Exercices corrigés -Anneaux

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Exercices corrigés - Anneaux
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Exercices corrigés -Anneaux
Structure d'anneaux
Exercice 1
- Éléments nilpotents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un élément x d'un anneau A est dit nilpotent s'il existe un entier n ≥ 1 tel que
suppose que A est commutatif, et on fixe x, y deux éléments nilpotents.
1. Montrer que xy est nilpotent.
2. Montrer que x + y est nilpotent.
3. Montrer que 1 − x est inversible.
4. Dans cette question, on ne suppose plus que
est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent.
A
A
est commutatif. Soit
x
n
= 0
. On
u, v ∈ A
tels que
uv
Indication
Soient
n, m
tels que
1. Calculer
2. Calculer
3. Calculer
4. Si
(uv)
n
x
n
(xy)
p
et
= 0
avec
(x + y)
y
m
= 0
.
p ≥ min(n, m)
n+m
p
(1 − x)(1 + x + ⋯ + x )
= 0
.
.
, montrer que
(vu)
n+1
.
= 0
.
Corrigé
Soient
n, m
tels que
x
n
et
= 0
y
m
= 0
.
1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0.
2. Remarquons d'abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D'après la formule du
n+m
k
n+m−k
binôme, (x + y)n+m = ∑k=0 (n+m
)x y
. Mais, pour k ≥ n,
k
. D'autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc
n+m
y
= 0 ⟹ x y
= 0. Ainsi, (x + y)
= 0. On pourrait même se contenter
de prendre la puissance n + m − 1.
3. L'idée est d'utiliser l'identité remarquable (toujours valable dans un anneau)
x
k
= 0
⟹
k
x y
n+m−k
n+m−k
k
= 0
n+m−k
1 − x
Si on l'applique pour
p = n
p
= (1 − x)(1 + x + ⋯ + x
ce qui implique que 1 − x est inversible d'inverse
4. Soit n ≥ 1 tel que (uv)n = 0. Alors
(vu)
Exercice 2
vu
).
, alors on obtient
1 = (1 − x)(1 + x + ⋯ + x
Ainsi,
p−1
n+1
n−1
)
1 + x + ⋯ + x
n−1
.
n
= v(uv) u = v × 0 × u = 0.
est nilpotent.
- Anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un anneau
anneau.
A
est un anneau de Boole si, pour tout
1. Démontrer que, pour tout x ∈ A,
2. Montrer que A est commutatif.
x = −x
x ∈ A
,
x
2
= x
. On fixe
A
un tel
.
Indication
1. Appliquer la propriété à
x + x
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2. Fixer
x, y ∈ A
et appliquer la propriété à
x + y
.
Corrigé
1. On applique la propriété à l'élément
x + x = (x + x)
2
= x
x + x
2
+ x
. Il vient
2
+ x
2
+ x
2
= x + x + x + x.
Après simplification, on trouve x + x = 0, soit x = −x.
2. Soient x, y ∈ A. On doit prouver xy = yx. Appliquons la propriété à l'élément
a
(x + y) = (x + y)
2
= x
2
Après simplification, on trouve xy + yx
résultat de la question précédente.
Exercice 3
+ y
= 0
2
x + y
. On
+ xy + yx = x + y + xy + yx.
soit
xy = −yx
, soit
xy = yx
en appliquant le
- Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G) l'ensemble des endomorphismes de G sur
lequel on définit la loi + par f + g : G → G, x ↦ f (x) + g(x). Démontrer que (End(G), +, ∘) est un
anneau.
Indication
Vérifier tous les points de la définition d'un anneau.
Corrigé
On remarque d'abord que + et ∘ sont bien des lois de composition interne sur
on vérifie tous les points de la définition d'un anneau.
End(G)
. Ensuite,
1. (End(G), +) est un groupe commutatif. En effet, la loi + est associative et
commutative, l'application 0G : G → G, g ↦ 0 est un élément neutre pour la loi +, et tout
élément f ∈ End(G) admet un inverse −f : G → G, x ↦ −f (x).
2. La loi ∘ est associative.
3. La loi ∘ possède un élément neutre, qui est l'application identité.
4. La loi ∘ est distributive par rapport à la loi + : pour tous f , g, h ∈ End(G) et tout x ∈ G
,
((f + g) ∘ h)(x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = (f ∘ h + g ∘ h)(x)
et
(f ∘ (g + h))(x) = f ((g + h)(x)) = f (g(x) + h(x)) = f (g(x)) + f (h(x)) = (f ∘ g + f ∘ h)(x).
Ainsi,
(End(G), +, ∘)
Exercice 4
est un anneau.
- Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
A = {
m
; m ∈ Z, n ∈ 2N + 1}
(c'est-à-dire que
n
dénominateur impair). Démontrer que
inversibles?
(A, +, ×)
A
est l'ensemble des rationnels à
est un anneau. Quels sont ses éléments
Indication
Démontrer que c'est un sous-anneau de (Q, +, ×). Pour déterminer les éléments inversibles,
m
partir de x = n ∈ A qu'on suppose inversible, écrire que xy = 1 pour un certain y ∈ A, et en
déduire une condition nécessaire sur m. Démontrer ensuite que cette condition est suffisante.
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Corrigé
On va démontrer que
m
y =
′
∈ A
n′
A
est un sous-anneau de
(Q, +, ×)
. Pour cela, soient
x =
et
m
n
. Alors :
′
′
mn − m n
x − y =
nn
et xy =
′
mm
nn
′
′
.
Comme nn′ , produit de deux nombres impairs, est impair, et que A est non vide puisqu'il
contient 1, on en déduit que A est bien un sous-anneau de (Q, +, ×).
Déterminons ensuite les inversibles de
A
. Soit
x =
m
inversible, et soit
∈ A
n
y =
m
n
′
′
∈ A
tel que
. On en déduit que mm = nn . En particulier, m est nécessairement impair.
m
n
Réciproquement, si x = n avec m impair, alors y = m est dans A (si jamais m < 0, il suffit
′
xy = 1
d'écrire
y =
les éléments
−n
−m
m
n
′
pour vérifier qu'il est bien dans
avec
Exercice 5
m ∈ Z
,
n ∈ N
∗
, et
A
), et
xy = 1
. Ainsi, les inversibles de
sont
A
impairs.
m, n
- Décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
l'ensemble des nombres décimaux,
D
n
D = {
10
Démontrer que
(D, +, ×)
; n ∈ Z, k ∈ N} .
k
est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Démontrer qu'il s'agit d'un sous-anneau de (Q, +, ×). Pour déterminer les éléments inversibles,
partir de x = n ∈ D inversible, écrire xy = 1 avec y ∈ D, et obtenir une condition nécessaire
sur
10
n
k
. Prouver ensuite que cette condition est suffisante.
Corrigé
On va prouver que (D, +, ×) est un sous-anneau de (Q, +, ×). On remarque d'abord que
puis que 1 ∈ D. De plus, soient x = n et y = m deux éléments de D. Alors
10
k
10
l
10
k
nm
et xy =
k+l
10
k+l
sont clairement des éléments de D, et (D, +, ×) est bien un sous-anneau de (Q, +, ×).
Déterminons ensuite les inversibles de (D, +, ×). Soit x = n inversible, d'inverse y =
10
xy = 1
⟺
On en déduit que les seuls diviseurs premiers de
pour
p, q ∈ N
. Réciproquement, soit
p
±2 5
x =
10
y =
±10
p
2 5
k
q
. Il suffit de vérifier que
y
y =
q
±10 2 5
2
(D, +, ×)
k
nm = 10
n
p+q
5
p
p+q
sont
D
k+l
k
=
q
±10 2 5
sont les éléments
l
. Alors
.
et 5, autrement dit que
2
m
10
x
n
s'écrit
est inversible dans
D
p
±2 5
q
. Posons
. Mais on peut aussi écrire
10
p+q
p
±2 5
10
Exercice 6
k
et montrons que
est élément de
k
Ainsi, les inversibles de
q
,
l
n10 − m10
x − y =
D ⊂ Q
k
q
p
∈ D.
, avec
p, q, k ∈ N
.
- Un anneau d'entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
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On considère
Z[√2] = {a + b√2; a, b ∈ Z}
.
1. Montrer que (Z[√2], +, ×) est un anneau.
2. On note N (a + b√2) = a − 2b . Montrer que, pour tous x, y de Z[√2], on a
N (xy) = N (x)N (y).
3. En déduire que les éléments inversibles de Z[√2] sont ceux s'écrivant a + b√2 avec
a − 2b = ±1.
2
2
2
2
Indication
1. Montrer que c'est un sous-anneau de (R, +, ×).
2. Il suffit simplement de vérifier l'égalité.
3. Si x est inversible d'inverse y, on a N (xy) = 1 =
1
simplifier
N (x)N (y)
. Réciproquement,
en utilisant la quantité conjuguée.
a+b√2
Corrigé
1. Il suffit de prouver que c'est un sous-anneau de
stable par la loi + : (a + b√2) + (a
stable par la loi × :
′
′
(R, +, ×)
′
. Mais
Z[√2]
′
′
est
+ b √2) = (a + a ) + (b + b )√2
′
′
′
′
.
′
(a + b√2) × (a + b √2) = (aa + 2bb ) + (ab + a b)√2
.
stable par passage à l'opposé
De plus,
1 ∈ Z[√2]
−(a + b√2) = −a + (−b)√2
, ce qui achève la preuve du fait que
Z[√2]
.
est un sous-anneau de
R
.
2. Posons x = a + b√2 et y = a + b √2. En tenant compte de la formule pour le produit
obtenue à la question précédente, on a
′
′
′
′
N (xy) = (aa + 2bb )
′
= (aa )
2
2
′
′
− 2(ab + a b)
′
− 2(ab )
2
′
− 2(a b)
2
2
′
2
+ 4(bb ) .
D'autre part,
N (x) × N (y) = (a
2
2
− 2b )(a
′
= (aa )
3. Soit
2
′2
′
− 2b
− 2(ab )
2
′2
)
′
− 2(a b)
2
′
2
+ 4(bb ) .
. Supposons d'abord que x est inversible, d'inverse y. Alors
, et donc N (x)N (y) = 1. Puisque N (x) et N (y) sont tous les deux des
entiers, on a nécessairement N (x) = ±1. Réciproquement, si N (x) = ±1, alors, en
utilisant la quantité conjuguée :
x = a + b√2
N (xy) = N (1) = 1
1
a − b√2
=
a + b√2
ce qui montre que
Exercice 7
a + b√2
a
2
− 2b
2
= ±(a − b√2)
est inversible, d'inverse
±(a − b√2)
.
- Caractéristique d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A l'ordre de 1 dans le groupe additif
Dans la suite, on supposera que A est de caractéristique finie n.
A
(A, +)
.
1. Démontrer que, pour tout x ∈ A, nx = 0.
2. Démontrer que si A est intègre, n est un nombre premier.
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3. Démontrer que si
d'anneaux.
A
est intègre et commutatif, alors
x ↦ x
n
est un morphisme
Indication
1. nx = n(1A x).
2. Raisonner par contraposée, en supposant donc que n n'est pas premier.
p
3. Démontrer que, si p est premier et 1 ≤ k ≤ p − 1, alors p|(k).
Corrigé
1. Il s'agit juste d'un jeu d'écriture! On écrit en effet :
nx = n(1A x) = (n1A )x = 0A x = 0A .
2. Raisonnons par contraposée. Supposons que n = pq avec 1 < p, q < n. Alors posons
et y = q1A . Ni x ni y ne sont nuls puisque 1A est d'ordre exactement n. Pourtant,
leur produit xy = (pq)1A est nul et A n'est pas intègre. On vient de démontrer que si n
n'est pas premier, alors A n'est pas intègre. Donc A intègre entraîne n premier.
3. On va noter n = p pour souligner que n est un nombre premier, et f (x) = xp . Il n'y a
pas de difficultés à vérifier que f (1A ) = 1A et f (xy) = f (x)f (y) (par la commutativité de
A) pour tous x, y ∈ A. D'autre part, on a
x = p1A
p
f (x + y) = (x + y)
p
= ∑(
k=0
p−1
p
k
)x y
k
p−k
= x
p
+ y
p
+ ∑(
k=1
D'après le résultat de la première question, il suffit de vérifier que
k = 1, … , p − 1. Mais on a
p! = (
p
k
)x y
k
p
p|( )
k
p−k
.
pour tout
p
) × k! × (p − k)!.
k
On a donc
p|(
p
) × k! × (p − k)!.
k
Mais comme p est premier et que les décompositions en produits de facteurs premiers de
k! et de (p − k)! ne font intervenir que des nombres premiers strictement inférieurs à p, p
est premier avec le produit k! × (p − k)!. Ainsi,
f est bien un morphisme d'anneaux.
Exercice 8
- Sous-anneaux de
Z
2
p
p|( )
k
, et on a bien
f (x + y) = f (x) + f (y)
.
[Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour
d ∈ N
, on note
2
Ad = {(x, y) ∈ Z ; y − x ∈ dZ}
.
1. Démontrer que, pour tout d ∈ N, A est un sous-anneau de Z .
2. Réciproquement, soit A un sous-anneau de Z . Démontrer que
est un sous-groupe de Z.
3. En déduire qu'il existe d ∈ N tel que A = A .
2
d
2
H = {x ∈ Z; (x, 0) ∈ A}
d
Indication
1. Pour la stabilité par le produit, il faut factoriser pour faire apparaitre des
2.
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y − x
.
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Exercices corrigés -Anneaux
3.
Z
est principal. Comment retrouver
(x, y)
à partir de
(x − y, 0)
(et réciproquement?)
Corrigé
1. Il est clair que 0Z et 1Z sont éléments de Ad . Considérons ensuite (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ Ad .
Que (x + x′ , y + y ′ ) reste élément de Ad ne pose pas de problèmes. Pour le produit, on a
2
2
′
′
′
′
(x, y) × (x , y ) = (xx , yy )
et on a yy ′ − xx′ = (y − x)y ′ + x(y ′ − x′ ) d'où d|yy ′ − xx′ .
2. 0 ∈ H et si x, x′ ∈ H , alors (x − x′ , 0) = (x, 0) − (x′ , 0) ∈ A et donc x − x′ ∈ H .
est un sous-groupe de Z.
3. Puisque Z est principal, il existe d ∈ N tel que H = dZ. Démontrons que A = Ad .
D'une part, si (x, y) ∈ A, alors
H
(x − y, 0) = (x, y) − y(1, 1) ∈ A
et donc
, c'est-à-dire (x, y) ∈ Ad . Réciproquement, si (x, y) ∈ Ad , alors
x − y ∈ dZ = H , ce qui signifie que (x − y, 0) ∈ A. On termine presque comme
précédemment en écrivant que
d|x − y
(x, y) = (x − y, 0) + y(1, 1) ∈ A.
Les sous-anneaux de
Exercice 9
Z
2
sont donc tous de la forme
Ad
.
- Anneau intègre fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
A
un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que
A
est un corps.
Indication
Prendre
a ∈ A
non-nul et considérer
x ↦ ax
.
Corrigé
Fixons a ∈ A et considérons le morphisme de groupes (A, +) → (A, +), x ↦ ax. Alors ce
morphisme de groupes est injectif, car son noyau est réduit à {0A } puisque A est intègre.
Puisque A est fini, ce morphisme est nécessairement bijectif, et donc il existe x ∈ A tel que
ax = 1A . Par commutativité de A, on a aussi xa = 1A et donc a admet un inverse : A est un
corps.
Remarquons que l'on peut se passer de l'hypothèse que A est commutatif, par exemple en
faisant le même raisonnement avec x ↦ xa, et en prouvant que l'inverse à droite et l'inverse à
gauche coïncident.
Idéaux
Exercice 10
- Annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif et M une partie de A. On appelle annulateur de M
l'ensemble des x ∈ A tels que xy = 0 pour tout y ∈ M . Démontrer que l'annulateur de M est un
idéal de (A, +, ×).
Indication
Corrigé
Notons I cet ensemble. Il suffit d'appliquer la définition. En effet, prenons
Alors, pour tout y ∈ M , on a
u, v ∈ I
et
a ∈ A
.
(u − v)y = uy − vy = 0
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Exercices corrigés -Anneaux
et
(au)y = a(uy) = 0.
Ainsi,
u − v
et
Exercice 11
au
sont dans
I
qui est un idéal.
- Nilradical [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle nilradical d'un anneau commutatif (A, +, ×) l'ensemble de ses éléments nilpotents,
c'est-à-dire l'ensemble des x ∈ A pour lesquels il existe n ≥ 1 de sorte que x = 0. Démontrer que
le nilradical de A est un idéal de A.
n
Indication
Formule du binôme à une "grande" puissance...
Corrigé
Notons N (A) le nilradical de A. D'abord 0 ∈ N (A) qui est donc non vide. Prenons ensuite
, x, y ∈ N (A), et m, n de sorte que xm = y n = 0. Remarquons d'abord que
(ax)
et donc
ax ∈ N (A)
m
= a
x
m
= 0
. De plus, par la formule du binôme de Newton, on a
n+m−1
(x + y)
n+m−1
=
∑
k=0
Or, si
m
a ∈ A
n + m − 1
(
k
)x y
n+m−1−k
.
k
, alors xk = 0 et si k < m, c'est-à-dire k ≤ m − 1, alors n + m − 1 − k ≥ n et
n+m−1
y
= 0. On a bien (x + y)
= 0 et x + y ∈ N (A). Il est très facile de vérifier que l'on
a aussi −x ∈ N (A). Finalement, on a bien prouvé que N (A) est un idéal de A.
k ≥ m
n+m−1−k
Exercice 12
- Peu d'idéaux : c'est un corps! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
A
un anneau commutatif.
1. On suppose que A n'admet que les idéaux triviaux {0} et A. Démontrer que A est un
corps.
2. On suppose que A est intègre et qu'il n'admet qu'un nombre fini d'idéaux. Démontrer
que A est un corps.
Indication
1. Prendre
2. Prendre
x ∈ A
x ∈ A
et considérer l'idéal engendré par x.
et considérer les idéaux In = xn A.
Corrigé
1. Soit x ∈ A∖{0}. Alors l'idéal engendré par x ne peut pas être l'idéal {0}, donc c'est A
tout entier. En particulier, il existe y ∈ A tel que yx = xy = 1A . C'est bien que A est un
corps.
2. Prenons toujours x ∈ A∖{0} et considérons les idéaux In = xn A. Alors puisque A
admet un nombre fini d'idéaux, il existe n < p tel que xn A = xp A. En particulier, il existe
n
p
n
p−n
a ∈ A tel que x
= x a. Ceci entraîne x (1 − x
a) = 0. L'anneau étant intègre (et x
p−n
p−n−1
étant non nul), ceci entraine que x
a = 1. x est alors inversible, d'inverse x
a.
Exercice 13
- Suites croissantes d'id'éaux de
K[X]
[Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
d'exos]
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Exercices corrigés -Anneaux
Enoncé
Soit (I ) une suite croissante d'idéaux de
est stationnaire.
n
K[X]
, où
K
est un corps. Démontrer que la suite
(In )
Indication
Raisonner sur le degré du générateur de
(In )
.
Corrigé
Méthode 1 : Il existe un unique polynôme unitaire Pn tel que In = (Pn ). De plus, la condition
In ⊂ In+1 entraîne que Pn+1 |Pn . La suite (deg(Pn )) est donc une suite d'entiers naturels
décroissante : elle est stationnaire. Soit p ∈ N tel que, pour tout n ≥ p, on a deg(Pn ) = deg(Pp ).
On a alors Pn |Pp , Pn et Pp sont unitaires et de même degré, donc ils sont égaux et In = Ip . La
suite (In ) est bien stationnaire.
Méthode 2 : Posons I = ⋃n In . Puisque la suite (In ) est croissante, il est facile de vérifier que I
est un idéal. Il existe P ∈ K[X] tel que I = (P ). Mais alors, il existe N ∈ N tel que P ∈ IN . On
prouve alors que pour tout n ≥ N , on a In = (P ). En effet, on a In ⊂ I = (P ), et
P ∈ IN ⊂ In ⟹ (P ) ⊂ In .
Exercice 14
- Produit et Somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
(A, +, ×)
un anneau commutatif. Si
I
et
J
sont deux idéaux de
A
, on note
I + J = {i + j; i ∈ I , j ∈ J }
I . J = {i1 j1 + ⋯ + in jn ; n ≥ 1, ik ∈ I , jk ∈ J }
On dit que deux idéaux
1.
2.
3.
4.
Montrer
Montrer
Montrer
Montrer
I
et
J
sont étrangers si
I + J = A
.
que I + J et I J sont encore des idéaux de A.
que I . J ⊂ I ∩ J .
que (I + J ). (I ∩ J ) ⊂ I . J .
que si I et J sont étrangers, alors I . J = I ∩ J .
Indication
1. Il suffit d'écrire la définition?
2. i ∈ I , j ∈ J implique ij ∈ I par exemple.
3.
4. Ecrire x = 1.x.
Corrigé
1. Commençons par I + J . Il faut d'abord démontrer que c'est un sous-groupe de (A, +).
Mais 0 = 0 + 0 ∈ I + J . D'autre part, si x et y sont éléments de I + J , on les écrit
′
′
x = i + j, y = i + j , et on a
′
′
x − y = (i − i ) + (j − j ) ∈ I + J
puisque i − i′
rapport à + :
∈ I
et
j − j
′
∈ J
. D'autre part, pour
a ∈ A
, on a, par distributivité de
×
par
ax = ai + aj ∈ I + J
puisque, I et J étant deux idéaux, ai ∈ I et aj ∈ J . Ceci prouve que I + J est un idéal.
n
Passons maintenant à I . J : 0 × 0 = 0 est élément de I . J . De plus, si x = ∑k=1 ik jk et
y = ∑
m
l=1
′
′
l
l
i j
, en posant
ik = −i
′
k−n
et
j
′
k
= j
′
k−n
pour
k
allant de
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n + 1
à
n + m
, on a
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Exercices corrigés -Anneaux
n+m
x − y = ∑ i k jk
k=1
ce qui prouve que
I. J
est un sous-groupe de
(A, +)
. Enfin, pour tout
a
dans
A
, on a
n
ax = ∑ (aik )jk ∈ I . J
k=1
puisque chaque aik (resp. jk ) est élément de I (resp. de J ).
n
2. Soit x = ∑k=1 ik jk un élément de I . J . Pour chaque k, ik jk est un élément de I puisque
I est un idéal. Comme I est de plus stable par la somme, I . J est bien contenu dans I . Par
symétrie du rôle joué par I et J , I . J est aussi contenu dans J et donc I . J est contenu
dans I ∩ J .
n
3. Soit x ∈ (I + J ). (I ∩ J ). On écrit x = ∑k=1 ak bk avec ak ∈ I + J et bk ∈ I ∩ J .
Puisque I . J est un idéal, il suffit de prouver que ak bk ∈ I . J . On écrit ak = ik + jk , de
sorte que
ak b k = i k b k + b k j k .
C'est un élément de I . J , car ik ∈ I , bk ∈ J et bk ∈ I , jk ∈ J .
4. Il suffit de prouver que I ∩ J ⊂ I . J . D'après la question précédente, on a
A. (I ∩ J ) ⊂ I . J . Prenons x ∈ I ∩ J . Alors x = 1A x ∈ A. (I ∩ J ) ⊂ I . J Ceci prouve
l'inclusion restante.
Exercice 15
- Idéaux de
Mn (R)
[Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour 1 ≤ i, j ≤ n, on note E la matrice élémentaire ayant tous ses coefficients nuls, sauf le
coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne qui vaut 1.
i,j
1. Rappeler la formule donnant E E .
2. Soit M = (a ) ∈ M (R). Que vaut E M ? M E .
3. Démontrer que les seuls idéaux de M (R) sont {0} et
i,j
i,j
k,l
n
i,j
k,l
n
Mn (R)
.
Indication
1.
2.
3. Si I contient une matrice non identiquement nulle, démontrer en utilisant la question
précédente que I contient la matrice Ei,j pour tous i, j de {1, … , n}.
Corrigé
1. C'est du cours!
2. Si on écrit
lignes de
Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l
M = ∑
Ei,j M
même, écrivant
k,l
ak,l Ek,l
.
, on a
Ei,j M = ∑
n
l=1
aj,l Ei,l
. Autrement dit, toutes les
sont nulles, sauf la i-ème ligne constitué de la j-ième ligne de
M = ∑
i,j
ai,j Ei,j
, on a
M Ek,l = ∑
i,j
ai,j Ei,j Ek,l = ∑
n
i=1
M
ai,l Ei,l
. De
.
3. Soit I un idéal de Mn (R) et supposons le non réduit à {0}. Soit M = (ai,j ) ≠ 0 un
élément de I . Il existe donc i0 , j0 tels que ai ,j ≠ 0. Fixons ensuite i, j dans {1, … , n}. Par
les formules précédents, on sait que
0
0
1
ai0 ,j0
Ei,i0 M Ej0 ,j = Ei,j .
Mais puisque I est un idéal, c'est un élément de I . Donc Ei,j ∈ I . On en déduit alors
facilement, par les propriétés d'idéal de I , que toute matrice est élément de I .
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Exercices corrigés -Anneaux
Exercice 16
- Idéaux de
Zp
. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
un nombre premier. On note
p
m
Zp = {x =
∗
; (m, n) ∈ Z × N , p ∧ n = 1} .
n
1. Vérifier que Z est un sous-anneau de
2. Soit k ≥ 0. On note
p
J
p
k
= {
m
.
∗
k
; (m, n) ∈ Z × N , p ∧ n = 1, p |m} .
n
Vérifier que J est un idéal de Z .
3. Réciproquement, montrer que si
p
(Q, +, ×)
k
p
I
est un idéal de
Zp
, il existe
tel que
k ≥ 1
I = J pk
.
Indication
1.
2.
3. Poser
que
p
k
∗
k = max{l ≥ 0; ∀x ∈ I , ∃(m, n) ∈ Z × N , x =
∈ I
m
n
l
, p |m, p ∧ n = 1}
et prouver
.
Corrigé
1. La preuve est facile et laissée au lecteur : le point clé est que si
avec n′ , alors p est premier avec le produit nn′ .
2. D'abord, on peut remarquer que
éléments de
J pk
0 ∈ J pk
. Prenons ensuite
′
z =
′
p ∧ (nn ) = 1
∈ Zp
b
n
et
y =
, alors
bien un idéal de
(voir plus haut) et
xz =
Zp
.
am
bn
k
p |m
est tel que
,
m
′
n′
n
et
deux
′
mn − m n
nn
a
m
est premier avec
. Alors
x − y =
avec
x =
p
k
p |m
k
p |am
et
′
et donc
′
k
′
′
p |mn − m n
p ∧ (bn) = 1
, et donc
. Ensuite, si
xz ∈ Jpk
.
est
J pk
l
3. Posons k = max{l ≥ 0; ∀x ∈ I , ∃(m, n) ∈ Z × N∗ , x = m
, p |m, p ∧ n = 1} et
n
prouvons que I = Jp . D'abord, il est clair que I ⊂ Jp . Réciproquement, soit x ∈ Jp , il
faut prouver que x ∈ I . Par définition de k, on sait que l'on peut trouver y = a ∈ I tel que
k
k
k
b
k
a = p a
Puisque
x = p
de
Zp
avec
′
′
a ∧ p = b ∧ p = 1
. Mais alors,
est un idéal, ceci entraine que
I
p
k
′
b
est inversible dans
= y ×
′
avec p ∧ n = 1, on en déduit que
n
sont de la forme Jp .
k m
a
x ∈ I
b
a
′
∈ I
Zp
, d'inverse
. Mais alors, puisque
x
b
a′
.
s'écrit
. On a bien démontré que tous les idéaux
k
Exercice 17
- Idéaux de l'anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
E
un ensemble fini et
A = P(E)
.
1. Montrer que (A, Δ, ∩) est un anneau commutatif. Est-il intègre?
2. Soit E ⊂ E. Démontrer que I = P(E ) est un idéal de A.
3. Réciproquement, soit I un idéal de A. Prouver que
′
′
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Exercices corrigés -Anneaux
∀X ∈ I , ∀Y ⊂ X, Y ∈ I
{
∀X ∈ I , ∀Y ∈ I , X ∪ Y ∈ I .
4. En déduire qu'il existe E ⊂ E tel que I = P(E ).
5. Si E est infini, démontrer que l'ensemble des parties finies de
n'est pas de la forme P(E).
′
′
E
forme un idéal de
A
qui
Indication
1.
2.
3.
4.
5.
Vérifier la définition.
Vérifier la définition.
Écrire la réunion avec une différence symétrique.
Poser E ′ la réunion des éléments de I .
Corrigé
1. Il faut vérifier la définition, car A n'apparait pas comme un sous-anneau d'un anneau
connu. On remarque d'abord que les lois Δ et ∩ sont deux lois internes, commutatives et
associatives (ce n'est pas si facile pour Δ et cela mérite une petite démonstration….). De
plus, (A, Δ) est un groupe commutatif dont l'élément neutre est ∅ et le symétrique de
X ∈ A est X . Enfin, la loi ∩ est distributive par rapport à la loi Δ : si X, Y , Z ∈ A, alors
soit x ∈ (XΔY ) ∩ Z , ce qui signifie x ∈ Z et (x ∈ X∖Y ou x ∈ Y ∖X). Si x ∈ X , alors
x ∈ X ∩ Z et x ∉ Y d'où x ∉ Y ∩ Z , et de même, si x ∈ Y , alors x ∈ Y ∩ Z mais
x ∉ X ∩ Z . On en déduit que x ∈ (X ∩ Z)Δ(Y ∩ Z). L'inclusion réciproque se prouve
exactement de la même façon, en séparant le cas x ∈ (X ∩ Z)∖(Y ∩ Z) du cas
x ∈ (Y ∩ Z)∖(X ∩ Z).
2. D'abord, (P(E ′ ), Δ) est bien un groupe commutatif (démonstration similaire à celle de
la question précédente). Ensuite, si X ∈ P(E ′ ) et Y ∈ A, alors X ∩ Y ⊂ X ⊂ E ′ et donc
′
′
X ∩ Y ∈ P(E ). C'est bien que P(E ) est un idéal de A.
3. D'abord, si X ∈ I et si Y ⊂ X , par définition d'un idéal, Y ∩ X est dans I . Mais
Y ∩ X = Y , et donc Y ∈ I . Prenons ensuite X, Y ∈ I et posons X1 = X∖Y . Alors X1 et
Y sont disjoints, et donc X1 ΔY = X1 ∪ Y = X ∪ Y . De plus, puisque I est un idéal et
que X1 ∈ I par la première partie de cette question, on en déduit que X1 ΔY ∈ I . I est
alors stable par réunion.
4. Posons E ′ la réunion de tous les éléments qui sont dans I . Cette réunion est
nécessairement finie, et en effectuant une petite récurrence à partir de la question
précédente, on démontre que E ′ ∈ I . Par la question précédente, il est clair que P(E ′ ) ⊂ I
. Mais, si X ∈ I , alors X ⊂ E ′ par définition de E ′ et donc X ∈ P(E ′ ). Ainsi, I = P(E ′ ).
5. Il est très facile de vérifier que l'ensemble des parties finies forme un idéal de A. Il n'est
pas de la forme P(E ′ ) : si c'était le cas, prenons x ∈ E , et X = {x}. Alors X est élément
de l'idéal et donc X ∈ P(E ′ ) soit x ∈ E ′ . On aurait donc E = E ′ , mais dans l'idéal on n'a
pas pris les parties infinies de E et l'idéal est différent de P(E).
Exercice 18
- Radical d'un idéal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
A
un anneau commutatif (unitaire). Si
∈ I }.
√I = {x ∈ A; ∃n ≥ 1, x
I
est un idéal de
A
, on appelle radical de I l'ensemble
n
1. Montrer que √I est un idéal de A.
2. Soient I , J deux idéaux de A et p ≥ 1. Montrer que
√I . J = √I ∩ J = √I ∩ √J , √√I = √I et √I
3. Si
A = Z
et
I = kZ
,
k ≥ 1
p
= √I .
, déterminer le radical de I .
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Exercices corrigés -Anneaux
Indication
1. Pour montrer la stabilité par la loi +, on pourra utiliser la formule du binôme à une
bonne puissance de (x + y).
2. Pour les trois premières égalités, raisonner par inclusions successives (1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ 1)
fonctionne. On pourra remarquer que si xn ∈ I et xm ∈ J , alors xn+m ∈ I . J .
α
α
3. Décomposer k en produits de facteurs premiers k = p1 … pr et prouver que
n
∃n ≥ 1, k|x est équivalent à x ∈ (p1 … pr )Z.
r
1
Corrigé
1. On commence par remarquer que si xn ∈ I , alors pour tout k ≥ n, xk = xk−n xn ∈ I
(qui est un idéal). Montrons d'abord que (√I , +) est un sous-groupe de (A, +). En effet,
(prendre n = 1). De plus, si x est dans √I alors
puisque xn ∈ I et que I est un idéal. Prenons maintenant x,
et n, m ∈ N tels que xn ∈ I , y m ∈ I . Alors, par la formule du binôme que l'on peut
appliquer dans l'anneau \textbf{commutatif} A, on a
0 ∈ √I
(−x)
n
puisque
I ⊂ √I
n
= (−1) x
n
∈ I
n+m
(x + y)
n+m
k=0
Or, si
k ≥
n + m
= ∑ (
k
)x y
k
n+m−k
y ∈ I
.
, alors n + m − k ≥ m et donc y n+m−k ∈ I , ce qui entraine xk y n+m−k ∈ I . Si
k
k
n+m−k
n, cette fois x ∈ I et donc x y
∈ I . (I , +) étant un sous-groupe de (A, +), on
k ≤ n
en déduit que
(x + y)
n+m
∈ I
, c'est-à-dire
x + y ∈ √I
.
Finalement, prouvons que pour a ∈ A et x ∈ √I , alors ax ∈ √I . Soit n ≥ 0 tel que xn ∈ I .
Alors (ax)n = an xn ∈ I , ce qui prouve le résultat.
2.
Soit x ∈ √I . J . Il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ I . J , c'est-à-dire xn = ∑k ak bk avec
n
n
ak ∈ I et bk ∈ J . Alors x
∈ I puisque I est un idéal et x
= ab, a ∈ I , et de même
n
x
∈ J (on utilise en fait que I . J ⊂ I ∩ J ). Ainsi, x ∈ √I ∩ J .
Soit maintenant x ∈ √I ∩ J . Alors il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ I et xn ∈ J . Donc
et x ∈ √J , soit x ∈ √I ∩ √J .
Finalement, soit x ∈ √I ∩ √J . Alors il existe
x ∈ √I
Alors
On a
x
n+m
= x x
I ⊂ √I
n ≥ 1
n
tel que
m
∈ I. J
et donc
x
n
, et donc
√I ⊂ √√I
∈ √I
. Posons
n, m ≥ 1
√I ∩ √J ⊂ √I . J
tels que
y = x
∈ √I
. Il existe
n
∈ I
et
x
m
∈ J
.
.
. Réciproquement, prenons
n
x
m ≥ 1
x ∈ √√I
tel que
y
. Il existe
m
∈ I
. Alors,
= y
∈ I et donc x ∈ √I .
La dernière égalité se prouve de façon tout à fait identique!
3. Soit x ∈ Z. x est dans √kZ si et seulement si il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ kZ.
α
α
Autrement dit, k|xn . Décomposons k en produits de facteurs premiers : k = p1 … pr . On
obtient que pi |xn ⟹ pi |x pour tout i = 1, … , r et donc p1 … pr |x, ce qui peut encore
s'écrire x ∈ (p1 … pr )Z. Réciproquement, si x ∈ (p1 … pr )Z, alors, x s'écrit x = p1 … pr m
x
nm
m
r
1
. Notant
Exercice 19
n = maxi∈{1,…,r} (αi )
, on a
k|x
n
. Ainsi, on a prouvé que
√I = (p1 … pr )Z
.
- Idéaux d'un anneau produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
A
A × B
et B deux anneaux commutatifs et soit K ⊂ A × B. Démontrer que K est un idéal de
si et seulement si K = I × J , où I est un idéal de A et J est un idéal de B.
Indication
Partant de K , on pourra poser I = pA (K) et J = pB (K) où pA et pB sont les projections
canoniques. Pour montrer que I × J ⊂ K , on pourra utiliser que si (x, b) ∈ K , alors (x, 0)
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∈ K
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Exercices corrigés -Anneaux
par la structure d'idéal de
K
.
Corrigé
D'une part, il est facile (et laissé au lecteur) de vérifier que si I et J sont deux idéaux respectifs
de A et B, alors I × J est un idéal de A × B.
Réciproquement, fixons K un idéal de A × B et construisons des idéaux I de A et J de B tels
que K = I × J . On désigne par pA : A × B → A et pB : A × B → B les projections respectives
sur A et B, et on pose I = pA (A), J = pB (B). Comme pA et pB sont des morphismes surjectifs,
I et J sont des idéaux respectivement de A et de B.
Prenons ensuite z ∈ K . Alors z = (pA (z), pB (z)) est bien un élément de I × J . Pour l'autre
inclusion, fixons (x, y) ∈ I × J et prouvons que (x, y) ∈ K . Puisque x ∈ I , il existe b ∈ B tel
que (x, b) ∈ K . Puisque y ∈ J , il existe a ∈ A tel que (a, y) ∈ K . Maintenant,
(1, 0) ⋅ (x, b) = (x, 0) ∈ K (puisque K est un idéal) et de même (0, 1) ⋅ (a, y) = (0, y) ∈ K . Par
somme, (x, 0) + (0, y) = (x, y) ∈ K .
Exercice 20
- Idéaux premiers - idéaux maximaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma
feuille d'exos]
Enoncé
Soit A un anneau commutatif. On dit qu'un idéal I est premier si xy ∈ I ⟹ x ∈ I ou
dit que I est maximal si, pour tout idéal J de A tel que I ⊂ J , on a J = I ou J = A.
1. Déterminer les idéaux premiers de Z.
2. Soit I un idéal et x ∈ A∖I . Soit J l'idéal engendré par
I
y ∈ I
. On
et x. Montrer que
J = {a ∈ A; ∃i ∈ I , ∃k ∈ A, a = i + kx} .
3. En déduire que tout idéal maximal est premier.
4. Montrer que si tous les idéaux de A sont premiers, alors A est un corps.
5. Montrer que si A est principal, tout idéal premier est maximal.
6. (pour ceux qui savent quotienter par un idéal) Soit I un idéal de A. Montrer que I est
premier si et seulement si A/I est intègre. Montrer que I est maximal si et seulement si
A/I est un corps. En déduire une autre preuve que I maximal entraine I premier.
Indication
1. Factoriser en produits de facteurs premiers un générateur de I .
2. Poser K = {a ∈ A; ∃i ∈ I , ∃k ∈ A, a = i + kx}, vérifier que K est un idéal, puis que
tout idéal de A contenant I et x contient K .
3. Soit x, y ∈ A tels que xy ∈ I et x ∉ I . Considérer l'idéal engendré par I et x pour
prouver que y ∈ I .
4. Montrer d'abord que A est intègre en utilisant l'idéal engendré par 0. Puis, pour un
élément x non nul, considérer l'idéal engendré par x2 .
5. Soit I = (a) un idéal et I ⊂ J = (b). Ecrire que a = bc et donc b ∈ I ou c ∈ I et
discuter.
6. Pour la partie intègre, un raisonnement direct convient. Pour la partie maximale, on peut
utiliser que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de A contenant I .
Corrigé
1. Soit
un idéal de Z. Si n n'est pas premier, alors n se factorise en ab avec
. Mais, ou bien a ∈ I , ou bien b ∈ I et donc a ou b est un multiple de n ce qui
est une contradiction. Réciproquement, si n est premier et xy ∈ I , ie n|xy, alors, par le
théorème de Gauss, n|x ou n|y, ce qui prouve x ∈ I ou y ∈ I . En résumé, nZ est un idéal
premier si et seulement si n est premier.
2. On pose K = {a ∈ A; ∃i ∈ I , ∃k ∈ A, a = i + kx} et on va montrer que K = J . On
remarque d'abord que K est un idéal (la preuve est facile!) et qu'il contient I et x. D'autre
part, soit J ′ un idéal de A contenant I et x, et soit a = i + kx un élément de K . Puisque
I = nZ
1 < a, b < n
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Exercices corrigés -Anneaux
, on a i ∈ J et puisque x ∈ J , on a kx ∈ J ′ . Ainsi, K ⊂ J ′ : K est bien l'idéal
engendré par I et x.
3. Soit I un idéal maximal et x, y ∈ A tels que x ∉ I et xy ∈ I . On doit prouver que y ∈ I .
Pour cela, on considère J l'idéal engendré par I et x. Puisque I est maximal et que J est
contient strictement I , on sait que J = A. Or, d'après la question précédente, tout élément
de J s'écrit i + kx, i ∈ I et k ∈ A. Ainsi, 1 = i + kx. On multiplie par y et on obtient
I ⊂ J
′
′
′
y = yi + k(xy).
Mais yi ∈ I car I est un idéal, k(xy) aussi et donc y est aussi élément de I ce qui termine
la démonstration.
4. On commence par démontrer que A est intègre. En effet, l'idéal engendré par 0 est
premier. Donc, si xy ∈ (0) = {0}, alors x = 0 ou y = 0 et donc A est intègre. Soit ensuite
x ∈ A non nul. Il s'agit de démontrer que x est inversible. On considère I l'idéal engendré
par x2 . Alors x × x ∈ I . Puisque I est premier, x ∈ I . Mais comme I est l'idéal engendré
par x2 , il existe b ∈ A tel que x = bx2 . On regroupe et on factorise en x(1 − bx) = 0.
Puisque A est intègre et x est non-nul, on obtient 1 = bx et donc x est inversible d'inverse
b.
5. Soit I = (a) un idéal premier de A et soit J un idéal avec I ⊂ J . Puisque A est
principal, J = (b). Puisque I ⊂ J , a = bc pour c ∈ A. Puisque I est premier, on a
ou bien b ∈ I , mais alors (b) ⊂ I et donc J = I .
ou bien c ∈ I , donc c s'écrit xa et on a a = bxa. Puisque A est principal, donc
intègre, ceci entraine bx = 1, c'est-à-dire que b est inversible et J = A.
Ceci prouve que I est maximal.
6. On a
è
A/I int gre
¯
¯¯¯
¯
¯
⟺
∀x, y ∈ A, x y = 0
⟺
∀x, y ∈ A, xy ∈ I
⟺
I est premier.
⟹
⟹
¯
¯¯
¯
¯
¯
x = 0 ou y = 0
x ∈ I ou y ∈ I
Pour la seconde assertion, on peut remarquer que A/I est un corps si et seulement si ses
seuls idéaux sont {0} et lui-même. Puisque les idéaux de A/I sont en bijection avec les
idéaux de A contenant I , on en déduit que A/I est un corps si et seulement si les seuls
idéaux de A contenant I sont I et A, c'est-à-dire si et seulement I est maximal.
Enfin, puisqu'un corps est intègre, on a bien I maximal entraine I premier.
Anneaux principaux
Exercice 21
-
Z
2
est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite étudier dans cet exercice les idéaux de
1. Soit I un idéal de Z et I = {x ∈ Z;
I et I sont deux idéaux de Z.
2. Démontrer que I = I × I .
3. Conclure.
2
1
1
Z
2
.
(x, 0) ∈ I }
,
I2 = {y ∈ Z; (0, y) ∈ I }
. Démontrer que
2
1
2
Indication
1.
2. Double inclusion.
3.
Corrigé
1.
I1
est non-vide car
. Soient x, y
et (kx, 0) =
(0, 0) ∈ I
(x − y, 0) = (x, 0) − (y, 0) ∈ I
∈ I
et
k ∈ Z
. Alors
(k, 2025) × (x, 0) ∈ I
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo
d'où
x − y
et
kx ∈ I1
.
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Exercices corrigés -Anneaux
2
est un idéal de Z et la preuve est similaire pour I2 .
2. Soit (x, y) ∈ I1 × I2 . Alors (x, 0) ∈ I , (0, y) ∈ I d'où (x, y) = (x, 0) + (0, y) ∈ I . Ainsi,
on a I1 × I2 ⊂ I . Réciproquement, si (x, y) ∈ I , alors (x, 0) = (1, 0) × (x, y) ∈ I et donc
x ∈ I1 . De même, y ∈ I2 et donc (x, y) ∈ I1 × I2 .
3. Z étant principal, il existe des entiers a et b tels que I1 = aZ et I2 = bZ. Alors d'après
2
la question précédente, I = aZ × bZ = (a, b)Z .
I1
Exercice 22
- L'anneau des nombres décimaux est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à
ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit (D, +, ×) l'anneau des nombres décimaux, c'est-à-dire l'ensemble des nombres de la forme
, avec n ∈ Z et k ∈ N. Démontrer que cet anneau est principal.
n
10
k
Indication
Considérer un idéal
I
de
D
et utiliser que
I ∩ Z
est un idéal de
Z
, donc...
Corrigé
Soit
I
a ∈ Z
a ∈ I
un idéal de D. Alors I ∩ Z est un idéal de Z, qui est un anneau principal. Il existe donc
tel que I ∩ Z = aZ. On va prouver que I = aD. Il est d'abord clair que aD ⊂ I puisque
et que I est un idéal. Réciproquement, soit x = n ∈ I . Alors n = 10k x ∈ I ∩ Z et donc
10
n = am
D
pour un certain
du type
aD
Exercice 23
m ∈ Z
, avec
a ∈ Z
-
Z/nZ
. Ainsi,
m
x =
10
.
k
a ∈ aD
k
. Les idéaux de
D
sont donc les parties de
est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
. Démontrer que tous les idéaux de l'anneau
est-il principal?
n ≥ 2
Z/nZ
Z/nZ
sont principaux. A quelle condition
Indication
"Remonter" un idéal de
Z/nZ
en un idéal de
Z
.
Corrigé
Soit I un idéal de Z/nZ, et J = {m ∈ Z;
est non-vide, et si u, v ∈ J , k ∈ Z, alors
m̄ ∈ I }
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
u + v = ū + v̄ ∈ I
¯
¯
¯
¯
¯¯
ku = k̄ × ū ∈ I
. Alors
J
est un idéal de
⟹
u + v ∈ J
⟹
ku ∈ J .
Z
. Il est non-vide car
I
Ainsi, il existe a ∈ Z tel que J = aZ. De plus, on peut aussi remarquer que, puisque nZ ⊂ J , on
doit avoir a|n.
Démontrons alors que I = āZ/nZ. Puisque ā ∈ I , il est clair que āZ/nZ ⊂ I . Réciproquement,
¯
¯
¯
¯
¯¯
soit ū ∈ āZ/nZ. Alors ū = ā × k̄ = ak et donc u ∈ aZ + nZ = aZ puisque a|n. Ainsi, ū ∈ I , ce
qui prouve l'inclusion réciproque.
Ainsi, on a prouvé que tous les idéaux de Z/nZ sont principaux. Pour que l'anneau lui-même soit
principal, il faut encore qu'il soit intègre. Ceci n'est vrai que si n est premier.
Exercice 24
- Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
2
Z[i] = {a + ib; a, b ∈ Z }
.
1. Démontrer que Z[i] est un sous-anneau de (C, +, ×).
2. Quels sont les éléments inversibles de Z[i]?
3. Soit z ∈ C. Démontrer qu'il existe ω ∈ Z[i] tel que |z − ω| < 1.
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Exercices corrigés -Anneaux
4. Soient u, v ∈ Z[i] avec v ≠ 0. Démontrer qu'il existe
A-t-on unicité?
5. Démontrer que Z[i] est principal.
q, r ∈ Z[i]
avec
u = qv + r
et
|r| < |v|
.
Indication
1.
2. Si a + ib est inversible dans Z[i], son inverse est nécessairement le même que dans
3. Approcher partie réelle et partie imaginaire par l'entier le plus proche.
4. Approcher u/v par la question précédente.
5. S'inspirer de la preuve de Z ou K[X] est principal. Le rôle du degré est joué par la
valeur absolue.
C
.
Corrigé
1. Il suffit de vérifier les propriétés… La preuve est laissée au lecteur!
2. Soit a + ib un élément de Z[i] inversible. Son inverse est nécessairement le même que
dans C, c'est-à-dire
1
a
=
a + ib
On ne peut pas avoir
(a, b) = (0, 0)
a
. Si
2
+ b
|a| ≥ 2
2
b
− i
a
, alors
2
+ b
même si
|b| ≥ 2
b
,
2
a +b
2
ne peut pas être un entier, et de
a
2
a +b
.
2
2
ne peut pas être un entier. On a donc
|a| ≤ 1
et
|b| ≤ 1
. Mais le cas
ne convient pas non plus. Donc les seules possibilités sont (±1, 0) et
(0, ±1) qui donnent effectivement des éléments inversibles. Z[i] possède donc 4 éléments
inversibles : 1, −1, i, −i.
3. Écrivons z = x + iy. On approche x et y par l'entier le plus proche : il existe a ∈ Z et
(a, b) = (±1, ±1)
b ∈ Z
tels que
|x − a| ≤
1
2
|z − ω|
et
2
|y − b| ≤
= (x − a)
2
1
2
. Mais alors, si on pose
+ (y − b)
4. D'après la question précédente, il existe
∣ u
∣ v
2
1
≤
q ∈ Z[i]
− q
∣
∣
4
1
+
4
ω = a + ib
, on obtient
1
≤
2
< 1.
tel que
< 1.
Posons r = v ( uv − q) . Alors |r| < |v| et on a bien u = qv + r. On n'a pas en général
unicité de cette "division euclidienne" car on n'a pas unicité dans l'approximation de la
question précédente. Prenons par exemple u = 1 + i et v = 2, de sorte que u/v peut être
approché par 0 ou 1 (ou aussi par i et 1 + i). On peut alors écrire les deux divisions
1 + i = 0 × 2 + (1 + i)
1 + i = 1 × 2 + (−1 + i)
avec chaque fois le module du reste inférieur strict à 2.
5. Soit I un idéal de Z[i] non réduit à {0}. On considère a ∈ I ∖{0} tel que |a| est minimal.
Ceci a un sens, car |z| ≥ 1 pour tout z ∈ Z[i]∖{0}, et il y a seulement un nombre fini
d'éléments de Z[i] de module inférieur à un réel donné. On va alors démontrer que I est
l'idéal engendré par a. Pour cela, prenons u ∈ I et effectuons la division euclidienne
donnée par la question précédente :
u = qa + r avec |r| < |a|.
Mais alors, u ∈ I , qa ∈
prouve que u ∈ aZ[i].
I
et donc
r ∈ I
. Par minimalité de
|a|
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, on doit avoir
|r| = 0
, ce qui
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Exercices corrigés -Anneaux
Exercice 25
- Suite d'idéaux et anneau principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
d'exos]
Enoncé
Soit
A
un anneau principal.
1. On suppose que toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est
stationnaire. Montrer que A est un corps.
2. Démontrer que toute suite croissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est stationnaire.
Indication
1. Considérer a un élément non nul, et la suite d'idéaux
2. L'union d'une suite croissante d'idéaux est un idéal...
n
In = (a )
.
Corrigé
1. Soit a un élément non-nul de A, et In l'idéal engendré par an . Alors In+1 ⊂ In . En effet,
si x ∈ In+1 , x s'écrit an+1 u, soit encore an (au). Ainsi, la suite (In ) est décroissante et donc
stationnaire. Soit p un entier tel que Ip = Ip+1 . En particulier, ap est élément de Ip+1 , c'està-dire que ap = ap+1 u, u ∈ A. On peut réécrire ceci en ap (1 − au) = 0 ce qui implique, car
n
A est intègre et a, donc a , sont non-nuls, 1 − au = 0 ⟺ au = 1. Ainsi, a est
inversible. Comme a est arbitraire dans A∖{0}, A est un corps.
2. Notons (In ) une suite croissante d'idéaux de A et posons I = ⋃n In . Alors il est facile
de vérifier que I est un idéal. Puisque A est principal, il existe a ∈ I tel que I est l'idéal
engendré par a. Mais alors, il existe N ∈ N tel que a ∈ IN . On prouve alors que pour tout
n ≥ N , on a In = aA. En effet, on a In ⊂ I = aA, et a ∈ IN ⊂ In ⟹ aA ⊂ In .
Algèbre
Exercice 26
- Algèbre des matrices qui commutent avec une autre [Signaler une erreur]
[Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit
A ∈ Mn (R)
. On note
C = {M ∈ Mn (R); AM = M A}
. Montrer que
C
est une algèbre.
Indication
Démontrer que c'est une sous-algèbre de
Mn (R)
.
Corrigé
Il suffit de démontrer que C est une sous-algèbre de Mn (R), c'est-à-dire à la fois un sousanneau et un sous-espace vectoriel de Mn (R). Remarquons que la matrice nulle 0 et In sont
membres de C . De plus, pour tous M , N ∈ C et tout λ ∈ R, alors on vérifie facilement que
1.
2.
3.
MN ∈ C
λM ∈ C
;
;
M − N ∈ C
C'est bien que
Exercice 27
C
.
est une algèbre.
- Une algèbre de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour
a, b, c ∈ R
, on note
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Exercices corrigés -Anneaux
a
b
c
M (a, b, c) = ⎜ c
a
b ⎟
c
a
⎛
⎝
et E = {M (a, b, c); a, b, c ∈ R}. Démontrer que
qu'espace vectoriel.
E
b
⎞
⎠
une algèbre, et en donner une base en tant
Indication
Démontrer que
E
est une sous-algèbre de
M3 (R)
.
Corrigé
On va prouver que
E
est une sous-algèbre de
M3 (R)
. Pour cela, notons
0
1
0
0
0
1
A = ⎜0
0
1 ⎟ et B = ⎜ 1
0
0⎟.
0
0
1
0
⎛
⎝
1
⎞
⎠
⎛
⎝
0
⎞
⎠
Alors il est clair que E = vect(I3 , A, B) et que la famille (I3 , A, B) est libre. On en déduit que
est un sous-espace vectoriel de M3 (R) de dimension 3. De plus, un calcul rapide montre que
′
′
E
′
M (a, b, c)M (a , b , c ) = M (aa' + bc' + cb', ab' + a'b + cc', ac' + a'c + bb').
E
est stable par produit matriciel, et c'est une sous-algèbre de
Exercice 28
M3 (R)
.
- Algèbres commutatives intègres de dimension finie sur
R
.
[Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit A une algèbre commutative intègre de dimension finie
où 1 est l'élément neutre de A pour la multiplication.
n ≥ 2
sur
1. Démontrer que tout a ∈ A non-nul est inversible.
2. Soit a ∈ A et non dans R = vect(1). Prouver que la famille
famille (1, a, a ) est liée.
3. En déduire l'existence de i ∈ vect(1, a) tel que i = −1.
4. En déduire que dim(A) = 2.
5. En déduire que A est isomorphe à C.
R
. On identifie
(1, a)
R
avec
R.1
,
est libre, tandis que la
2
2
Indication
1. Démontrer que l'application (linéaire) x ↦ ax est bijective, pour tout a ∈ A, a ≠ 0.
2. Puisque A est de dimension finie, il existe un polynôme P tel que P (a) = 0. Factoriser
alors P .
3. Partir du polynôme précédent…et essayer de trouver −1 comme un carré.
4. Raisonner par l'absurde. Trouver j ≠ i tel que j2 = −1 et conclure...
5.
Corrigé
1. Soit a ∈ A∖{0}. Alors ϕ : A → A, x ↦ ax est une application linéaire si l'on voit A
comme un R-espace vectoriel. Elle est injective, car A est intègre et donc son noyau est
réduit à {0}. Comme A est de dimension finie, l'application est bijective. Il existe x ∈ A tel
que ax = 1, ce qui prouve que a est inversible.
2. 1 et a sont non-nuls et a ∉ vect(1). Donc (1, a) est libre. Maintenant, puisque A est de
dimension finie n, la famille (1, a, a2 , … , an ) qui est constituée par n + 1 vecteurs est liée.
Il existe un polynôme P ∈ Rn [X] tel que P (a) = 0. On factorise P en produit
d'irréductibles, P = P1 ⋯ Pr . Alors
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Exercices corrigés -Anneaux
P1 (a) ⋯ Pr (a) = 0.
Puisque A est intègre, il existe un k tel que Pk (a) = 0. Mais Pk est de degré au plus 2, et il
ne peut pas être de degré 1 puisque (1, a) est libre. Donc Pk est de degré 2 et (1, a, a2 ) est
liée.
3. Soient α, β tels a2 + αa + β = 0, avec Δ = α2 − 4β < 0 (conséquence de la question
précédente). On a alors
2
α
(a +
2
)
α
2
=
− 4β
4
ce qui entraîne
2
2a + α
(
)
= −1.
√4β − α2
On a trouvé notre i!
4. Si dim(A) > 2, on pourrait trouver b tel que la famille (1, a, b) soit libre. Comme à la
question précédente, on trouverait j ∈ vect(1, b) tel que j2 = −1. Mais alors,
(i − j)(i + j) = 0
et par intégrité de A, un des deux facteurs doit être nul. Dans un cas comme dans l'autre,
cela implique j ∈ vect(1, a) et donc b ∈ vect(1, a), puisque qu'on peut aussi dire que
b ∈ vect(1, j). C'est une contradiction, et donc la dimension de A est deux.
5. L'isomorphisme est donné par 1A ↦ 1C et iA ↦ iC , dont on vérifie facilement que c'est
un morphisme d'algèbre.
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Exercices corrigés -Anneaux
Yvonne Choquet-Bruhat (1923 - )
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