Electricité Dipôle LC Terminale S Dipôle LC : association en série d’un condensateur chargé de capacité C et de charge initiale 𝑞0 et d’une bobine d’inductance L et de résistance négligeable. 1. Eude expérimentale (1) (2) K (1) i (2) K i 𝑢𝐶 E L C 𝐸 𝑢𝐶 C 𝑢𝑅 L 𝑢𝐿 R Figure1 Figure 2 Quand l’interrupteur est en position 1 (voir figure 1) on charge le condensateur Lorsqu’on bascule l’interrupteur K en position 2 (voir figure 2), le condensateur se décharge dans la bobine idéale d'inductance L et de résistance nulle r=0 (ce qui est difficile de réaliser pratiquement car quel que soit la bobine, sa résistance est non nulle, donc c'est un circuit idéal). Lorsque l’on regarde l’évolution de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) du condensateur ; on observe alors l’apparition d’oscillations électriques non amorties (oscillations électriques harmoniques). 2. Equation différentielle Pour établir l’équation différentielle, on utilise la figure 2. Conditions initiales : à l’instant t=0, 𝑞(0) = 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝐸 Appliquant la loi d’additivité des tensions, on a : 𝑢𝐶 + 𝑢𝐿 = 0 𝑑𝑞 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑑 2 𝑢𝐶 (𝑐𝑎𝑟 𝑟 = 0) ⟹ 𝑢𝐿 = 𝐿𝐶 𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑞 = 𝑢𝐶 𝐶 avec 𝑖 = =𝐶 𝑒𝑡 𝑢𝐿 = 𝐿 + 𝑟𝑖 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 Variable 𝑢𝐶 : 𝑑𝑖 𝑑 2 𝑢𝐶 𝑑 2 𝑢𝐶 1 1 𝑢𝐶 + 𝐿 = 0 ⟹ 𝑢𝐶 + 𝐿𝐶 =0⟹ + 𝑢𝐶 = 0 ⟺ 𝑢̈ 𝐶 + 𝑢 = 0 (1) 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐶 Variable q 𝑑𝑖 𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑖 𝑑2 𝑞 𝑞 𝑑2𝑞 𝑑2 𝑞 1 𝑢𝐶 + 𝐿 = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝐶 = 𝑒𝑡 𝑖 = ⟹ = 2 ⟹ +𝐿 2 =0⟹ 2 + 𝑞 = 0 (2) 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝐶 3. Equation horaire ou solution de l’équation différentielle Soit 𝑢𝐶 (𝑡) la variable, la solution de l’équation différentielle est : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑈𝑚𝑎𝑥 : Amplitude (valeur maximale de la tension 𝑢𝐶 (𝑡)) 𝜔0 : Pulsation propre [rad/s] 𝜑 : Phase initiale de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) à la date t=0 3.1. Détermination de la pulsation propre 𝜔0 Remplaçons la solution et sa dérivée seconde dans l’équation différentielle (1) : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹ ⟹ 𝑑2 𝑢𝐶 𝑑𝑡 2 1 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 = −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹ 𝑑2 𝑢𝐶 𝑑𝑡 2 = −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 1 + 𝐿𝐶 𝑢𝐶 = 0 ⟹ −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐶 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0 1 1 ⟹ (−𝜔0 2 + 𝐿𝐶) 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0 𝑜𝑟 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ≠ 0 ⟹ −𝜔0 2 + 𝐿𝐶 = 0 [email protected] Page 1 sur 4 Electricité 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝜔0 2 = Pulsation propre : 𝜔0 = 1 1 ⟹ 𝜔0 = 𝐿𝐶 √𝐿𝐶 Dipôle LC Terminale S 2 2 𝑑 𝑢𝐶 1 𝑑 𝑢𝐶 ( 2 + 𝑢𝐶 = 0 ⟺ + 𝜔0 2 𝑢𝐶 = 0) 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝑑𝑡 2 1 avec : L : inductance Henry [H] ; √𝐿𝐶 2𝜋 C : Capacité du condensateur farad [F] Période propre : 𝑇0 = 𝜔 = 2𝜋√𝐿𝐶 0 3.2. Détermination de 𝑈𝑚𝑎𝑥 et 𝜑 Conditions initiales : à t=0 : - Le condensateur est chargé et 𝑢𝐶 (0) = 𝑈0 = 𝐸 - 𝑖(0) = 0 : le circuit est ouvert Avec : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑒𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 = −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) On trouve : 𝑢𝐶 (0) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝐸 (1) et 𝑖(0) = −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜑) = 0 (2) (2) : sin(𝜑) = 0 ⟺ 𝜑 = 0 𝑜𝑢 𝜑 = 𝜋 (1) : 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝑈 𝐸 𝑚𝑎𝑥 > 0 ⟹ 𝜑 = 0 𝑒𝑡 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝐸 L’équation horaire peut s’ecrire : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 3.3. Expressions de l’intensité du courant et de la charge Pour l’intensité du courant : 𝑖=𝐶 𝑑𝑢𝐶 = −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝐼𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 = 𝜔0 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑡 Or 𝜔0 = 1 𝐶 ⟹ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 √ 𝐿 √𝐿𝐶 Pour la charge q(t) : 𝑞(𝑡) = 𝑢𝐶 (𝑡)𝐶 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) = 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 3.4. Courbes de 𝑢𝐶 (𝑡) , i(t) 𝒖𝑪 (𝒕), 𝒊(𝒕) 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝑻𝟎 𝑰𝒎𝒂𝒙 0 -𝑰𝒎𝒂𝒙 -𝑼𝒎𝒂𝒙 t(ms) 0 [email protected] Page 2 sur 4 Electricité Dipôle LC 4. Etude énergétique des oscillations non-amorties Terminale S L’énergie totale 𝐸 emmagasinée dans un circuit LC est à tout instant la somme de l’énergie électrique 𝐸𝑐 dans le condensateur et de 𝐸𝑚 l’énergie magnétique dans la bobine. 1 𝑞2 1 1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸𝑐 = = 𝐶𝑢𝐶 2 𝑒𝑡 𝐸𝑚 = 𝐿𝑖 2 2𝐶 2 2 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 Conservation de l’énergie totale E Pour montrer que l’énergie totale se conserve, deux approches sont possibles : A partir des expressions instantannées de i(t) et 𝑢𝐶 (𝑡) 1 1 On a : 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 2 𝐶𝑢𝐶 2 + 2 𝐿𝑖 2 𝑜𝑟 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) et 𝑖(𝑡) = −𝐼𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝐸= ⇒ 𝐸= 1 1 × 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑜𝑟 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝜔0 𝑈𝑚𝑎𝑥 2 2 1 1 1 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐶 2 𝜔0 2 𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑜𝑟 𝜔0 2 = ⇒ 𝐿𝐶𝜔0 2 = 1 2 2 𝐿𝐶 1 1 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 2 2 1 1 ⟹ 𝐸 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)) = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 2 2 2 2 𝐼𝑚𝑎𝑥 1 𝐼𝑚𝑎𝑥 1 𝐼𝑚𝑎𝑥 1 1 1 = ⟹𝐸= 𝐶× 2 2= = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 ⟹ 𝐸 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 2 𝐶𝜔0 2 𝐶 𝜔0 2 𝐶𝜔0 2 2 2 ⇒ 𝐸= 𝑂𝑟 𝑈𝑚𝑎𝑥 En dérivant l’énergie totale 1 2 1 2 𝑑𝐸 1 𝑑𝑢2 1 𝑑𝑖 2 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑖 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 ⟹ = 𝐶 + 𝐿 = 𝐶 × 2𝑢 + 𝐿 × 2𝑖 2 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑2𝑢 ⟹ = 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 𝑜𝑟 𝑖 = 𝐶 ⟹ =𝐶 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢2 𝑑𝑢2 ⇒ = 𝐶𝑢 + 𝐿𝐶 ×𝐶 2 =𝐶 (𝑢 + 𝐿𝐶 2 ) or 𝑢 + 𝐿𝐶 2 = 0 (équation differentielle) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐸 ⇒ = 0 ⟹ 𝐸 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑡 Remarque : on peut également retrouver l’équation differentielle en utilisant la conservation de l’énergie 1 1 totale : 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 2 𝐶𝑢2 + 2 𝐿𝑖 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⟹ 𝑑𝐸 𝑑𝑡 1 = 2𝐶 𝑑𝑢2 𝑑𝑡 1 + 2𝐿 𝑑𝑖 2 𝑑𝑡 =0 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑2𝑢 ⟹ 𝐶 × 2𝑢 + 𝐿 × 2𝑖 = 0 ⟹ 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 = 0 𝑜𝑟 𝑖 = 𝐶 ⇒ =𝐶 2 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢2 𝑑𝑢 ⟹ 𝐶𝑢 + 𝐿𝐶 × 𝐶 2 = 𝐶 (𝑢 + 𝐿𝐶 2 ) = 0 𝑜𝑟 𝐶 ≠0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢2 ⟹ 𝑢 + 𝐿𝐶 𝑑𝑡 2 = 0 ⟹ 𝑑𝑢2 𝑑𝑡 2 1 + 𝐿𝐶 𝑢 = 0 (équation differentielle) 5. Graphe d’énergie 5.1.En fonction de 𝑖 1 L’énergie émmagasinée dans la bobine 𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 peut s’écrire sous la forme : 1 𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 = 𝑎𝑖 2 : équation d’une parabole [email protected] Page 3 sur 4 Electricité Dipôle LC L’énergie électrique émmagasinée dans le condensateur : Terminale S 1 𝐸𝑐 = 𝐸 − 𝐸𝑚 = 𝐸 − 2 𝐿𝑖 2 = 𝑏 + 𝑎′𝑖 2 équation d’un parabole. Remarque : 𝑢𝐶 = ±𝑈𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝑖 = 0 donc 𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐸𝐿 = 0 𝑖 = ±𝐼𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝑢𝐶 = 0 donc 𝐸𝐿 = 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐸𝐶 = 0 5.2. En fonction de 𝑖 2 1 𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 = 𝑎𝑖 2 : équation d’une droite linéaire croissante 1 1 𝐸𝑐 = 𝐸 − 𝐸𝑚 = 𝐸 − 2 𝐿𝑖 2 = 𝑏 + 𝑎′𝑖 2 équation d’une droite afine décroissante car 𝑎′ = − 2 𝐿 < 0 5.3. En fonction du temps t 1 1 𝐸𝐶 = 2 𝐶𝑢𝐶 2 (𝑡) = 2 × 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 = 1+cos(2𝑎) 2 1 1 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 1 − cos(2𝑎) 𝐸𝐿 = 𝐿𝑖 2 (𝑡) = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) = (1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠𝑖𝑛2 𝑎 = 2 2 2 2 𝐸𝐿 , 𝐸𝐶 sont deux fonctions périodiques de pulsation 𝜔é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 2𝜔0 et de période 𝑇é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 1⁄2 𝑇0 . Avec 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 = 𝐸 [email protected] Page 4 sur 4