Les nombres algébriques et les nombres transcendantaux

Les nombres algébriques et les nombres transcendantaux
(Pour le niveau 11 et 12, ou encore pour ceux qui ont une certaine maturité en algèbre)
On peut subdiviser tous les nombres réels en catégories de nombres. Nous révisons quelquesunes de celles-ci:
• Les nombres naturels: N = {1, 2, 3, 4, . . .}
• L’ensemble des entiers: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
• Les entiers non-négatifs: N∗ = {0, 1, 2, 3, . . .}
• Les nombres rationnels: Q = { ab : a, b ∈ Z, b 6= 0}. À noter que tous les nombres
entiers sont des nombres rationnels.
• Les nombres réels, R, sont tous les nombres que nous connaissons et qui se trouvent
quelque part sur la ligne droite utilisée pour ordonner les nombres.
• Les nombres réels
√ qui ne sont pas des nombres rationnels sont les nombres irrationnels.
Les nombres 3, π et le nombres d’Euler e en sont des exemples.
On partage également les nombres réels R en deux catégories: les nombres algébriques et
les nombres transcendantaux.
Les nombres algébriques: Un nombre algébrique est un nombre qui est la racine d’un
polynôme an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 dont tous les coéfficients ai sont des
nombres rationnels.
Par exemple:
• Tous les nombres rationnels ab sont des nombres algébriques puisque ab est une solution
de l’équation x − ab = 0 et donc est une racine du polynôme aux coéfficients rationnels
x − ab
• Plusieurs nombres irrationnels
sont également des
√
√ nombres algébriques. Par exemple,
le nombre irrationnel 3 est algébrique puisque 3 est une racine du polynôme x2 − 3
(c.-à-d. il satisfait l’équation x2 − 3 = 0).
Les nombres transcendantaux: Un nombre transcendantal est un nombre qui n’est pas un
nombre algébrique. C’est-à-dire qui n’est pas la racine d’un polynôme an xn + an−1 xn−1 +
· · · + a2 x2 + a1 x + a0 dont tous les coéfficients ai sont des nombres rationnels.
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• Puisque tous les nombres rationnels sont des nombres algébriques on trouve les nombres transcendantaux que parmi les nombres irrationnels.
• De fait, on a démontré que la “plupart” des nombres irrationnels sont transcendantaux.
• Et pourtant, démontrer qu’un nombre irrationnel est transcendantal est une tâche
assez difficile.
– Ce n’est qu’un 1873 qu’on a démontré pour la première fois que le nombre d’Euler
e est transcendantal.
– Et c’est en 1884 qu’on a réussi à démontrer que π est transcendantal.
– On sait aussi que eπ et 3
√
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sont des nombres transcendantaux.
• Avis aux chercheurs: On ne sait pas encore aujourd’hui si les nombres π + e, π − e,
πe, πe , π π , ee , π e sont transcendantaux ou algébriques.
c Club Pythagore, 2007
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