Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Fonctions à valeurs dans Rm euclidien
I
Opérations algébriques
1
II Limite d’une fonction vectorielle
2
III Continuité d’une fonction vectorielle
III.A Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.C Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
IV Dérivée d’une fonction vectorielle
3
V Propriétés des fonctions de classe C 1
4
VI Dérivées successives d’une fonction vectorielle
VI.A Fonctions de classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.B Quelques formules de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
VIIDérivées d’une fonction composée
VII.ADérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.BComposée de deux fonctions de classe C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
VIII
Développements limités
VIII.A
Fonction vectorielle négligeable devant une fonction à valeurs réelles . . . . . . . . . .
VIII.B
Développement limité en 0 à l’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.C
Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
9
IX Fonctions de classe C 1 par morceaux
IX.A Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.B Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.C Prolongement de la dérivée, pour une fonction à valeurs réelles
IX.D Prolongement de classe C 1 , pour une fonction vectorielle . . . .
IX.E Fonctions de classe C 1 par morceaux, à valeurs dans Rm . . . .
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
11
11
Soit I un intervalle de R, non réduit à un point. On s’intéresse aux fonctions :


f1 (t)
→
−


..
f : I → Rm , t 7→ 

.
fm (t)
→
−
Les fonctions fi , à valeurs réelles, s’appellent les fonctions coordonnées de la fonction vectorielle f .
I
Opérations algébriques
On définit :


f1 (t) + g1 (t)
→
− →


..
f +−
g : t 7→ 
,
.
fm (t) + gm (t)
ce qui permet de parler du R-espace vectoriel F(I, Rm ).
1


λf1 (t)
→
−


..
λ f : t 7→ 

.
λfm (t)
II
Limite d’une fonction vectorielle
Définition 1.
→
−
→
−
Soient I un intervalle de R, t0 un point de I, f une fonction de I − {t0 } dans Rm , et ` un élément
de Rm :
→
−
→
−
→
−
→
−
⇐⇒ lim k f (t) − ` k = 0
lim f (t) = `
t→t0
déf
t→t0
→
−
Remarque 1. f peut éventuellement être définie en t0 , mais sa valeur en t0 n’a pas d’importance
pour sa limite.
Théorème 1.
→
−
→
−
→
−
f (t) tend vers ` si et seulement si chaque fonction coordonnée de f tend vers la coordonnée
→
−
correspondante de ` . En d’autres termes, on a :
→
−
→
−
lim f (t) = `
t→t0
⇐⇒
∀k ∈ {1, . . . , m}, lim fk (t) = `k
t→t0
Démonstration. Soit k compris entre 1 et m. On a :
m
X
−
→
−
→
|fi (t) − `i |
0 6 |fk (t) − `k | 6 k f (t) − ` k 6
(1)
(2)
(3) i=1
(c’est facile à vérifier).
−
→
−
→
Supposons que k f (t) − ` k tende vers 0. Alors, à cause des inégalités (1) et (2), |fk (t) − lk | tend vers 0, et cela quel
que soit k compris entre 1 et m.
m
X
|fi (t) − `i | tend vers 0, et
Supposons inversement que pour chaque i, |fi (t) − `i | tende vers 0. Alors la somme finie
−
→
−
→
l’encadrement donné par les inégalités (1) et (3) montre que k f (t) − ` k tend vers 0.
i=1
Corollaire 1.
La limite d’une somme de fonctions est la somme des limites (pourvu que ces limites existent).
→
−
→
−
La limite de λ(t) f (t) est égale au produit de la limite de λ et de la limite de f (pourvu que ces
limites existent).
Démonstration. A l’aide des fonctions coordonnées.
III
III.A
Continuité d’une fonction vectorielle
Continuité en un point
Définition 2.
→
−
→
−
Soient I un intervalle, t0 un point de I, f une fonction de I dans Rm . f est dite continue en t0 si
→
−
→
−
lim f (t) = f (t0 ).
t→t0
→
−
Remarque 2. Ici, f est définie en t0 , et sa limite en t0 est égale à sa valeur en t0 .
Théorème 2.
→
−
→
−
f est continue en t0 si et seulement si chaque fonction coordonnée de f l’est.
Démonstration. C’est une conséquence du théorème équivalent pour les limites.
2
III.B
Continuité sur un intervalle
→
−
Définition 3. f , fonction de I dans Rm , est dite continue sur I si elle est continue en tout point
de I.
Le recours aux fonctions coordonnées permet de démontrer (sans élégance mais sans difficulté !)
les résultats suivants :
→
−
→
−
−
−
– Si f et →
g sont continues sur I, et si λ, µ ∈ R, alors λ f + µ→
g est continue sur I, ce qui permet
de parler de l’espace vectoriel C(I, Rm ) des fonctions continues de I dans Rm .
→
−
→
−
– Plus généralement, si t 7→ λ(t), est continue de I dans R et si f ∈ C(I, Rm ), alors t 7→ λ(t) f (t)
est continue sur I.
– Le produit de deux fonctions à valeurs complexes, continues sur I, est continu sur I.
→
−
→
−
– Si f ∈ C(I, Rm ), alors la fonction t 7→ k f (t)k est continue sur I. Ce dernier résultat se montre
→
→
−
→
−
−
→
−
plus joliment à l’aide de la double inégalité 0 6 k f (t)k − k f (t0 )k 6 k f (t) − f (t0 )k.
→
−
−
– Si f et →
g sont des fonctions continues de I dans Rm (euclidien), alors la fonction t 7→
→
−
→
−
( f (t) | g (t)) est continue sur I. Cela peut s’établir avec les fonctions coordonnées, mais c’est
mieux en utilisant l’expression du produit scalaire à l’aide de la norme.
→
−
−
– Si f et →
g sont des fonctions continues de I dans R3 (euclidien orienté), alors la fonction
→
−
−
t 7→ f (t) ∧ →
g (t) est continue sur I.
Remarque 3. Tous ces résultats restent valables si on remplace "continuité sur I" par "continuité
en t0 ".
III.C
Composition
Théorème 3.
Soient I et J deux intervalles de R, non réduits à des points. Soient ϕ une fonction continue de J
→
−
dans I, et f une fonction continue de I dans Rm .
→
−
f
ϕ
J −→ I −→ Rm
→
−
→
−
La fonction f ◦ ϕ : t 7→ f (ϕ(t)) est continue sur J.
→
−
Remarque 4. C’est valable aussi pour la continuité en un point : si ϕ est continue en t0 et si f est
→
−
continue en ϕ(t0 ), alors f ◦ ϕ est continue en t0 .
Démonstration. Ce résultat a été vu en sup pour f ◦ ϕ quand f est une fonction à valeurs réelles. Or les fonctions
−
→
−
→
coordonnées de f ◦ ϕ sont les fonctions fi ◦ ϕ, où les fi sont les fonctions coordonnées de f , continues. Les fi ◦ ϕ sont
−
→
donc continues, et par suite f ◦ ϕ est continue.
IV
Dérivée d’une fonction vectorielle
Définition 4.
→
−
Soient I un intervalle, t0 un point de I, f une fonction de I dans Rm :
→
−
f est dérivable en t0
⇐⇒
déf
→
−
→
−
f (t) − f (t0 )
−
a une limite →
a quand t → t0
t − t0
3
→
−
→
−
Cette limite est alors notée f 0 (t0 ). Il est immédiat que f est dérivable en t0 si et seulement si
chaque fonction coordonnée l’est, et que dans ces conditions on a :

 0
f1 (t0 )
→
−0


..
f (t0 ) = 

.
0
fm
(t0 )
Comme pour les fonctions à valeurs réelles, on peut parler de dérivée à droite ou à gauche. Par
exemple :
→
−
→
−
→
−
f (t0 )
−
• f est dérivable à droite en t0 si et seulement si f (t)−
a une limite →
a quand t → t0 , t > t0 .
t−t0
→
−0
→
−0
→
−
• Si f est dérivable en tout point de I, et que la fonction f : t 7→ f (t) est continue, on dit que
→
−
→
−
→
−
la fonction f est de classe C 1 , et f 0 s’appelle fonction dérivée de f sur I. Il est clair qu’une
fonction vectorielle est de classe C 1 si et seulement si ses fonctions coordonnées le sont.
• Enfin, on sait que la dérivabilité des fonctions coordonnées entraîne leur continuité (c’est une
→
−
propriété connue des fonctions à valeurs réelles) ; il en est donc de même pour la fonction f :
toute fonction vectorielle dérivable sur I est continue sur I.
V
Propriétés des fonctions de classe C 1
Propriétés 1.
→
−
→
− −
→
−
−
– Si f et →
g sont de classe C 1 sur I, et si λ ∈ R, alors f + →
g et λ f sont de classe C 1 sur I, et
on peut parler du R-espace vectoriel C 1 (I, Rm ) des fonctions de classe C 1 de I dans Rm .
→
−
→
−
– Si f ∈ C 1 (I, Rm ) et si t 7→ λ(t) est une fonction de classe C 1 de I dans R, alors λ f est de
classe C 1 sur I, et on a :
→
−
→
− 0
→
−
∀t ∈ I, λ f (t) = λ0 (t) f (t) + λ(t) f 0 (t)
– Si f, g ∈ C 1 (I, C), alors f g ∈ C 1 (I, C), et f g
0
= f 0 g + f g0 .
−
−
– Si Rm est muni de sa structure euclidienne canonique, et si t 7→ →
u (t) et t 7→ →
v (t) sont de classe
→
−
→
−
1
1
C , alors t 7→ ( u (t) | v (t)) est de classe C , et l’on a :
−
−
−
−
−
−
(→
u |→
v )0 = (→
u 0 |→
v ) + (→
u |→
v 0)
−
−
−
−
– Si R3 est euclidien orienté et si t 7→ →
u (t) et t 7→ →
v (t) sont de classe C 1 , alors t 7→ →
u (t) ∧ →
v (t)
1
est de classe C , et l’on a :
−
−
−
−
−
−
(→
u ∧→
v )0 = →
u0∧→
v +→
u ∧→
v0
Démonstration. Toutes ces propriétés s’établissent sans problème à l’aide des fonctions coordonnées.
VI
VI.A
Dérivées successives d’une fonction vectorielle
Fonctions de classe C k
→
−
→
−
Soit f ∈ C 1 (I, Rm ). f 0 est une fonction de I dans Rm , qui peut être dérivable, à dérivée continue.
→
−
→
−
→
−
Dans ce cas, la dérivée de f 0 est notée f 00 , et f est dite de classe C 2 sur I. Plus généralement :
Définition 5.
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
f est dite de classe C k sur I si les dérivées f 0 , f 00 , . . . , f (k) existent et sont continues sur I. f est
→
−
→
−
dite de classe C ∞ sur I si pour tout k ∈ N, f (k) existe (inutile de préciser que f (k) est continue,
→
− (k+1)
puisque l’existence de f
le montre).
4
C 0 (I, Rm ) désigne tout simplement l’ensemble des fonctions continues de I dans Rm .
Pour tout k entier naturel, et aussi pour k = +∞, on a sans problème l’équivalence :
→
−
f est de classe C k sur I
⇐⇒
→
−
Chacune des fonctions coordonnées de f
est de classe C k sur I
→
−
→
−
−
−
Cela permet de constater que si f et →
g sont de classe C k sur I et si λ, µ ∈ R, alors λ f + µ→
g est de
k
k
m
classe C sur I, ce qui prouve que C (I, R ) est un espace vectoriel sur R.
Remarque 5. On verra dans le chapitre "courbes paramétrées" l’interprétation géométrique des
→
−
dérivées f (p) (t0 ) qui nous permettront de définir vitesse, accélération, rayon de courbure etc. .
VI.B
Quelques formules de Leibniz
Théorème 4.
Soit n un entier naturel.
– Soient f, g ∈ C n (I, R) ou C n (I, C). f g est de classe C n sur I, et on a :
n X
n (n−k) (k)
(n)
(f g) =
f
g
k
k=0
→
−
→
−
– Soient λ ∈ C n (I, R) et f ∈ C n (I, Rm ). λ f est de classe C n sur I, et on a :
n − (k)
→
− (n) X n (n−k) →
λ
f
(λ f ) =
k
k=0
− −
−
−
v est
– Soient →
u,→
v des fonctions de classe C n de I dans l’espace vectoriel euclidien Rm . →
u →
de classe C n sur I, et on a :
n − (k) →
(n) X
n →
−
→
−
−
u (n−k) →
u v
=
v
k
k=0
−
−
−
−
– Soient →
u,→
v des fonctions de classe C n de I dans l’espace vectoriel euclidien orienté R3 . →
u ∧→
v
n
est de classe C sur I, et on a :
n (n) X
n →
−
−
→
−
→
−
u (n−k) ∧ →
v (k)
u ∧ v
=
k
k=0
dans ces formules,
n
k
désigne le coefficient binômial
n!
k!(n−k)! ,
aussi noté Ckn
Démonstration. Les quatre démonstrations sont les mêmes, aux notations près. On va par exemple démontrer le
troisième résultat, qui concerne le produit scalaire.
On démontre par récurrence que pour tout p compris entre 0 et n, on a :
p X
→(p)
→(k) p −
−
→
→
u −
v
=
u (p−k) −
v
k
k=0
Le résultat est évident pour p = 0, et a déjà été établi pour p = 1.
On fait l’hypothèse de récurrence que pour un certain p compris entre 1 et n − 1, on a :
p X
→(p)
→(k) p −
−
→
→
u −
v
=
u (p−k) −
v
k
k=0
(1)
Toutes les fonctions vectorielles qui interviennent dans les produits scalaires du second membre sont de classe C 1
au moins. On peut donc dériver :
p h
X
→(p+1)
→(k) →(k+1) i
p
−
→
−
→
→
u −
v
=
u (p+1−k) −
v
+ −
u (p−k) −
v
k
k=0
(2)
p p X
→(p+1)
→(k) X
→(k+1) p −
p −
−
→
→
→
u −
v
=
u (p+1−k) −
v
+
u (p−k) −
v
k
k
k=0
k=0
(3)
5
p X
p
k=0
k
p X
→(k+1) →(k+1) p −
→
−
→
u ((p+1)−(k+1)) −
v
,
u (p−k) −
v
peut s’écrire
k
k=0
ou encore
p+1
X
k=1
→(k) p −
→
u ((p+1)−k) −
v
, au prix d’un décalage d’indice :
k−1
p X p X
→(k) →(k) p+1
→(p+1)
p −
−
→
−
→
→
u ((p+1)−k) −
v
u −
u (p+1−k) −
v
+
v
=
k
−
1
k
k=1
k=0
(4)
On s’arrange maintenant pour que les sommations des deux Σ se fassent sur le même ensemble (k ∈ 1, . . . , p ) et on
obtient :
p →(k) →(p+1)
→ X
p −
−
→
→
−
→
u −
u (p+1−k) −
v
v
=
u (p+1) −
v +
k
k=1
+
On utilise maintenant la formule de Pascal :
p X
→(k) →(p+1) p −
→
→
u ((p+1)−k) −
v
+ −
u −
v
k
−
1
k=1
p
k
+
p k−1
=
p+1
,
k
et on obtient :
p →(k) →(p+1)
→ X
→(p+1) p + 1 −
−
→
→
→
→
u −
u (p+1−k) −
v
+ −
u −
v
= −
u (p+1) −
v +
v
k
k=1
(5)
ce qui n’est rien d’autre que :
X p + 1 →(k) →(p+1) p+1
−
→
−
→
u −
u (p+1−k) −
v
v
=
k
k=0
(6)
On voit que le résultat annoncé en (1) à l’ordre p "passe" à l’ordre p + 1. Il est ainsi établi que la fonction t 7→
→ (n)
→ →
−
→
v (t)
pour
v (t) est dérivable jusqu’à l’ordre n sur l’intervalle I. Il reste à voir la continuité de t 7→ −
u (t) −
u (t) −
n
pouvoir dire qu’elle est de classe C . Or on a :
n X
→ (n)
→(k) n −
−
→
→
u (t) −
v (t)
=
u (n−k) (t) −
v
(t)
k
k=0
→
→
et chacune des fonctions t 7→ −
u (n−k) (t) et t 7→ −
v (k) (t), pour k compris entre 0 et n, est continue sur I. On conclut
avec la continuité du produit scalaire de deux fonctions vectorielles continues.
Exercice 1
On pose, pour x réel : f (x) = xn (1 − x)n . Calculer la dérivée nème de f à l’aide de la formule de
Leibniz. Quel est le coefficient de xn ? Retrouver ce résultat directement et en déduire la valeur de :
2 2
2
n
n
n
+
+ ··· +
0
1
n
[fve201]
VII
VII.A
Dérivées d’une fonction composée
Dérivée première
ϕ
→
−
f
La situation est la suivante : J −→ I −→ Rm
Théorème 5.
→
−
→
−
−
Notons →
g la fonction f ◦ ϕ, c’est-à-dire la fonction de J dans Rm qui à t associe f (ϕ(t)).
→
−
−
Si ϕ est dérivable en t0 , et f est dérivable en ϕ(t0 ), alors →
g est dérivable en t0 , et l’on a :
→
−
→
−
g 0 (t0 ) = f 0 (ϕ(t0 ))ϕ0 (t0 )
Démonstration. Notons x0 = ϕ(t0 ) et posons, pour x ∈ I :
 →
−
→
−
 f (x)− f (x0 )
−
→
x−x0
h (x) =

−
→0
f (x0 )
6
si x 6= x0
si x = x0
(le choix de h(x0 ) rend la fonction h continue en x0 )
On a, pour t 6= t0 :
−
→
−
→
−
→
→
g (t) − −
g (t0 )
f (ϕ(t)) − f (ϕ(t0 ))
ϕ(t) − ϕ(t0 )
−
→
=
= h (ϕ(t))
t − t0
t − t0
t − t0
On fait maintenant tendre t vers t0 :
−
→
−
→
−
→
lim h (ϕ(t)) = h (ϕ(t0 )) = f 0 (ϕ(t0 ))
t→t0
car on a une composition de fonctions continues, et :
lim
t→t0
ϕ(t) − ϕ(t0 )
= ϕ0 (t0 )
t − t0
car ϕ est dérivable en t0 . Il en résulte :
lim
t→t0
−
→
→
g (t) − −
g (t0 )
−
→
= f 0 (ϕ(t0 ))ϕ0 (t0 )
t − t0
qui est ce qu’on voulait établir.
Remarque 6. La démonstration est la même que pour les fonctions à valeurs réelles. Du reste, on
aurait pu exploiter le résultat pour les fonctions à valeurs réelles, et se servir des fonctions coordonnées.
Exercice 2
Soit f : t 7→ α(t) + iβ(t) une fonction dérivable (α et β sont dérivables, à valeurs réelles). Quelle est
la dérivée de h : t 7→ ef (t) ?
[fve202]
Exercice 3
[a, b] → C
Soit f :
.
t
7→ eit
Calculer f 0 (t), puis montrer qu’il n’existe aucun c ∈]a, b[ tel que :
(b − a)f 0 (c) = f (b) − f (a)
[fve203]
D’après ce dernier exercice, le théorème des accroissements finis ne fonctionne pas pour les fonctions à valeurs dans C. On verra au chapitre suivant que l’inégalité des accroissements finis est valable.
VII.B
Composée de deux fonctions de classe C n
Théorème 6.
ϕ
→
−
f
On donne : J −→ I −→ Rm
→
−
→
−
Si f et ϕ sont de classe C n , respectivement sur I et J, alors f ◦ ϕ est de classe C n sur J.
Démonstration. on la fait par récurrence sur n :
−
→
−
→
−
→
– Pour n = 1, on a ( f ◦ ϕ)0 = ( f 0 ◦ ϕ)ϕ0 , et il est donc clair que ( f ◦ ϕ)0 est continue.
−
→
– Hypothèse de récurrence : on suppose le résultat vrai pour tout couple de fonctions de classe C n .Soient f , ϕ de
−
→0
−
→0
n+1
n
n
classe C
: f et ϕ sont de classe C , donc f ◦ ϕ est de classe C d’après l’hypothèse de récurrence. ϕ0 est
également de classe C n .
−
→
−
→
Leibniz prouve alors que ( f 0 ◦ ϕ) × ϕ0 est de classe C n , i.e. ( f ◦ ϕ)0 est de classe C n .
−
→
Finalement f ◦ ϕ est de classe C n+1 .
−
→
−
→
– On conclut donc par récurrence que : ∀n ∈ N, si f et ϕ sont de classe C n , alors f ◦ ϕ est de classe C n .
Exercice 4
1. Soit J un intervalle inclus dans R∗ . Vérifier que la fonction de J dans R qui à x associe
de classe C ∞ .
7
1
x
est
2. Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur un intervalle I de R, de classe C n , ne prenant
1
pas la valeur 0. Montrer que la fonction t 7→ f (t)
est de classe C n .
[fve204]
Exercice 5
Soit f : I → R, de classe C 1 , telle que f 0 ne prend pas la valeur 0.
1. Montrer que f est strictement monotone.
On a donc une bijection f : I → J = f (I). On a vu en sup que la bijection réciproque
f −1 : J → I est elle-même continue, strictement monotone (de même sens que f ), et dérivable
1
.
sur J avec : (f −1 )0 = 0
f ◦ f −1
Montrer que f −1 est de classe C 1 .
2. On suppose f de classe C 2 . Montrer qu’on a :
(f −1 )00 = −
f 00 ◦ f −1
(f 0 ◦ f −1 )3
et déduire que f −1 est également de classe C 2 .
Remarque : on démontre que dans les mêmes hypothèses, si f est de classe C n , f −1 est également
de classe C n .
[fve205]
VIII
VIII.A
Développements limités
Fonction vectorielle négligeable devant une fonction à valeurs réelles
→
−
Soient I un intervalle de R, t0 ∈ I, f : I → Rm , ϕ : I → R :
→
−
→
−
−
Définition 6. On dit que f est négligeable devant ϕ au voisinage de t0 (noté f = →
o (ϕ)) si :
t0
→
−
1
lim
k f (t)k = 0
t→t0 |ϕ(t)|
→
−
Théorème 7. f est négligeable devant ϕ au voisinage de t0 si c’est le cas de chacune des fonctions
coordonnées. Autrement dit :
→
−
−
f =→
o (ϕ) ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . , m , fi = o(ϕ)
t0
VIII.B
t0
théo
Développement limité en 0 à l’ordre n
→
−
Soient I un intervalle de R, tel que 0 ∈ I, et f : I → Rm :
→
−
Définition 7. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en 0 (noté DLn (0)) si :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
∃ →
a ,→
a ,...,→
a ∈ Rm , f (t) = →
a +→
a t + ··· + →
a tn + →
o (tn )
1
2
n
0
0
1
n
→
−
Théorème 8. f a un DLn (0) si et seulement si chaque fonction coordonnée fi a un DLn (0) dont
→
−
la partie régulière est la ième fonction coordonnée de la partie régulière de f .
8
VIII.C
Formule de Taylor-Young
Théorème 9 (Formule de Taylor-Young).
→
−
→
−
– En 0 : Soit f : I → Rm , où I est un intervalle qui contient 0. On suppose f de classe C n .
Quand t tend vers 0, on a :
− (n)
→
−
→
−
→
−
tn →
−
f (0) + →
o (tn )
f (t) = f (0) + t f 0 (0) + · · · +
n!
→
−
→
−
– En t0 : Soit f : I → Rm , où I est un intervalle qui contient t0 . On suppose f de classe C n .
Quand t tend vers t0 , on a :
→
−
→
−
→
−
− (n)
(t − t0 )n →
−
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 ) f 0 (t0 ) + · · · +
f (t0 ) + →
o ((t − t0 )n )
n!
Démonstration. Par les fonctions coordonnées.
IX
IX.A
Fonctions de classe C 1 par morceaux
Subdivision
Définition 8.
On appelle subdivision d’un segment [a, b] toute suite finie (a0 , a1 , . . . , an ) telle que :
a = a0 < a1 < · · · < an = b
IX.B
Fonctions continues par morceaux
→
−
Définition 9. f : [a, b] → Rm est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision
→
−
(a0 , a1 , . . . , an ) de [a, b] telle que la restriction de f à chaque ]ai , ai+1 [ puisse se prolonger par
continuité au segment [ai , ai+1 ].
→
−
Cela revient à dire que f est continue sur chaque ]ai , ai+1 [, et a une limite finie en chacune des
→
−
bornes de ]ai , ai+1 [. Une telle subdivision est dite adaptée à f (il est clair qu’une subdivision qu’on
obtiendrait en intercalant un nombre fini de points à la subdivision (a0 , a1 , . . . , an ) serait également
adaptée.
→
−
Définition 10. f : I → Rm est dite continue par morceaux si sa restriction à chaque segment [a, b]
inclus dans I est continue par morceaux (I est ici un intervalle non réduit à un point).
→
−
Définition 11. f : R → Rm , T -périodique, est dite continue par morceaux si sa restriction à chaque
segment [a, a + T ] est continue par morceaux.
On notera respectivement Cm ([a, b], Rm ), Cm (I, Rm ) et Cm,T (R, Rm ) les ensembles décrits par les
définitions ci-dessus.
Exercice 6
Donner des exemples. La fonction x 7→ tan x est-elle continue par morceaux sur R ?
[fve206]
Exercice 7
9
Etablir oralement la structure de R-espace vectoriel de Cm ([a, b], Rm ), ainsi que celle de Cm (I, Rm ).
[fve207]
Exercice 8
√
La fonction x 7→ (sin x)2 + (sin( 2x))2 est-elle périodique ? Les fonctions périodiques de R dans R
forment-elles un espace vectoriel sur R ?
[fve208]
Exercice 9
On rappelle qu’une fonction est dite bornée si l’ensemble de ses valeurs est une partie bornée de
l’espace d’arrivée.
→
−
→
−
1. Soit f ∈ Cm ([a, b], Rm ). f est-elle bornée ?
→
−
→
−
2. Soit f ∈ Cm (R, Rm ). f est-elle bornée ?
→
−
→
−
3. Soit f ∈ Cm,T (R, Rm ). f est-elle bornée ?
4. Soit f ∈ Cm (I, R), où I est un intervalle ouvert borné. f est-elle bornée ?
[fve209]
IX.C
Prolongement de la dérivée, pour une fonction à valeurs réelles
Théorème 10.
Soit f : [a, b] → R, continue sur [a, b], de classe C 1 sur ]a, b]. On suppose qu’en a, f 0 a une limite finie
λ. Alors f de classe C 1 sur [a, b], et on a : f 0 (a) = λ.
Démonstration. C’est un théorème vu en Sup, qu’on redémontre cependant. f est donnée de classe C 1 sur ]a, b]. Si on
f (x) − f (a)
= λ, on aura nécessairement une dérivée continue en a,
démontre que f 0 (a) = λ, c’est-à-dire que lim
x→a+
x−a
f (x) − f (a)
puisqu’on sait par hypothèse que lim f 0 (x) = λ. On a donc seulement à établir : lim
= λ.
x→a+
x→a+
x−a
Soit ε > 0. Il existe α > 0 tel que :
∀t ∈]a, a + α], |f 0 (t) − λ| 6 ε
Soit x ∈]a, a + α]. D’après le théorème des accroissements finis, il existe t ∈]a, x[ tel que
f (x) − f (a)
= f 0 (t)
x−a
f (x)−f (a)
Et on a donc x−a
− λ 6 ε. Il est ainsi établi que :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x, x ∈]a, a + α]
=⇒
f (x) − f (a)
− λ 6 ε
x−a
ce qu’il fallait démontrer.
Remarque 7. Dans les mêmes conditions, on démontre (sans difficulté) que si lim f 0 (x) = +∞
x→a+
f (x) − f (a)
(respectivement −∞), alors on a lim
= +∞ (respectivement −∞), autrement dit la
x→a+
x−a
courbe représentative de f présente au point d’abscisse a une demi-tangente verticale.
Exercice 10
Soit f ∈ C 1 ]0, 1[, R , telle que lim f (x) = a et lim xf 0 (x) = b. Montrer que b = 0.
x→0
x→0
[fve210]
Exercice 11
Etudier la fonction définie sur ]0, 1[∪]1, +∞[ par :
ln(f (x)) × ln x = 1
[fve211]
10
IX.D
Prolongement de classe C 1 , pour une fonction vectorielle
Définition 12.
→
−
→
−
Soit f : ]a, b] → Rm , de classe C 1 . On dit que f admet un prolongement de classe C 1 à [a, b] s’il
→
−
−
existe une fonction →
g de [a, b] dans Rm , qui coïncide avec f sur ]a, b], et qui soit de classe C 1 sur
[a, b].
→
−
−
Remarque 8. Il est clair que →
g , si elle existe, est (en particulier) le prolongement de f par continuité
en a, ce qui en assure l’unicité.
Théorème 11.
→
−
→
−
→
−
Soit f : ]a, b] → Rm , de classe C 1 . f a un prolongement de classe C 1 à [a, b] si et seulement si f (t)
→
−0
et f (t) ont une limite quand t → a+
Démonstration.
−
→
→
(=⇒) Soit −
g le prolongement de classe C 1 de f ; on a :
−
→
→
→
lim f (t) = lim −
g (t) = −
g (a) et
t→a+
t→a+
−
→
→
→
lim f 0 (t) = lim −
g 0 (t) = −
g 0 (a)
t→a+
t→a+
d’où l’existence des limites.
−
→
−
→
→
(⇐=) Notons ` = lim f (t) et λ = lim f 0 (t). ` et λ sont des éléments de Rm . On définit une fonction −
g de la
t→a+
t→a+
−
→
−
→
−
→
−
→
manière suivante : g (t) = f (t) si t ∈]a, b], et g (a) = `. C’est le prolongement par continuité de f .
→
Chaque fonction coordonnée g de −
g vérifie les hypothèses du théorème IX.C, à savoir que g est continue sur
i
i
[a, b], dérivable sur ]a, b], et que gi0 a une limite finie en a (la ième coordonnée de λ) ; gi est donc de classe C 1 sur
[a, b].
→
Enfin, −
g est de classe C 1 sur [a, b], puisque chacune de ses fonctions coordonnées l’est.
IX.E
Fonctions de classe C 1 par morceaux, à valeurs dans Rm
Définition 13.
→
−
f : [a, b] → Rm est dite de classe C 1 par morceaux s’il existe une subdivision (a0 , a1 , . . . , an ) de [a, b]
→
−
telle que la restriction de f à chaque ]ai , ai+1 [ admette un prolongement de classe C 1 au segment
[ai , ai+1 ] (subdivision adaptée ; voir IX.B).
→
−
f : I → Rm est dite de classe C 1 par morceaux si sa restriction à tout segment inclus dans I l’est.
→
−
f : R → Rm , T -périodique, est dite de classe C 1 par morceaux si sa restriction à tout segment
[a, a + T ] l’est.
1
1
1
On notera respectivement Cm
([a, b], Rm ), Cm
(I, Rm ) et Cm,T
(R, Rm ) les ensembles décrits par les
définitions ci-dessus.
Exercice 12
1
1
1
Vérifier que les trois ensembles Cm
([a, b], Rm ), Cm
(I, Rm ) et Cm,T
(R, Rm ) sont des espaces vectoriels
sur R.
[fve212]
Théorème 12.
→
−
→
−
Soit f : [a, b] → Rm , et soit (a0 , a1 , . . . , an ) une subdivision de [a, b]. On suppose que f est de classe
→
−
→
−
C 1 sur chaque ]ai , ai+1 [, et que f et f 0 admettent des limites aux bornes de chaque ]ai , ai+1 [. Alors
→
−
f est de classe C 1 par morceaux.
Démonstration. C’est une conséquence immédiate du théorème IX.D.
11
Remarque 9. Les limites à gauche et à droite au point ai n’ont a priori pas de rapport avec la
→
−
valeur de f en ai .
12