http://sbeccompany.fr MOUVEMENTS DES SATELLITES ET DES PLANETES I – Les lois de Kepler Johannes Kepler (1571-1630), astronome et physicien allemand, célèbre pour sa formulation et sa vérification des trois lois du mouvement planétaire (1609). Ces lois sont maintenant connues sous le nom de lois de Kepler. En se basant sur les idées de Nicolas Copernic (théorie héliocentrique des planètes, 1543), il a montré que le système solaire était composé de neuf planètes et d’autres corps comme les comètes par exemple. Pour qu’un corps appartienne au système solaire, il faut qu’il vérifie les trois lois de Kepler appliquées au Soleil (voir ci-après). Les travaux de Kepler ont servi à Isaac Newton pour démontrer l’attraction gravitationnelle. v 1) Première loi de Kepler : loi des trajectoires DANS LE REFERENTIEL LIE AU CENTRE DU CORPS ATTRACTEUR, LA TRAJECTOIRE DU CENTRE DU SATELLITE EST UNE ELLIPSE DONT LE CORPS ATTRACTEUR EST L’UN DES FOYERS. Application au système solaire : Dans le référentiel héliocentrique, les trajectoires de chaque planète est une ellipse dont le Soleil est un foyer. Plus précisément, toutes les planètes à part Mercure et Pluton ont des trajectoires circulaires. A F F’ corps attracteur satellite A’ S 2) Deuxième loi de Kepler : loi des aires LE SEGMENT DE DROITE RELIANT LE CORPS ATTRACTEUR AU SATELLITE BALAIE DES AIRES EGALES DURANT DE DUREES ∆T EGALES. Conséquences : quand le segment s’allonge, l’aire balayée restant la même, la vitesse diminue. Dans le cas d’une ellipse, la vitesse est plus grande quand le corps se rapproche du soleil. Remarque : quand la trajectoire de la vitesse est circulaire, la norme de la vitesse est constante. ∆t A2 A F F’ A1 A1 = A2 ∆t A’ 3) Troisième loi de Kepler : loi des périodes DANS LE REFERENTIEL LIE AU CENTRE DU CORPS ATTRACTEUR, LE RAPPORT ENTRE LE CARRE DE LA PERIODE DE REVOLUTION ET LE CUBE DU DEMI GRAND AXE a = FF’ DE L’ELLIPSE EST UNE CONSTANTE LIEE AU CORPS ATTRACTEUR. T2 = constante a3 T2 = constante r3 II – Les référentiels 1) Le référentiel géocentrique Il est constitué du centre de la Terre comme origine et de trois directions fixes allant du centre de la Terre vers trois étoiles lointaines (elles sont si loin que l’on peut considérer leur position fixé). On utilise ce référentiel pour décrire les mouvements des satellites artificiels ou naturels. Ce référentiel est galiléen. On peut appliquer les lois de Newton. On pourrait définir le même référentiel pour n’importe quelle autre planète. 2) Le référentiel héliocentrique Il est constitué du centre de la Terre comme origine et de trois directions fixes allant du centre de la Terre vers trois étoiles lointaines (elles sont si loin que l’on peut considérer leur position fixé). On utilise ce référentiel pour décrire le mouvement des planètes autour du Soleil. Ce référentiel. On peut appliquer les lois de Newton. f III – Caractéristique d’un mouvement circulaire uniforme 1) Définition LE MOUVEMENT D’UN SOLIDE EST RECTILIGNE UNIFORME SI SA TRAJECTOIRE EST UN CERCLE ET SI LA NORME DE SA VITESSE EST CONSTANTE. Le vecteur vitesse, quand à lui, varie tout le temps. Exemple : Lune autour de la Terre, les satellites géostationnaires, la Terre autour du Soleil. 2) Le repère de Frenet T - L’origine du repère de Frenet est le point M, centre du satellite. - Le vecteur T représente le vecteur unitaire porté par la tangente. Il est orienté dans le sens du mouvement. - Le vecteur N représente le vecteur unitaire porté par la normale. Il est dirigé vers le centre de la planète. - Le repère de Frenet est mobile. M N r 3) Le vecteur accélération v = v ⋅T dv dv dT v a= = ⋅T + v ⋅ = 0+v⋅ N dt dt dt r → v 2 a = ⋅N r Au cours d’un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est radiale (selon la normale), centripète (dirigée vers le centre) et sa valeur dépend des carrés de la vitesse et de l’inverse du rayon. IV – Application aux satellites et planètes 1) Rappel : la force de gravitation universelle Enoncé (Isaac Newton, 1667) : DEUX CORPS DONT LA REPARTITION EST SPHERIQUEN, DE MASSES mA ET mB, SEPARES D’UNE DISTANCE r, SONT SOUMIS AU FORCES DE GRAVITATION UNIVERSELLES DONT L’EXPRESSION EST : m ⋅ m FA→B = −G ⋅ A 2 B ⋅ u AB r FA→B = − FB→ A r A FA→ B u AB B Constante de gravitation universelle : G = 6, 67259 ⋅10−11 m3 ⋅ kg −1 ⋅ s −2 2) Le vecteur accélération Système : {un satellite de la Terre} Référentiel : géocentrique Forces extérieures : FT/sat 2ème loi de Newton : ∑F = msat ⋅ asat → FT →sat = msat ⋅ asat G ⋅ mT ⋅ msat G ⋅ mT − ⋅ u = m ⋅ a → a = − ⋅u sat sat sat r2 r2 ext G ⋅ m T asat = ⋅N r2 L’accélération est indépendante de la masse du satellite. Elle ne dépend que du rayon de l’orbite. Remarque : dv v 2 En général : a = ⋅ T + ⋅ N dt r G ⋅ m dv dv T ⋅ N ⋅T = 0 ⇒ =0 Or : a = donc 2 r dt dt v = constante 3) Le vecteur vitesse v 2 a = r ⋅ N a = G ⋅ mT ⋅ N r2 ( Frenet ) ( Newton) v 2 G ⋅ mT G ⋅ mT ⇒ ⋅ N= ⋅ N ⇒ v2 = 2 r r r v= G ⋅ mT r La vitesse dépend du rayon de l’orbite. Plus le rayon est grand, plus la vitesse est petite. G ⋅ mT RT + z v= RT : rayon de la Terre RT = 6380km z : altitude du satellite 4) La période de révolution d’un satellite LA PERIODE DE REVOLUTION D’UN SATELLITE EST LA DUREE QUE MET UN SATELLITE POUR EFFECTUER LE TOUR DE SON ASTRE ATTRACTEUR. ON LA NOTE T. v= 2π r 2π r ⇒ T= ⇒ T= T v 2π r G ⋅ mT r r3 T = 2π G ⋅ mT La période est indépendante de la masse et dépend de l’altitude. Remarque : en mettant au carré : T2 4π 2 = r 3 G ⋅ mT : on retrouve la 3ème loi de Kepler On peut déterminer la masse d’un corps attracteur connaissant la période et le rayon de l’orbite d’un satellite. 5) Cas des satellites géostationnaires Un satellite géostationnaire a une position fixe par rapport à la Terre. Par rapport au référentiel géocentrique, il a un mouvement rectiligne uniforme. Il se situe dans le plan de l’équateur et sa période de révolution est celle de la Terre (23h56min). T 2 ⋅ G ⋅ mT r= 4π 2 3 Plus l’orbite est grande, plus la période est grande, plus la vitesse est petite.