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Niveau : première
F. Demoulin
Fiche méthode : axe de symétrie
¡ − →
¢
On rapporte le plan à un repère orthogonal O ; →
ı , − . Soient ∆ la droite d’équation x = a et f une
fonction définie sur D f . On note C f sa courbe représentative dans ce repère.
1 Rappels de cours
On donne trois propriétés permettant de prouver qu’une droite est axe de symétrie d’une courbe.
Rappel : formules de changement de repère par translation.
¡ − →
¢
¡ − →
¢
Dans le repère O ; →
ı , − , soient A(a ; b) et M(x ; y). Dans le repère A ; →
ı , − , si on note (X ; Y ) les
coordonnées de M, alors :


x = X +a

y = Y +b
y
Y
×
M
~
j
b
A
~
i
X
~
j
O
a
~
i
x
Propriété 1.1
A un point de ∆ (par exemple le point de coordonnées (a ; 0)). Dans le repère
¡ Soit
−ı , →
− ¢, C est la courbe représentative d’une certaine fonction g et a donc pour
orthogonal A ; →
f
équation Y = g (X ).
La droite ∆(x = a) est axe de symétrie de C f si, et seulement si, g est paire.
Propriété 1.2 La droite ∆(x = a) est axe de symétrie de C f si, et seulement si, pour tout x de D f :
(i)
(2a − x) ∈ D f .
(ii)
f (2a − x) = f (x).
∆
Cf
f (x) = f (2a − x)
M
×
×
H
×
M′
~
j
O
~
i x
a
1
2a − x
Niveau : première
Fiche méthode : axe de symétrie
F. Demoulin
Propriété 1.3 La droite ∆(x = a) est axe de symétrie de C f si, et seulement si, pour tout réel h tel
que (a + h) ∈ D f :
(i)
(a − h) ∈ D f .
(ii)
f (a + h) = f (a − h).
2 Méthodes et exemples
2.1 Première méthode : changement de repère
Point méthode 1 Pour montrer que la droite ∆ d’équation x = a est axe de symétrie de C :
➀ on établit les formules de changement de repère ;
➁ on donne l’équation de C dans le nouveau repère en la mettant sous la forme Y = g (X ) ;
➂ on montre que la fonction g est paire.
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 + 2x − 3. Montrer que la droite ∆ d’équation
x = −1 est axe de symétrie de C f .
➀ On commence par établir les formules de changement de repère.
¡ − →
¢
Dans un repère orthogonal O ; →
ı , − , soient A le point de ∆ de coordonnées
0) et M le point
¡ (−1;
−ı , →
− ¢. Les formules
de coordonnées (x ; y). On note (X ; Y ) les coordonnées de M dans le repère A ; →
de changement de repère sont, d’après le rappel :


x = X −1

y =Y
−ı , →
− .
➁ On donne ensuite l’équation de C f dans le repère A ; →
¡
¢
On a :
M ∈ Cf
⇐⇒
y = f (x)
⇐⇒
Y = f (X − 1)
⇐⇒ Y = (X − 1)2 + 2(X − 1) − 3
⇐⇒
Y = X2 −4
¢
−ı , →
− , l’équation de C est Y = g (X ) où g : X 7−→ X 2 − 4.
Dans le repère A ; →
f
¡
➂ On montre enfin que g est paire.
g est définie sur R donc D g est centré en 0.
Pour tout X de R, g (−X ) = (−X )2 − 4 = X 2 − 4 = g (X ).
g est donc paire.
D’après la propriété 1.1, la droite ∆ d’équation x = −1 est donc axe de symétrie de C f .
2.2 Deuxième méthode
Point méthode 2 Pour montrer que la droite ∆ d’équation x = a est axe de symétrie de C :
➀ on vérifie que (2a − x) ∈ D f ;
➁ on montre que f (2a − x) = f (x).
2
Niveau : première
Fiche méthode : axe de symétrie
F. Demoulin
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −3x 2 +4x+1. Montrer que la droite ∆ d’équation
x = 32 est axe de symétrie de C f .
➀ On commence par vérifier que
¡4
3
¢
−x ∈Df .
f est définie sur R et, pour tout x de R,
➁ On montre ensuite que f
¡4
3
¡4
3
¢
− x ∈ R.
¢
− x = f (x).
Pour tout x de R :
f
¡4
3
¢
¡
¢2
¡
¢
− x = −3 43 − x + 4 43 − x + 1
¡
¢ 16
8
2
= −3 16
9 − 3 x + x + 3 − 4x + 1
= −3x 2 + 4x + 1
= f (x)
D’après la propriété 1.2, la droite ∆ d’équation x =
2
3
est donc axe de symétrie de C f .
2.3 Troisième méthode
Point méthode 3 Pour montrer que la droite ∆ d’équation x = a est axe de symétrie de C :
➀ on vérifie que D f est centré en a ;
➁ on montre que f (a + h) = f (a − h).
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = sin x + 12 cos 2x. Montrer que la droite ∆ d’équation x = π2 est axe de symétrie de C f .
➀ On commence par vérifier que D f est centré en π2 .
f est définie sur R et, pour tout h de R tel que
➁ On montre ensuite que f
¢
¡π
sin 2 − x = sin 2 + x
2
2
¢
¡
¢
+ h ∈ R, π2 − h ∈ R donc D f est centré en π2 .
¢
¡
¢
− h = f π2 + h .
Pour tout h de R :
Angles associés :
¡π
¡π
¡π
¢
cos(π − x) = cos(π + x).
f
¡π
2
¢
¡
¢
¡
¢
− h = sin π2 − h + 12 cos 2 π2 − h
¡
¢
= sin π2 + h + 12 cos(π − 2h)
¡
¢
= sin π2 + h + 12 cos(π + 2h)
¡
¢
¡
¢
= sin π2 + h 12 cos 2 π2 + h
¡
¢
= f π2 + h
D’après la propriété 1.3, la droite ∆ d’équation x =
3
π
2
est donc axe de symétrie de C f .