x - C2P1

 Les extr@s sont un outil pédagogique vous permettant de revoir vos cours à
travers les points essentiels et les questions que vous vous posez le plus
couramment. Les explications sont dispensées par les RM et leur équipe.
Les extr@s sont une aide dans votre apprentissage voire compréhension des
différents cours, mais en aucun cas un substitut à vos cours magistraux ou TD.
Il vous est conseillé de consulter ce document après votre cours magistral afin
d’éclaircir les concepts les plus flous et vérifier votre assimilation des notions
de bases.
Si des questions persistent, n’hésitez pas à aller sur le forum :
http://www.ampcfusion.com
Cercle Cartésien des PAES – C2P1
Bureau T203 ∗ 45, rue des Saints-Pères 75006 Paris
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Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION Intégration
I)
Rappel sur l’intégration
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
L’intégration est l’opération inverse de la dérivation.
Calculer une intégrale de la fonction f(x) revient à calculer l’aire sous la courbe représentative
de f ou à calculer une primitive de f (x).
On appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur I et telle que F ’ = f.
b
" f (x)dx = [ F(x)]
b
a
= F(b) + k ! (F(a) + k) = F(b) ! F(a)
a
Quelques propriétés des intégrales
- Relation de Chasles :
c
b
Quelque soit l’ordre des réels a, b et c, ! f (x)dx =
a
(1)
a
b
Linéarité
b
b
! ( f + g)(x)dx =
!
a
b
(2)
c
! f (x)dx + ! f (x)dx
b
f (x)dx +
a
! g(x)dx
a
b
! ! f (x)dx = ! ! f (x)dx , avec λ un réel.
a
-
a
Effet de la parité
a
Si f est paire sur [!a;a ] , alors
!
"a
a
f (x)dx = 2 ! f (x)dx
0
a
Si f est impaire sur [!a;a ] , alors
" f (x)dx = 0
!a
Primitives des fonctions usuelles
Fonction
un
Primitive (sans « + Cste »)
1 n+1
u
n +1
1
u
ln u
e au+b
1 au+b
e
a
1
1+ u 2
arctan u
2 Les Extr@s du C2P1 II)
BIOMATHS n°1 INTÉGRATION sin u
!cosu
cosu
sin u
ln u
u ln u ! u
Procédés pour déterminer une intégrale
1) Méthode des rectangles (ou de la fonction en escalier)
Voici une méthode graphique permettant d’approcher la valeur de l’intégrale. Elle nous
permet de calculer une intégrale numérique (par opposition à intégrale analytique).
1.
2.
On décompose l’aire sous la courbe représentative de f en rectangles élémentaires de
largeur constante h (somme minorante ou majorante).
-
dans le cas de rectangles « minorants » : aire entre x et x + h = h x f (x)
-
dans le cas de rectangles « majorants » : aire entre x et x + h = h x f (x + h)
On somme les aires des rectangles élémentaires.
Un exemple : Soit f (x) = !x 2 + 5x .
Représentation graphique de f (x)
Nous avons décomposé l’aire sous la courbe en rectangles minorants de largeur h = 0,5.
3 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION 2
Calculons l’intégrale suivante :
! f (x)dx
0
1,5
2
!
f (x)dx = " A(xi ) = Aire des rectangles n°1 (entre 0 et 0,5) + n°2 (entre 0,5 et 1) + n°3
0
i=0
(entre 1 et 1,5) + n°4 (entre 1,5 et 2)
2
! f (x)dx = h " [ f (0) + f (0, 5) + f (1) + f (1, 5)] = 0, 5 " [0 + 2, 25 + 4 + 5, 25] = 5, 75
0
ATTENTION : Il ne faut pas inclure f (2) dans le calcul ! Nous avons besoin de l’aire de 4
rectangles seulement. Pour 5 valeurs, il y a 4 intervalles. Reportez-vous au graphe, ce sera
plus clair.
2) Méthode des trapèzes
Encore une nouvelle méthode graphique pour calculer une approximation numérique de
l’intégrale.
Cependant elle utilise une approximation affine, car on approxime par segment de droite la
fonction. Elle est donc plus précise que la méthode des rectangles.
1. On décompose l’aire sous la courbe représentative de f en trapèzes élémentaires de hauteur
constante h.
RAPPEL : Aire d’un trapèze =
petite base + grande base
!h
2
Dans le cas de nos trapèzes élémentaires : Aire entre x et x + h =
f (x) + f (x + h)
!h
2
2. Enfin on somme toutes ses aires élémentaires :
! f (a)
f (b) $
+ f (x1 ) +... + f (xn ) +
Intégrale = Somme des trapèzes = #
&' h
" 2
2 %
Un exemple : Soit g(x) = !x 2 + 5x + 2
g(0) = 2
g(1) = 6
g(2) = 8
g(3) = 8
g(4) = 6
g(5) = 2
4 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION Représentation graphique de g
Nous avons décomposé l’aire sous la courbe représentative de g en trapèzes de hauteur h = 1.
5
Calculons par la méthode des trapèzes l’intégrale : ! g(x)dx
0
5
" g(0)
g(5) %
! g(x)dx = $# 2 + g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + 2 '& ( h
0
"2
2%
= $ + 6 + 8 + 8 + 6 + ' (1
#2
2&
= 30
Méthode des trapèzes et concavité
Fonction concave (concavité vers le bas)
Fonction convexe (concavité vers le haut)
L’intégrale numérique calculée par la
méthode des trapèzes est inférieure à
l’intégrale analytique
L’intégrale numérique calculée par la
méthode des trapèzes est supérieure à
l’intégrale analytique
5 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION 3) Intégration par changement de variable
Soit f une fonction continue sur I et ! une fonction dont l’image appartient à I.
Cette méthode repose sur ce théorème :
! (b)
d
!
b
f (x)dx =
! (a)
! f (! (x)) ! '(x) dx d
a
Le but de cette méthode est de changer la variable au sein de f : on remplace x par une
nouvelle variable (en réalité un fonction) φ(x) ou u(x).
2
Exemple : Calcul de l’intégrale de f (x) = 2x. e 2 x entre a et b.
• 1ère étape : Trouver u(x)
On pose u(x) = 2x 2 .
• 2ème étape : Dériver u(x) et trouver dx
du(x)
du
= 4x donc dx =
dx
4x
• 3ème étape : changement des bornes !
a devient u(a) donc 2a2.
b devient u(b) donc 2b2.
4ème étape : Remplacer x et dx par u(x) et les bornes
•
b
I=
2
! 2x. e2 x . dx
a
2b 2
u
I=
du
! 2x. e . 4x
2a 2
.
2
1 2b u
I = ! e du
2 2a2
•
5ème étape : calcul de l’intégrale
2
1 2b u
1 ! u #2b2 1 2b2 2a2
I = % e du = "e $ 2 = (e & e )
2a
2 2a2
2
2
6 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION 4) Intégration de fraction rationnelle
Cette méthode nous permet d’intégrer des fractions rationnelles, c’est-à-dire des fonctions de
type :
P(x)
f (x) =
où P(x) et Q(x) sont des polynômes.
Q(x)
On peut transformer cette fraction rationnelle en une somme de fractions simples, faciles à
intégrer. Il existe plusieurs méthodes pour arriver à cette somme :
-
la division euclidienne
Le but est d’éliminer le membre de plus grande puissance à chaque fois (le membre le plus à
gauche).
4x 3 + 6x 2 ! 5x + 2
3
4x + 8x
x+2
2
4x2 – 2x – 1
2
0 ! 2x ! 5x + 2
! 2x 2 ! 4x
0
! x +2
! x !2
1.
2.
3.
4.
5.
on élimine 4x3 avec x multiplié par 4x2
on soustrait la ligne 2 à la ligne 1
on élimine -2x2 avec x multiplié par -2x
on soustrait la ligne 4 à la ligne 3
etc.
+4
On obtient : 4x 3 + 6x 2 ! 5x + 2 = (4x 2 ! 2x !1)(x + 2) + 4
-
la décomposition en éléments simples
On utilise cette méthode si on connaît les 2 racines de Q(x).
P(x)
P(x)
A
B
A(x ! b) + B(x ! a)
=
=
+
=
Ainsi f (x) =
Q(x) (x ! a)(x ! b) (x ! a) (x ! b)
(x ! a)(x ! b)
Il faut alors identifier les numérateurs : on égalise les coefficients des termes de même degré
de x, et on en déduit les valeurs de A et B.
Exemple : f (x) =
2x + 3
A
B
A(x +1) + B(x ! 2) (A + B)x + A ! 2B
=
+
=
=
(x ! 2)(x +1) x ! 2 x +1
(x ! 2)(x +1)
(x ! 2)(x +1)
"
7
A
=
&
"A + B = 2
"A = 2 ! B
&
3
%#
%#
Donc par identification : #
A
!
2B
=
3
2
!
3B
=
3
$
$
&B = ! 1
&$
3
7 Les Extr@s du C2P1 Ainsi, f (x) =
BIOMATHS n°1 INTÉGRATION 7
1
!
3(x ! 2) 3(x +1)
NB : Les 2 méthodes sont complémentaires, car la division euclidienne peut vous servir à
trouver les racines de Q(x).
Exemple : Calculer l’intégrale indéfinie de f (x) =
x !3
2x ! 3x ! 2
2
On remarque une racine évidente : x1 = 2. (car 8 – 6 – 2 = 0)
Donc on effectue une division euclidienne de f (x) par (x – 2).
2x 2 ! 3x ! 2
2
2x ! 4x
x–2
2x + 1
0 + x! 2
x! 2
0
Donc Q(x) = 2x 2 ! 3x ! 2 = (x ! 2)(2x +1)
f (x) =
x !3
A
B
A(x ! 2) + B(2x +1) (A + 2B)x ! 2A + B
=
+
=
=
(2x +1)(x ! 2) (2x +1) (x ! 2)
(2x +1)(x ! 2)
(2x +1)(x ! 2)
"
7
&& A = 5
" A + 2B = 1
" A = 1! 2B
%#
%#
Donc par identification : #
$!2A + B = !3 $!2 + 4B + B = !3 & B = ! 1
&$
5
7
1
!
Donc : f (x) =
5(2x +1) 5(x ! 2)
Calcul de I :
I=
7
1
7
NB : Attention pour la première intégrale : dx =
1
" 5(2x +1) dx ! " 5(x ! 2) dx = 10 ln 2x +1 ! 5 ln x ! 2 + Cste
du
!
2
8 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION 5) Intégration par parties
On utilise cette méthode quand la fonction à intégrer est un produit de 2 fonctions dont l’une
est facile à intégrer.
! u(x)v'(x) = [u(x)v(x)] " ! u'(x)v(x)
Exemple : Calcul de l’intégrale de f (x) = x.sin x entre 0 et π.
On pose u(x) = x donc u'(x) = 1
v'(x) = sin x donc v(x) = !cos x
!
!
0
!
f (x)dx =
! x.sin x dx
0
!
!
= ["x.cos x ]0 " ! "cos x dx
0
!
!
= ["x.cos x ]0 " ["sin x ]0
= "! .cos ! + 0 + sin ! " sin 0 = !
9 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION EXERCICES
Exercice 1 : Calculer l’intégrale de g(x) =
1
entre a et b.
x + 6x +10
2
4x 3 +12x 2 + 9x +1
entre 0 et x.
4x 2 + 4x +1
Astuce : Commencer par une division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Exercice 2 : Calculer l’intégrale de g(x) =
Exercice 3 : Calculer l’intégrale de f (x) = x 3 ln x entre 1 et x.
10 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1 : Calculer de l’intégrale de g(x) =
1
entre a et b.
x + 6x +10
2
On utilise l’intégration par changement de variable !
• 1ère étape : Trouver u(x)
On remarque que x 2 + 6x +10 = (x + 3)2 +1
On pose u(x) = x + 3 .
• 2ème étape : Dériver u(x) et trouver dx
du(x)
= 1 donc dx = du
dx
• 3ème étape : changement des bornes !
a devient u(a) donc a + 3.
b devient u(b) donc b + 3
4ème étape : Remplacer u(x) dans la formule de f (x) et les bornes
•
b
I=
1
! (x + 3)
a
b+3
!u
I=
a+3
+1
dx
1
du
+1
2
5ème étape : calcul de l’intégrale
•
b+3
I=
2
!u
a+3
1
b+3
du = [ arctan u]a+3 = arctan(b + 3) " arctan(a + 3)
+1
2
b
Réponse :
" g(x)dx = arctan(b + 3) ! arctan(a + 3)
a
4x 3 +12x 2 + 9x +1
Exercice 2 : Calcul de l’intégrale de g(x) =
entre 0 et x.
4x 2 + 4x +1
g(x) est une fraction rationnelle ! On se réfère donc à la méthode 4.
11 Les Extr@s du C2P1 BIOMATHS n°1 INTÉGRATION Division euclidienne du numérateur par le dénominateur (comme conseillé dans l’énoncé).
4x 3 +12x 2 + 9x +1
4x2 + 4x +1
4x 3 + 4x 2 + x
x+2
2
0 + 8x + 8x +1
+ 8x 2 + 8x + 2
0 + 0 !1
g(x) =
4x 3 +12x 2 + 9x +1 (4x 2 + 4x +1)(x + 2) !1
1
=
= (x + 2) ! 2
2
2
4x + 4x +1
4x + 4x +1
4x + 4x +1
Or 4x 2 + 4x +1 = (2x +1)2 .
Calcul de I
I=
x
x
x
! g(x)dx =
! (x + 2)dx "
! (2x +1)2 dx
0
0
1
0
Pour la 1ère intégrale, on pose u(x) = x + 2 donc dx =du
Pour la 2ème intégrale, on pose v(x) = 2x +1 donc dx =
dv
.
2
! u2 $ x+2 1 ! 1 $ 2 x+1 1 !
$ 1!
$
1
1
I = # & ' #' &
= #(x + 2)2 ' 2 2 +
'1& = #(x + 2)2 +
' 5&
2 " v%1
2"
2x +1 % 2 "
2x +1 %
" 2 %2
x
Réponse :
1#
&
1
! g(x)dx = 2 %$(x + 2)2 + 2x +1 " 5('
0
Exercice 3 : Calculer l’intégrale de f (x) = x 3 ln x entre 1 et x.
On se retrouve face à un produit de fonctions : on pense automatiquement à l’intégration par
parties !
1
On pose u(x) = ln x donc u'(x) =
x
1
v'(x) = x 3 donc v(x) = x 4
4
x
x
x
" x 4 ln x %
" 1 4 %x , 1 4
1 3
1) 4
1
1
3
+
! x ln x dx = $# 4 '& ( ! 4 x dx = 4 + x ln x ( $# 4 x '& .. = 4 x ln x ( 16 x 4 + 16
1*
1
1
1
x
Réponse :
1
1
1
! f (x)dx = 4 x 4 ln x " 16 x 4 + 16
1
12