Error!= Error!
5. Addition, soustraction :
a. Les dénominateurs sont les mêmes :
B = Error! = 7  Error!= Error!
D = Error! = Error! Error!= Error!
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on
garde le même dénominateur.
a b ab
 
k k
k
si k0, on a donc :
exemple :
et
a b ab
 
b k
k
 7 0,5  7  0,5  6,5
6,5




3
3
3
3
3
b. Les dénominateurs sont différents :
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur.
exemples :
 1 5  2 15 13
 


3 2
6
6
6
B. Puissance
Définition
Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre relatif non nul.
 on appelle a exposant n le nombre noté 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × … … × 𝑎
n termes
𝑛
 L'inverse du nombre 𝑎 se note 𝑎
−𝑛
1
1
= 𝑎𝑛
 Cas particuliers: 𝑎1 = 𝑎 ; 𝑎−1 = 𝑎 et, par convention, 𝑎0 = 1
Règle de calcul
Soit a et b deux nombres relatifs non nul, et m et n deux entiers relatifs.
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Exemple 54 × 53 = 54+3 = 57
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛
Exemple
1
7−5= 75
𝑎𝑛−𝑚 = 𝑎𝑛+(−𝑚) = 𝑎𝑛 × 𝑎 −𝑚 = 𝑎𝑛 ×
1
𝑎𝑛
=
𝑎𝑚 𝑎𝑚
donc 𝑎𝑛−𝑚 =
𝑎𝑛
𝑎𝑚
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚
𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛
𝑎
𝑎𝑛
( )𝑛 = 𝑛
𝑏
𝑏
Propriété:
Dans le calcul d'une expression numérique:
 en présence de parenthèses, on effectue les calculs entre
parenthèses avant les puissances;
 en l'absence de parenthèse, on effectue les puissances avant les
autres opérations.
Exemple
2,5× 24 + (8 − 3)2 = 2,5 × 16 + 52 = 40 + 25 = 60
Notation scientifique
Définition
On appelle notation scientifique d'un nombre relatif, l'écriture de ce nombre sous la forme
a× 10𝑛 , 𝑜ù a est un nombre décimal s'écrivant avec un seul chiffre non nul avant la virgule,
et n est un nombre entier relatif.
Exemples