Chapitre I Topologie de R, continuité

Chapitre I
Topologie de R, continuité
Cette partie du cours a pour objectif de rappeler et mettre en relief les propriétés topologiques de base de
R. Les plus importantes de ces propriétés sont résumées ci-dessous.
1. 1 – Trois théorèmes
Théorème 1. 1. 1 – (des suites adjacentes) Si (un ) et (vn ) sont deux suites de nombres réels, l’une
croissante, l’autre décroissante et telles que la différence tende vers 0, les deux convergent, et vers la même
limite.
Il revient au même de dire qu’une suite de segments emboı̂tés dont le diamètre tend vers 0 “converge” vers
un singleton (au sens où l’intersection de ces segments est réduite exactement à un point).
Théorème 1.2
Toute partie majorée non vide de R admet une borne supérieure.
Démonstration – Ce deuxième énoncé est essentiellement équivalent à la convergence des suites croissantes majorées. Dans une définition axiomatique de R, on peut le choisir comme un des axiomes et en déduire
la complétude de R. Si l’on choisit comme “axiome” le théorème des suites adjacentes, la démonstration
du théorème 1.2 se fait de la manière suivante : soit a un élément de la partie (que l’on notera A) et b
un majorant (on désignera par M l’ensemble des majorants). Les nombres a et b existent par hypothèse.
Considérons le milieu c = (a + b)/2 de [a, b]. Il appartient à M ou non. S’il y appartient, on l’appelle b1 et
on pose a1 = a0 . Sinon, on pose b1 = b0 et on choisit pour a1 un élément de A supérieur à c. Répétant cette
procédure, on construit ainsi une suite de segments emboı̂tés [an , bn ] de diamètre tendant vers 0 et telle que
an ∈ A, bn ∈ B. Un passage à la limite dans l’inégalité
a ! bn
satisfaite par tout élément de A montre que la limite s de cette suite est un majorant de A. L’existence,
pour tout choix de ε > 0 d’éléments an de A supérieurs à s − ε montre que c’est le plus petit possible. "
Théorème 1. 1. 3 –
convergente.
(de Bolzano-Weierstrass) Toute suite bornée de réels admet une sous-suite
Cette propriété équivaut à la compacité des intervalles fermés bornés de R (et plus généralement à celle des
fermés bornés).
Démonstration – Supposons que les un appartiennent tous à [0, 1]. Soit I1 l’ensemble des n pour lesquels
un ∈ [0, 1/2] et I2 l’ensemble des n pour lesquels un ∈ [1/2, 1]. L’un de ces deux ensembles au moins est
infini. En répétant cette procédure de dichotomie de l’intervalle, on construit une suite de segments emboı̂tés
1
[an , bn ] de diamètre tendant vers 0 telle que, pour chaque n, l’ensemble des k pour lesquels uk ∈ [an , bn ] est
infini. Il suffit alors de définir une suite extraite (uϕ(n) ) en posant ϕ(0) = 0 et
∀n # 1, ϕ(n) = min{k ∈ N, k > ϕ(n − 1), uk ∈ [an , bn ]}
(l’infinitude des ensembles d’entiers considérés plus haut garantit l’existence, à chaque étape, de ces nombres
ϕ(n)) pour obtenir une sous-suite convergente.
"
1. 2 – Exercices illustrant ces propriétés
Il s’agit, en fait, autant d’exercices utilisant ce qui vient d’être établi que d’exercices faisant appel aux
méthodes de démonstration employées ci-dessus.
Exercice 1. 1 – Montrer que R est complet.
Exercice 1. 2 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. Montrer que f est bornée.
Exercice 1. 3 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. Montrer que f atteint ses bornes.
Exercice 1. 4 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. Montrer que f est uniformément continue.
Exercice 1. 5 – On définit des fonctions f et g par
f:
g:
R∗+ −→ R
R −→ R
x %→ 1/x
x %→ x2
Montrer que ni f ni g n’est uniformément continue sur son domaine de définition.
1. 3 – Exercices supplémentaires
Exercice 1. 6 – Soit f : [0, 1] −→ R une fonction continue. On suppose que, si x ∈ ]0, 1], f (x) > 0 et que
lim
x→0+
f (x)
=a>0
x
Montrer qu’il existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ [0, 1], f (x) # αx.
Exercice 1. 7 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. On suppose que, pour tout x ∈ ]a, b[, il existe
un nombre rx > 0 tel que x − rx et x + rx appartiennent à [a, b] et tel que
f (x) =
1
[f (x + rx ) + f (x − rx )]
2
Montrer que f est affine.
Exercice 1. 8 – Peut-on trouver des fonctions discontinues f et g telles que f + g, f g et f ◦ g soient
continues ?
Exercice 1. 9 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. On suppose que f (a) = f (b). Soit m et
M respectivement les minimum et maximum de f sur [a, b]. Montrer que, si m < y < M , il existe deux
éléments α et β distincts de [a, b] tels que f (α) = f (β) = y.
Exercice 1. 10 – Soit f : R −→ R une fonction continue. On suppose que la restriction de f à R\Q est
injective. Montrer que f est injective. (Utiliser l’exercice précédent et l’indénombrabilité de R).
Exercice 1. 11 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. Si x ∈ [a, b[, on dit que (x, f (x)) est point
d’ombre s’il existe d > x tel que f (d) > f (x). Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes :
(i)
Seul (a, f (a)) n’est pas point d’ombre.
(ii)
f (a) = f (b) ; ∀x ∈ ]a, b[, f (x) < f (a).
2
Exercice 1. 12 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. On suppose que, pour tout x ∈ [a, b], f
admet en x un maximum local. Montrer que f est constante.
Exercice 1. 13 – Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. On suppose que, pour tout x ∈ [a, b], f
admet en x un extremum local. Montrer que f est constante.
Remarque – On notera que dans cet exercice, l’hypothèse de continuité de f ne peut être omise. Donner
un exemple de fonction non continue et extrémale en tout point.
Exercice 1. 14 – Soit f : R −→ R une fonction continue admettant des limites en ±∞. Montrer que f
est uniformément continue sur R.
Exercice 1. 15 – Soit f : R −→ R une fonction continue. On suppose que f tend vers +∞ en ±∞.
Montrer qu’il existe x0 ∈ R tel que
f (x0 ) = min f (x)
x∈R
Exercice 1. 16 – Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] une fonction continue. Montrer qu’il existe un point x0 ∈ [0, 1]
tel que f (x0 ) = x0 . (On dit que x0 est un point fixe de f ).
Exercice 1. 17 – Montrer que le résultat de l’exercice 1.16 reste vrai si on remplace l’hypothèse de
continuité de f par une hypothèse de croissance. Montrer que si, en revanche, on suppose f décroissante, le
résultat peut ne plus être vrai.
Exercice 1. 18 –
0 < k < 1 tel que
Soit f : R −→ R une application contractante : cela signifie qu’il existe un nombre k,
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, |f (x) − f (y)| ! k |x − y|
1 – Montrer que si f admet un point fixe, il est unique.
2 – On définit une suite (xn ) par la donnée de x0 (quelconque) et par la relation de récurrence xn+1 = f (xn ).
Montrer que, si n et p sont des entiers naturels, et si p est non nul,
|xn+p − xn | !
kn
|x1 − x0 |
1−k
3 – Montrer que f admet un point fixe.
4 – On ne suppose plus maintenant que f est contractante, mais que l’une de ses itérées f n0 l’est (où
f 2 = f ◦ f , ...). Soit x0 le point fixe de f n0 . Utiliser 1. pour montrer que x0 est aussi point fixe de la fonction
f.
Exercice 1. 19 – Soit E un compact de R et f : E −→ E une application vérifiant la propriété suivante :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x (= y =⇒ |f (x) − f (y)| < |x − y|
Montrer qu’il existe un point x0 ∈ E tel que f (x0 ) = x0 .
Exercice 1. 20 – (Connexité des intervalles de R) On rappelle qu’un espace topologique E est dit
connexe lorsqu’il ne peut s’écrire comme réunion de deux fermés disjoints (ou, ce qui revient au même, de
deux ouverts disjoints).
1 – Montrer que si les Fn sont une famille croissante (Fn ⊂ Fn+1 ) de connexes, leur réunion l’est aussi.
En déduire que pour montrer la connexité de n’importe quel intervalle de R, il suffit de prouver celle de
[0, 1].
2 – On suppose [0, 1] non connexe. Il existe donc des fermés E et F de [0, 1], disjoints et tels que [0, 1] = E∪F .
Soit ϕ : E × F −→ R+ la fonction définie par
ϕ(x, y) = |x − y|
Montrer que ϕ admet un minimum en un point (x0 , y0 ). Montrer que (x0 + y0 )/2 est un point de [0, 1]
n’appartenant ni à E ni à F .
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Exercice 1. 21 –
1 – Soit (un ) une suite de nombres réels telle que la suite (un+1 − un ) tende vers 0. Montrer que l’ensemble
des valeurs d’adhérence de la suite (un ) forme un intervalle (éventuellement vide).
2 – Montrer qu’une suite bornée converge si et seulement si elle a exactement une valeur d’adhérence.
3 – Soit f une application continue de [0, 1] dans [0, 1]. On fixe a ∈ [0, 1] et on définit une suite (un ) par
u0 = a et un+1 = f (un ). On suppose que la suite (un+1 − un ) tend vers 0. Montrer que la suite (un ) est
convergente.
4 – Soit f une application continue de [0, 1] dans [0, 1]. On fixe a ∈ [0, 1] et on définit une suite (un ) par
u0 = a et
nun + f (un )
un+1 =
n+1
Montrer que la suite (un ) est convergente.
Exercice 1. 22 – Soit f : R −→ R une application continue vérifiant l’identité
∀x ∈ R, f (x) = f (2x + 1)
Montrer que f est constante. Donner un exemple de fonction non constante satisfaisant l’identité ci-dessus.
1. 4 – Indications
Exercice 1.1 : si (un ) est une suite de Cauchy, considérer l’ensemble
An = {um , m # n}
et plus précisément les deux suites (an ) et (bn ) définies par an = inf An et bn = sup An (nombres dont on
s’assurera préalablement de l’existence).
Exercice 1.2 : on pourra utiliser l’une des trois approches suivantes :
- par l’absurde, remarquer que si f n’est pas bornée, elle ne l’est pas non plus sur l’une des moitiés de
l’intervalle, recommencer et construire une suite de segments emboı̂tés convergeant vers un certain point %.
Puis aboutir à une contradiction en utilisant la continuité en %.
- par l’absurde, en considérant, pour tout n, un élément xn de [a, b] tel que |f (x)| > n.
- directement, en considérant I = {x ∈ [a, b], f|[a,x] est bornée}. Montrer que I est un intervalle non vide,
que sa borne supérieure c lui appartient et qu’il est absurde de supposer que c < b.
Exercice 1.3 : adapter la deuxième des approches données ci-dessus pour l’exercice 1.2.
Exercice 1.4 : remarquer que la non uniforme continuité implique l’existence de suites (xn ) et (yn ) telles
que |xn − yn | < 1/n et |f (xn ) − f (yn )| # a > 0 (a ne dépendant pas de n). Montrer que de telles suites ne
peuvent exister dans un intervalle fermé borné.
Exercice 1.5 : montrer que si ϕ est une fonction uniformément continue, il existe un réel α > 0 tel que la
fonction x %→ ϕ(x + α) − ϕ(x) soit bornée sur son domaine de définition.
Exercice 1.6 : définir une fonction g continue sur [0, 1] par g(x) = f (x)/x si x ∈ ]0, 1].
Exercice 1.7 : modifier f de telle sorte qu’elle continue à satisfaire l’hypothèse mais vérifie de plus
f (a) = f (b) = 0. Prouver ensuite que max f = min f = 0. Pour cela, considérer
I = {x ∈ [a, b], f (x) = max f }
et montrer que inf I = a.
Exercice 1.11 : l’implication (ii) =⇒ (i) est évidente. Dans l’autre sens, il est clair que, si a < x < b,
f (x) < f (a) (sinon, on trouverait un autre point qui n’est pas point d’ombre). Pour prouver que f (b) = f (a),
montrer que, si x ∈ ]a, b]
sup f (y) = f (b)
y∈[x,b]
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(utiliser encore le fait que tous les points sont points d’ombre) et faire tendre x vers a+ .
Exercice 1.12 : soit I = {x ∈ [a, b], f (t) ! f (a), ∀t ∈ [a, x]}. Montrer que I est un intervalle fermé non
vide et que max I = b. Montrer de même que l’ensemble J défini par J = {x ∈ [a, b], f (t) ! f (b), ∀t ∈ [x, b]}
est un intervalle fermé non vide tel que min J = a.
Exercice 1.13 : soit m = min f et M = max f . Supposons, par l’absurde, que m < M , et soit x ∈ [a, b] tel
que m < f (x)M . On peut supposer que f admet en x un maximum local et que le point x0 où f (x0 ) = M
est supérieur à x. Soit
c = sup{t ∈ [x, x0 ], f (t) ! f (x)}
Montrer que c existe et que f admet en c un minimum local. En déduire qu’il existe un rationnel q tel que
f (q) = f (x) et conclure.
Exercice 1.19 : considérer la fonction auxiliaire ϕ définie sur E par ϕ(t) = |f (t) − t|, et notamment le
point de E où cette fonction atteint son minimum.
Exercice 1.21.4. : montrer que la suite (un+1 − un ) tend vers 0. Supposer ensuite que la suite possède au
moins deux valeurs d’adhérence α < β. On va prouver que la restriction de f à l’intervalle ]α, β[ est égale
à l’identité. Vérifier que ce dernier point entraı̂ne une contradiction avec l’hypothèse selon laquelle α et β
sont deux valeurs d’adhérence. Soit γ ∈]α, β[. On suppose que f (γ) > γ. Montrer que, pour n assez grand,
lorsque la suite (un ) traverse l’intervalle ]γ − ε, γ + ε[ lors d’une “redescente” de b vers a, elle ne peut le
faire qu’en croissant et en déduire que un ne peut pas devenir inférieur à c − ε. Montrer une contradiction
analogue si on suppose f (γ) < γ.
Exercice 1.22 : il suffit en fait que f soit continue en -1...
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