FICHE 4.13 - La fonction valeur absolue de x

FICHE 4.13 : LA FONCTION
x
Mise à jour : 16/06/12
La fonction valeur absolue x est la fonction qui à tout nombre réel associe… sa valeur
absolue.
Mais qu’est-ce que la valeur absolue d’un nombre ? Rien de plus simple, la valeur absolue d’un
nombre, c’est ce nombre … sans son signe. Les puristes n’aiment pas trop cette explication,
mais c’est celle que bien souvent, les étudiants préfèrent…
Prenons quelques exemples :
7 =7
-9 =9
- 1,25 = 1,25
1
1
=
2
2
- 0,54 = 0,54
-
2 =
2
La valeur absolue donne donc toujours un résultat … positif ou nul puisque 0 = 0
Mathématiquement, la fonction valeur absolue est définie comme suit :

x si x est positif ou nul
 -x si x est négatif
x = 
Ça, par contre, c’est une autre histoire ! Décortiquons ensemble cet encadré…
2 =2
Tu es d’accord ! Or 2 est bien un nombre positif. Donc, si x est un nombre
positif, alors x = x
-3 =3
Tu seras sans doute également d’accord. Donc, si x est un nombre négatif,
alors x = - x puisque
- 3 = - (-3) = 3
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Représentons maintenant la fonction x en calculant les images des nombres entiers et en
les plaçant sur un graphique :
1 = -1 =1
2 = -2 =2
3 = -3 =3
4 = -4 =4…
Bien entendu, tu peux encore déterminer des points intermédiaires sachant que
1
-1
1
=
=
2
2
2
3
-3
3
=
=
2
2
2
5
-5
5
=
=
2
2
2
7
-7
7
=
= …
2
2
2
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Plus tu vas calculer la valeur absolue de nombres, plus tu auras une belle fonction !
Maintenant, analysons les différentes caractéristiques de cette fonction.
Domaine
]- ∞, + ∞[ ou IR
Tu peux effectivement calculer la valeur absolue de
n’importe quel nombre. Aucun interdit !
Image
[0, + ∞[ ou IR+
Chaque fois que tu calcules la valeur absolue d’un nombre, tu
obtiens toujours comme réponse un nombre positif.
Parité
Paire
La fonction présente un axe de symétrie orthogonale : l’axe
des ordonnées.
Maxima
Aucun
Tu peux toujours aller aussi haut que tu veux dans les
images : il n’y a pas de plafond…
Minima
0
0 est bien le point dont l’image est la plus petite.
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Racines
0
Période
Aucune
La fonction valeur absolue « ne se répète pas »
En effet, si tu parcours l’axe des abscisses de gauche à
droite, tu peux constater que d’abord les valeurs des images
décroissent (elles deviennent de plus en plus petites) et
ensuite, elles croissent de nouveau.
Croissance
Signe
L’image de 0 est bien … 0 et c’est le seul nombre !
La fonction est
positive sur son
domaine.
Dire que la fonction est positive signifie simplement que les
valeurs des images sont toujours plus grandes (ou égales) à 0.
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