Produit scalaire 1

PREMIERE
LE PRODUIT SCALAIRE 1
1ère partie : Savoir la correction du rappel sur les vecteurs mise dans l’ENT
2ème partie : Mobiliser les acquis : Chercher les exercices 1 à 6 p219 puis les corriger p331.
3ème partie : Lire l’exemple 1 p220 et chercher l’exercice 1p220 pour consolider.
4ème partie : Copier dans votre cahier de cours sur une nouvelle page le COURS ci-dessous :
Le produit scalaire
I-Norme d’un vecteur :


Vocabulaire : Si (O ; I, J) ou O; i, j est un repère orthonormé alors OI=OJ= 1 et  OI    OJ  .
Le triangle OIJ est un triangle rectangle et isocèle en O.
 
Le couple de vecteurs non colinéaires i, j est appelé une base.


 
Si le repère O; i, j est orthonormé alors la base i, j est orthonormée.
Démonstration : Chercher l’exercice 20p232
X
 kX 
 alors pour tout réel k, on a ku  
Y 
 kY 
1) u 
2)
Dans une base orthonormée, pour tout réel k :
ku 
 kX    kY 
2
2
 k ² X ²  k ²Y ²  k ²  X ²  Y ²   k ²  X ²  Y ²  k  u
1
PREMIERE
II- Vecteurs directeurs d’une droite
:
Définition : Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur NON NUL qui a la même
direction que la droite (d).
CONSEQUENCE : Si A et B sont deux points quelconques et distincts de la droite (d) alors le
vecteur AB est UN vecteur directeur de la droite (d).
Tout vecteur NON NUL et COLINEAIRE à AB est aussi un vecteur directeur de la droite
(d).
III- - Vecteurs orthogonaux
Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan tels que u  AB et v  CD .
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si, soit l’un des deux vecteurs est le
vecteur nul, soit les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. On note alors u  v .
NB : Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
La définition ne dépend pas des représentants des vecteurs.
En effet si :
AB  A ' B ' , CD  C ' D ' et  AB    CD 
alors  A ' B '   C ' D '
2
2
Propriété : u et v sont orthogonaux  u  v  u  v
2
On retrouve le théorème de Pythagore utilisé avec la relation de Chasles.
2
PREMIERE
Ensuite, à l’aide d’un repère et des coordonnées de vecteurs, on établit un critère d’orthogonalité
très utile dans les exercices:
Propriété : Dans un repère ORTHONORME :
x
 x'
u   et v   sont orthogonaux si et seulement si xx ' yy '  0
 y '
 y
Démonstration : Dans une base orthonormée :
2
x
Si u   alors u  x ²  y ² et si
 y
2
 x'
v   alors v  x '²  y '²
 y '
2
 x  x' 
2
2
Et u  v 
 alors u  v   x  x '   y  y '
 y  y '
2
2
u v  uv  u  v
2
  x  x '   y  y '  x ²  y ²  x '²  y '²
2
2
 x ²  2 xx ' x '²  y ²  2 yy ' y '²  x ²  y ²  x '²  y '²
 2 xx ' 2 yy '  0
 2  xx ' yy '  0
 xx ' yy '  0
Fin du cours à recopier pour aujourd’hui
5ème partie : Lire le savoir-faire 1 p226
3
PREMIERE
6ème partie : Chercher les exercices 23 et 27 p 232 puis les corriger.
Correction de l’exercice 23 p232 : Dans une base orthonormée :
2
2
25 5
1  2
1. u       

36 6
2 3
Le vecteur v de norme 1 s’appelle un vecteur unitaire.
2
2
121 11
 11   22 
u v      

36
6
 10   15 
1 4 2 3 2 2
5
2. A l’aide du critère de colinéarité : det(u, v)        0 ou u  v
2 5 3 5 5 5
6
Les vecteurs u et v sont colinéaires.
3. A l’aide du critère d’orthogonalité :
1 3 2 4
    0 Les vecteurs u et v ne sont pas
2 5 3 5
orthogonaux.
Il faut bien apprendre les formules du cours pour ne pas confondre les deux critères
précédents.
4. u  v 
11
5
11
et u  v   1  Donc u  v  u  v
6
6
6
2
2
2
2
2
61
121
5
5. u  v 
et u  v     1 
Donc u  v  u  v
36
36
6
2
2
4