Suite du cours : Séries entières 1ère Année GLSI Développement en Séries entières I) Introduction : Soit 𝑓 une fonction réelle à variable réelle 𝑥. Peut-on trouver une suite réelle (𝑎𝑛 )𝑛 et 𝑅 > 𝑛 0 tels que : 𝑓(𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ]−𝑅, 𝑅[ ? • Si ce problème admet une solution, on dit que 𝑓 est développable en séries entières au voisinage de 0. • On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction définie au voisinage de 𝑥0 . Le but de cette partie, est d’écrire des fonctions usuelles comme une série entière sur un intervalle de centre 0. Exemples : 1. La fonction : 𝑓 ∶ ℝ\{1} ⟶ ℝ 1 𝑥 ⟼ 1−𝑥 sur l’intervalle ]−1,1[ → ℝ 𝑛. 𝑥 ⟼ ∑+∞ 𝑛=0 𝑥 En effet, on sait que pour tout réel convergente, et que : ]−1,1[ , coïncide avec la fonction 𝑔: |𝑞| < 1, la série géométrique de raison 𝑞 est 1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯ + 𝑞𝑛 + ⋯ = 1 1−𝑞 où encore pour tout réel 𝑥, tel que |𝑥| < 1, ∑ 𝑥𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 + ⋯ = 1 1−𝑥 1 Autrement dit, la fonction 𝑓 définie sur ]−1,1[ par 𝑓(𝑥) = 1−𝑥 est développable en série entière, et 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 𝑛 + ⋯ avec 𝑅 = 1. 2. En remplaçant 𝑥 par – 𝑥, on obtient : 1 ∑(−1)𝑛 𝑥 𝑛 = 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ = , 1+𝑥 1 Cours Analyse 2 𝑅 = 1. Année universitaire 2019-2020 Suite du cours : Séries entières 1ère Année GLSI II. Séries de Taylor : Proposition: Soit 𝑓 une fonction développable en séries entières en 0. Il existe une série 𝑛 entière ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 , de rayon de convergence 𝑅 > 0 telle que : ∀𝑥 ∈ ]−𝑅, 𝑅[, 𝑛 𝑓(𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 , alors, 𝑓 est de classe ∁∞ et ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 = 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛! . Cela veut dire que 𝑓(𝑥) coïncide avec son développement de Taylor (voir chapitre développements limités). Ceci implique l’unicité du Développement en séries entières, s’il existe. III. Développements usuels : Ces développements ressemblent beaucoup à ceux développements limités. vus dans le chapitre sur les (Voir page 3) Remarques : • Un développement en série entière au voisinage de zéro d’une fonction 𝑓 peut s’obtenir grâce au développement de sa dérivée 𝑓’. Par exemple, le développement en série entière de la fonction 𝑥 ↦ arcsin (𝑥) s’obtient à partir de sa dérivée, elle-même à partir de la fonction 𝑥 ↦ (1 + 𝑥)𝛼 . • Certains développements en séries s’obtiennent au moyen des théorèmes d’intégration. Par exemple, le développement en série entière de la fonction 𝑥 ↦ Ln (1 + 𝑥) s’obtient 1 à partir de sa primitive 𝑥 ↦ 1+𝑥. • On peut aussi noter le lien entre les fonctions trigonométriques circulaires et celles hyperboliques : 1 𝑖 • cos(𝑥) = 𝑐ℎ(𝑖𝑥), 1 sin(𝑥) = 𝑖 𝑠ℎ(𝑖𝑥), 𝑐ℎ(𝑥) = cos(𝑖𝑥) , 𝑠ℎ(𝑥) = sin (𝑖𝑥) Si 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si 𝑓 et 𝑔 sont développables en série entière alors toute combinaison linéaire de 𝑓 et 𝑔 est développable en séries entières. • Si 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si 𝑓 et 𝑔 sont développables en série entière alors 𝑓*𝑔 est développable en séries entières. 2 Cours Analyse 2 Année universitaire 2019-2020 Suite du cours : Séries entières 1ère Année GLSI 3 Cours Analyse 2 Année universitaire 2019-2020