Introduction : L'analyse de la réponse temporelle d'un système linéaire permet de juger de ses performances au regard de critères pertinents. Il s'agit d'analyser la réponse du système y(t) lorsqu'on l'excite par des signaux d'entrée déterministes. La réponse d'un système à une impulsion de Dirac δ(t).est appelée "réponse impulsionnelle". Elle est souvent notée g(t). L'intérêt, de la réponse impulsionnelle n'est que d'ordre théorique, vu que l'obtention expérimentale d’un signal δ(t) n'est pas physiquement possible. Le recours à la "réponse indicielle" est par contre très courant. Elle est obtenue pour un signal u(t) = U.σ(t). Le signal σ(t) est l'échelon unité. La réponse indicielle est riche en informations puisqu'elle nous renseigne sur le régime transitoire, le régime permanent, la stabilité, la rapidité, la précision statique et dynamique du système. 1) But de la manipulation : Le but du TP est d'étudier le-comportement temporel des objets linéaires et continus. Pour cela on fait un relevé expérimental de la réponse indicielle de circuits électriques contenant des composants passifs. 2) Matériel utilisé : Générateur à tension continu: délivre une tension continue constante +15V qui sert d'alimentation pour le générateur de consigne. Générateur de consigne: sert å introduire une tension de consigne sous forme d'échelon. L'amplitude peut être sélectionnée manuellement ä' l'aide d'un potentiomètre entre 0 et 10V ou -10V et +10V. Oscilloscope numérique: C'est un appareil qui possède 4 voies. Il affiche les grandeurs instantanées sur un écran. Il est possible de choisir: -la durée totale que représente la largeur de l’écran (sensibilité horizontale) -quelle voie est la référence pour le balayage (trigger). Pour chaque voie il est possible de régler 1 indépendamment: -la position de la valeur V = 0; -l'affichage (DC qui signifie « Direct Current») ou non (AC « Alternative Current ») de la composante continue de la tension. Il est aussi possible: -d'afficher une seule, au choix, des quatre voies, ou les quatre voies simultanément. -de tracer la courbe Y (X) (mode XY) au lieu de tracer les courbes X(1) et Y (t); Ets... Résistances sécurisées : jeux de résistances sécurisées Condensateurs sécurisées : jeux de condensateurs sécurisés Platine sécurisée : sur laquelle seront enfichés les résistances et les condensateurs. Boite à décade inductance : permet d'avoir 10 valeurs de l'inductance de 0.01H à 0.1H 3) Etude théorique : 3.1 Définition et propriétés d’un système linéaire : 3.1.1 Définitions : A. Système continu : Dans les systèmes continus les signaux sont des fonctions de la variable continu t (le temps) et le signal est défini de façon unique pour tout t, sauf en un nombre fini de points. B. Système linéaire : Un système est dit linéaire s'il vérifie le principe de la superposition. Soit un Système "S" Excité par une entrée u(t) il donne y(t) en sortie: Entrée: u(t) Système "S" 2 y(t) : Sortie Le système est linéaire si : u1(t) u2(t) k1 u1(t) + k2(t) u2(t) donne la sortie donne la sortie donne la sortie y1(t) y2(t) k1 y1(t) + k2(t) y2(t) C. Système stationnaire ou invariant : Un système est dit stationnaire ou invariant si ses caractéristiques ne se modifient pas dans le temps. Ainsi le système "S" est dit stationnaire si u(t) donne la sortie y(t) u(t- 𝛕) donne la sortie y(t- 𝛕) D. Système causa : En physique, un effet ne peut précéder sa cause. Un système est dit causal. Sil respecte cette propriété. C’est-à-dire que si le signal d'entrée u(t) est nul pour t<t0 il en est de même pour le signal dé sortie y(t). 3.1.2 Système linéaire et équation' différentielle : Dans un système scalaire (mono-entrée; mono-sortie); linéaire, continu, stationnaire et causal la grandeur de sortie y(t) est reliée à la grandeur d'entrée u(t) par une équation différentielle à coefficients constants. 𝐛𝐦 𝐝 ͫ𝐲 𝐝 ͫ⁻¹𝐲 𝐝𝐲 𝐝ᵑ𝐮 𝐝ᵑ⁻¹𝐮 𝐝𝐮 + 𝐛𝐦 − 𝟏 + ⋯ + 𝐛𝟏 + 𝐛𝟎𝐲(𝐭) = 𝐚𝐧 + 𝐚𝐧 − 𝟏 + ⋯ + 𝐚𝟏 + 𝐛𝟎𝐮(𝐭) 𝐝𝐭 ͫ 𝐝𝐭 ͫ⁻¹ 𝐝𝐭 𝐝𝐭ᵑ 𝐝𝐭ᵑ⁻¹ 𝐝𝐭 L'application rigoureuse des lois de la physique ne permet jamais de décrire exactement un système dynamique par des équations différentielles à coefficients constants. Cependant, au prix d'approximations acceptables, il est possible de représenter de nombreux systèmes par un tel type d'équation. 3.2 Dipôles passifs : Un dipôle passif est un dipôle gui-ne peut pas générer de l'énergie électrique par luimême. Il s'agit nécessairement d'un récepteur. (Si un dipôle passif est toujours un récepteur, un récepteur. n'est pas nécessairement un dipôle passif) Les résistances électriques, les bobines est les condensateurs sont des dipôles passifs. On rappelle les relations entre u(t) et i(t) pour les dipôles passifs : Dipôles Loi d’Ohm Résistance 𝐮𝐑(𝐭) = 𝐑. 𝐢𝐑(𝐭) 𝐮𝐋(𝐭) = 𝐋 Inductance 𝟏 𝐝𝐢𝐋 𝐝𝐭 𝐮𝐜(𝐭) = ∫ 𝐢𝐜(𝐭) 𝐝𝐭 𝐜 Condensateur 3 4) Caractéristiques d’un système asservie : il ya 4 caractéristiques : Stabilité. Précision. Rapidité. L'amortissement. 1. La stabilité : Un système est stable si pour un signal d'entrée borné, la sortie reste bornée. Le bouclage d'un système peut rendre celui-ci instable. Les courbes ci-dessous illustrent les deux cas de figure. 2. La précision : La précision caractérise l'aptitude d'un système à atteindre la valeur de sortie souhaitée. L'écart entre la consigne (sortie attendue) et la sortie (sortie réelle) se caractérise donc de la manière suivante (entrée et sortie homogènes) : 𝜺(𝒕) = 𝒆(𝒕) – 𝒔(𝒕) et on envisage la valeur de ε pour 𝒕 → ∞ (régime permanent) L'écart est exprimé dans l'unité de la grandeur de sortie, ou encore en %. On peut alors envisager l'écart à la sortie du comparateur, ce qui est équivalent. On distingue différents types d'erreur, en fonction du signal d'entrée. 4 3. La rapidité : La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une brusque variation du signal d'entrée. Cependant, la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique (système stable), on retient alors comme principal critère d'évaluation de la rapidité d'un système, le temps de réponse à n%. En pratique, on utilise le temps de réponse à 5% (Tr5%) appelé aussi temps d'établissement, c'est le temps mis par le système pour atteindre sa valeur de régime permanent à ± 5% près et y rester. Le temps de réponse à 5% caractérise la durée de la phase transitoire. C'est une des caractéristiques importantes des systèmes bouclés. On cherchera souvent à diminuer ce temps de réponse, sans que cela soit au détriment d'autres performances. Le temps de montée : d’un système est le temps mis par sa sortie pour passer de 10% de sa valeur finale `a 90% de sa valeur finale. 4. L'amortissement L'amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la sortie. Plus ces oscillations s'atténuent rapidement, plus le système est amorti. Pour caractériser la qualité de l'amortissement on peut retenir deux critères : le taux de dépassement, qui caractérise l'amplitude maximale des oscillations : D1 : premier dépassement t1 : instant du premier dépassement s(¥) : valeur asymptotique de la sortie en régime permanent. On exprime le dépassement en % : 𝑫% = 𝒔(𝑻𝒑𝒊𝒄)−𝒔(∞) 𝒔(∞) 𝟏𝟎𝟎% 5 Toutes les caractéristiques d’un système asservi ci-dessus peuvent être résumées dans la figure suivante : 5) Étude pratique : 1) 𝑹 = 𝟑𝟑𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟓𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟓𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟎. 𝟗 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟓. 𝟐 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟓.𝟏−𝟒 𝟒 = 𝟐𝟕. 𝟓% 𝐬(∞) = 𝟓𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝐗= 𝟓×𝟒 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐 𝐯 6 2) 𝑹 = 𝟏𝟓𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟓𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟓𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟎. 𝟖 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟑. 𝟓 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝐬(∞) = 𝟒. 𝟖𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝟔.𝟏−𝟒.𝟖 𝟒.𝟖 = 𝟐𝟕. 𝟎𝟖% X = 𝟎. 𝟐𝟒 𝐯 3) 𝑹 = 𝟒𝟕𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟓𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟓𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟏 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟔. 𝟖 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟕.𝟑−𝟓 𝟓 = 𝟒𝟔% 𝐬(∞) = 𝟓𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝐗= 𝟓×𝟓 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝐯 Remarque : -On remarque que lorsqu'on diminue la valeur de résistance 𝑹, la valeur de 𝒕𝒎 ,𝒕𝒓, 𝑫% est diminue, tandis que Cas 𝒕𝒎 𝒕𝒓 𝑫% lorsqu'on augmente la valeur de 1 0.9 5.2 27.5 résistance 𝑹, ces valeurs 𝒕𝒎 , 𝒕𝒎, 𝑫% augmentent à chaque fois. -Nous notons également que la 2 0.8 3.5 27.08 3 1 6.8 46 7 longueur d'onde diminue lorsque la valeur de la résistance diminue, et la longueur d'onde augmente avec l'augmentation de la valeur du condensateur. -Plus la valeur de résistance 𝑹 est faible, meilleure est la qualité et moins on obtient d'erreurs et le temps de réponse 𝒕𝒓 et le temps de monté 𝒕𝒎 a été plus rapide. . 4) 𝑹 = 𝟑𝟑𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟓𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟑𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟏. 𝟏 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟑. 𝟐 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟔.𝟏−𝟒.𝟗 𝟒.𝟗 = 𝟐𝟒. 𝟒𝟗% 𝐬(∞) = 𝟒. 𝟗𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝐗= 𝟓×𝟒.𝟗 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟓 𝐯 5) 𝑹 = 𝟑𝟑𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟓𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟖𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟏. 𝟑 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟓. 𝟏 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟔.𝟔−𝟓 𝟓 = 𝟑𝟐% 𝐬(∞) = 𝟓𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝐗= 𝟓×𝟒.𝟗 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝐯 8 Remarque : -On remarque que lorsqu'on diminue la valeur de L’inductance 𝑳, la valeur de 𝒕𝒎 ,𝒕𝒓, 𝑫% est diminue, tandis que lorsqu'on augmente la valeur de 𝑫% 1 4 𝒕𝒎 0.9 1.1 𝒕𝒓 5.2 3.2 27.5 24.49 5 1.3 5.1 32 Cas L’inductance 𝑳, ces valeurs 𝒕𝒎 , 𝒕𝒎, 𝑫% augmentent à chaque fois. -Nous notons également que la longueur d'onde diminue lorsque la valeur de la L’inductance 𝑳 diminue, et la longueur d'onde augmente avec l'augmentation de la valeur du condensateur. -Plus la valeur de L’inductance 𝑳 est faible, meilleure est la qualité et moins on obtient d'erreurs et le temps de réponse 𝒕𝒓 et le temps de monté 𝒕𝒎 a été plus rapide. 6) 𝑹 = 𝟑𝟑𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟑𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟓𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟎. 𝟖 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟑 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟔−𝟒.𝟗 𝟒.𝟗 = 𝟐𝟐. 𝟒𝟓% 𝐬(∞) = 𝟒. 𝟗𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝐗= 𝟓×𝟒.𝟗 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟓 𝐯 9 7) 𝑹 = 𝟑𝟑𝟎𝜴 ; 𝑪 = 𝟑𝝁𝑭 ; 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟓𝑯 ∶ D’après le graphique : 𝒕𝒎 = 𝟏. 𝟑 𝒎𝒔 ; 𝒕𝒓 = 𝟓. 𝟓 𝒎𝒔 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒔𝒎𝒂𝒙−𝒔(∞) 𝒔(∞) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟔.𝟔−𝟓 𝟓 = 𝟑𝟐% 𝐬(∞) = 𝟓𝐯 → 𝟏𝟎𝟎% 𝐗 → 𝟓% 𝐗= 𝟓×𝟒.𝟗 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝐯 Remarque : -On remarque que lorsqu'on diminue Cas 𝑫% 𝒕𝒎 𝒕𝒓 la valeur de Capacité 𝑪, la valeur de 1 0.9 5.2 27.5 𝒕𝒎 ,𝒕𝒓, 𝑫% est diminue, tandis que 6 0.8 3 22.45 lorsqu'on augmente la valeur de 7 1.3 5.5 32 Capacité 𝑪, ces valeurs 𝒕𝒎 , 𝒕𝒎, 𝑫% augmentent à chaque fois. -Nous notons également que la longueur d'onde diminue lorsque la valeur de la Capacité 𝑪 diminue, et la longueur d'onde augmente avec l'augmentation de la valeur du condensateur. -Plus la valeur de Capacité 𝑪 est faible, meilleure est la qualité et moins on obtient d'erreurs et le temps de réponse 𝒕𝒓 et le temps de monté 𝒕𝒎 a été plus rapide. Remarque générale : -Afin d'améliorer la qualité, il est préférable d'utiliser de petites valeurs pour la résistance, capacité et l’inductance et Pour éviter de commettre des erreurs fatales. 10 Conclusion : L'asservissement idéal est un système ayant une bonne stabilité et bonne précision, le régime transitoire doit être rapide et bien amorti. Ces critères de performances ne sont pas toujours compatibles. Par exemple en mécanique, un processus rapide est léger, il a ainsi une faible inertie et risque d'être peu amorti voire instable. D'autre part si on veut améliorer la précision, on raidit l'asservissement et on risque de tomber alors sur un phénomène d'instabilité. Tout l'art de l'automaticien est de réaliser une partie commande permettant de respecter au mieux ces critères. 11
