Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma Développements limités Notations du chapitre — Dans ce chapitre I est un intervalle de R. II — DL usuels I — Définition Théorème 2.1 — Formule de Taylor-Young Soit f une fonction de I dans R, de classe C n . Pour tout a et x dans I, il existe une fonction ε telle que Définition 1.1 — Développement limité On dit que la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x 0 si et seulement si il existe une fonction polynôme P de degré au plus n telle que, au voisinage de x 0 , n f (x) = P(x) + o((x − x 0 ) ) Propriété 1.2 — Unicité du développement limité Si la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x 0 , alors ce développement limité est unique. Corollaire 1.3 — Si f admet pour DL n (0) f (x) = n X (x − a)k k=0 k! f (k) (a) + (x − a)n ε (x) n! avec ε (x) −−→ 0. x→a III — Opération sur les DL Théorème 3.1 — Troncature Si f admet un DL n (0)limité à l’ordre n de la forme a0 + a1 x + · · · + an x + o(x n ), alors pour tout entier p ¶ n, f admet un DL p (x 0 ) de la forme a0 + a1 x + · · · + a p x p + o(x p ) f (x) = P(x)+ o (x n ) et si f est paire (resp. impaire), alors P est également pair (resp. impaire). Théorème 3.2 — Multiplication par un scalaire Soit λ ∈ R. Si f admet pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) alors λ f admet comme DL n (0) λ f (x) = λ P(x)+ o (x n ) Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma Théorème 3.3 — Addition Si f et g admettent pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) et g(x) = Q(x)+ o (x n ) alors f + g admet comme DL n (0) f (x) + g(x) = P(x) + Q(x)+ o (x n ) Théorème 3.4 — Multiplication Si f admet pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) et g admet un DL n (0)g(x) = Q(x)+ o (x n ) alors f × g admet comme DL n (0) f (x) × g(x) = P(x) × Q(x) + o (x n ) {z } | tronqué à l’ordre n Théorème 3.5 — Primitive Si f admet pour DL n (0) f (x) = a0 + a1 x + · · · + an x n + o (x n ) et si f admet une primitive F sur I alors F admet comme DL n+1 (0)(0) F (x) = F (0) + a0 x + an n+1 a1 x + ··· + x + o (x n+1 ) 2 n+1 Théorème 3.6 — Composition Si f admet pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) et g admet un DL n (0)g(x) = Q(x)+ o (x n ) alors g ◦ f admet comme DL n (0) g( f (x)) = Q(P(x)) | {z } tronqué à l’ordre n + o (x n )