Algèbre 2, feuille de TD 1

Algèbre 2, feuille de TD 1
Exercice 1. Soit (G, +) un groupe abélien. On définit une multiplication sur G en
posant xy = 0 pour tous x, y ∈ G. Montrer que (G, +, .) est un anneau.
Est il commutatif ? unitaire ?
Exercice 2. Les sous ensembles suivants de Q sont ils des anneaux vis-à-vis des
opérations usuelles sur les rationnels ?
- Ensemble des nombres rationnels de dénominateurs 1, 2 ou 4.
- Ensemble des nombres rationnels ayant pour dénominateurs une puissances de 2.
Exercice 3. Soit A un anneau fini intègre ayant au moins deux éléments. Montrer
que A est un corps.
Exercice 4. Soit A un anneau et munissons l’ensemble Z × A des lois (m, a) +
(n, b) = (m+n, a+b) et (m, a).(n, b) = (mn, na+mb+ab). Montrer que Z×A muni
de ces opérations est un anneau unitaire. À quelle condition Z×A est il commutatif ?
Montrer que le sous-ensemble {(0, a) a ∈ A} est isomorphe à A. Montrer, par un
exemple, que Z × A n’est pas en général intègre, même si A l’est.
Exercice 5. Soient A et B deux anneaux unitaires et f : A → B un morphisme
d’anneaux.
a) Donner un exemple où f (1A ) 6= 1B .
b) Montrer que si f est surjectif alors f (1A ) = 1B .
c) Montrer que si u ∈ U (A) est tel que f (u) ∈ U (B) alors f (u−1 ) = f (u)−1 .
d) Donner un exemple où u ∈ U (A) mais f (u) 6∈ U (B).
Exercice 6. Montrer que pour tout anneau unitaire A, il existe un et un seul
morphisme Z → A qui envoi 1 sur 1A .
Exercice 7. Soient m et n des entiers positifs. Trouver des conditions pour qu’il
existe un morphisme d’anneaux Z/mZ → Z/nZ.
Exercice 8. Soient A un anneau unitaire, n un entier positif et Mn (A) l’ensemble
des matrices carrées n × n à coefficients dans A. Montrer que Mn (A) est un anneau
unitaire pour des lois de compositions que vous préciserez.
Exercice 9. Soit G un magma associatif et A un anneau de neutre 0. Considérons
l’ensemble A[G] des suites (ag )g∈G avec ag = 0 sauf éventuellement pour un nombre
fini d’entre eux.
On définit alors une somme (ag ) + (bg ) = (ag + bg ), et un produit (ag ).(bg ) = (cg )
avec
X
cg =
aσ bτ .
σ,τ ∈G
στ =g
Montrer que l’addition et la multiplication sont bien définis. Montrer que (A[G], +, .)
est un anneau. Que peut on dire si A est unitaire ? Et si A est commutatif ? Et G
commutatif ?
Exercice 10. Soient A un anneau commutatif unitaire et I ⊂ A un sous-groupe
(pour l’addition). Donner des conditions sur I pour que A/I soit un anneau.
Exercice
11. Soit n ∈ N un entier non Q
nul. Quelle est la caractéristique de
Qn
i=2 Z/iZ ? Quelle est la caractéristique de
i>1 Z/iZ ?
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Exercice 12. Soit A un anneau. Un élément a ∈ A est dit nilpotent s’il existe
n ∈ N tel que an = 0.
a) Donner des exemples d’anneaux ayant des éléments nilpotents non nuls.
b) Supposons que A est commutatif. Montrer que le sous-ensemble de A formé des
éléments nilpotents est un idéal.
Exercice 13. Soit A un anneau et M une partie de A. On appelle annulateur de
M l’ensemble Ann(M ) = {a ∈ A| ∀x ∈ M ax = 0}. Montrer que Ann(M ) est un
idéal à gauche de A.
Exercice 14. Soit A un anneau et x ∈ A.
Pm
i) Montrer que (x) = {ax + xb + nx + i=1 ai xbi |n ∈ Z, m ∈ N, a, b, ai , bi ∈ A}.
Pm
ii) Si A est unitaire, (x) = { i=1 ai xbi |m ∈ N, ai , bi ∈ A}.
iii) Si A est commutatif (x) = {ax + nx|n ∈ Z, a ∈ A}.
iv) Si A est commutatif et unitaire alors (x) = Ax.
Exercice 15. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux de noyau N .
i) Montrer que si J est un idéal premier de B alors f −1 (J) est un idéal premier
de A.
ii) Supposons f surjectif. Montrer que si I est un idéal premier de A contenant N
alors f (I) est un idéal premier de B.
iii) Supposant toujours f surjectif, décrire les idéaux premiers de B en fonction de
ceux de A.
Exercice 16. Soit A un anneau commutatif unitaire et I un idéal de A. Montrer
que les propositions suivantes sont équivalentes :
i) l’idéal I est maximal ;
ii) pour tout x ∈ A \ M il existe y ∈ A tel que 1 − xy ∈ I.
Exercice 17.
√ Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical de I,
et on note I, l’ensemble {a ∈ A| ∃n ∈ N, n > 0, an ∈ I}.
√
i) Montrer que I est un idéal de A.
p√
√
√
√
√
ii) Soient I et J des idéaux de A, montrer que
I = I et I ∩ J = I ∩ J.
iii) Montrer
√ que si Ipest un idéal de A et π : A → A/I est le morphisme quotient
alors I = π −1 ( (0)).
Exercice 18. Considérons l’anneau F(R, R) des applications de R dans R et, pour
x ∈ R, notons Ix l’ensemble des applications nulles en x. Montrer que Ix est un
idéal. À quoi est isomorphe F(R, R)/Ix ?
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