Modèle Mathématique des systèmes régulés dans le domaine fréquentiel Objectifs Ce chapitre a pour objectif de permettre aux étudiants de • Maitriser la transformation de Laplace • Trouver une fonction de transfert à partir d’une équation différentielle • Linéariser un système non linéaire afin d’obtenir la fonction de transfert I Introduction La première étape dans la réalisation d’un système contrôlé consiste à établir un modèle mathématique à partir d’un schéma fonctionnel. Les deux principale méthodes utilisées sont l’écriture de la fonction de transfert dans la domaine fréquentiel et la représentation d’état dans le domaine temporel. Il est important de noter que quelque soit la méthode utilisée le modèle mathématique est obtenu en partant des lois fondamentales de la physique et de l’ingénierie. Les lois fondamentales de la physique se présentent sous forme d’équation différentielle liant l’entrée et la sortie. 𝑑𝑛 𝑠(𝑡) 𝑑 𝑛−1 𝑠(𝑡) 𝑑 𝑚 𝑒(𝑡) 𝑑 𝑚−1 𝑒(𝑡) 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝑠(𝑡) = 𝑏𝑚 + 𝑏𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚−1 La forme et les coefficients de l’équation différentielle sont une description du système. Malheureusement l’utilisation d’équation différentielle n’est pas adaptée pour l’étude des systèmes. Nous préférons la représentation mathématique ou l’entrée , la sortie et le système sont distincts. Entrée Sortie Système E(p) S(p) Figure 1:Modèle adapté à l'étude des systèmes 1 De plus cette représentation permet l’interconnection des sous-systèmes composant le système global. Entrée Sortie Système1 Système2 Système3 E(p) S(p) Figure 2:Interconnection de système Dans cette représentation le système est remplacé par une fonction mathématique appelée la fonction de transfert . La fonction de transfert est obtenue en appliquant la transformée de Laplace aux équations différentielles décrivant le système. II La transformée de Laplace La représentation de système sous forme de schéma bloc est réalisable grâce à la transformée de Laplace. Elle permet de séparer l’entrée, la sortie et le système en trouvant une relation algébrique les liants entre eux. La transformée de Laplace est défini comme suit +∞ ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔 0 La borne inférieur traduit le fait que nous travaillons avec des fonctions nulles pour 𝑡 < 0. L’inverse de la transformée de Laplace permet de retrouver la fonction temporelle 𝜎+𝑗∞ 1 0, ℒ −1 [𝐹(𝑝)] = 𝑓(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡) = ∫ 𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡 𝑑𝑝 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑡) = { 1, 2𝜋𝑗 𝑡<0 𝑥≥0 𝜎−𝑗∞ II.1 Transformée de Laplace de fonction particulière 2 f(t) Impulsion de Dirac Echelon unité description 𝛿(𝑡) 𝛿(𝑡) = ∞, 0− < 𝑡 < 0+ 𝑢(𝑡) 1; 𝑡 ≥ 0 𝑢(𝑡) = { 0; 𝑡 < 0 F(p) 1 1 𝑝 1 𝑝2 𝑛! Fonction puissance 𝑡 𝑛 𝑢(𝑡) 𝑝𝑛+1 1 Exponentiel 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) décroissante 𝑝+𝑎 𝜔 sin(𝜔𝑡); 𝑡 ≥ 0 Fonction sin(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) sin(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) = { 0; 𝑡 < 0 𝑝2 + 𝜔 2 trigonométrique 𝑝 cos(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) cos(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) = {cos(𝜔𝑡); 𝑡 ≥ 0 0; 𝑡 < 0 𝑝2 + 𝜔 2 𝑡𝑢(𝑡) Rampe 𝑡; 𝑡 ≥ 0 𝑡𝑢(𝑡) = { 0; 𝑡 < 0 𝑡𝑛; 𝑡 ≥ 0 𝑡 𝑛 𝑢(𝑡) = { 0; 𝑡 < 0 𝑒 −𝑎𝑡 ; 𝑡 ≥ 0 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) = { 0; 𝑡 < 0 II.2 Propriété de la transformation de Laplace Linéarité ℒ[𝑘𝑓(𝑡)] = 𝑘𝐹(𝑝) 𝑘 ∈ ℝ ℒ[𝑎𝑓1 (𝑡) + 𝑏𝑓2 (𝑡)] = 𝑎𝐹1 (𝑝) + 𝑏𝐹2 (𝑝) Retard fréquentiel Retard Temporel Facteur d’échelle (dilatation temporelle Dérivation ℒ[𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝 + 𝑎) ℒ[𝑓(𝑡 − 𝜏)] = 𝑒 −𝜏𝑝 𝐹(𝑝) 1 𝑝 ℒ[𝑓(𝑎𝑡)] = 𝐹( ) 𝑎 𝑎 𝑑𝑓(𝑡) ℒ[ ] = 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0) 𝑑𝑡 𝑑 2 𝑓(𝑡) ℒ[ ] = 𝑝2 𝐹(𝑝) − 𝑝𝑓(0) − 𝑓′(0) 𝑑𝑡 2 𝑛 𝑑 𝑛 𝑓(𝑡) ℒ[ ] = 𝑝𝑛 𝐹(𝑝) − ∑ 𝑝𝑛−𝑘 𝑓 (𝑘−1) (0) 𝑑𝑡 𝑛 Intégration 𝑘=1 𝑡 𝐹(𝑝) ; 𝑝 ℒ [∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏] = 0 𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏| 0 =0 𝑡=0 3 Exemple Trouvons la transformée de Laplace de 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) Par calcul +∞ +∞ +∞ 𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴 ∫ 𝑒 −(𝑝+𝑎)𝑡 𝑑𝑡 0 0 0 +∞ 1 1 −(𝑝+𝑎)𝑡 = 𝐴 [− 𝑒 ] =𝐴 𝑝+𝑎 𝑝+𝑎 0 Par les propriétés ℒ[𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)] = 1 𝑝+𝑎 si 𝑔(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) alors ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝) = 𝑒𝑡 ℒ[𝐴𝑔(𝑡)] = 𝐴𝐺(𝑝) 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑔(𝑡) donc ℒ[𝑓(𝑡)] = alors 𝐴 𝑝+𝑎 Trouvons l’inverse de fonction 𝐺(𝑝) = 1 (𝑝+5)3 Nous allons les propriétés Nous savons 𝐹(𝑝 + 𝑎) = que si 2 (𝑝+𝑎)3 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 𝑢(𝑡) 2 𝑝3 donc et a pour inverse 𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑡 2 𝑢(𝑡) donc 1 𝑔(𝑡) = 𝑒 −5𝑡 𝑡 2 𝑢(𝑡) 2 II.3 Inversion de la transformée de Laplace La transformation inverse de Laplace peut être réalisée en utilisant les techniques suivantes : • Utilisation de tables et propriétés de Laplace • La division fractionnaire lorsque nous avons une fraction rationnelle dont le polynôme du numérateur a un degré supérieur à celui du dénominateur. • La décomposition en éléments simples lorsque nous avons une fraction rationnelle dont le polynôme du numérateur a un degré inférieur à celui du dénominateur. 4 II.3.1 La division fractionnaire Considérons la fonction suivante 𝐹(𝑝) = 𝑝3 +6𝑝2 +12𝑝+3 𝑝2 +4𝑝+4 Le polynôme du numérateur est de degré 3 tandis que celui du dénominateur est de degré 2, nous allons donc faire une division fractionnaire. 2 𝑝3 + 6𝑝2 + 12𝑝 + 3 𝑝 + 4𝑝 + 4 𝑝+2 −(𝑝3 + 4𝑝2 + 4𝑝) | 0 + 2𝑝2 + 8𝑝 + 3 | −(2𝑝2 + 8𝑝 + 8) −5 Nous pouvons écrire 𝐹(𝑝) = 𝑝 + 2 − 5 𝑝2 +4𝑝+4 En utilisant les tables et les propriétés nous pouvons donner 𝑑𝛿(𝑡) 5 + 2𝛿(𝑡) − ℒ −1 [ 2 ] 𝑑𝑡 𝑝 + 4𝑝 + 4 5 5 ℒ −1 [ 2 ] = ℒ −1 [ ] = 5𝑡𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡) (𝑝 + 2)2 𝑝 + 4𝑝 + 4 𝑑𝛿(𝑡) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓(𝑡) = + 2𝛿(𝑡) − 5𝑡𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 𝑓(𝑡) = II.3.2 Décomposition en éléments simples Afin de faire la décomposition en éléments simples il est primordial de factoriser le dénominateur de la fonction rationnelle. II.3.2.1 Les racines du dénominateur sont réelles et distinctes La forme générale des fonctions rationnelles dont les racines sont réelles et distinctes est la suivante : 5 𝐹(𝑝) = 𝑁(𝑝) 𝑁(𝑠) = 𝐷(𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )(𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 ) Ces fonctions se décomposent sous la forme suivante 𝐹(𝑝) = 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑚 𝑘𝑛 + + ⋯+ +⋯+ (𝑝 + 𝑝𝑚 ) (𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑝2 ) (𝑝 + 𝑝𝑛 ) Afin d’évaluer chaque coefficient 𝑘𝑖 nous multiplions 𝐹(𝑝) par le dénominateur de la fonction partielle correspondante puis nous faisons tendre p vers la racine du dénominateur. Déterminons 𝑘𝑚 Calculons (𝑝 + 𝑝𝑚 )𝑁(𝑠) = (𝑝 + 𝑝1 )(𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 ) 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑛 (𝑝 + 𝑝𝑚 ) + (𝑝 + 𝑝𝑚 ) + ⋯ + 𝑘𝑚 + ⋯ + (𝑝 + 𝑝𝑚 ) (𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑝2 ) (𝑝 + 𝑝𝑛 ) (𝑝 + 𝑝𝑚 )𝐹(𝑝) = Posons 𝑝 = −𝑝𝑚 alors 𝑘𝑚 = 𝑁(𝑠) | (𝑝 + 𝑝1 )(𝑝 + 𝑝2 ) … … (𝑝 + 𝑝𝑛 ) 𝑝=−𝑝 𝑚 Exemple 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝐹(𝑝) = 3 𝑝 + 9𝑝2 + 23𝑝 + 15 La factorisation du dénominateur permet d’écrire 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝐹(𝑝) = = + + (𝑝 + 1)(𝑝 + 3)(𝑝 + 5) (𝑝 + 1) (𝑝 + 3) (𝑝 + 5) 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝑘1 = | (𝑝 + 3)(𝑝 + 5) = 𝑝=−1 3 8 2 𝑘2 = 𝑝 + 3𝑝 + 5 | (𝑝 + 1)(𝑝 + 5) 𝑝=−3 =− 10 8 6 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝑘3 = | (𝑝 + 3)(𝑝 + 1) = 𝑝=−5 15 8 3 1 10 1 15 1 − + 𝑑𝑜𝑛𝑐 8𝑝 +1 8 𝑝 +3 8 𝑝 +5 3 10 15 𝑓(𝑡) = [ 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −3𝑡 + 𝑒 −5𝑡 ] 𝑢(𝑡) 8 8 8 𝐹(𝑝) = II.3.2.2 Les racines du dénominateur sont réelles et répétées Les fonctions rationnelles dont les racines sont réelles et répétées se présentent sous la forme suivantes 𝐹(𝑝) = 𝑁(𝑝) 𝑁(𝑠) = 𝐷(𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 (𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 ) Ces fonctions se décomposent sous la forme suivante 𝐹(𝑝) = 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑟 𝑘𝑟+1 𝑘𝑛 + + ⋯ + + + ⋯ + (𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑝2 ) (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 (𝑝 + 𝑝1 )𝑟−1 (𝑝 + 𝑝𝑛 ) Les coefficients 𝑘𝑟+1 à 𝑘𝑛 sont calculés par la méthode précédente. Pour le coefficients 𝑘1 à 𝑘𝑟 associés à la racine répétée nous définissons la fonction 𝐹1 (𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 𝑁(𝑠) 𝐹1 (𝑝) = (𝑝 + 𝑝1 𝐹(𝑝) = (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 (𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 ) (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 𝑘𝑟+1 (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 𝑘𝑛 𝑟−1 = 𝑘1 + 𝑘2 (𝑝 + 𝑝1 ) + ⋯ + 𝑘𝑟 (𝑝 + 𝑝1 ) + +⋯+ (𝑝 + 𝑝2 ) (𝑝 + 𝑝𝑛 ) )𝑟 Nous obtenons 𝑘1 en faisant tendre 𝑝 vers −𝑝1 . Les coefficients 𝑘2 à 𝑘𝑟 sont obtenus en calculant la valeur des dérivées successives de 𝐹1 (𝑝) pour 𝑝 = −𝑝1 . Les coefficients 𝑘𝑖 sont calculés avec l’équation suivante 1 𝑑 (𝑖−1) 𝐹1 (𝑝) 𝑘𝑖 = 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖 = 1 à 𝑟 | (𝑖 − 1)! 𝑑𝑝(𝑖−1) 𝑝→−𝑝 1 Exemple 7 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝐹(𝑝) = 4 𝑝 + 10𝑝3 + 32𝑝2 + 38𝑝 + 15 La factorisation de 𝐹(𝑝) donne 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘4 𝐹(𝑝) = = + + + (𝑝 + 1)2 (𝑝 + 3)(𝑝 + 5) (𝑝 + 1)2 (𝑝 + 1) (𝑝 + 3) (𝑝 + 5) Alors 𝑝2 + 3𝑝 + 5 5 𝑘3 = = | (𝑝 + 5)(𝑝 + 1)2 8 𝑝=−3 𝑝2 + 3𝑝 + 5 15 𝑘4 = = − | (𝑝 + 3)(𝑝 + 1)2 32 𝑝=−5 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝐹1 (𝑝) = (𝑝 + 3)(𝑝 + 5) 1 𝑑 (0) 𝐹1 (𝑝) 3 (𝑝)| 𝑘1 = = 𝐹 = | 1 𝑝→−1 0! 𝑑𝑝(0) 𝑝→−1 8 1 𝑑 (1) 𝐹1 (𝑝) 10 𝑘2 = = − | 1! 𝑑𝑝(1) 𝑝→−1 64 3 1 10 1 5 1 15 1 − + − 𝑑𝑜𝑛𝑐 8 (𝑝 + 1)2 64 𝑝 + 1 8 𝑝 + 3 32 𝑝 + 5 3 10 5 15 𝑓(𝑡) = [ 𝑡𝑒 −𝑡 − 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −3𝑡 − 𝑒 −5𝑡 ] 𝑢(𝑡) 8 64 8 32 𝐹(𝑝) = II.3.2.3 Les racines du dénominateur sont complexes ou imaginaires Les fonctions rationnelles dont les dénominateurs ont des racines complexes ou imaginaire s’écrivent sous la forme suivante 𝐹(𝑝) = 𝑁(𝑝) 𝑁(𝑠) = 𝐷(𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )(𝑝2 + 𝑎𝑝 + 𝑏)(𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 ) La décomposition en éléments simple donne 8 𝐹(𝑝) = 𝑘1 𝑘2 𝑝 + 𝑘3 𝑘4 𝑘𝑛+1 + 2 + + ⋯+ (𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑎𝑝 + 𝑏) (𝑝 + 𝑝2 ) (𝑝 + 𝑝𝑛 ) Afin d’obtenir les coefficients associés aux racines complexes nous commençons par déterminer les coefficients associées aux racines réelles du dénominateur, puis par identification nous calculons les coefficients des racines complexes. Illustrons le calcul par l’exemple suivant. Exemple 𝑝2 + 3𝑝 + 5 𝐹(𝑝) = (𝑝 + 1)2 (𝑝2 + 2𝑝 + 5)(𝑝 + 5) 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑝 + 𝑘4 𝑘5 + + + (𝑝 + 1)2 (𝑝 + 1) (𝑝2 + 2𝑝 + 5) (𝑝 + 5) Nous obtenons par calcul 12 1 3 4 ; 𝑘2 = ; 𝑘5 = ; 𝑘3 = 𝑘4 = − 64 64 64 64 12 1 1 1 3 1 4 𝑝+1 𝐹(𝑝) = + + − 64 (𝑝 + 1)2 64 𝑝 + 1 64 𝑝 + 5 64 𝑝2 + 2𝑝 + 5 𝑘1 = Afin de trouver l’inverse de la transformée de Laplace du dernier terme nous utilisons les transformées suivantes 𝑝+𝑎 𝑒𝑡 (𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2 𝜔 ℒ[𝐵𝑒 −𝑎𝑡 sin(𝜔𝑡)] = 𝐵 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 (𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2 𝐴(𝑝 + 𝑎) + 𝐵𝜔 ℒ[𝐴𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) + 𝐵𝑒 −𝑎𝑡 sin(𝜔𝑡)] = (𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2 ℒ[𝐴𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡)] = 𝐴 Donc (𝑝 + 1) 𝑝+1 𝐴 = 1; 𝐵 = 0 = ==> { 2 2 2 𝑎 = 1; 𝜔 = 2 𝑝 + 2𝑝 + 5 (𝑝 + 1) + (2) L’inverse est 𝑒 −𝑡 cos(2𝑡)𝑢(𝑡) 12 1 3 4 𝑓(𝑡) = [ 𝑡𝑒 −𝑡 + 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −5𝑡 − 𝑒 −𝑡 cos(2𝑡)] 𝑢(𝑡) 64 64 64 64 9 Une autre méthode consiste à faire la décomposition en élément simple comme dans le cas des racines réelles. Dans ces conditions nous obtiendrons des coefficients complexes conjuguées. On réalise alors l’inversion en utilisant les 2 propriétés suivantes 𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒 −𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜃 − 𝑒 −𝑗𝜃 cos 𝜃 = 𝑒𝑡 sin 𝜃 = 2 2𝑗 Exemple Soit 3 3 = = 𝑝(𝑝2 + 2𝑝 + 5) 𝑝(𝑝 + 1 + 2𝑗)(𝑝 + 1 − 2𝑗) 𝑘1 𝑘2 𝑘3 + + 𝑝 𝑝 + 1 + 2𝑗 𝑝 + 1 − 2𝑗 𝐹(𝑝) = 𝑘1 = 3 5 3 3 = − (2 + 𝑗) | 𝑝(𝑝 + 1 − 2𝑗) 𝑝→−1−2𝑗 20 3 3 𝑘3 = = − (2 − 𝑗) | 𝑝(𝑝 + 1 + 2𝑗) 𝑝→−1+2𝑗 20 𝑘2 = 31 3 2+𝑗 2−𝑗 − [ + ] 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 5 𝑝 20 𝑝 + 1 + 2𝑗 𝑝 + 1 − 2𝑗 3 3 𝑓(𝑡) = [ − [(2 + 𝑗)𝑒 −(1+2𝑗)𝑡 + (2 − 𝑗)𝑒 −(1−2𝑗)𝑡 ]] 𝑢(𝑡) = 5 20 𝐹(𝑝) = 3 3 −𝑡 𝑒 2𝑗𝑡 + 𝑒 −2𝑗𝑡 𝑒 2𝑗𝑡 − 𝑒 −2𝑗𝑡 = [ − 𝑒 [4 +2 ]] 𝑢(𝑡) = 5 20 2 2𝑗 3 3 1 = [ − 𝑒 −𝑡 [cos(2𝑡) + sin(2𝑡)]] 𝑢(𝑡) 5 5 2 III Fonction de transfert Nous avons introduit la transformation de Laplace , nous pouvons maintenant établir une fonction algébrique reliant la sortie à l’entrée. Cette fonction permet de séparer l’entrée, la sortie et le système. En plus il est possible de représenter les systèmes complexes comme une combinaison de sous-système. 10 Considérons une équation différentielle linéaire invariant dans le temps d’ordre n 𝑑𝑛 𝑠(𝑡) 𝑑𝑛−1 𝑠(𝑡) 𝑑 𝑚 𝑒(𝑡) 𝑑 𝑚−1 𝑠(𝑡) 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝑠(𝑡) = 𝑏𝑚 + 𝑏𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚−1 𝑠(𝑡), 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑒𝑡 𝑒(𝑡), 𝑙 ′ 𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 Passons dans le domaine le Laplace 𝑎𝑛 𝑝𝑛 𝑆(𝑝) + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 𝑆(𝑝) + ⋯ + 𝑎0 𝑆(𝑝) + 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑠(𝑡) = 𝑏𝑚 𝑝𝑚 𝐸(𝑝) + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 𝐸(𝑝) + ⋯ + 𝑏0 𝐸(𝑝) + 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑒(𝑡) Nous obtenons alors une expression purement algébrique. Dans les condition d’Heaviside (condition initiale nulle) l’expression devient [𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 ]𝑆(𝑝) = [𝑏𝑚 𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 ]𝐸(𝑝) La fonction de transfert se définit comme étant le rapport de la sortie par rapport à l’entrée. 𝑆(𝑝) 𝑏𝑚 𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 = 𝐻(𝑝) = 𝐸(𝑝) 𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 Le système peut alors être représenté par le schéma bloc suivant E(p) S(p) 𝑏𝑚 𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 Entrée 𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 Sortie Figure 3:Représentation d'un système par fonction de transfert Nous pouvons évaluer la sortie pour n’importe quelle entrée 𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝)𝐸(𝑝) Exemple 11 Trouvez la fonction de transfert associée à l’équation différentielle suivante 𝑑 3 𝑠(𝑡) 𝑑 2 𝑠(𝑡) 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑 2 𝑒(𝑡) 𝑑𝑒(𝑡) + 3 + 7 + 5𝑠(𝑡) = + 4 + 3𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Puis calculez la sortie s(t) pour une entrée rampe Solution Dans le domaine de Laplace et sous les conditions de Heaviside l’équation différentielle devient [𝑝3 + 3𝑝2 + 7𝑝 + 5]𝑆(𝑝) = [𝑝2 + 4𝑝 + 3]𝐸(𝑝) La fonction de transfert 𝐻(𝑝) vaut 𝑠(𝑝) 𝑝2 + 4𝑝 + 3 𝐻(𝑝) = = 𝐸(𝑝) 𝑝3 + 3𝑝2 + 7𝑝 + 5 Nous pouvons calculer la sortie s(t) sachant que 𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝)𝐸(𝑝) Nous avons 𝑒(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡) ==> 𝐸(𝑝) = 1 𝑝2 Donc 𝑆(𝑝) = 𝑝2 + 4𝑝 + 3 𝑝2 + 4𝑝 + 3 = 𝑝2 (𝑝3 + 3𝑝2 + 7𝑝 + 5) 𝑝2 (𝑝 + 1)(𝑝2 + 2𝑝 + 5) Par inversion de Laplace nous obtenons 3 𝑒 −𝑡 1 [cos(2𝑡) − 7 sin(2𝑡)] − ] 𝑢(𝑡) 𝑠(𝑡) = [ 𝑡 + 5 25 25 III.1 Définitions et propriétés • Entrée et sortie 12 L’entrée est une grandeur qui fait agir le système. Elle peut être contrôlée (consigne) ou non (perturbation). La sortie est la grandeur qui a un intérêt pour l’utilisateur. Elle dépend de l’entrée et du système. Les système possédant plusieurs entrées et sorties sont des systèmes multivariables. Les systèmes ayant une unique entrée et sortie sont des systèmes monovariables. • La linéarité Un système est dit linéaire s’il répond au principe de superposition. Si une entrée est une combinaison linéaire de plusieurs signaux alors la sortie correspond à la même combinaison linéaire des sorties correspondant à chaque signal. • L’invariance temporelle La propriété d’invariance temporelle correspond au fait que le comportement d’un système ne varie pas au cours du temps. • La causalité Le principe de causalité traduit le fait que l’effet ne peut pas précéder sa cause. Cela veut dire que la sortie dépend des valeurs passées et présente de l’entrée. La causalité impose que le numérateur de la fonction de transfert ait un degré inférieur à celui du dénominateur (m<n). • Polynôme caractéristique Le polynôme caractéristique correspond au dénominateur de la fonction de transfert. 13 • Ordre du système L’ordre du système correspond au plus haut degré du polynôme caractéristique. • Zéros et pôles Les racines du numérateur de la fonction de transfert sont les zéros et la racines du polynôme caractéristique sont les pôles. Si un zéro ou un pôle n’apparaît qu’une fois alors il est dit simple sinon il est multiple. La fonction de transfert peut s’écrire 𝐻(𝑝) = 𝑘 ∏𝑚 1 (𝑝 + 𝑧𝑖 ) 𝑧𝑖 , 𝑧é𝑟𝑜 ; { 𝑝𝑗 , 𝑝ô𝑙𝑒 ∏𝑛1(𝑝 + 𝑝𝑗 ) Nous pouvons également définir les pôles comme étant toutes valeurs de 𝑝 qui fait tendre la fonction de transfert vers l’infini et les zéros toutes valeurs de 𝑝 qui fait tendre la fonction de transfert vers zéro. • Forme canonique La forme canonique correspond à l’écriture de la fonction de transfert sous la forme suivante 𝐻(𝑝) = 𝑘 𝑛(𝑝) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛(0) = 𝑑(0) = 1 𝑝𝛼 𝑑(𝑝) La forme canonique permet de définir le gain et la classe du système 𝑘 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝛼 = 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 IV Non linéarité et linéarisation La représentation d’un système par une fonction de transfert est adaptée au système linéaire. Malheureusement un grand nombre de systèmes sont constitués d’élément non linéaire. Par exemple les amplificateurs électrique sont linéaire sur une plage de fonctionnement et présentent des saturation pour de forte valeur d’entrée. Les moteurs ne répondent pas pour de faible valeur de tension à cause des frottements ce qui crée des zones morte (dead zone) et les engrenages possèdent un jeu selon le sens de rotation (backlash). 14 Backlash Dead zone Saturation Figure 4: Exemple de non-linéarité Lorsque nous sommes confrontés à ce type de non-linéarité il est impératif de travailler si possible dans la plage d’entrée pour laquelle la sortie est linéaire. Si cela n’est pas possible il faut identifier la non-linéarité et écrire l’équation différentielle non-linéaire, ensuite nous linéarisons l’équation différentielle autour d’un point d’équilibre ou d’un point de fonctionnement pour de petite variation de l’entrée. Considérons une fonction non-linéaire 𝑓(𝑡) et plaçons-nous au point A(𝑡0 , 𝑓(𝑡0 ) d’après le développement en série de Taylor au point A 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡0 ) + 𝑑𝑓 1 𝑑2𝑓 1 𝑑3 𝑓 2 (𝑡 ) (𝑡 ) (𝑡 − 𝑡0 )3 + ⋯ | − 𝑡0 + | − 𝑡0 + | 2 3 𝑑𝑡 𝑡=𝑡0 2! 𝑑𝑡 𝑡=𝑡 3! 𝑑𝑡 𝑡=𝑡 0 0 Comme l’excursion autour de A est faible les terme (𝑡 − 𝑡0 )𝑛 ≈ 0, 𝑛 ≥ 2 donc 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡0 ) + 𝑑𝑓 (𝑡 − 𝑡0 ) | 𝑑𝑡 𝑡=𝑡0 La fonction peut donc être approximée par la tangente à la courbe de f au point A pour de petite variation. f(t) f(t0) A t0 t Figure 5:linéarisation d'une fonction 15 Exemple Linéarisons l’équation 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 2 +2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + cos 𝑥 = 0 autour du point 𝑥 = 𝜋 4 Solution Nous voulons linéariser autour de 𝜋 4 𝜋 nous posons 𝑥 = + 𝛿𝑥 et 𝛿𝑥 de petite 4 variation L’équation devient 𝜋 𝜋 𝑑 2 ( + 𝛿𝑥) 𝑑( + 𝛿𝑥) 𝜋 4 4 + 2 + cos( + 𝛿𝑥) = 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 4 Le développement en série de Taylor de cos 𝑥 autour de donne 𝜋 4 donne 𝜋 𝑑 cos 𝑥 𝜋 cos 𝑥 = cos + | 𝜋 (𝑥 − ) 𝑑𝑜𝑛𝑐 4 𝑑𝑥 𝑥= 4 4 𝜋 𝜋 𝑑 cos 𝑥 cos ( + 𝛿𝑥) = cos + 𝛿𝑥 | 4 4 𝑑𝑥 𝑥=𝜋 4 𝜋 𝜋 = cos − sin 𝛿𝑥 4 4 √2 √2 = − 𝛿𝑥 2 2 Donc l’équation vaut autour de 𝜋 4 𝑑 2 𝛿𝑥 𝑑𝛿𝑥 √2 √2 + 2 − 𝛿𝑥 = − 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 2 Exemple Trouvons la fonction de transfert 𝑉𝐿 (𝑝) 𝑉(𝑝) du système électrique comportant une résistance non linéaire. La relation entre la tension 𝑣 et le courant 𝑖 traversant la résistance est la suivante 𝑖 = 2𝑒 0,1𝑣 16 v(t) générateur petit signaux L=1H v(t) R (non linéaire) 20V Solution Ce système peut être décrit par l’équation différentielle non linéaire suivant 𝐿 𝑑𝑖 𝑖 + 10 ln − 20 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 2 La fonction ln 𝑥 est non-linéaire nous devons la linéariser afin de trouver la fonction de transfert. Commençons par trouver un point d’équilibre du système. Le point d’équilibre correspond à un point ou toutes les variations dans le système sont nulles. On a à l’équilibre 𝑑𝑖 𝑖 = 0 𝑒𝑡 𝑣(𝑡) = 0 ==> 10 ln = 20 𝑑𝑡 2 Donc à l’équilibre dans le circuit circule un courant 𝑖0 = 2𝑒 2 𝐴 = 14.78𝐴 Maintenant linéarisons le système autour du point d’équilibre 𝑖0 on pose 𝑖 = 𝑖0 + 𝛿𝑖 l’équation devient (𝑖0 + 𝛿𝑖 ) 𝑑(𝑖0 + 𝛿𝑖 ) + 10 ln − 20 = 𝑣(𝑡) 𝑒𝑡 𝑑𝑡 2 𝑖 (𝑖0 + 𝛿𝑖 ) 𝑖0 𝑑 ln 2 ln = ln + 𝛿𝑖 | 2 2 𝑑𝑖 𝐿 𝑖0 1 = ln + 𝛿𝑖 2 𝑖0 𝑖=𝑖0 L’équation linéarisée donne 17 𝑑𝛿𝑖 𝑖0 1 + 10 [ln + 𝛿𝑖] − 20 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑖0 𝑑𝛿𝑖 + 0.677𝛿 𝑑𝑡 𝐿 Passons dans le domaine de Laplace avec les conditions initiales nulles 𝑉(𝑝) 𝑑(𝑖0 + 𝛿𝑖) 𝑑𝛿𝑖 𝑒𝑡 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿 =𝐿 𝑝 + 0,677 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉(𝑝) 𝑉𝐿 (𝑝) = 𝐿𝑝Δ𝑖(𝑝) ==> 𝑉𝐿 (𝑝) = 𝑝 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑝 + 0,677 𝑉𝐿 (𝑝) 𝑝 = 𝑉(𝑝) 𝑝 + 0,677 Δi(𝑝) = Cette fonction est valable pour de petite variation autour de l’équilibre soit 𝑣(𝑡) = 0 ou 𝑖 = 14,78𝐴 V Exercices V.1 Exercice 1 Trouvez la transformée de Laplace des fonctions suivantes 𝑒𝑡, 𝑡 ≤ 2 a) 𝑓(𝑡) = { 3, 𝑡 > 2 b) 𝑓(𝑡) = 3 + 2𝑡 2 c) 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 sin 5𝑡 Trouvez la transformée inverse de Laplace des fonction suivantes a) 𝐹(𝑝) = b) 𝐹(𝑝) = (𝑝2 +3𝑝+10)(𝑝+5) (𝑝+3)(𝑝+4)(𝑝2 +2𝑝+100) 𝑝3 +4𝑝2 +2𝑝+6 (𝑝+8)(𝑝2 +8𝑝+3)(𝑝2 +5𝑝+7) V.2 Exercice 2 a) Donnez la fonction de transfert du système décrit par l’équation différentielle 18 𝑑 3 𝑠(𝑡) 𝑑 2 𝑠(𝑡) 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑 3 𝑒(𝑡) 𝑑 2 𝑒(𝑡) 𝑑𝑒(𝑡) + 3 + 5 + 𝑠(𝑡) = + 4 + 6 + 8𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 b) Trouvez l’équation différentielle correspondant aux fonctions de transfert 𝐻(𝑝) = 7 𝑝+3 𝑒𝑡 𝐺(𝑝) = 𝑝2 + 5𝑝 + 10 𝑝3 + 11𝑝2 + 12𝑝 + 18 19