T-CMTH-669 : Mathématiques, probabilités et statistiques Examen du 19 août 2021 GSM et autres objets connectés interdits. Examen à cours ouvert. Toutes les questions comptent pour le même nombre de points. Indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille, y compris sur les feuilles de brouillon. Indiquer clairement le numéro de la question lorsque vous y répondez. Durée de l’examen : 4h 1. Questions sur le travail : (a) Choisir un des deux graphiques ci-dessous (spécifier lequel). (b) Ecrire l’expression mathématique de la fonction représentée. (c) Calculer l’énergie (sur une période) et la puissance moyenne du signal. 2. Soit la fonction f définie sur R par f (t) = | sin(2πt))|. (a) Tracer la fonction. (b) Ecrire son développement en série de Fourier, sous forme de sommes avec sinus et cosinus. 3. Soit la fonction x(t) représentée ci-dessous (qui est nulle en dehors de l’intervalle [−2, 2]). (a) Calculer sa transformée de Fourier. (b) Calculer son énergie. 4. Sachant que la transformée de Fourier de f (t) = exp(−|t|) est fb(ω) = 1 , π(ω 2 +1) calculer la transformée de Fourier de g(t) = t dtd (2 exp(−|t|/2)). 5. Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules blanches et 7 boules vertes. On tire successivement 3 boules avec remise. Quelle est la probabilité (a) d’obtenir, dans l’ordre, 2 vertes puis 1 blanche ? (b) d’obtenir au moins une boule verte ? (c) de n’obtenir aucune boule rouge ? Détailler les calculs. 6. Une classe comporte 20 garçons dont la moitié a des lunettes et 9 filles dont un tiers n’a pas de lunettes. Quelle est la probabilité qu’un élève pris au hasard soit une fille ou n’ait pas de lunettes ? Détailler les calculs. 7. La compagnie pétrolière Wildcat Oil Exploration est à la recherche désespérée de nouveaux puits : elle a consacré ses derniers fonds au financement de 10 forages. Dans cette région, chaque forage a, indépendamment des autres, 30% de chance d’aboutir. Pour éviter la banqueroute, il faut que 4 forages au moins donnent du pétrole. Quel est la probabilité de cet événement ? Détailler les calculs. Page 2
