Parallélogrammes - images.hachette

10
Parallélogrammes
Histoire des arts : l’architecture
n du
L’expressio
chapitre
C
ette construction futuriste a été réalisée dans le port de
Hambourg en Allemagne en 2005.
Les architectes ont imaginé l’immeuble en forme de bateau avec
une proue de près de 40 m.
Deux façades de l’édifice sont en forme de parallélogramme.
Grâce à son inclinaison et à sa façade en verre, le bâtiment donne
l’impression au visiteur de flotter sur l’eau.
Le toit-terrasse de l’immeuble offre une vue panoramique sur
l’ensemble du port de Hambourg qui est le troisième plus grand
port de commerce d’Europe, derrière Rotterdam aux Pays-Bas et
Anvers en Belgique.
« Du général
au particulier. »
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Dans ce chapitre, on apprendra à :
• Utiliser une définition du parallélogramme.
• Utiliser les propriétés du parallélogramme.
• Reconnaître et construire un parallélogramme en utilisant ses propriétés.
• Connaître et utiliser une définition du carré, du rectangle, du losange.
• Utiliser les propriétés du carré, du rectangle, du losange.
• Reconnaître et construire un carré, un rectangle et un losange en utilisant
leurs propriétés.
Pour s’y remettre
Pour chaque question, trouve la (ou les) bonne(s) réponse(s) et explique ton choix.
Réponse A
Je sais…
Réponse B
Réponse C
Reconnaître et utiliser un centre de symétrie
Pour les questions 1 et 2, utiliser
les figures ci-contre.
F
I
O
J
A
C
I
G
E
Figure 1
Figure 2
B
1
La figure a pour centre de symétrie…
le point O
le point I
le point J
2
Dans la figure ,
les triangles ABC et EFG sont symétriques
par rapport au point I.
Deux angles symétriques sont…
%
%
BAC et GFE
%
%
BAC et GEF
%
%
CBA et GFE
Nommer et identifier des quadrilatères particuliers
Pour les questions 3 à 6,
utiliser les figures
ci-contre.
A
B
H
G
E
R
U
H
D
C
3
Le quadrilatère violet se nomme…
4
Quelle figure représente un losange ?
5
6
I
J
S
T
G
ABCD
ABDC
BADC
le quadrilatère
URST
le quadrilatère
EFGH
le quadrilatère
GHIJ
Le quadrilatère bleu est…
un rectangle
RSTU
un carré
STUR
un carré
RSUT
Le quadrilatère EFGH est…
un losange
un carré
un rectangle
10• Parallélogrammes – Parallélogrammes particuliers
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F
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Activités
1 Un nouveau quadrilatère ?
1. Reproduis les quadrilatères suivants sur ton cahier et place à chaque fois le point O.
K
J
A
E
B
F
R
S
O
O
H
M
L
D
O
O
G
U
C
T
2. Construis les symétriques de tous ces quadrilatères par rapport au point O.
3. a. Que remarque-t-on pour les quadrilatères ABCD et RSTU ?
b. Que représente le point O pour les quadrilatères ABCD et RSTU ?
c. Les quadrilatères ABCD et RSTU ont-ils des axes de symétrie ?
4. a. Dessine deux autres quadrilatères qui possèdent un centre de symétrie.
b. Les quadrilatères que tu as tracés ont-ils aussi des axes de symétrie ?
Un quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme.
Si oui,
trace les axes
de symétrie !
2 Propriétés du parallélogramme
P
A
Le quadrilatère PAUL ci-contre est un parallélogramme
de centre I.
1. a. Que peux-tu dire du point I pour le segment [PU] ?
I
Justifie ta réponse par des éléments de symétrie.
b. Que peux-tu dire du point I pour le segment [AL] ?
Justifie ta réponse par des éléments de symétrie.
L
c. Que peux-tu conclure sur les diagonales du
parallélogramme PAUL ?
2. a. Par la symétrie de centre I, quels sont les symétriques des segments [PA] et [AU] ?
b. Que peut-on conclure sur les côtés opposés du parallélogramme PAUL ?
3 Reconnaître un parallélogramme
1. a. Trace un segment [FO] et place son milieu E.
b. Trace un segment [LR] dont le milieu est aussi le point E.
2. a. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère FLOR ?
b. Que représente le point E pour le quadrilatère FLOR ?
c. Peux-tu préciser avec certitude la nature du quadrilatère FLOR ?
3. Recopie et complète la phrase suivante.
Si les ………… d’un quadrilatère se coupent …………,
alors ce quadrilatère est un ………… .
U
Pense à toutes les
propriétés de la
symétrie centrale.
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Activités
4 Construire un parallélogramme
1. a. Place trois points F, A et B.
b. Trace les segments [FA]
et [AB].
2. On souhaite terminer
la construction d’un parallélogramme FABI.
Construis le point I en utilisant
uniquement l’outil « droites parallèles »
.
Pense aux propriétés
des côtés opposés
du parallélogramme !
5 Du parallélogramme au…
Fais une figure à
main levée avant de
construire !
1. Construis un parallélogramme AUDR tel que :
AU = 6 cm et AR = 6 cm.
2. Que peux-tu dire des quatre côtés du parallélogramme AUDR ?
Justifie ta réponse.
3. Peux-tu préciser avec certitude la nature du parallélogramme AUDR ?
4. Recopie et complète la phrase suivante.
Si un ………… possède deux côtés consécutifs …………,
alors il devient un ………… .
6 Du parallélogramme au rectangle
1. a. Place trois points D, O et M.
b. Trace les segments [DO] et [OM].
c. Termine la construction d’un parallélogramme DOMI avec l’outil « droites parallèles »
2. a. Avec l’outil « angle »
b. Avec l’outil « angle »
3. Avec l’outil « déplacer »
.
%
, fais afficher la mesure de l’angle DOM .
% %
%
, fais afficher les mesures des angles ODI , MID et IMO .
%
, déplace le point M jusqu’à ce que l’angle DOM soit un angle droit.
4. a. Que peux-tu alors dire des quatre angles du parallélogramme DOMI ?
b. Peux-tu préciser avec certitude la nature du parallélogramme DOMI ?
5. Recopie et complète la phrase suivante.
Si un ………… possède un …………, alors il devient un ………… .
10• Parallélogrammes
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Savoir/Savoir faire
1 Parallélogramme et centre de symétrie
Définition
●
Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé qui possède un centre de symétrie.
●
Le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales.
Exemple : Le point O est le centre
A
de symétrie du parallélogramme ABCD
ci-contre. Le parallélogramme ABCD
est son propre symétrique par la symétrie
de centre O.
D
On dit
qu’ABCD
est un
parallélogramme
de centre O.
B
O
C
2 Connaître les propriétés du parallélogramme
La symétrie centrale permet de déterminer des particularités propres au parallélogramme.
Propriété 1
A
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent
en leur milieu.
B
O
Exemple : Si ABCD est un parallélogramme de centre O,
alors le point O est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
D
C
Propriété 2
A
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont symétriques,
donc ils ont la même longueur.
B
O
Exemple : Si ABCD est un parallélogramme, alors AB = DC
et AD = BC.
D
C
E
Application 1 : Les points E, F et G sont trois sommets
d’un parallélogramme EFGH. Comment construire le point H ?
F
Réponse :
EFGH est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur.
E
E
F
G
E
F
G
G
F
H
On reporte avec le compas
On reporte avec le compas
On place le point H
la longueur FG à partir du point E.
la longueur EF à partir du point G.
à l’intersection des deux arcs
de cercle.
G
Pour s’entraîner exercices 22 à 24, page 201
194
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Savoir/Savoir faire
Application 2 :
Comment construire un parallélogramme IJKL de centre O tel que :
%
IK = 8 cm ; JL = 6 cm et IOJ = 110° ?
Réponse :
On commence par réaliser une figure à main levée en
indiquant les données de l’énoncé.
IJKL est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent
en leur milieu qui est le point O.
Donc OI = OK = 4 cm et OJ = OL = 3 cm.
I
J
O
K
J
I
3 cm
O
K
m
6c
L
3 cm
O
110°
8 cm
J
I
110°
I
K
O
K
L
On trace la diagonale [IK] et on
On reporte 3 cm avec le
On reporte 3 cm avec le compas
place son milieu O.
Puis, à l’aide du rapporteur,
on trace un angle de côté [IO],
de sommet O et qui mesure 110°.
compas à partir du point O. On
place le point J.
Puis on trace la droite (OJ).
à partir du point O.
Puis on trace le parallélogramme IJKL.
Pour s’entraîner exercices 29 à 32, page 201
Propriété 3
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont symétriques, donc les côtés opposés
d’un parallélogramme sont parallèles.
Propriété 4
Les angles opposés d’un parallélogramme
sont symétriques, donc ils ont la même mesure.
A
B
O
Exemple : Si ABCD est un parallélogramme,
%
%
%
%
alors BAD = BCD et ADC = ABC .
D
C
Application 3 :
%
PAUL est un parallélogramme tel que PA = 6 cm, PL = 4 cm et APL = 70°.
%
Comment déterminer la mesure de l’angle AUL sans utiliser d’instrument ?
Réponse :
On réalise une figure à main levée avec les données.
%
Les angles %
APL et AUL sont opposés.
PAUL est un parallélogramme, donc ses angles opposés
ont la même mesure.
%
Les angles %
APL et AUL ont donc la même mesure.
%
Ainsi l’angle AUL mesure 70°.
6 cm
P
4 cm
A
70°
L
U
Pour s’entraîner exercices 44 et 45, page 202
10• Parallélogrammes
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Savoir/Savoir faire
Un seul de ces
quatre critères
suffit pour avoir un
parallélogramme.
3 Reconnaître un parallélogramme
Propriété 1
Propriété 2
Si un quadrilatère a ses côtés opposés
parallèles deux à deux, alors c’est un
parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés
opposés de même longueur, alors c’est
un parallélogramme.
Propriété 3
Propriété 4
Si un quadrilatère a ses diagonales qui
se coupent en leur milieu, alors c’est un
parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a ses angles
opposés de même mesure, alors c’est
un parallélogramme.
Application 4 :
Julie a dessiné ce quadrilatère sur son cahier et
elle a codé certains segments. Comment savoir si
le quadrilatère RSTU est un parallélogramme ?
R
S
O
U
T
Réponse :
D’après les codages, le point O est le milieu du segment [RT] et du segment [SU].
Ainsi les diagonales du quadrilatère RSTU se coupent en leur milieu.
D’après la propriété 3, le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.
Pour s’entraîner exercices 52 à 54, page 203
4 Reconnaître des parallélogrammes particuliers
Propriété
Le rectangle, le losange et le carré sont des
parallélogrammes particuliers.
Souviens-toi du
chapitre 7 : le rectangle,
le losange et le carré
possèdent un centre
de symétrie.
a. Le rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Propriétés héritées du parallélogramme
●
Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.
●
Les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur.
●
Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu.
Propriété propre au rectangle
Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales
ont la même longueur.
Exemple : Si ABCD est un rectangle, alors AC = BD.
On a aussi OA = OB = OC = OD.
A
B
O
D
C
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Savoir/Savoir faire
Application 5 :
Comment construire un rectangle SYME de centre I tel que SE = 4 cm et SM = 6 cm ?
Y
S
Réponse :
4 cm
On réalise une figure à main levée avec les données.
SYME est un rectangle, donc ses diagonales ont la même
longueur et se coupent en leur milieu qui est le point I.
Donc IS = IY = IM = IE = 3 cm.
6
I
cm
M
E
S
3c
S
m
m
3c
S
Y
Y
I
I
E
E
E
M
M
On construit un segment
On trace les demi-droites [EI) et [SI). On trace le rectangle SYME.
[SE], puis on construit au
compas le point I à 3 cm
du point S et du point E.
On obtient les points Y et M à 3 cm
du point I.
Pour s’entraîner exercices 65 à 68, page 204
b. Le losange
Définition
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
Propriétés héritées du parallélogramme
●
●
●
Les côtés opposés d’un losange sont parallèles.
Les angles opposés d’un losange ont la même mesure.
Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu.
B
Propriété propre au losange
Un losange est un parallélogramme dont les diagonales
sont perpendiculaires.
Exemple : Si ABCD est un losange, alors les droites (AC)
et (BD) sont perpendiculaires.
A
C
D
6 cm
Application 6 : MIKA est un losange de centre H tel que MK = 8 cm et IA = 6 cm.
Comment déterminer la longueur HA sans utiliser d’instrument ?
I
Réponse :
8 cm
On réalise une figure à main levée avec les données.
M
H
MIKA est un losange, donc ses diagonales se coupent en leur
milieu, ici le point H.
A
Le point H est le milieu du segment [IA] ; donc HA = 3 cm.
K
Pour s’entraîner exercices 99 et 100, page 205
10• Parallélogrammes
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Savoir/Savoir faire
c. Le carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés
de la même longueur et quatre angles droits.
Le carré
est aussi
un losange
particulier.
Remarque :
Le carré est un rectangle particulier.
Propriétés héritées du parallélogramme
●
Les côtés opposés d’un carré sont parallèles.
●
Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu.
Propriété héritée du losange
Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires.
Propriété héritée du rectangle
A
B
D
C
Les diagonales d’un carré ont la même longueur.
Exemple : Si ABCD est un carré, alors les droites (AC) et (BD)
sont perpendiculaires et AC = BD.
5 Du parallélogramme aux rectangle, losange et carré
L’organigramme suivant fait apparaître le rectangle, le losange et le carré comme un
parallélogramme doté de propriétés particulières.
roit
gle d
un an ou ales
iagon eur
des dme longu
avec
ê
m
de
devient
un rectangle
avec
deux
c
de m ôtés con
sé
ême
longu cutifs
eur
des d ou
perpe iagonale
devient
ndicu
s
laires
un carré
un parallélogramme
avec
deux
c
de m ôtés con
sé
ême
longu cutifs
eur
des d ou
perpe iagonale
devient
ndicu
s
laires
un losange
avec
Application 7 :
Julie a dessiné à main levée le parallélogramme ci-contre
sur son cahier et elle a codé certains segments.
Comment préciser la nature de ce parallélogramme ?
roit
gle d
un an ou les
a
iagon eur
des dme longu
ê
de m
devient
R
U
S
T
Réponse :
Les côtés [RS] et [RU] sont consécutifs, et, d’après les codages, ils ont la même longueur.
Donc le parallélogramme RSTU a deux côtés consécutifs de même longueur.
D’après l’organigramme, le parallélogramme RSTU est un losange ; on ne peut rien en dire de plus.
Pour s’entraîner exercices 102 à 107, page 206
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Le rendez-vous des curieux
Un parallélogramme pour reproduire, réduire ou agrandir : le pantographe
Inventé en 1630 par l’astronome allemand Christophe Scheiner,
cet instrument est composé de quatre bras articulés qui forment un
parallélogramme.
À l’extrémité de l’un des bras se trouve une pointe sèche que l’on
déplace sur le dessin à copier.
Un crayon placé au bout d’un autre bras reproduit la figure en
modifiant ou en gardant l’échelle de l’original.
Cet appareil est moins utile depuis l’invention de la photocopieuse
avec agrandissement et réduction.
Utilisation d’un panthographe.
Histoire des mathématiques
Pierre Varignon (1654 - 1722), brillant mathématicien, a
démontré le célèbre théorème qui porte son nom :
« En joignant les milieux des côtés d’un quadrilatère
quelconque, on obtient un parallélogramme.
Si le quadrilatère est un carré, on obtient un carré ;
si c’est un rectangle, on obtient un losange ;
si c’est un losange on obtient un rectangle. »
B
M
A
P
N
D
O
C
CALCUL MENTAL
1 Calculer.
4 Calculer.
a. 9 ⫻ 7
b. 8 ⫻ 6
c. 15 ⫻ 3
a. 45 – 19
b. 67 – 19
c. 135 – 19
d. 8 ⫻ 12
e. 49 ⫻ 2
f. 99 ⫻ 3
d. 283 – 19
e. 1 127 – 19
f. 3 008 – 19
2 Calculer.
5 Calculer.
a. 3 + 9 ⫻ 2
b. 7 + 8 ⫻ 6
a. L’opposé de 5.
c. 17 – 8 ⫻ 2
d. (30 + 2) ⫻ 3
c. (–8) + (–5)
d. (–3) + (–7)
e. 7 + (–8)
e. (28 – 7) ⫻ 2
f. 3 ⫻ (9 + 2)
f. 5 + (–9)
g. (–11) – 9
h. –8 – 7
g. 7 + 9 쐦 3
h. 27 – 18 쐦 6
11
7
5
5
29
3
+
e.
49
7
6
8
h. #
5
11
2
7
+
9
9
5
f. 1 +
11
8
8
i. #
9
7
6 Calculer.
3 Calculer le périmètre de ces polygones.
6 cm
B
2,5 cm
F
C
A
D
H
5
6
+
4
4
2
7
d. +
3
15
5
g. 2 7
a.
E
4 cm
b. L’opposé de –19.
G
4,5 cm
b.
c.
Une petite astuce : pour soustraire 19 à un nombre, on retranche 20 puis on ajoute 1.
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Socle commun
Vocabulaire et maîtrise de la langue
Recopier et compléter les phrases des exercices 7 et 8 à l’aide des mots suivants
(en accordant au pluriel s’il le faut) : diagonale ; milieu ; parallèle ; centre ; côté.
7
Des mots mathématiques…
1. Les …………… d’un parallélogramme se coupent en leur ……………. .
2. Le rectangle, le losange et le carré ont tous un …………… de symétrie.
3. Les …………… opposés d’un parallélogramme sont …………… .
8
… et des mots de tous les jours
1. Emma a mal compris l’énoncé de cet exercice, car elle l’a lu en ……………… .
2. La prolifération des algues inquiète les observateurs des …………… sous-marins.
3. Matthieu n’aime pas vraiment aller au cinéma : il a d’autres …………… d’intérêt.
Les compétences du socle commun
Pour chaque
réponse, prépare
une justification
orale !
Pour chaque énoncé, répondre par vrai ou faux.
9
Pour terminer la construction du parallélogramme ABCD :
a. il faut piquer la pointe du compas
sur le point C et pas sur le point B ;
A
b. il faut reporter la longueur BC
à partir du point A.
Vrai
Faux
B
C
10 Les diagonales d’un parallélogramme ont la même longueur.
11 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles.
et le segment [EH] mesure 3 cm.
13 L’angle EFG mesure 125°.
Le quadrilatère EFGH
est un parallélogramme.
125°
H
14 Le quadrilatère IJKL
I
est un parallélogramme.
O
L
115°
P
K
F
3 cm
G
M
J
15 Le quadrilatère MNOP
est un parallélogramme.
4 cm
E
12 Le segment [HG] mesure 4 cm
N
116°
O
16 Les diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires.
17 Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu.
18 Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.
B
19 Le losange ABCD ci-contre est un carré.
A
C
D
200
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25
26
A
L
20
1. Placer
les points F, L et O
comme ci-contre.
2. Construire le
parallélogramme
FLRI de centre O.
Exercices 25 à 27 : construire en vraie grandeur
les parallélogrammes.
120°
O
5 cm
27
a.
1. Construire en vraie
N
3 cm
grandeur le triangle MON.
5
cm
O
2. Construire le parallélogramme MNPR sachant
6 cm
que les points M et N M
sont des sommets et que le point O est le centre du
parallélogramme.
b.
E
50° 2,5 cm
115°
I
B
C
28
voir l’application 1, page 194
2,8 cm
N
4,5 cm A
D
A
60°
C
D 3 cm C
F
21
22
B 5,4 cm
B
Pour s’entraîner
Construire grâce
aux propriétés
des parallélogrammes
J
4 cm
F
8 cm
Construire un parallélogramme LBON tel que :
BLN = 110°.
LB = 4 cm ; LN = 5,2 cm et \
voir l’application 2, page 195
1. Reproduire la figure ci-dessous.
A
29
B
Reproduire la figure
et placer le point F
sachant que DEFG est
un parallélogramme.
D
G
E
D
2. Placer le point C pour que le quadrilatère ABCD
soit un parallélogramme.
30
23
31
1. Placer les
points F, A et B
comme ci-contre.
2. Construire
le parallélogramme
FABI.
24
F
A
B
1. Placer les
A
B
points A, B, C et I
comme ci-contre.
2. a. Placer le
point D pour que
I
le quadrilatère
C
ABCD soit un
parallélogramme.
b. Placer le point J pour que le quadrilatère AICJ
soit un parallélogramme.
Construire un parallélogramme SNCF de centre
%
K tel que SC = 10 cm, NF = 8 cm et SKF = 50°.
Construire un parallélogramme ABCD de centre
I tel que :
%
AC = 7 cm ; BD = 5 cm et AIB = 125°.
32
Construire un parallélogramme IRST de centre
H tel que :
%
IH = 5 cm ; RH = 3,5 cm et RHS = 60°.
33
1. Reproduire
la figure ci-contre.
2. Construire
deux parallélogrammes EAFB
et ERFG dont
[EF] est une
diagonale.
E
F
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Construire en vraie grandeur les parallélogrammes ci-dessous.
T
H
G
5 cm
V
7 cm
3,5 cm
36
%
IJKL est un parallélogramme tel que IJK = 65°.
%
Quelle est la mesure de l’angle KLI ?
Justifier la réponse.
44
L
P
R
Construire un parallélogramme CTOU tel que :
CT = 5 cm ; CU = 8 cm et UT = 9 cm.
Construire un parallélogramme EFGH tel que :
EF = 5 cm ; EG = 8 cm et FH = 9 cm.
37
Éric dit qu’il a construit un parallélogramme
ABCD tel que AB = 6 cm, BC = 7 cm et CD = 9 cm.
Que peut-on lui répondre ?
38
Construire en vraie grandeur les parallélogrammes ci-dessous.
J
U
M
4 cm
40°
8,4
cm
7c
35° 5,8 cm
L
Y
EFGH est un parallélogramme tel que EF = 8 cm.
Quelle est la longueur du segment [GH] ?
Justifier la réponse.
voir l’application 3, page 195
cm
4
3, 40°
S
35
43
2 cm
Pour s’entraîner
34
%
ABCD est un parallélogramme tel que ABC = 105°.
%
Quelle est la mesure de l’angle CDA ?
Justifier la réponse.
45
Exercices 46 et 47 : ABCD est un parallélogramme de centre O.
Quelles mesures peut-on trouver à l’aide des
données ? Justifier la réponse.
46
a.
b.
A
B
8 cm
I
40
D
C
D
C
m
L
K
47
a.
cm
2,
2
D
Construire un parallélogramme MATH tel que :
%
AM = 5 cm ; AT = 4 cm et MAT = 60°.
Justifier avec les propriétés
du parallélogramme
41
EFGH est un parallélogramme de centre I tel
que IE = 5 cm.
Quelle est la longueur du segment [EG] ?
Justifier la réponse.
MNOP est un parallélogramme de centre K tel
que NP = 9 cm.
Quelle est la longueur du segment [KN] ?
Justifier la réponse.
b.
A
B
B
7,4
Construire un parallélogramme PRLG tel que :
%
PR = 3,8 cm ; PL = 5,5 cm et RPL = 55°.
42
B
120°
A
39
A
O
cm
O
C
D
48
A
ABCD est le
parallélogramme
ci-contre.
120°
1. Quelles sont les
C
5 cm
longueurs des côtés D
[AB] et [AD] ? Justifier la réponse.
%
2. Quelle est la mesure de l’angle DAB ?
Justifier la réponse.
49
C
B
3 cm
DOMI est un parallélogramme tel que :
%
DO = 7 cm ; IDO = 110° et DI = 4 cm.
1. Quelles sont les longueurs des côtés [IM] et [MO] ?
Justifier la réponse.
%
2. Quelle est la mesure de l’angle OMI ?
Justifier la réponse.
202
1255942_ch10_ok.indd 202
24/03/10 14:36:19
Reconnaître
un parallélogramme
Pour le quadrilatère EFGH, on sait que :
EF = GH et EH = FG.
EFGH est-il un parallélogramme ?
Justifier la réponse.
50 1. Reproduire les quadrilatères suivants.
A
B
56
R
E
F
S
O
O
O
U
D
C
H
Pour s’entraîner
55
G
T
2. Construire les symétriques de tous ces quadrilatères par rapport au point O.
3. Quels quadrilatères sont des parallélogrammes ?
Pourquoi ?
51
A
Dans la figure
ci-contre les segments
de même couleur sont
parallèles.
H
Nommer tous les
parallélogrammes de
cette figure en justifiant
G
les réponses.
B
I
F
C
E
D
57
Nommer tous les parallélogrammes de cette
figure en justifiant les réponses.
Je suis un quadrilatère et mes côtés opposés
sont parallèles. Qui suis-je ? Justifier la réponse.
M
voir l’application 4, page 196
N
P
52
Indiquer la nature des quadrilatères suivants en
justifiant les réponses.
a.
b.
H
I
R
S
T
S
R
58
U
T
K
J
53
Pour chaque figure, indiquer si le codage permet de dire que le quadrilatère est un parallélogramme ou non. Justifier la réponse.
a.
b.
A
M
R
M
I
T
B
S
54
Voici deux figures codées tracées à main levée.
Les quadrilatères PAUL et ERIC sont-ils des parallélogrammes ? Justifier les réponses.
a.
b.
C
U
E
A
Dans le quadrilatère MNOP, on sait que les an%
%
gles MNO et OPM mesurent 125° et que les angles
%
%
NMP et NOP mesurent 55°.
MNOP est-il un parallélogramme ? Justifier la réponse.
59
1. Tracer un segment [AD] et placer un point O
n’appartenant pas à la droite (AD).
2. Construire les points C et B symétriques respectifs
de A et D par rapport au point O.
3. Tracer le quadrilatère ABCD.
4. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Justifier la réponse.
60
1. Indiquer la nature du
F
6,5 cm
quadrilatère EFGH ci-contre
55° 3,5 cm
en justifiant la réponse.
E
2. Construire le quadrilatère
G
EFGH en vraie grandeur.
H
61
L
P
R
I
Tracer un segment [AC] et son milieu O.
Tracer un segment [BD] de milieu O.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Justifier la réponse.
10• Parallélogrammes
1255942_ch10_ok.indd 203
203
24/03/10 14:36:19
Pour s’entraîner
Construire des rectangles
62
63
73
Construire en vraie grandeur le rectangle FLOR
de centre K ci-dessous sachant que KF = 3,2 cm.
F
L
Construire un rectangle EFGH tel que :
EF = 5 cm et FG = 4 cm.
29°
Construire un rectangle MNOP tel que :
MN = 0,7 dm et MP = 45 mm.
R
74
64
Construire
en vraie grandeur
le rectangle TYUK
ci-contre.
T
Y
m
8c
4 cm
K
66
67
68
O
Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD.
B
C
5 cm 50°
U
A
voir l’application 5, page 197
65
K
Construire un rectangle ABCD tel que :
AB = 6 cm et AC = 8 cm.
75
D
Construire un rectangle MATH tel que :
%
MT = 6 cm et MTH = 35°.
76
Construire un rectangle COUR de centre K tel
%
que OR = 10 cm et UKO = 50°.
Construire un rectangle WXYZ tel que :
XY = 4 cm et WY = 11 cm.
Construire des losanges
Construire un rectangle AMER tel que :
AE = 6,4 cm et AM = 5,6 cm.
Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD.
A
B
77
Construire en vraie grandeur ces losanges.
a.
b.
B
A
6 cm M
E
4 cm
D
C
7 cm
D
130°
42°
3,5 cm C
I
R
69
Construire un rectangle UPMC de centre J tel
que UP = 7 cm et UJ = 5 cm.
70
Construire un rectangle MIKL de centre H tel
que MI = 5 cm et IH = 3,6 cm.
71
Construire en vraie grandeur le rectangle RECT
ci-dessous sachant que RC = 7 cm.
R
E
100°
78
79
80
81
T
C
Construire en vraie
grandeur le rectangle LMGH
ci-contre.
M
120°
H
Construire un losange ANGE tel que :
%
NG = 6 cm et ANG = 110°.
Construire un losange AUDR tel que :
AD = 10 cm et UR = 6 cm.
Construire un losange JULI tel que :
JL = 8,4 cm et UI = 6,8 cm.
82
L
72
Construire un losange LOSA tel que :
%
LO = 4 cm et LOS = 60°.
6 cm
G
Construire en vraie
grandeur le losange
EFGH ci-contre
sachant que OG = 3 cm
et OH = 4 cm.
H
G
O
F
E
204
1255942_ch10_ok.indd 204
24/03/10 14:36:20
Construire en vraie
grandeur le losange
EPOC ci-contre.
E
6 cm
Justifier avec les propriétés
du rectangle, du losange
et du carré
C
3 cm
P
Pour s’entraîner
83
O
95
EFGH est un rectangle tel que EG = 8 cm.
Marc : « Le segment [FH] mesure 8 cm. »
Betty : « Le segment [GH] mesure 8 cm. »
Qui a raison ? Justifier la réponse.
Construire un losange LOSA tel que :
SA = 4,5 cm et LS = 7 cm.
85
Construire en vraie
grandeur le losange LSGR
L
ci-contre sachant que
LG = 8 cm.
S
37° I
G
R
86
Construire en vraie
grandeur le losange OLIV
O
ci-contre sachant que
OE = 3 cm.
L
30° E
RECT est le
rectangle ci-contre.
Quelles sont les
longueurs des segments
[RE], [EC] et [ET] ?
Justifier la réponse.
T
cm
C
8 cm
ABCD est un losange de centre O. Quelles mesures peut-on trouver à l’aide des données ?
Justifier la réponse.
a.
b.
A
A
B
B
120°
8 cm
Construire un carré MNOP de côté 5 cm.
D
89
E
10
97
Construire des carrés
88
R
I
V
87
96
6 cm
84
C
D
C
Construire un carré JKLM de côté 0,8 dm.
98
Construire un carré CARE tel que CR = 6 cm.
EFGH est un losange. Que peut-on dire des
droites (EF) et (GH) ? Justifier la réponse.
90
Construire un carré EFGH dont les diagonales
mesurent 8 cm.
91 Possible ou impossible ?
Est-il possible de construire un carré WXYZ tel que :
WY = 11 cm et XZ = 10 cm ?
voir l’application 6, page 197
99
MNOP est un losange de centre K tel que
MO = 7 cm.
Quelle est la longueur du segment [KO] ?
Justifier la réponse.
100
92
Construire le carré ABCD de
centre O ci-contre en vraie grandeur.
A
B
3 cm
O
D
C
93
Construire un carré JEAN de centre I tel que
IJ = 5 cm.
94
Construire un carré PAUL de centre K tel que
KA = 3,8 cm.
ABCD est un losange de centre O tel que
AC = 5,3 cm.
Quelle est la longueur du segment [CO] ?
Justifier la réponse.
101
FLOR est le carré ci-contre.
1. Quelles sont les longueurs des
segments [RL] et [FO] ?
Justifier la réponse.
2. Préciser la nature des triangles
RIF, FIL, LIO, OIR et des triangles
ROF, RFL, LOR et ORF.
R
F
4 cm
I
O
10• Parallélogrammes
1255942_ch10_ok.indd 205
L
205
24/03/10 14:36:20
Pour s’entraîner
Préciser la nature
d’un parallélogramme
110
Je suis un parallélogramme et j’ai deux côtés
consécutifs de même longueur.
Qui suis-je ? Justifier la réponse.
voir l’application 7, page 198
111
102
Quelle est la nature des parallélogrammes suivants ? Justifier les réponses.
a.
b.
G
T
Y
F
H
U
I
J
103
Quelle est la nature des parallélogrammes suivants ? Justifier les réponses.
a.
b. O
Z
P
E
O
LGVE est un parallélogramme tel que LG = GV.
Quelle est sa nature ? Justifier la réponse.
%
YMCA est un parallélogramme tel que YMC = 90°.
Quelle est sa nature ? Justifier la réponse.
105
106
LGVE est un parallélogramme tel que LV = GE.
Quelle est sa nature ? Justifier la réponse.
107
Dans le parallélogramme YMCA, les droites
(YC) et (MA) sont perpendiculaires.
Quelle est sa nature ? Justifier la réponse.
108
Recopier et compléter en utilisant l’un des mots
suivants : rectangle ; losange ; carré.
1. Un parallélogramme dont les diagonales
ont la même longueur est un ……… .
2. Un parallélogramme ayant deux côtés
consécutifs de même longueur est un ……… .
3. Un quadrilatère dont les quatre côtés sont
de même longueur est un ……… .
113 1. Construire un rectangle OPEN de centre I tel
%
que IE = 6 cm et PIE = 90°.
2. Quelle est la particularité de ce rectangle ?
Justifier la réponse.
C
cm
5 cm
T
%
AB = 6 cm et ABC = 90°.
2. Quelle est la particularité de ce losange ?
Justifier la réponse.
115 1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 5 cm.
2. Tracer deux diamètres [MT] et [AH].
3. Quelle est la nature du quadrilatère MATH ?
Justifier la réponse.
4. Refaire cette figure avec deux diamètres [MT] et
[AH] perpendiculaires.
Que peut-on dire alors sur le quadrilatère MATH ?
116
La figure ci-contre
est formée de deux cercles
A
de même centre O.
Recopier et compléter le I P
tableau suivant par oui
S
ou par non.
C
Le quadrilatère
DECI
est un…
R
7
parallélogramme RECT ci-contre ?
Justifier la réponse.
2. Construire RECT en vraie grandeur.
MA = 5 cm et AT = 5 cm.
2. Quelle est la particularité de ce rectangle ?
Justifier la réponse.
114 1. Construire un losange ABCD tel que :
104
109 1. Quelle est la nature du
112 1. Construire un rectangle MATE tel que :
D
S
R
Recopier en corrigeant les erreurs.
a. Un losange qui a un angle droit est un rectangle.
b. Un parallélogramme qui a un angle droit est un
carré.
E
D
T
R
O
E
B
ADBC AEBI
ATBS
parallélogramme
…
…
…
…
rectangle
…
…
…
…
losange
…
…
…
…
carré
…
…
…
…
206
1255942_ch10_ok.indd 206
24/03/10 16:50:04
123
C
H
40°
4 cm
117 1. Construire en vraie
grandeur le parallélogramme
CHEF ci-contre.
F
2. Calculer son périmètre.
6 cm
Quelle est la nature du quadrilatère ci-dessous ?
Justifier la réponse.
T
I
60°
H
E
IE = 8 cm
TR = 12 cm
118
Construire les deux parallélogrammes suivants
en vraie grandeur.
a.
b.
J
4 cm J
I
F
5,5 cm
7 cm
110°
75° M
K
5
cm
E
K
E
R
Pour s’entraîner
Pêle-mêle
Construire le quadrilatère TIRE en vraie grandeur.
Avec un logiciel de géométrie
124 1. Tracer un quadrilatère ABCD.
2. Régler le nombre de décimales à 1.
119 Maths et langues vivantes
1. Chercher la traduction en anglais et en espagnol
du mot losange.
2. Chercher la signification en vieux français du mot
rhombe à l’aide d’un dictionnaire ou sur Internet.
3. Y a-t-il un rapport entre le vieux français et l’anglais
ou l’espagnol ?
120 1. Construire un parallélogramme ABCD tel que :
%
AB = 7 cm ; BAD = 110° et AD = 4 cm.
2. Quelle est la longueur du segment [CD] ?
Justifier la réponse.
121
ABCD est un parallélogramme de centre O.
A
3 cm
D
B
110°
O 1,9 cm
C
1. Quelles sont les longueurs des segments [OA],
[AC], [OB] et [BD] ? Justifier la réponse.
% %
2. Quelles sont les mesures des angles DOC , BOC
%
et AOD ? Justifier la réponse.
122 1. Construire un triangle ABD tel que :
AB = 7 cm ; BD = 4 cm et AD = 9 cm.
2. Construire les points L et P symétriques des points
A et B par rapport à D.
3. Quelle est la nature du quadrilatère ABLP ?
Justifier la réponse.
3. En observant les longueurs des côtés du quadrilatère, déplacer des points pour obtenir :
a. un parallélogramme ; b. un losange.
125 European exercise
Ashley : « Let LION be a rhomb wich side is 4 in. and
its diagonal [LO] 3in. » (1 in. = 2,54 cm.)
Petra : « Zeichne eine Raute ENTE mit 4 cm Seite,
deren Diagonale [ET] 3 cm. »
126
Quelles sont les affirmations exactes ?
Justifier les réponses.
1. Tous les parallélogrammes ont un centre de
symétrie.
2. Si un parallélogramme a un angle droit, alors
c’est un rectangle.
3. Un quadrilatère qui a quatre côtés de même
longueur est forcément un carré.
4. Tous les losanges sont des rectangles.
127
RSTU est un rectangle de centre I tel que
IU = 6 cm. Quelle est la longueur du segment [SU] ?
Justifier la réponse.
10• Parallélogrammes
1255942_ch10_ok.indd 207
207
24/03/10 14:36:21
Bilan
Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Trouve-les toutes !
Je sais…
Réponse A
Réponse B
Réponse C
Me souvenir des propriétés du parallélogramme et les utiliser
A
Pour les questions 128 à 130, on utilisera le
parallélogramme ABCD de centre O ci-contre.
B
6 cm
O
75°
128 Le point O est…
le milieu
du segment [BD]
D
le milieu
du segment [AC]
C
le centre de
symétrie de ABCD
129 Quel segment mesure 6 cm ?
le segment [AC]
le segment [BC]
le segment [CD]
130 Quels angles mesurent 75° ?
%
%
BAD et BCD
%
%
DCA et ADC
%
%
ABC et ADC
Reconnaître un parallélogramme
A
131 Quelle figure représente un
A
C
A
B
B
parallélogramme ABCD ?
B
D
D
132 Sur quelle figure,
J
J
D
C
C
J
K
I
le quadrilatère IJKL
est-il un parallélogramme ?
I
K
K
L
L
I
L
Me souvenir des propriétés des parallélogrammes particuliers et les utiliser
Pour les questions 133 à 135, on utilisera le rectangle ABCD, le losange EFGH et le carré IJKL.
I
A
B
F
O
E
D
S
M
G
H
C
J
L
K
133 Le triangle AOB est…
rectangle en O
isocèle en O
équilatéral
134 Les diagonales [FH] et [EG]…
se coupent
en leur milieu
ont la
même longueur
sont perpendiculaires
135 Le triangle MLK est…
rectangle en M
isocèle en M
équilatéral
un carré
un losange
un rectangle
un carré
un losange
un rectangle
Reconnaître un parallélogramme particulier
A
136 Ce parallélogramme
ABCD est…
D
B
C
137 Un parallélogramme qui a
des diagonales de même
longueur est…
Réponses en fin de manuel, page 267
208
1255942_ch10_ok.indd 208
24/03/10 14:36:22
Construire en vraie grandeur les parallélogrammes IMPO et GOKU.
a.
b.
M
4 cm O
I
G
25°
3cm
cm
7c
8 110°
m
K
P
U
O
139 1. Construire un triangle RST tel que :
RS = 6 cm ; RT = 5 cm et ST = 4 cm.
2. Construire :
a. le point U pour que RSTU soit un parallélogramme ;
b. le point V pour que RSVT soit un parallélogramme ;
c. le point W pour que RTSW soit un parallélogramme.
1. Tracer un repère orthogonal sur une feuille
quadrillée en prenant un côté de carreau comme
unité de longueur sur chaque axe.
2. Placer les points A(–3 ; 1), B(1 ; 3) et C(5 ; 1).
3. Placer le point D pour que le quadrilatère ABCD
soit un losange.
4. Quelles sont les coordonnées du point D ?
5. Quelles sont les coordonnées du centre de
symétrie de ce losange ?
145
ERBT est un parallélogramme.
R
E
110°
70°
140
Pour chaque question, dessiner une figure à
main levée codée puis construire en vraie grandeur
un parallélogramme ABCD tel que :
%
%
a. AB = 4 cm, BAC
= 35° et ADC = 125° ;
b. CD = 4 cm, AC = 7 cm et BC = 5 cm.
S
T
B
BTE ?
1. Quelle est la mesure de l’angle %
Justifier la réponse.
2. Les points B, T et S sont-ils alignés ?
Avec un logiciel de géométrie
141 1. Construire un triangle BUS tel que :
BU = 3,6 cm ; BS = 4,8 cm et US = 6 cm.
2. Placer le milieu H du segment [BS].
3. Construire le point E symétrique de U par rapport
au point H.
4. Quelle est la nature du quadrilatère BUSE ?
Justifier la réponse.
5. Calculer le périmètre de BUSE.
142
144 Dans un repère
Pour approfondir
138
146 1. a. Construire un triangle DEF et placer I le
milieu du côté [EF].
b. Construire le point G symétrique du point D par
rapport au point I.
2. a. Que peut-on dire des diagonales du
quadrilatère DEGF ?
b. Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ?
ABCD est un parallélogramme de centre O.
F
A
B
O
D
C
E
Quelle est la nature du quadrilatère AECF ?
Justifier la réponse.
143
Reproduire la figure
ci-contre et placer le point
B pour que ABCD soit un
parallélogramme.
A
D
O
C
3. Déplacer le point D pour que le triangle DEF
devienne isocèle en D. Quelle est alors la nature du
parallélogramme DEGF ?
%
4. a. Faire afficher la mesure de l’angle FDE
.
b. Déplacer le point D pour que le triangle DEF
devienne rectangle en D. Quelle est alors la nature
du parallélogramme DEGF ?
5. Déplacer le point D pour que le triangle DEF
devienne isocèle rectangle en D. Quelle est alors la
nature du parallélogramme DEGF ?
10• Parallélogrammes
1255942_ch10_ok.indd 209
209
24/03/10 14:36:23
Pour approfondir
147 1. Construire un parallélogramme IJKL tel que :
%
%
IK = 7 cm ; KIJ = 41° et IKJ = 49°.
2. Calculer la mesure de l’angle %
IJK .
3. Quelle est la nature du parallélogramme IJKL ?
Justifier la réponse.
W
151
Léa est sûre que WXYZ est
un carré. A-t-elle raison ?
Justifier la réponse.
Z
X
Y
152 Diagonales clés
148 Maths et français
On a représenté les diagonales de quatre quadrilatères.
Quelle est la nature de chaque quadrilatère ?
Justifier les réponses.
1
M
2
I
P
J
L
1. Chercher le mot lauze dans le dictionnaire.
2. Quelle semble être la forme des tuiles qui recouvrent
ce toit ?
3. À quelle figure du chapitre peut-on lier le mot lauze ?
G
K
H
3
E
4
M
O
A
Y
A
149 Reconstituer une démonstration
En classant les étiquettes dans le bon ordre, démontrer
que ZERO est un carré.
Z
E
L
R
Avec un logiciel de géométrie
153 1. Tracer un quadrilatère ABCD.
O
2. Placer les milieux E, F, G et H des côtés de
ABCD et tracer le quadrilatère EFGH.
3. Quelle semble être la nature de EFGH ?
Pour le vérifier, faire afficher la longueur des côtés.
4. Si on déplace un des sommets de ABCD,
la nature de EFGH semble-t-elle modifiée ?
5. Faire afficher les aires des deux quadrilatères et
comparer. Que peut-on en déduire ?
6. En déplaçant les points A, B, C et D, transformer
le quadrilatère ABCD successivement en rectangle,
en losange et en carré. Observer à chaque fois ce
que devient le quadrilatère EFGH.
R
ZERO est un losange qui possède
un angle droit.
ZERO est un losange.
%
L’angle EZO est un angle droit.
Les quatre côtés du quadrilatère ZERO
sont de la même longueur.
ZERO est donc un carré.
150
Quelle est la nature du
quadrilatère FGHJ ci-contre ?
Justifier la réponse.
G
F
J
H
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tel que FH = 3,9 cm et GH = 6,7 cm.
2. Construire les points I et J pour que le quadrilatère FGIJ soit un losange de centre H.
3. Calculer les longueurs des diagonales du losange
FGIJ.
155
EFGH et GHJK sont deux parallélogrammes.
E
F
J
157 1. a.
Construire un parallélogramme ABGF
%
tel que BG = 4 cm ; BGF = 130° et GF = 6 cm.
b. Quelle est la longueur du segment [AB] ?
Justifier la réponse.
c. Quelle est la mesure de l’angle %
FAB ?
Justifier la réponse.
3. Observer la figure à main levée ci-dessous.
A
F
G
E
K
Pourquoi peut-on affirmer que :
a. les longueurs EF et JK sont égales ?
b. les droites (EF) et (JK) sont parallèles ?
156
Quels angles faut-il calculer pour pouvoir
construire un parallélogramme MNOP tel que :
%
%
MO = 7 cm ; NOM = 42° et MPO = 115° ?
B
130°
G
H
Pour approfondir
Exercice de synthèse
154 1. Construire un triangle FGH rectangle en H
C
D
a. Quelle est la nature du quadrilatère EDGF ?
Justifier la réponse.
b. Quelle est la nature du quadrilatère BCDG ?
Justifier la réponse.
c. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère BCDG ? Justifier la réponse.
4. Construire la figure complète en vraie grandeur.
Jeux et défis mathématiques
158 Casse-tête constructif !
Fais
plusieurs
essais !
Peut-on construire un parallélogramme ABCD dont le périmètre vaut
24 cm et tel que la longueur AB vaut le double de la longueur BC ?
159 Étonnant !
La figure ci-contre représente un cercle de centre O
et deux de ses diamètres perpendiculaires.
OIAJ et OKBL sont deux rectangles.
Comparer les longueurs des segments [IJ] et [KL].
M
Q
K
O
B
160 Une figure hypnotique
A
J
P
I
L
N
1. Construire un parallélogramme dont les côtés mesurent 20 cm et 16 cm.
2. Placer le milieu de chaque côté et relier ces quatre
milieux pour former un nouveau quadrilatère.
3. Placer le milieu de chaque côté du nouveau
quadrilatère et relier ces quatre milieux pour former
encore un nouveau quadrilatère.
4. Répéter trois fois la consigne de la question 3 et
colorier la figure obtenue.
10• Parallélogrammes
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