Les nombres premiers Les nombres premiers sont indispensables pour le travail avec les fractions. Pour pouvoir effectuer des transformations des réductions ou simplement des opérations telles que des additions, soustractions, multiplications ou divisions de fraction, il est indispensable de savoir si la fraction est composée de nombre premier. Un nombre premier c’est quoi ? Dans une définition banale, on peut dire que c’est un nombre qui présente deux critères de divisibilité particuliers et que pour qu’il soit premier, ce nombre doit regrouper à chaque fois ces 2 critères et uniquement ces 2 critères. Critère N°1 : Ce nombre doit pouvoir se diviser par 1 Critère N°2 : Ce nombre doit pouvoir se diviser par lui-même. IMPORTANT A chaque fois le nombre doit regrouper ces 2 critères Pour les nombres qui peuvent se diviser par des nombres différents que 1 et lui-même, on parle de nombres composés. Remarque : Le nombre « 1 » répond aux deux critères du nombre premier mais il y a un problème, car Il se divise bien par 1 et par lui-même mais c’est deux fois le même nombre. Donc on ne peut pas inclure le « 1 » comme nombre premier. En résumé : Un nombre premier se divise par 1 et par lui-même (Sauf le « 1 ») Un nombre composé regroupe tous les nombres qui répondent à plus de critères. Pour définir quels sont les nombres premiers et le nombres composés, nous allons utiliser un outil qui va nous permettre de faire une sélection. Le crible d’Ératosthène Un peu d’histoire pour comprendre d’où vient cet outil : Il y a bien plus de 2000 ans, il y avait un savant Grec qui portait le nom d’Ératosthène. Il a été reconnu pour avoir défini avec une précision impressionnante la longueur des méridiens terrestres et ainsi a réussi à calculer la circonférence de notre globe terrestre. Par ailleurs, Monsieur Ératosthène a été l’inventeur d’une méthode assez ingénieuse pour extraire les nombres premiers. Nous allons utiliser sa méthode qui s’appelle « Le crible d’Eratosthène » pour définir quel nombre est un nombre premier. Qu’est ce que c’est qu’un crible ? Avec d’autres mots, un crible, c’est un tamis ou un filtre. Ce crible va nous permettre de sélectionner ou de trier les nombres avec une méthode très structurée. Pour cette démonstration, nous allons prendre comme exemple un tableau de chiffre allant de 1 à 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 On peut évidemment faire une grille plus grande, mais dans cette théorie, on s’arrêta au nombre 100. Ceci qui nous permettra amplement de comprendre le processus exact à appliquer selon Ératosthène, pour l’extraction des nombres premiers. Méthode pas à pas 1) J’élimine le chiffre 1 (car il ne répond pas aux 2 critères des nombres premier) 2) Je souligne le chiffre 2 et j’élimine tous les multiples de 2 dans la grille. 3) Je souligne le chiffre suivant pas encore éliminé (Ici le chiffre 3) et élimine tout les multiples de ce chiffre. 4) Je répète le point trois jusqu'à ce que il n’y ait plus que des chiffres non divisibles. 5) Les chiffres restants sont des nombres premiers. Point 2 Point 1 x 2 3 x 5 x 7 x 9 x 11 x 13 x 15 x 17 x 19 x Le Point 2 continue jusqu’au dernier multiple. C'est-à-dire jusqu'à 100 dans notre exemple Point 3 X 2 3 x 5 x 7 x x x 11 x 13 x x x 17 x 19 x Le Point 3 continue jusqu’au dernier multiple. C'est-à-dire jusqu'à 99 dans notre exemple Ensuite on continue avec le chiffre suivant. (Chiffre 5) Ce triage prend fin après avoir effectué toutes les étapes jusqu’au point 5. Ainsi on obtient une dernière série de nombres dans cette grille. Les nombres qui resteront seront les nombres premiers compris entre 1 et 100. Comment peut on savoir si un nombre est premier? Peut-on dire que 167 est un nombre premier? Oui ou non? Comment peut on faire pour le savoir? Premier point on élimine les diviseurs 2, 3 et 5 On sait que pour diviser par 2, le nombre doit être pair. On sait que pour diviser par 3, l'addition de tous les chiffres doit être un multiple de 3. On sait que pour diviser par 5, le nombre doit finir par 5 ou par 0. 1) Donc on commence à diviser par 7 167 14 27 21 6 7 23 2) On continue jusqu'à ce qu'on trouve un résultat (quotient) plus petit que le diviseur. 167 11 57 55 2 11 15 On voit que le quotient 15 est encore plus grand que le diviseur 11 3) On procède à une nouvelle division avec le nombre premier suivant qui est le 13 Règle à retenir Lorsqu'il il y a un reste, et que le quotient est inférieur au diviseur, alors on est certain d'être en 167 13 présence d'un nombre premier. 13 12 37 Dans l'exemple 26 On a un reste qui est 11 11 Le quotient 12 est inférieur au diviseur 13. On peut dire que 167 est un nombre premier. On sait alors qu'il ne se divise que par 1 et par 167 uniquement