Contrôle no 1 : Nombres réels, Egalités, Equations Série

Contrôle no 1 : Nombres réels, Egalités, Equations
Série no 1 - 22 septembre 2011
1. Les ensembles suivants, munis de l’opération citée, ne sont pas des groupes commutatifs.
Pour chacun, citez la (les) propriété(s) mise(s) en défaut.
(a) N,+
Les éléments de N ne sont pas symétrisables. L’opposé du naturel x est le nombre
négatif −x qui n’appartient pas à N.
−
(b) R−
0 ,· où R0 est l’ensemble des réels strictement négatifs
L’opération n’est pas interne. Le produit de deux réels négatifs est positif.
De plus le neutre pour la multiplication (1) n’appartient pas à R−
0.
2. (a) Compléter l’énoncé du principe d’équivalence : "Les carrés de deux nombres sont
égaux ssi ..."
Les carrés de deux nombres sont égaux ssi les nombres sont égaux ou opposés.
(b) Démontrer.
Hyp : A, B ∈ R
Th : A = B ou A = −B ⇔ A2 = B 2
Dém : Voir cours
(c) Que devient cet énoncé si les deux nombres sont de mêmes signe ? Justifier
Les carrés de deux nombres positifs sont égaux ssi les deux nombres sont égaux.
(d) Citer deux autres principes d’équivalence relatifs aux équations. Voir cours
100
3. Résoudre l’équation x2 − 21 = 2
x
CE : x 6= 0
100
⇔ x4 − 21x2 − 100 = 0
x2
C’est une équation bicarrée. Posons y = x2 . L’équation devient y 2 − 21y − 100 = 0.
x2 − 21 =
On a ∆ = 441 + 4 · 100 = 841 = 292 . D’où
21 + 29
21 − 29
y 2 − 21y − 100 = 0 ⇔ y =
ou y =
2
2
⇔ y = 25 ou y = −4
Par suite,
2
⇔ x2 = 25 ou x
| =
{z −4}
impossible
1
⇔ x = 5 ou x = −5
S = {−5, 5}.
4. Soit E l’ensemble ] − 1, 1[. On définit sur E l’opération (interne et partout définie) ?
par
x?y =
x+y
.
1 + xy
E, ? admet-il un élément neutre ? Si oui, lequel ? Justifier.
L’opération ? admet un neutre n si ∃n ∈ E : ∀x ∈ E, n ? x = x = x ? n.
Un élément neutre n éventuel doit donc vérifier
n+x
=x
1 + nx
⇔ n + x = x(1 + nx) (comme l’opération est partout définie, 1 + xy 6= 0)
n?x=x ⇔
⇔ n = nx2
⇔ n = 0 ou x2 − 1 = 0
On peut faire le même raisonnement pour x ? n.
L’élément neutre est donc n = 0.
BONUS : E, ? est-il symétrisable ? Justifier.
L’opération ? est symétrisable n si ∀x ∈ E, ∃y ∈ E : x ? y = n = y ? x.
Comme le neutre est 0, le symétrique y de x doit donc vérifier
x+y
=0
1 + xy
⇔ x + y = 0 (comme l’opération est partout définie, 1 + xy 6= 0)
x?y =0 ⇔
⇔ y = −x
On peut faire le même raisonnement pour y ? x.
Le symétrique de x est donc −x.
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Contrôle no 1 : Nombres réels, Egalités, Equations
Série no 2 - 22 septembre 2011
1. Les ensembles suivants, munis de l’opération citée, ne sont pas des groupes commutatifs.
Pour chacun, citez la (les) propriété(s) mise(s) en défaut.
(a) N,·
−
(b) Q−
0 ,· où Q0 est l’ensemble des rationnels strictement négatifs
2. (a) Compléter l’énoncé du principe d’équivalence : "Les cubes de deux nombres sont
égaux ssi ..."
(b) Démontrer.
(c) Citer deux autres principes d’équivalence relatifs aux équations.
100
3. Résoudre l’équation x2 + 21 = 2
x
4. Soit E l’ensemble ] − 1, 1[. On définit sur E l’opération (interne et partout définie) ?
par
x?y =
x+y
.
1 − xy
Cette opération admet-elle un élément neutre ? Si oui, lequel ? Justifier. BONUS : E, ?
est-il symétrisable ? Justifier.
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