STRUCTURE DE GROUPE
Cours de mathématique licence 1
UE: Structure algébrique de base
Professeur: Essobiyou KAYOU
2. Sous-groupe
2.1 Définition
Définition :
Soit (G, ⋆) un groupe.
Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si :
• e ∈ H,
• pour tout x, y ∈ H , on a x ⋆ y ∈ H ,
• pour tout x ∈ H , on a x −1 ∈ H .
Chapitre 2
STRUCTURE DE GROUPE
1. Définitions
Notez qu’un sous-groupe H est aussi un groupe (H , ⋆) avec la loi
induite par celle de G.
Par exemple si x ∈ H alors, pour tout n ∈ Z, nous avons x ⋆n ∈ H .
Exemples-définition:
Définition 1 :
Soit (G, ⋆) un ensemble structuré.
On dit que (G, ⋆) est un groupe si
• la loi ⋆ est associative sur G ;
• il existe un élément neutre pour la loi ⊤ dans G ;
• tout élément de G est symétrisable pour la loi ⋆ .
On dit aussi que l ’ensemble G possède une structure de
groupe pour la loi T .
Soi t (G, ⋆) un groupe.
G et {e} sont les sous-groupes de G appelés les sous-groupes
triviaux.
Remarque
Pour la suite du cours , nous noterons x y (resp x n ) au lieu de x ⋆y
( resp x ⋆n ).
Définition 2 :
Soit (G, ⋆) une structure de groupe.
On dit que le groupe (G, ⋆) est commutatif (ou abélien) si
la loi ⋆ est commutative sur G.
2.2 Propriétés
Par abus de langage, on dit souvent « le groupe G »
au lieu de « le groupe (G, ⋆) » lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur
la loi ⋆.
Exemples :
✂..................................................................
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Propriété 1
Soit (G, ⋆) un groupe.
Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si :
• H contient au moins un élément,
• pour tout x, y ∈ H , on a x ⋆ y −1 ∈ H ,
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Structure de groupe
• On appelle morphisme ou homomorphisme
de groupes ( (G, ⊤) et (G ′ , ⊥))
toute application f de G vers G’ telle que
∀(a, b) ∈ G 2 , f (a⊤b) = f (a)⊥ f (b)
Si f est bijective alors on dit que f est un
isomorphisme de (G, ⊤) dans (G ′ , ⊥) .
Propriété 2
Soit (G, ⋆) un groupe.
L’intersection de deux sous-groupes de G est un sousgroupe de G.
✂..................................................................
2.3 Sous-groupe de Z
• On appelle endomorphisme de groupe (G, ⊤), un
morphisme de (E , ⊤) dans lui-même.
Propriété
Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ, pour n ∈ Z .
Preuve :
✂..................................................................
2.4 Sous-groupe engendré
Définition
Soit (G, ⋆) un groupe et E un sous-ensemble
non vide de G.
L’ensemble H = {x ⋆ y −1 , x ∈ H ou y ∈ H } est un
sous-groupe de G appelé sous-groupe engendré par H
• Un endomorphisme de (G, ⊤) bijectif est qualifié d
’automorphisme de (G, ⊤) .
3.2 Noyau et image
Propriété 1 :
Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes alors :
ª
©
• Le noyau de f est K er f = x ∈ G/ f (x) = e G′ .
©
ª
• L’image de f est I m f = f (x)/x ∈ G .
3.3 Propriétés
Propriété 1 :
Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes alors :
Propriété
Soit (G, ⋆) un groupe et E un sous-ensemble non vide de
G. Le sous-groupe engendré par E est le plus petit
sous-groupe de G contenant E
3. Morphismes de groupes
3.1 Définition
Définition :
Soient (G, ⊤) et (G ′ , ⊥) deux groupes.
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• f (e G ) = e G′
¡
¢ ¡
¢−1
• pour tout x ∈ G , f x −1 = f (x)
Propriété 2 :
Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes alors :
• K er f est un sous-groupe de G
• I m f est un sous-groupe de G’
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Structure de groupe
• f est injectif si et seulement si K er f = {e G }.
• f est surjectif si et seulement si I m f = G ′
Preuve :
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4.Groupe monogène , groupe cyclique.
Définition
On dit que G est monogène s’il existe a ∈ G tel que le sousgroupe engendré par a est égal à G.
G est dit cyclique s’il est monogène et fini.
5. Ordre d’un élément.
Définition
Soit G un groupe d’élément neutre e.
Un élément a ∈ G est dit d’ordre fini s’il existe un entier
naturel non nul tel que a n = e.
Le plus petit entier n vérifiant cette égalité est alors appelé
l’ordre de a.
Propriété
Soit G un groupe d’élément neutre e.
• Soit a ∈ G d’ordre n.Alors a k = e si et seulement si n
divise k.
• L’ordre d’un élément dans un groupe divise l’ordre
du groupe.
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Structure de groupe
