PC Lycée Thiers Année 2016-2017 P55 Exercices : variables aléatoires discrètes ♣ Exercice 1 X suit une loi géométrique G ( p) (sur N∗ ). 1. Calculer P ( X Ê n) pour n ∈ N. 2. Retrouver ainsi la valeur de E ( X ). ♦ Exercice 2 X suit une loi de Poisson P (λ). Montrer que la fonction de répartition de X est donnée par Z 1 +∞ −x n e x dx. ∀ n ∈ N, P ( X É n) = n! λ ♣ Exercice 3 X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la loi de la somme X + Y . ♦ Exercice 4 Soit ( X , Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 tel que ∀( i, j ) ∈ N2 , P [( X , Y ) = ( i, j )] = λ i+ j i ! j !2 i+ j . 1. Déterminer λ. 2. Déterminer les lois marginales de X et Y . 3. X et Y sont-elles indépendantes ? ♣ Exercice 5 X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la loi de X sachant que X + Y = n. ♦ Exercice 6 λ ∈ R∗+ . X est une variable aléatoire définie sur (Ω, T , P ). On suppose que X (Ω) = N et que ∀ k ∈ N, P ( X = k) = ak2 λk k! . 1. Déterminer la fonction génératrice G X . 2. En déduire la valeur de a. 3. Calculer E ( X ). ♦ Exercice 7 2 Une variable aléatoire à valeurs dans N a une fonction génératrice de la forme G X ( t) = ae t . 1. Déterminer a. 2. Déterminer la loi de X . 3. Déterminer l’espérance et la variance de X . ♥ Exercice 8 On lance N dés. Après ce premier lancers ceux des dés qui ont donné un as sont mis de côté et les autres sont relancés. On procède ainsi jusqu’à l’obtention des N as. On note T la variable aléatoire déterminant le nombre de lancers nécessaires. 1. Calculer la loi de T . 2. En déduire que T admet une espérance et donner une expression pour celle-ci. 3. Application numérique : N = 3. P 55 : variables aléatoires discrètes page 1/2 R. Thomas PC Lycée Thiers Année 2016-2017 ♦ Exercice 9 On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y qui suivent une même loi géométrique de paramètre p ∈]0 ; 1[. Déterminer E (max( X , Y )). ♦ Exercice 10 X 1 , X 2 , .©. . , X p sont p variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur [[1 ; n]]. On pose ª © ª U = min X 1 , X 2 , . . ., X p et V = max X 1 , X 2 , . . ., X p . Exprimer E (U ) et E (V ) sous forme de sommes. 1 1 E (U ) et lim E (V ). Déterminer lim n→+∞ n n→+∞ n ♥ Exercice 11 Donner un exemple de deux variables aléatoires X et Y d’espérances finies dont le produit est d’espérance infinie. ♦ Exercice 12 Montrer que deux variables aléatoires de Bernoulli sont indépendantes si, et seulement si, leur covariance est nulle. ♥ Exercice 13 Montrer que | Cov ( X , Y ) | = σ( X ).σ(Y ) si, et seulement si, ∃(a, b, c) ∈ R3 \ {(0, 0, 0)} , aX + bY + c = 0 presque sûrement. ♣♣ Exercice 14 On considère une série d’épreuves indexée par N∗ de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p. On note T le rang du premier succès. Montrer que T suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. ♣ Exercice 15 On considère la somme de 2 n variables aléatoires X k pour 1 É k É 2 n, indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre ¯ ï 1/2. ! ¯1 X ¯ 2n ¯ ¯ Pour ε = 10−3 , que dire de lim P ¯ X −1 ¯ Ê ε ? n→+∞ ¯ n k=1 i ¯ à ! 2 n X Évaluer lim P Xi = n . n→+∞ k=1 ♣♣ Exercice 16 Que peut-on dire d’une variable aléatoire indépendante de toutes les autres ? ♣ Exercice 17 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p ∈]0 ; 1[. Pour quelle valeur de k la probabilité P ( X = k) est-elle maximale ? ♥ Exercice 18 Deux variables aléatoires X et Y indépendantes suivent des lois binomiales de tailles respectives n et m, et de même paramètre p. Déterminer la loi de la somme Z = X + Y . ♣ Exercice 19 Si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, X + Y et X − Y sont-elles indépendantes ? ♣ Exercice 20 Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent chacune une loi uniforme sur [[1 ; n]]. Déterminer l’espérance de Z = | X − Y |. ♦ Exercice 21 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille n et de paramètre p ∈]0 ; 1[. Calculer 1 . l’espérance de Y = 1+ X P 55 : variables aléatoires discrètes page 2/2 R. Thomas