Recherche opérationnelle Pr. Diouf Plan 1 Motivations 2 Domaines d’application 3 Exemple de modélisation 4 Exercices d’application Chapitre I : Rappels pour la recherche opérationnelle Chapitre II : Introduction à la recherche opérationnelle Chapitre III : Programmation linéaire Chapitre IV : Méthode du simplexe 2 / 23 Chapitre II : Introduction à la recherche opérationnelle 1 Motivations 2 Domaines d’application 3 Exemple de modélisation 4 Exercices d’application 3 / 23 Historique Le terme recherche opérationnelle a été inventée pendant la seconde guerre mondiale quand les chefs militaires britanniques ont demandé à des scientifiques et des ingénieurs d’analyser plusieurs problèmes militaires tels que : 1 le déploiement de radars 2 la gestion des convois 3 les bombardements 4 les protections anti-sous marins 5 les opérations minières 4 / 23 Définition et exemple La recherche opérationnelle est un outil d’aide à la décision qui cherche à concevoir et à exploiter au mieux un système, généralement dans des conditions nécessitant l’allocation de ressources rares. Le mot système désigne une organisation de composants inter-dépendants qui travaillent ensemble pour atteindre l’objectif du système. Exemple : Ford Motor Company est un système dont le but consiste à maximiser le profit qui peut être réalisé en produisant des véhicules de qualité. 5 / 23 Définition et exemple La recherche opérationnelle est un outil d’aide à la décision qui cherche à concevoir et à exploiter au mieux un système, généralement dans des conditions nécessitant l’allocation de ressources rares. Le mot système désigne une organisation de composants inter-dépendants qui travaillent ensemble pour atteindre l’objectif du système. Exemple : Ford Motor Company est un système dont le but consiste à maximiser le profit qui peut être réalisé en produisant des véhicules de qualité. 5 / 23 Définition et exemple La recherche opérationnelle est un outil d’aide à la décision qui cherche à concevoir et à exploiter au mieux un système, généralement dans des conditions nécessitant l’allocation de ressources rares. Le mot système désigne une organisation de composants inter-dépendants qui travaillent ensemble pour atteindre l’objectif du système. Exemple : Ford Motor Company est un système dont le but consiste à maximiser le profit qui peut être réalisé en produisant des véhicules de qualité. 5 / 23 Définition et exemple La recherche opérationnelle est un outil d’aide à la décision qui cherche à concevoir et à exploiter au mieux un système, généralement dans des conditions nécessitant l’allocation de ressources rares. Le mot système désigne une organisation de composants inter-dépendants qui travaillent ensemble pour atteindre l’objectif du système. Exemple : Ford Motor Company est un système dont le but consiste à maximiser le profit qui peut être réalisé en produisant des véhicules de qualité. 5 / 23 Modèlisation mathématique L’approche scientifique de la prise de décision implique généralement l’utilisation d’un ou plusieurs modèles mathématiques. Un modèle mathématique est une représentation d’une situation réelle qui peut être utilisée pour prendre une meilleure décision ou pour simplement comprendre la situation. 6 / 23 Types d’application La recherche opérationnelle est la technique de prise de décision la plus largement utilisée dans les entreprises qui travaillent sur des thématiques différentes. Nous pouvons ainsi citer : les applications en agriculture les applications militaires la gestion de la production la gestion financière la gestion du marketing la gestion du personnel d’une entreprise 7 / 23 Applications agricoles Ces applications entrent dans les catégories de l’économie agricole et de la gestion agricole. Le premier traite de l’allocation optimale de la production agricole, des modes de production efficaces compte tenu des ressources foncières régionales et des contraintes de la demande nationale. Quant au second, il concerne les problèmes de l’exploitation individuelle tels que l’allocation de ressources limitées comme la superficie, la main-d’œuvre, l’approvisionnement en eau, les fonds de roulement, etc., afin de maximiser le revenu net. 8 / 23 Applications agricoles Ces applications entrent dans les catégories de l’économie agricole et de la gestion agricole. Le premier traite de l’allocation optimale de la production agricole, des modes de production efficaces compte tenu des ressources foncières régionales et des contraintes de la demande nationale. Quant au second, il concerne les problèmes de l’exploitation individuelle tels que l’allocation de ressources limitées comme la superficie, la main-d’œuvre, l’approvisionnement en eau, les fonds de roulement, etc., afin de maximiser le revenu net. 8 / 23 Applications militaires Les applications militaires comprennent : la sélection d’un système d’armes aériennes contre l’ennemi la garantie d’une utilisation minimale d’essence d’aviation la mise à jour de la chaîne d’approvisionnement afin de maximiser le tonnage total de bombes larguées sur un ensemble de cibles le problème de la défense communautaire contre les catastrophes au moindre coût possible. 9 / 23 Applications militaires Les applications militaires comprennent : la sélection d’un système d’armes aériennes contre l’ennemi la garantie d’une utilisation minimale d’essence d’aviation la mise à jour de la chaîne d’approvisionnement afin de maximiser le tonnage total de bombes larguées sur un ensemble de cibles le problème de la défense communautaire contre les catastrophes au moindre coût possible. 9 / 23 Applications militaires Les applications militaires comprennent : la sélection d’un système d’armes aériennes contre l’ennemi la garantie d’une utilisation minimale d’essence d’aviation la mise à jour de la chaîne d’approvisionnement afin de maximiser le tonnage total de bombes larguées sur un ensemble de cibles le problème de la défense communautaire contre les catastrophes au moindre coût possible. 9 / 23 Applications militaires Les applications militaires comprennent : la sélection d’un système d’armes aériennes contre l’ennemi la garantie d’une utilisation minimale d’essence d’aviation la mise à jour de la chaîne d’approvisionnement afin de maximiser le tonnage total de bombes larguées sur un ensemble de cibles le problème de la défense communautaire contre les catastrophes au moindre coût possible. 9 / 23 Applications militaires Les applications militaires comprennent : la sélection d’un système d’armes aériennes contre l’ennemi la garantie d’une utilisation minimale d’essence d’aviation la mise à jour de la chaîne d’approvisionnement afin de maximiser le tonnage total de bombes larguées sur un ensemble de cibles le problème de la défense communautaire contre les catastrophes au moindre coût possible. 9 / 23 Gestion de la production 1 Production mixte : déterminer la quantité de plusieurs produits à produire en connaissant leurs contributions au profit (coût) unitaire et la quantité de ressources de production limitées utilisées dans le but de maximiser le profit total soumis à toutes ces contraintes. Planification de la production : traite la détermination du plan de production à moindre coût sur la période de planification d’un article en tenant compte de la demande fluctuante, du nombre d’unités en stock, de la capacité de production, des contraintes de production, de la main-d’œuvre et de tous les facteurs de coût pertinents pour minimiser les coûts d’exploitation totaux. 10 / 23 Gestion de la production 1 Production mixte : déterminer la quantité de plusieurs produits à produire en connaissant leurs contributions au profit (coût) unitaire et la quantité de ressources de production limitées utilisées dans le but de maximiser le profit total soumis à toutes ces contraintes. Planification de la production : traite la détermination du plan de production à moindre coût sur la période de planification d’un article en tenant compte de la demande fluctuante, du nombre d’unités en stock, de la capacité de production, des contraintes de production, de la main-d’œuvre et de tous les facteurs de coût pertinents pour minimiser les coûts d’exploitation totaux. 10 / 23 Gestion de la production 2 Équilibrage de la chaîne de montage : ce problème est susceptible de se poser lorsqu’un article peut être fabriqué en assemblant différents composants. Le processus d’assemblage nécessite une ou plusieurs séquences spécifiées. L’objectif est de minimiser le temps écoulé total. Problèmes de mélange : Ces problèmes surviennent lorsqu’un produit peut être fabriqué à partir d’une variété de matières premières disponibles, chacune ayant une composition et un prix particuliers. L’objectif est ici de déterminer le mélange à coût minimum, sous réserve de disponibilité des matières premières, et de contraintes minimum et maximum sur certains constituants du produit. Perte de garniture : Lorsqu’un article est fabriqué à une taille standard (par exemple, verre, feuille de papier), le problème est de déterminer la combinaison d’exigences qui doit être produite à partir de matériaux standards afin de minimiser la perte de garniture. 11 / 23 Gestion de la production 2 Équilibrage de la chaîne de montage : ce problème est susceptible de se poser lorsqu’un article peut être fabriqué en assemblant différents composants. Le processus d’assemblage nécessite une ou plusieurs séquences spécifiées. L’objectif est de minimiser le temps écoulé total. Problèmes de mélange : Ces problèmes surviennent lorsqu’un produit peut être fabriqué à partir d’une variété de matières premières disponibles, chacune ayant une composition et un prix particuliers. L’objectif est ici de déterminer le mélange à coût minimum, sous réserve de disponibilité des matières premières, et de contraintes minimum et maximum sur certains constituants du produit. Perte de garniture : Lorsqu’un article est fabriqué à une taille standard (par exemple, verre, feuille de papier), le problème est de déterminer la combinaison d’exigences qui doit être produite à partir de matériaux standards afin de minimiser la perte de garniture. 11 / 23 Gestion de la production 2 Équilibrage de la chaîne de montage : ce problème est susceptible de se poser lorsqu’un article peut être fabriqué en assemblant différents composants. Le processus d’assemblage nécessite une ou plusieurs séquences spécifiées. L’objectif est de minimiser le temps écoulé total. Problèmes de mélange : Ces problèmes surviennent lorsqu’un produit peut être fabriqué à partir d’une variété de matières premières disponibles, chacune ayant une composition et un prix particuliers. L’objectif est ici de déterminer le mélange à coût minimum, sous réserve de disponibilité des matières premières, et de contraintes minimum et maximum sur certains constituants du produit. Perte de garniture : Lorsqu’un article est fabriqué à une taille standard (par exemple, verre, feuille de papier), le problème est de déterminer la combinaison d’exigences qui doit être produite à partir de matériaux standards afin de minimiser la perte de garniture. 11 / 23 Gestion financière Sélection du portefeuille : aborde de la sélection d’une activité d’investissement spécifique parmi plusieurs activités. L’objectif est de trouver l’allocation qui maximise le rendement total attendu ou minimise le risque sous certaines conditions. Planification des bénéfices : concerne la maximisation de la marge bénéficiaire de l’investissement dans les installations et l’équipement d’une usine, de l’encaisse et des stocks. 12 / 23 Gestion financière Sélection du portefeuille : aborde de la sélection d’une activité d’investissement spécifique parmi plusieurs activités. L’objectif est de trouver l’allocation qui maximise le rendement total attendu ou minimise le risque sous certaines conditions. Planification des bénéfices : concerne la maximisation de la marge bénéficiaire de l’investissement dans les installations et l’équipement d’une usine, de l’encaisse et des stocks. 12 / 23 Gestion du marketing Sélection des médias : aide à déterminer le nombre minimum et maximum de publicités. Problème du voyageur de commerce : aide à trouver l’itinéraire le plus court d’une ville donné à chacune des villes spécifiées et de revenir au point de départ, à condition qu’aucune ville ne soit visitée deux fois au cours du trajet. Distribution physique : détermine la manière la plus économique et la plus efficace de localiser les usines de fabrication et les centres de distribution pour la distribution physique. 13 / 23 Gestion du marketing Sélection des médias : aide à déterminer le nombre minimum et maximum de publicités. Problème du voyageur de commerce : aide à trouver l’itinéraire le plus court d’une ville donné à chacune des villes spécifiées et de revenir au point de départ, à condition qu’aucune ville ne soit visitée deux fois au cours du trajet. Distribution physique : détermine la manière la plus économique et la plus efficace de localiser les usines de fabrication et les centres de distribution pour la distribution physique. 13 / 23 Gestion du marketing Sélection des médias : aide à déterminer le nombre minimum et maximum de publicités. Problème du voyageur de commerce : aide à trouver l’itinéraire le plus court d’une ville donné à chacune des villes spécifiées et de revenir au point de départ, à condition qu’aucune ville ne soit visitée deux fois au cours du trajet. Distribution physique : détermine la manière la plus économique et la plus efficace de localiser les usines de fabrication et les centres de distribution pour la distribution physique. 13 / 23 Gestion du marketing Sélection des médias : aide à déterminer le nombre minimum et maximum de publicités. Problème du voyageur de commerce : aide à trouver l’itinéraire le plus court d’une ville donné à chacune des villes spécifiées et de revenir au point de départ, à condition qu’aucune ville ne soit visitée deux fois au cours du trajet. Distribution physique : détermine la manière la plus économique et la plus efficace de localiser les usines de fabrication et les centres de distribution pour la distribution physique. 13 / 23 Gestion du personnel d’une entreprise Problème de dotation : la recherche opérationnelle est utilisée pour allouer une main-d’œuvre optimale à un travail particulier afin de minimiser le coût total des heures supplémentaires ou la main-d’œuvre totale. Determination de salaires : Les salaires équitables d’une entreprise et les incitations à la vente peuvent être étudiées par la recherche opérationnelle. Évaluation et sélection des employés : la sélection d’une personne appropriée pour un travail spécifique et l’évaluation du travail dans les organisations peuvent être étudiées. D’autres applications se situent dans le domaine de l’administration (hospitalière, immobilière etc.), de l’éducation, de l’utilisation de la flotte, de l’attribution des contrats, etc. 14 / 23 Gestion du personnel d’une entreprise Problème de dotation : la recherche opérationnelle est utilisée pour allouer une main-d’œuvre optimale à un travail particulier afin de minimiser le coût total des heures supplémentaires ou la main-d’œuvre totale. Determination de salaires : Les salaires équitables d’une entreprise et les incitations à la vente peuvent être étudiées par la recherche opérationnelle. Évaluation et sélection des employés : la sélection d’une personne appropriée pour un travail spécifique et l’évaluation du travail dans les organisations peuvent être étudiées. D’autres applications se situent dans le domaine de l’administration (hospitalière, immobilière etc.), de l’éducation, de l’utilisation de la flotte, de l’attribution des contrats, etc. 14 / 23 Gestion du personnel d’une entreprise Problème de dotation : la recherche opérationnelle est utilisée pour allouer une main-d’œuvre optimale à un travail particulier afin de minimiser le coût total des heures supplémentaires ou la main-d’œuvre totale. Determination de salaires : Les salaires équitables d’une entreprise et les incitations à la vente peuvent être étudiées par la recherche opérationnelle. Évaluation et sélection des employés : la sélection d’une personne appropriée pour un travail spécifique et l’évaluation du travail dans les organisations peuvent être étudiées. D’autres applications se situent dans le domaine de l’administration (hospitalière, immobilière etc.), de l’éducation, de l’utilisation de la flotte, de l’attribution des contrats, etc. 14 / 23 Gestion du personnel d’une entreprise Problème de dotation : la recherche opérationnelle est utilisée pour allouer une main-d’œuvre optimale à un travail particulier afin de minimiser le coût total des heures supplémentaires ou la main-d’œuvre totale. Determination de salaires : Les salaires équitables d’une entreprise et les incitations à la vente peuvent être étudiées par la recherche opérationnelle. Évaluation et sélection des employés : la sélection d’une personne appropriée pour un travail spécifique et l’évaluation du travail dans les organisations peuvent être étudiées. D’autres applications se situent dans le domaine de l’administration (hospitalière, immobilière etc.), de l’éducation, de l’utilisation de la flotte, de l’attribution des contrats, etc. 14 / 23 Problème Farmer Jones prépare deux types de gâteaux (chocolat et vanille) pour compléter ses revenus. Chaque gâteau au chocolat peut être vendu 1 euro et chaque gâteau à la vanille peut être vendu 0,5 euro. Chaque gâteau au chocolat nécessite 20 minutes de temps de cuisson et utilise 4 œufs. Chaque gâteau à la vanille nécessite 40 minutes de temps de cuisson et utilise 1 œuf. Huit heures de cuisson et 30 œufs sont disponibles. Modéliser ce problème. 15 / 23 Modélisation Sur cet exemple, nous allons répondre aux questions suivantes : Quelles sont les quantités sur lesquelles on doit travailler ? Qu’est ce qu’on cherche à optimiser ? Quelles sont les contraintes du problème ? 16 / 23 Modélisation Sur quelles quantités peut on travailler ? I I I Seules les valeurs non constantes : nombre de gateaux au chocolat cuits et nombre de gâteaux à la vanille cuits On parle de variables de décision On va les noter x1 et x2 Qu’est ce qu’on cherche à optimiser ? Quelles sont les contraintes du problème ? 17 / 23 Première étape de la modélisation Sur quelles quantités peut on travailler ? I variables de décision x1 et x2 Qu’est ce qu’on cherche à optimiser ? I I I I Le profit f Calculer à partir de x1 et x2 On parle de fonction objectif f (x1 , x2 ) = x1 + 0, 5x2 Quelles sont les contraintes du problème ? 18 / 23 Deuxième étape de la modélisation Sur quelles quantités peut on travailler ? I variables x1 et x2 Qu’est ce qu’on cherche à optimiser ? I max f (x1 , x2 ) = x1 + 0, 5x2 Quelles sont les contraintes du problème ? I I 8h de cuisson sont disponibles 30 oeufs sont disponibles 19 / 23 Troisième étape de la modélisation Sur quelles quantités peut on travailler ? I variables x1 et x2 Qu’est ce qu’on cherche à optimiser ? I max f (x1 , x2 ) = x1 + 0, 5x2 Quelles sont les contraintes du problème ? I 1 2 x + x ≤8 3 1 3 2 I 4x1 + x2 ≤ 30 I x1 ≥ 0, x2 > 0 20 / 23 Résumé de la modélisation Les étapes de la modélisation : les variables de décision la fonction objectif les contraintes 21 / 23 Exercice 1 : domaine agricole Le fermier Jones doit déterminer le nombre d’acres de maïs et de blé à planter cette année. Un acre de blé donne 25 boisseaux de blé et nécessite 10 heures de travail par semaine. Un acre de maïs donne 10 boisseaux de maïs et nécessite 4 heures de travail par semaine. Tout le blé peut être vendu à 4 dollars le boisseau et tout le maïs peut être vendu à 3 dollars le boisseau. Sept acres de terre et 40 heures de travail par semaine sont disponibles. Les réglementations gouvernementales exigent qu’au moins 30 boisseaux de maïs soient produits au cours de l’année en cours. Soit x1 nombre d’acres de maïs plantés, et x2 nombre d’acres de blé plantés. En utilisant ces variables de décision, modéliser ce problème pour maximiser le revenu total du blé et du maïs. 22 / 23 Exercice 2 : domaine commercial Une entreprise fabrique deux produits X et Y et a une capacité de production totale de 9 tonnes par jour. X et Y nécessitent la même capacité de production. L’entreprise a un contrat à durée indéterminée pour fournir au moins 2 tonnes de X et au moins 3 tonnes de Y par jour à une autre entreprise. Chaque tonne de X nécessite 20 heures machine de temps de production et chaque tonne de Y nécessite 50 heures machine de temps de production. Le nombre maximum d’heures machine quotidiennes possibles est de 360. Toute la production de l’entreprise peut être vendue. Le profit réalisé est de 80 dollars par tonne de X et de 120 dollars par tonne de Y. Modéliser ce problème. 23 / 23
