cours de Mécanique Chapitre 1 2020-2021

Chapitre1 :
I - Notion fondamental du calcul vectoriel
I.1. Modéliser Représenter
Pour décrire un phénomène ou un système physique, le physicien doit:
• Déterminer les paramètres, les grandeurs, caractérisant au mieux l'état ou l'évolution du
système.
• Préciser la nature des grandeurs considérées. Il peut s'agir de :
- Grandeurs locales c'est-à-dire définies par leur valeur en chaque point.
- Grandeurs globales, caractérisant un domaine ou la totalité du système (par exemple son
énergie).
Ces grandeurs peuvent être :
- Des scalaires ou nombres (densité de masse ou de charge, température ...) qui sont
parfaitement définies par leur mesure avec une unité donnée.
- Des vecteurs (on pourra définir un champ de gravitation, un champ électrique,
un gradient de pression), qui nécessitent en plus de leur mesure la connaissance de leur sens
leur direction.
- Des matrices, des tenseurs, des opérateurs,...etc....
• Modéliser les relations entre ces grandeurs pour alléger le nombre des mesures à faire,
prévoir des variations ou faciliter les calculs, décrire la physique du phénomène considéré.
Cela passe par la construction d'un espace mathématique de représentation.
•Décrire en particulier les propriétés spatiales, la géométrie du système considéré.
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I.2. Espace utilisé :
En mécanique du point matériel on utilisera deux espaces :
* L’espace affine (formé de points) Euclidien (on peut définir la distance entre deux points)
De dimension 3, noté E.
* L’espace vectoriel à 3 dimensions sur le corps des réels R associé à E, noté E.
I.3. Vecteur :

A tout couple de points (A, B)  E on associé un élément u  AB  E définissant un
vecteur.

Le vecteur u est complètement définit par :
- Son point origine A., son extrémité B
- Sa direction : support portant le segment
AB
- Son intensité (norme, module) : distance entre A et B

- Son sens de A vers B
B
A
U
I.4. Base d’un espace vectoriel :
  
Soit B(e1 , e 2 , e 3 ) une famille de trois vecteurs libres non nuls de E, B est une base de





l’espace vectoriel E si :  u  ξ a, b, c   3 tq u  ae1  be 2  ce 3


a, b, c sont les composantes de u sur la base B ; la base est orthonormé si les ei sont normés
et deux à deux orthogonaux.

La norme de u est :

u  a2  b2  c2 .
Généralement on notera cette base
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
 
B i , j, k

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I.5. Repère orthonormé


  
L’ensemble formé par un point O et une base B i , j , k constitue un repère de E noté

  
 O, i ; j ; k

les demi-droites Ox, Oy, Oz, sont les axes du repère.
La distance entre 2 points A et B dans R est :



OA  a1i  a2 j  a3 k
Z



OB  b1i  b2 j  b3 k
O
3

AB   bi  ai  ei
B

AB 
i 1
A
3
 bi  ai2
Y
i 1
x
I.6. Opération sur les vecteurs
1- Addition, soustraction, multiplication



* La somme de deux vecteurs u et v noté u  v est un vecteur w obtenu par ‘ la règle du
 
u v= w
parallélogramme ‘
u
u
v
v


Règle : on prend un vecteur équipollent à u (vecteur de support // à u ,de même module et de
  

même sens) qu’on ramène à l’extrémité de v , u  v est le vecteur joignant l’origine de v à

l’extrémité de u
* La loi de soustraction est définit de la même façon :

   
w  (u)  v  v  u
u
v
-u
v
w
-u
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*La multiplication par un scalaire est distributive :
 


λu  v   λu  λv
* Produit externe
C'est la multiplication d'un vecteur par un scalaire réel, le résultat est un vecteur colinéaire au
vecteur initial.
Si  est positif le sens du vecteur est inchangé ; et il
change s’il est négatif.
Si  est plus grand que 1, le module du vecteur est
augmenté (le vecteur s'allonge) et inversement si
 est plus petit que 1.
2- Produit scalaire :
a- Définition
 
 
Soit u 1 , u 2 deus vecteurs non nuls et α  l' angle (u1 ; u 2 ) , le produit scalaire des deux
 
vecteurs u1 ,u 2 est défini par :
 
u 1 .u 2  u 1 . u 2 . cos

u2


u1
Par définition, le produit scalaire est un nombre p :
 
p  u1 . u 2 .cosα




= u1 . proj / u (u 2 )  u 2 .proj / u 2 (u1 )
1
En effet :
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u1
u1 cos
u2


La projection d’un vecteur v sur un axe  de vecteur unitaire u est :
  
Pr oj /  (v )  v . u
b- Propriétés :
- Commutativité
 
u.v  v.u
- Distributivité/ addition
 

 
v.(u1  u 2 ) = v.u1  v.u 2
 


- Associativité pour le produit externe λ.(u1.u 2 )  (λu1 ).u 2

- v1 .v2  0  v1  0 ou


 
 


v2  0 ou v 1 perpendiculaire à v2
 

- si v1  v 2  v1.v 2  v1 v 2 cos(0)  v1
2
Donc on retrouve les résultas pour un repère orthonormé



i  j  k 1
     
i . j  j .k  k .i  0
c- Représentation analytique :


  
Soit le repère orthonormé  O, i ; j ; k :





v 1  E v1  x1 i  y1 j  z1k
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
v 2 E




v2  x 2 i  y2 j  z 2k


Les x i , y j, z k sont les composante s des vecteures v1 et v 2 dans le repère 
Le produit scalaire :






 
v1.v 2  (x1 i  y1 j  z1k).(x 2 i  y 2 j  z 2 k)



= x1.x 2 ( i . i )  y1.y 2 ( j . j )  z1.z 2 (k.k)
Comme le repère est orthonormé on a :
en particulier si


v 1  v2
 
v1.v 2  x1 x 2  y1 y 2  z1z 2
 
 2
v1 .v1  x 21  y 21  z 21  v1

Le module du vecteur v1 :

v1  x 21  y 21  z 21
3- Produit vectoriel :
a- définition


 

Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V , est un vecteur W noté U  V de :
* Direction :


est perpendiculaires au plan des deux vecteurs U et V , en particulier
* Sens : trièdre
direct
* Norme :

 
 
W  U . V sin( U, V )
b- Forme géométrique
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
W est l'aire du parallélogramme construit sur les représentants OA et OB des vecteurs


U et V
En effet :
Partageons le parallélogramme construit sur les vecteurs OA , OB en deux triangles
semblables :

base  hauteur OB  AH 1
Aire OAB 

 OA.OB sinθ 
2
2
2
Avec
donc l'aire du parallélogramme devient


Aire OABC  2 Aire OÂB  OB.OAsinθ  OA  OB = .
c- Forme analytique

  
Dans le repère orthonormé  O; i , j , k

on a :


En posant Ux, Uy, Uz et Vx, Vy, Vz les composantes respectives de U et V dans la base


 
orthonormée i , j , k , le produit vectoriel de ces deux vecteurs est le vecteur défini par la
relation :



  
W  U  V  U y Vz  U z Vy . i  U z Vx  U x Vz . j  U x Vy  U y Vx .k




Disposition pratique :

i
 
U  V  Ux

-j

k
Uy
Uz
Vx
Vy
Vz
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N. B : Ne pas confondre produit vectoriel qui est un vecteur avec son module qui est un
scalaire
d : Propriétés :




* Anticommutativité : v1  v 2   v 2  v1






* Distributivité : v 1  (v 2  v 3 )  v 1  v 2  v 1  v 3






λ(v 1  v 2 )  λv 1  v 2  v 1  (λv 2 )

 








Si v1  v 2  0 avec v1  0 v 2  0  v1 // v 2 autrement dit v1 et v 2 sont colinéaires
1- Produit mixte
a- Définition
On appelle produit mixte entre trois vecteurs
,
et
, le scalaire défini par :
b- Forme géométrique
Posons
Si H désigne la projection orthogonale de C sur OD alors :
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Avec
aire du parallélogramme construit sur
et donc :
: Volume du parallélépipède d'arêtes OA, OB et OC
c- Forme analytique
Dans la base orthonormée directe
le produit mixte de trois vecteurs :
S’exprime par le scalaire :
Il est possible de retrouver ce résultat par le développement d'un déterminant d'ordre 3, dont
les colonnes contiennent respectivement les composantes des vecteurs
,
et
.
Calcul du produit mixte des vecteurs
Le déterminant d'ordre 3 peut se calculer avec la règle de Sarrus
 = UxVyWz + VxWyUz + UyVzWx - UzVyWx - UyVxWz - UxVzWy
 = (UyVz - UzVy) Wx + (UzVx - UxVz) Wy + (UxVy - UyVx) Wz
d- propriétés
- Non commutativité :
- Multi linéarité par rapport à chacun des vecteurs : cas du vecteur
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- Le produit mixte est invariant :
* Par permutation circulaire des trois vecteurs :
* Par échange des symboles ^ et. :
- Les vecteurs
les vecteurs
,
,
et
et
étant non nuls, le produit mixte
est nul, si et seulement si,
sont coplanaires
5- Dérivation,




On considère un vecteur tel que ; u  xt i  yt  j  zt k les vecteurs de base sont invariants
avec le temps

On définit la dérivée du vecteur u par rapport au temps dans le repère  par ;

du
dx  dy  dz 
/R 
i
j k
dt
dt
dt
dt




Notation différentielle : du  dx i  dy j  dz k variation élémentaire
a- Dérivée du produit scalaire :
 


du1.u 2   du 2 du1 
 u1.

.u 2
dt
dt
dt
b- Dérivée d’un vecteur unitaire




2
 du
 du
du.u
et
 2u.
0  u
Si u.u  1  u
dt
dt
dt
Généralement la dérivée d’un vecteur de module constant est  à ce vecteur
c- Dérivée du produit vectoriel ;
 


dv1  v 2  dv1   dv 2

 v 2  v1 
dt
dt
dt
d- Dérivée du produit mixte ;
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  



dv1 ; v 2 ; v 3   dv1      dv 2      dv 3 

; v 2 ; v 3    v1 ,
; v 3    v1 ; v 2 ;

dt
dt
dt 
 dt
 
 
4- Moment d’un vecteur :
a- Moment par rapport à un point
Le Moment de vecteur
par rapport au point O est le vecteur :

Le moment par rapport à O du vecteur AB est un vecteur  au plan OA , AB

Il est donc  à OA et à AB
Module :
Avec

Soit O un point de la droite  du vecteur directeur u unitaire .
b/ Moment par rapport à un axe ;
C’est la projection sur cet axe du moment par rapport à un point quelconque de cet axe

 
 






Μ / Δ v  Proj/Δ Μ / O ( v )  OA  AB .u  OA, AB , u produit mixte
Attention ne pas confondre moment par rapport à un point qui est un vecteur et moment par
rapport à un axe qui est un scalaire
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II- Equations différentiels :
1- Equations différentiels du 1er ordre ; c’est une équation de la forme ;
dy 

f  x; y, y ,    0
dx 

Ils existent plusieurs types dont on va citer deux :
a - Equations à variables séparables;
* Définition
Une équation différentielle, du premier ordre F(x, y, y') = 0, à variables séparables peut se
mettre sous la forme :
Qui peut s'écrire sous une forme plus symétrique :
f x dx  gy dy
* Résolution
Si G(y) et F(x) sont des primitives des fonctions f et g, alors par intégration de chaque
membre :
On obtient l'équation cartésienne des courbes intégrales G(y) = F(x) + C où C R
Exemple :
dy
dy
1
xy  y ,  0 
  xy    xdx  log y   x 2  logc  y  ke
dx
y
2
x 2
2
b- Equations homogènes
* Définition
 y  dy
Toute équation de la forme : y ,  f   
 x  dx
* Résolution
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Pour résoudre cet équation on fait le changement de variable
y
dy
dt
 y  tx 
t  x
x
dx
dx
dy
dt
dx
dt
or
 f t   f t   t  x


dx
dx
dt f t   t
t
On se ramène au cas précèdent d’équations à variables séparables
Exemple :
y  3 xy ,  0 
donc
tx
y, 
dy
y
t


dx 3 x 3
dt t
2
dt
  tx
0
dx 3
3
dx
dx
3 dt
3

 log x 
log t  log c
x
2 t
2
donc
x
3
ct 2
et y  tx  c t
2/ Equations linéaires du second ordre à coefficients constants
C’est une équation de la forme : ay ,,  by ,  cy  f x 
1
a, b et c sont des constantes ; f(x) c’est le second membre.
On associe à l'équation avec second membre (EASM) ou (EC) (1), l'équation sans second
membre (ESSM) (2), dite équation homogène associée (EHA).
SGEASM = SGESSM + SPEASM : y  y1  y 2
Ou
SGEC = SGEHA
+ SPEC
a- Résolution de l’équation homogène associée ;
L’équation (2) homogène associe à (1) s’écrit ; ay ,,  by ,  cy  0 (2)
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Si y est solution de 2  y , l’est aussi, on cherche donc une solution qui a la méme forme
que sa dérivée 1ere ,ceci suggère de chercher des solutions de forme exponentielle ; y 1  e λx .
Le problème est alors de trouver λ , tq y 1  e λx
y 1  e λx
y'1  λe λx
vérifie (2), soit en portant dans 2 
y' '1  λ 2 e λx
(aλ 2  bλ  c)e λx  0 , e λx  0  x
On obtient l’équation algébrique dite caractéristique : aλ 2  bλ  c  0
Cette équation admet deux racines λ 1 et λ 2 réelles ou complexes conjuguées suivant le
signe du discriminant 
a-1
Δ  b 2  4ac  0 On a deux racines réelles λ 1 et λ 2 :
λ 1,2 
b Δ
2a
Donc deux solutions linéairement indépendantes de l’équation (2)
La solution de ( 2 ) s’écrit alors :
y1  A1e1x  A2e2 x
a-2 : Δ  0
b
λ0 
est une racine double   0 x e ox est aussi solution de (2) linéairement
2a
indépendante de e ox .
La solution générale de (2) est donc :
y1   A1  A2 x e 0 x
a-3 : Δ  b 2  4ac  0
 ’ = - 
>0
On a deux racines complexes conjuguées :
 b  i Δ
=  α iβ
2a
La solution générale est donc :
λ 1,2 

y1  e  x A1e i x  A2 e i x
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
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e ix  e ix
cos x 
Sachant que :
2
La solution y1 se met sous la forme
et
e ix  e  ix
sin x 
2i
y1  e  x  A1 cos x  A2 sin x   Ce  x cos( x   )
b- Recherche d’une solution particulière de (1)
b 1- Le second membre est une constante d
c
 y 2   cte Est une solution particulière de (1)
d
b 2- Le second membre est une fonction trigonométrique :
ay  by  cy   cos x ( ou  sin  x ) (1)
On cherche une solution de :
ay   by   cy  α e iω x
(1’)
La solution particulière de (1) sera la partie réelle (on imaginaire) de (1’).
On cherche une solution de (1’) de la forme
A eiω x
On identifie partie réelle et partie imaginaire dans (1’)
Une solution particulière de (1) est :
y2  C cos(  x   )
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.
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