Variable complexe agreg

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE
1. Dérivabilité
2. Analyticité
3. Théorie de Cauchy: premiers résultats
4. Théorie de Cauchy: extension des résultats
5. Points singuliers isolés. Théorème des résidus
6. Suites et séries de fonctions holomorphes
7. Produits infinis de fonctions holomorphes
8. Fonctions définies par une intégrale
9. Fonction de deux variables réelles associée à une fonction de la variable complexe
10. Logarithmes et puissances complexes
11. Fonctions méromorphes
________________________________________
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE
Dans toute la suite, Ω désigne un ouvert non vide de C , et les fonctions considérées sont à valeurs complexes.
1) DERIVABILITE.
a) Définitions :
f(z+u) - f(z)
Soit f : Ω → C, et z ∈ Ω; f est dite dérivable en z si lim
existe dans C , i.e. s'il existe a complexe
u
u→0
u∈C*
tel que f(z+u) - f(z) - a.u = ou→0( | u | ); le cas échéant, a est appelé dérivée de f en z et noté f '(z).
La dérivabilité de f en z équivaut à sa "C -différentiabilité" en z, i.e. à sa différentiabilité en tant qu'application
de l'ouvert Ω du C-ev C dans le C-ev C (tout comme la dérivabilité d'une fonction de la variable réelle à
valeurs dans un R-ev équivaut à sa "R-différentiabilité").
On trouvera par exemple dans [Cartan. Cours de calcul différentiel] les propriétés relatives à la différentiabilité
d'une application f : Ω → F où E et F sont des espaces de Banach (tous deux réels ou tous deux complexes) et Ω
un ouvert non vide de E: f est différentiable en z ∈ Ω ⇔ ∃g ∈ Lc(E,F) tq: ||f(z+u) - f(z) - g(u)|| = ou→0( ||u|| ).
Dans le cadre qui nous occupe, l'application g = df(z) n'est autre que la multiplication par f '(z), tout comme dans
le cas de la variable réelle.
La dérivabilité de f en z entraîne la continuité de f en z; on a immédiatement les notions de fonction dérivable sur
Ω , de fonction C1, Cp, C∞ sur Ω (on verra que ces notions sont équivalentes) et les propriétés concernant les
opérations usuelles: f + g , λ.f , f.g , 1/f , gof , f -1. En particulier, l'ensemble des fonctions dérivables de Ω dans C
est une C-algèbre pour les lois usuelles.
Exemples: z → zn est dérivable sur C pour n ≥ 0 , et sur C\{0} pour n < 0 , de dérivée z → n.zn-1 ; une fonction
_
rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. z →z , z →Re z, z → Im z ne sont dérivables nulle part;
z → | z |2 = z. z est dérivable uniquement en 0; z → | z | n'est dérivable nulle part.
b) Interprétation géométrique de l'argument du complexe f '(z) pour f '(z) ≠ 0:
Soient f dérivable sur Ω et γ : [a,b] → Ω un chemin de classe C1 ; soit t ∈ [a,b] et z = γ(t) ; si z est régulier sur γ,
i.e. si γ '(t) ≠ 0, alors la tangente en z à Γ existe et est dirigée par u d'affixe γ '(t); de même, la tangente en f(z) à
f(Γ ) existe et est dirigée par v d'affixe f '(z).γ '(t); ainsi:
π].
(u,v) = arg f '(z) [2π
Soient maintenant deux chemins γ1 et γ2 de classe C1 sur [a,b] , et z = γ1(t1) = γ2(t2) régulier sur γ1 et γ2 ; avec les
notations naturelles, on obtient: arg f '(z) = (u1,v1) = (u2,v2) [2π] , et donc:
π]: les angles orientés de courbes sont conservés.
(v1,v2) = (u1,u2) [2π
On pourra constater la conservation de l'orthogonalité en traçant les images par une application dérivable de
droites parallèles aux axes dans le plan complexe; par exemple:
f(z) = exp(z)
f(z) = 1/z
c) La théorie des applications différentiables dans les espaces de Banach donne notamment:
IAF (inégalité des accroissements finis): si f : Ω → C est dérivable et si [a,b] ⊂ Ω , alors
|f(b) - f(a)| ≤ |b-a|. Sup |f ’(z)|.
z∈[a,b]
Une conséquence: une fonction dérivable et de dérivée nulle sur Ω convexe est constante; extension à
Ω connexe car une fonction continue et localement constante y est constante.
On verra que la borne supérieure de | f ’| sur [a,b], a priori dans [0,+∞] , est en fait finie (f ' est continue).
On obtiendra directement l’IAF sur un ouvert connexe avec la théorie de Cauchy (grâce à une
expression intégrale de f(z)).
L’égalité des accroissements finis, réservée aux fonctions réelles de la variable réelle , et déjà fausse
pour les fonctions vectorielles d’une variable réelle, l’est tout autant ici (voir par exemple z → ez sur le
segment [0,2iπ] ).
Les formules de Taylor (Taylor reste intégral ; inégalité de Taylor-Lagrange ; Taylor-Young) sont
valables, mais l'analyticité des fonctions dérivables donnera directement des résultats plus pratiques.
TIL (théorème d'inversion locale): si f ∈ C1(Ω) et si zo ∈ Ω est tel que f '(zo) ≠ 0, alors f réalise
un C1-difféomorphisme local aux voisinages de zo et f(zo).
La théorie des résidus va fournir un résultat plus général :
Si f est dérivable et non constante au voisinage d’un point zo ∈ Ω, alors m = min {p≥1, f(p)(zo) ≠ 0}
existe et il existe un voisinage ouvert V de zo dans Ω et un voisinage ouvert W de f(zo) dans C tels que
pour tout Z dans W-{f(zo)}, l'équation f(z) = Z admet exactement m solutions dans V-{zo}.
(le principe des zéros isolés va montrer que l'on peut écrire f(z) = f(zo) + (z-zo)m.g(z) où g est dérivable
et g(zo) ≠ 0 ; d’où l’existence de m, appelé ordre de multiplicité du zéro zo de f -f(zo)).
Il découle de ceci que si f est dérivable et injective sur un ouvert Ω, alors sa dérivée ne s’annule pas.
TIO (théorème de l'image ouverte): si f ∈ C1(Ω) et si f ' ne s'annule pas sur Ω, alors f(Ω) est ouvert
dans C .
C'est une conséquence immédiate du TIL.
Le résultat en bleu précédent montre que si f est dérivable et non constante sur un ouvert connexe Ω,
alors f(Ω) est ouvert.
TIG (théorème d'inversion globale): Si f ∈ C1(Ω) est injective et si f ' ne s'annule pas sur Ω, alors f est
un C1-difféomorphisme de Ω sur f(Ω) ( et [ f -1 ] ' =
1
).
f 'of -1
D’après ce qui précède, l’injectivité de f entraîne le fait que f’ ne s’annule pas sur Ω.
On définira grâce à ce résultat les logarithmes et les puissances complexes.
TW (théorème de Weierstrass): si (fn) est une suite de fonctions dérivables sur Ω , convergeant
simplement vers f sur Ω (ou même seulement en un point de Ω), et si la suite (f 'n) converge
uniformément sur tout compact de Ω vers une fonctions g, alors f est dérivable sur Ω et f ' = g.
Encore une fois, on prouvera un résultat beaucoup plus performant grâce au théorème de Morera:
Si les fn sont holomorphes et si (fn) converge uniformément sur tout compact de Ω vers f, alors f est
(k)
holomorphe sur Ω et pour tout entier k, la suite (fn ) converge uniformément sur tout compact de Ω
vers f (k).
Fonctions définies par une intégrale :
Ω ouvert non vide de C ; I intervalle de R ; g : Ω×I → C , (z,t) → g(z,t); f : z → ⌠
⌡g(z,t) dt;
I
1) Intégrale de Riemann I = [a,b]:
i ) Si g est continue sur Ω×I, alors f est définie et continue sur Ω (résultat de topologie générale).
δg
ii ) Si de plus: ∀t ∈ I, z → g(z,t) est dérivable sur Ω (sa dérivée en z étant notée (z,t) ), et si
δz
δg
δg
est continue sur Ω × I, alors f est dérivable sur Ω et ∀z ∈ Ω: f ' (z) = ⌠ (z,t) dt.
δz
⌡δz
I
Les deux résultats précédents s'étendent facilement aux intégrales curvilignes ⌠
⌡h(z,u).du où
γ : [a,b] → C est un chemin, et h une application de Ω×γ([a,b]) dans C .
γ
2) Intégrale de Riemann généralisée: I non compact (i.e. non fermé ou non borné):
Mêmes résultats en ajoutant respectivement les hypothèses suivante:
i ) ajouter la cvu/z des ⌠
⌡g(z,t).dt sur tout compact K de Ω.
I
δg
ii ) ajouter la convergence des intégrales ⌡
⌠g(z,t).dt et la cvu/z des intégrales ⌠δz(z,t) dt sur tout
⌡
I
I
compact de Ω.
Ces résultats se déduisent du cas précédent à l'aide du théorème de la double limite.
Dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue, on établira un résultat plus puissant et plus facile à utiliser.
d) Cas de la somme d'une série entière: Soit f la somme d'une série entière ∑an.zn de RCV R ∈ ]0,+∞] ; alors:
1) f est de classe C∞ sur le disque ouvert de convergence;
2) les dérivées successives de f s'obtiennent par dérivation terme à terme;
f(p)(0)
: f est la somme sur D(0,R) de sa série de Taylor en 0.
3) ∀p ≥ 0 , ap =
p!
Démonstration:
n
n
* On considère connu le résultat suivant: ∀α ∈ R : RCV ( ∑n.an.z ) = RCV ( ∑ an.z ):
f(z) - f(zo) +∞
* Soient zo ∈ D(O,R) et ρ > 0 tel que |zo| < ρ < R ; pour | z | ≤ ρ , z ≠ zo : z - zo = ∑ gn(z) avec
n=1
n-1
gn(z) = an. ∑ zok.zn-1-k ; la continuité des gn en zo et la cvn de ∑gn sur { | z | ≤ ρ } (utiliser les propriétés
k=0
connues des séries entières) permettent d'obtenir la dérivabilité de f en zo et l'expression attendue de
f ' (zo). La suite s'obtient par récurrence.
Remarque: on a le même résultat (avec la même démonstration) pour les séries entières de la variable
réelle sur l'intervalle ouvert de convergence.
+∞ zn
Exemple: z → exp z = ∑
est dérivable sur C et exp ' = exp; à partir de l'exponentielle, on définit
n=0 n!
les fonctions entières (i.e.sommes d'une série entière de RCV infini) sin , cos , ch , sh, ....
On consultera par exemple [Rudin- Analyse réelle et complexe- p.1, 2, 3] pour la définition de π, de
l'argument d'une nombre complexe non nul, les propriétés de z → exp(z) et de t → exp(i.t).
----------------------------------------------------------------
2) ANALYTICITE.
a) Définition :
Soit f : Ω → C ; f est dite analytique sur Ω si pour tout zo de Ω, f est développable en série entière de la
+∞
N
variable (z – zo) dans un voisinage de zo , i.e.: ∃(an)∈ C
, ∃r > 0,∀z ∈ C , | z | < r ⇒ f(z) = ∑ an.(z –zo)n.
n=0
+∞ (z-zo)n
1
1
Exemple: z →
est analytique sur C -{1} : si zo ≠ 1:
= ∑
sur D(zo, |1-zo| ); en
1-z n=0 (1-zo)n+1
1-z
+∞
1
particulier, on retrouve
= ∑ zn sur D(0,1) pour zo = 0.
1-z n=0
Propriétés concernant les opérations usuelles: f+g , f.g , λ.f ; les fonctions polynomiales sont évidemment
analytiques sur C , et on vérifie facilement que les fonctions rationnelles le sont sur leur ensemble de définition
(par décomposition en éléments simples).
D'après les résultats prouvés pour les séries entières dans le paragraphe précédent, on obtient:
Si f est analytique sur Ω, alors elle est de classe C∞ sur Ω et pour tout zo dans Ω, f est la somme de sa
f (n) (zo)
.
série de Taylor dans un voisinage de zo ; i.e. , avec les notations ci-dessus: ∀n , an =
n!
De plus, les dérivées successives de f sont analytiques sur Ω.
b) Cas de la somme d'une série entière:
dans
+∞
Soit ∑ an.zn une série entière de RCV R ∈ ]0,+∞] et f sa somme sur D(O,R); alors f est analytique
n=0
D(O,R), et l'on peut ici préciser: si zo ∈ D(O,R), alors f est la somme de sa série de Taylor en (z-zo)
sur D(zo, R - |zo| ).
Démonstration: soit zo ∈ D(O,R); on montre que f est d.s.e. en (z – zo) dans D(zo , R- |zo| ) (le d.s.e.
+∞ +∞
sera le développement de Taylor): pour |z-zo| < R - |zo| , il vient : f(z) = ∑ ∑ bn,p avec
n=0 p=0
p
p
n-p
bn,p = Cn.an.zo .(z – zo) si 0 ≤ p ≤ n , et 0 si n < p ;
+∞
+∞ +∞
∑ ∑ |bn,p| = ∑ |an|. ( |zo| + |z-zo| )n < +∞ car |zo| + |z-zo| < R , donc on peut intervertir:
n=0
n=0 p=0
+∞ +∞
+∞ +∞ p
+∞ +∞ p
f(z) = ∑ ∑ bn,p = ∑ ∑ Cn.an.zon-p.(z – zo)p = ∑ [ ∑ Cn.an.zon-p].(z – zo)p.
p=0 n=0
p=0 n=p
p=0 n=p
Remarques:
!
La série de Taylor de f en zo peut avoir un RCV > R - |zo| : par exemple avec ∑zn , le RCV de la
série de Taylor de f en zo ∈ D(O,1) est |1 – zo| valeur strictement plus grande que 1 - |zo| dès que zo
n'est pas dans [0,1[ .
!
Le résultat va se généraliser : si f ∈ H(Ω), f est la somme de sa série de Taylor sur le plus grand
disque ouvert centré en zo et inclus dans Ω.
c) Zéros d'une fonction analytique:
Théorème et définition: soit f analytique sur un ouvert Ω, et zo∈Ω un zéro de f ; deux cas peuvent se
produire :
a) f est nulle au voisinage de zo ; alors f est nulle dans la composante connexe C de Ω contenant zo.
b) sinon : m = min {k ≥1 , f(k)(zo) ≠ 0} existe, et l’on peut écrire dans un voisinage V de zo :
f(z) = (z-zo)mg(z) , où g est analytique et g(zo) ≠ 0. m est appelé ordre de multiplicité du zéro zo de f.
Principe des zéros isolés Si f est analytique sur Ω connexe, alors l’ensemble Z(f) de ses zéros est soit
Ω (f est nulle), soit discret dans Ω (i.e. constitué de points isolés).
Démonstration:
Supposons f nulle dans un voisinage de zo , et soit A = {z ∈ C, f est nulle dans un voisinage de z}; A est
non vide par hypothèse, et ouvert par définition; soit (ap) une suite d'éléments de A convergeant vers un
point a de C; par définition de l’analyticité, on constate alors que pour tous n et p, on a f(n)(ap) = 0; par
continuité des f(n), il s'ensuit f(n)(a) = 0 pour tout n; alors a ∈ A; par suite, A est fermé; C étant connexe,
on obtient A = C, et donc f est nulle sur C (et sur Ω si Ω est connexe).
Si f est non nulle au voisinage de zo , alors (analyticité) m est bien défini ; dans un voisinage de zo, f(z)
+∞
est de la forme f(z) = ∑ an.(z-zo)n = (z-zo) m.g(z) où g est analytique et g(zo)≠ 0.
n=m
La continuité de g en zo, on déduit l'existence de ε > 0 tel que: 0 < |z-zo| < ε ⇒ f(z) ≠ 0.
Si Ω est connexe et f non nulle, ses zéros sont tous de ce type, i.e. isolés.
Remarques et conséquences:
•
L'anneau commutatif des fonctions analytiques sur Ω connexe est intègre: soient f et g deux
fonctions analytiques sur Ω, telles que f.g = 0; supposons g non nulle; alors f est nulle sur Ω-Z(g)
ouvert non vide de Ω, donc nulle sur Ω.
•
Z(f) étant discret, est sans point d'accumulation dans Ω; il peut toutefois admettre des points
d'accumulation dans C -Ω (par exemple, on verra que z → sin(1/z) est analytique sur C -{0} et
Z(f) = {1/(nπ), n ≥ 1} admet 0 pour point d'accumulation.
•
Z(f) est fermé dans Ω (car f est continue); si K est un compact de Ω, alors Z(f) ∩ K est fini, car
compact et sans point d'accumulation dans lui-même; par suite, Z(f) est donc fini ou dénombrable
Donnons une autre formulation du PZI :
Principe du prolongement analytique Ω connexe;
Si deux fonctions f et g sont analytiques sur Ω et égales sur une partie A de Ω possédant un point
d'accumulation dans Ω, alors elles sont égales sur Ω (c'est en particulier le cas si f et g sont égales sur
un ouvert non vide de Ω, ou aux points d'une suite convergente dans Ω);
Exemple: z → cos²z - sin²z - cos 2z est analytique sur C et nulle sur R, donc nulle sur C ; c'est ainsi
que les formules usuelles de trigonométrie sont valables sur C .
Ainsi, une fonction f définie sur A a au plus un prolongement analytique sur Ω. Par exemple:
+∞
1
• f : z → ∑ zn définie sur A= D(O,1) admet z →
pour prol. analytique sur Ω = C -{1};
1-z
n=0
+∞ zn
• On verra que f : z → ∑
définie sur A= D(O,1) -{1} en admet un sur Ω = C -[1,+∞[ .
n=1 n
d) Cas des fonctions analytiques de la variable réelle:
Ce qui précède peut être adapté aux fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes (définition et
propriétés): les raisonnements sont exactement les mêmes (en remplaçant les disques par des intervalles).
Dans le paragraphe qui va suivre, on verra qu'une fonction de la variable complexe est analytique dès qu'elle est
dérivable; le résultat est évidemment faux dans le cas où la variable est réelle, et on sait même qu'une fonction de
la variable réelle peut être de classe C∞ sans être analytique; notons toutefois un critère d'analyticité:
Soit f de classe C∞ sur un intervalle ouvert I: f est analytique sur I si et seulement si:
(1) ∀ xo ∈ I, ∃ α, M, a > 0, ∀ x ∈ ]xo-α,xo+α[ , ∀ p ∈ N , |f(p)(x)| ≤ M.ap.p!.
Démonstration:
* Supposons (1) vérifée et soit xo ∈ I (et α, M, a de (1)); pour p ≥ 1 donné, l'inégalité de Taylor
Lagrange à l'ordre p-1 en xo appliquée à f s'écrit, pour x ∈ ]xo-λ,xo+λ[ , 0 < λ < α:
p-1 f(k)(xo)
|x-xo|p
f(x) - ∑
.(x-xo)k ≤
. Sup |f(p)(t)| ≤ M.(λa)p ;
p! t ∈ [xo,x]
k=0 k!
en prenant λ suffisamment petit (0 < λ < 1/a), on déduit de ceci que la série de Taylor de f en xo
converge sur ]xo-λ,xo+λ[ , de somme f : f est bien analytique sur I.
* Supposons maintenant f analytique sur I et soit xo ∈ I: il existe β > 0 tel que la série de Taylor
∑an.(x-xo)n converge absolument (de somme f) sur [xo-β,xo+β]; soit α ∈ ]0,β[ ; alors pour
x ∈ ]xo-α,xo+α[ , on a, a priori dans [0,+∞]:
+∞ (β-α)p +∞ n!
+∞ +∞ p
+∞ (β-α)p
∑
.|f(p)(x)| = ∑
. ∑
.an.(x-xo)n-p ≤ ∑ ∑ Cn.|an|.(β-α)p.α n-p
p=0 p! n=p(n-p)!
p=0 n=p
p=0 p!
+∞  n p
1
 +∞
= ∑ |an| ∑ Cn.(β-α)p.αn-p = ∑ |an|.βn = M < +∞ ; on terminera en posant a =
.
β-α
 n=0
n=0 p=0
----------------------------------------------------------------
e) Prolongement analytique: cas de la somme d'une série entière.
Soit ∑an.zn une série entière de RCV R fini non nul et de somme f définie sur D(O,R).
Soit zo ∈ C(O,R); on dit que zo est régulier pour f s'il existe ε > 0 et g analytique sur D(zo,ε) telle que f = g sur
D(O,R) ∩ D(zo,ε).
~
Le cas échéant, la fonction f égale à f sur D(O,R) et à g sur D(zo,ε) est le prolongement analytique de f sur
D(O,R)∪D(zo,ε) ; dans le cas contraire, zo est dit singulier pour f .
•
Exemple: ∑zn :
~
1
f admet f : z →
pour prolongement analytique sur C -{1}; pour θ ∈ ]0,2π[, eiθ est donc régulier pour f
1-z
; le développement en série de Taylor du prolongement s'écrira sur D(eiθ, |1-eiθ| ); f n'est pas prolongeable par
continuité en 1, donc 1 est singulier pour f.
lim f(z) existe, mais il est possible que ∑an.zon diverge (voir
z→zo
z∈D(O,R)
+∞
l'exemple précédent en eiθ); toutefois, si zo est régulier pour f et si ∑an.zon cv, alors lim f(z) = ∑ an.zon
z→zo
n=0
z∈D(O,R)
(Abel).
Remarque: si zo est régulier, alors
•
Si les an sont des réels positifs, alors R est singulier pour f .
~
Supposons R régulier: ∃ ε > 0 tel que f admet un prolongement f analytique sur Ω = D(O,R)∪D(R,ε);
Soit D(a,r) un disque centré sur [0,R[ , inclus dans Ω, et d'intersection non vide avec ]R,+∞[ ; soit x dans
cette intersection; on a l'existence de
+∞ ~f(p)(a)
+∞ f (p)(a)
+∞ +∞ p
~
+∞ < f (x) = ∑
.(x-a)p = ∑
.(x-a)p = ∑ ∑ Cn.an.an-p.(x-a)p ;
p!
p!
p=0
p=0
p=0 n=p
les termes de cette série double sont positifs, donc:
+∞
+∞ n p
~
+∞ < f (x) = ∑ ∑ Cn.an.an-p.(x-a)p = ∑ an.xn = +∞ : absurde.
n=0
n=0 p=0
•
Dans le cas général, f a au moins un point singulier sur C(O,R).
Supposons le contraire:
* ∀ z tel que |z| = R , ∃ εz > 0 et gz analytique sur D(z,εz) telle que gz = f sur D(O,R) ∩ D(z,εz);
* si z et z ' sont tels que D(z,εz) ∩ D(z ',εz’ ) ≠ ∅ , alors gz et gz’ sont analytiques sur cet ouvert connexe, et
égales sur l'ouvert non vide D(O,R) ∩ D(z,εz) ∩ D(z ',εz’ ), donc égales sur D(z,εz) ∩ D(z ',εz’ );
* on peut alors définir un prolongement analytique g de f sur Ω = D(O,R) ∪
g(u) = f(u) si u ∈ D(O,R) ; g(u) = gz(u) si u ∈ D(z,εz) ;
∪ D(z,εz ) par :
| z |=R
* le disque compact D(O,R) est inclus dans l'ouvert Ω = D(O,R) ∪
∪ D(z,εz ) , donc:
| z |=R
d( D(O,R) ,Ωc) = Inf { d(u, Ωc) , u ∈ D(O,R) } = d(uo,Ωc) avec |uo| ≤ R
= 2η > 0, et donc D(O,R+η) est inclus dans Ω ;
+∞ f (n)(0)
+∞ g(n)(0)
.un = ∑
.un : impossible.
or sur D(O,R+η), on a: g(u) = ∑
n=0 n!
n=0 n!
•
L'ensemble des points réguliers pour f est un ouvert de C(O,R).
°
Soit zo régulier, ε > 0 et g comme définis précédemment; soit z1 ∈ C(O,R) ∩ D(zo,ε/2) ⊂ S(O,R): alors g est
analytique sur D(z1,ε/2) ⊂ D(zo,ε) et ∀z ∈D(z1,ε/2): g(z) = f(z) donc z1 est régulier pour f.
•
Deux exemples où tous les points du cercle sont singuliers:
n
∑z2 :
R=1; la somme est définie sur D(O,1); soit (p,q) ∈ Z×N; montrons que exp[iπp.2-q] est singulier:
pour 0 ≤ r < 1:
q
+∞
+∞
n
n
n
f(r.exp(iπp.2-q) = ∑ exp(iπp.2n-q).r2 + ∑ r2 = P(r) + ∑ r2 ,
n=0
n=q+1
n=q+1
où P est un polynôme, borné sur [0,1]; de ceci, on déduit que | f | tend vers +∞ quand r tend vers 1 par
valeurs inférieures: f n'est pas prolongeable par continuité en exp(iπp.2-q), qui est donc un point singulier.
L'ensemble des points singuliers de f est un fermé de C(O,1) contenant une partie dense; on conclut.
zn!
∑ n² :
R = 1; la somme f est définie sur D(O,1) ; soit θ = 2πp/q , p∈ Z , q ∈ N -{0,1};
q-1 zn! q-1 (z.eiθ)n!
P: z → f(z) - f(z.eiθ ) = ...= ∑
- ∑
est polynomiale; si eiθ était régulier pour f, 1 serait régulier
n=1 n² n=1 n²
pour g:z → f(z.eiθ) (clair); de f = g+P, on pourrait conclure que 1 serait régulier pour f, ce qui n'est pas; on
conclut comme à l'exemple précédent.
_______________________________________
3) THEORIE DE CAUCHY. PREMIERS RESULTATS.
a) Chemins, lacets, intégrale d'une fonction continue sur un chemin:
1
* On appellera chemin de C toute application γ: [a,b] → C continue, et de classe C par morceaux; si γ(a)=γ
(b), γ est appelé lacet ; par commodité, γ désignera autant le chemin que son support γ([a,b]); on parlera par
exemple de chemin inclus dans un ouvert Ω de C, ou chemin de Ω.
iθ
* si zo ∈ C et r ≥0: γzo,r désignera le lacet θ → zo + r.e , θ ∈ [0,2π];
* si zo , z1 ∈ C : [zo,z1] désignera le chemin t → zo + t.(z1-zo) , t ∈ [0,1] ;
* si a, b, c ∈ C , T = (abc) désignera l'enveloppe convexe de {a,b,c}, et δT le lacet réunion des trois
segments joignant les sommets, orienté positivement.
* Soient Ω un ouvert de C , f ∈ C(Ω) et γ un chemin de Ω; on définit l'intégrale de f le long de γ:
b
1
1
f(z).dz
=
⌠
⌠
⌡f(γ(t)).γ '(t).dt pour γ C , avec l'extension immédiate au cas où γ est continue, et C par
⌡
a
γ
morceaux; les propriétés usuelles (linéarité, relation de Chasles,...) sont supposées connues; en
particulier:
⌠f(z).dz ≤ || f ||∞,γ .L(γ), où L(γ) désigne la longueur du chemin γ.
⌡
γ
Si f a une primitive F sur Ω, alors: ⌠
⌡f(z).dz = F(γγ(b)) - F(γγ(a)).
γ
* Si Ω est un ouvert non vide de C , il y a équivalence entre les propositions suivantes:
- Ω est connexe
- Ω est connexe par arcs (∀a, b ∈ Ω, ∃ γ : [0,1] → Ω continue telle que γ(0) = a, γ(1) = b).
- Deux points quelconques de Ω peuvent être rejoints par une ligne polygonale incluse dans Ω.
(voir par exemple Cartan, cours de calcul différentiel, p46). Dans un ouvert connexe Ω de C, on peut
donc joindre deux points quelconques par un chemin inclus dans Ω, au sens défini précédemment
(application continue et de classe C1 par morceaux).
b) Théorie de Cauchy:
Ω désigne un ouvert non vide de C .
L'intégrale le long d'un lacet d'une fonction continue admettant une primitive est nulle; cette condition nécessaire
à l'existence d'une primitive est même suffisante:
Thm 1 Soit f ∈ C(Ω); f a une primitive sur Ω si et seulement si pour tout lacet γ ⊂ Ω, on a: ⌠
⌡f(z).dz = 0.
γ
Démonstration:
Supposons que pour tout lacet inclus dans Ω, on a ⌠
⌡f(z).dz = 0; C étant localement connexe, les
γ
composantes connexes de Ω sont ouvertes, et il suffit de trouver une primitive sur chacune d'elles; sur
une telle composante C, prenons un point a; l'hypothèse permet alors de définir sur C l'application
F:z→
⌠
⌡f(u).du, où (az) est un chemin quelconque inclus dans C joignant a à z (il en existe); pour zo
(az)
dans C et z dans C assez proche de zo de sorte que le segment [zo,z] soit inclus dans C, on obtient
1
f(u)
F(z)-F(zo)
= ⌠
du = ⌠
(toujours compte tenu de l'hypothèse):
⌡f(zo+t(z-zo)).dt , quantité qui tend
z-zo
⌡z-zo
0
[zo,z]
vers f(zo) quand z tend vers zo grâce à la continuité de f.
"
On trouve ici une différence de taille avec les fonctions continues de la variable réelle, qui ont
toujours une primitive. Par exemple, z → 1/z n'a pas de primitive sur C -{0} (regarder son
intégrale sur γO,1); on verra toutefois qu'elle en a sur tout "plan fendu" C - D où D est une demidroite fermée d'origine O.
"
Si Ω est connexe, on retrouve le fait que deux primitives F et G de f sur Ω diffèrent d'une constante
(si l'on fixe a dans Ω, on a: ∀z ∈ Ω,
⌠
⌡f(u).du = F(z)-F(a) = G(z)-G(a) ).
(az)
Rque 1: Si de plus Ω est convexe, la condition peut être limitée aux lacets γ = δT pour tout triangle T
inclus dans Ω. (il suffit de remplacer (az) par [a,z] dans la démonstration ci-dessus).
Sans l'hypothèse de convexité de Ω, ce résultat est faux (voir après: on peut par exemple imaginer une
fonction holomorphe sur une couronne dans laquelle il soit impossible de tracer un triangle non
homotope à un point).
Soit maintenant f ∈ C(Ω) (Ω quelconque) et T = To un triangle inclus dans Ω; pour Tk triangle, lk désignera la
longueur de δTk et dk le diamètre de Tk. A l'aide des milieux des côtés de T, construisons quatre triangles Tk' ; on
constate que
⌠f(z).dz = ∑ ⌡
⌠f(z).dz, et donc l'un des quatre au moins, que l'on note T1 vérifie :
⌡
δT
δTk'
⌠f(z).dz ≤ 4. ⌡
⌠f(z).dz ; d1 = do/2 ; l1 = lo/2.
⌡
δT
δT1
Définissons alors par récurrence une suite (Tn) de triangles (compacts non vides) emboités tels que, pour tout n:
⌠f(z).dz ≤ 4n. ⌡
⌠f(z).dz ; dn = 2-n.do ; ln = 2-n.lo ; lim dn = 0 donc ∩Tn = {a} .
⌡
n→ +∞
δT
δTn
Supposons f dérivable sur Ω, et traduisons la dérivabilité en a :
Soit ε>0 : ∃δ > 0, |z-a| < δ ⇒ |f(z)-f(a)-(z-a).f '(a)| ≤ ε.|z-a| ; soit n (assez grand) tel que Tn ⊂ D(a,δ) ; il vient:
n
n
n
⌠
⌡f(z).dz ≤ 4 . ⌠
⌡f(z).dz = 4 . ⌠
⌡[f(z) - f(a) - (z-a).f '(a)].dz ≤ 4 .ln.ε.dn= ε.lodo ;
δT
δTn
δTn
Ceci étant vrai pour tout ε > 0; on conclut que l'intégrale de f le long de δT est nulle.
Avec le théorème 1 et sa remarque, il en découle le
Thm 2 (Cauchy) Soit Ω convexe et f dérivable sur Ω; alors pour tout lacet γ ⊂ Ω, on a ⌠
⌡f(z).dz = 0
γ
(et f admet une primitive sur Ω).
"
Le résultat est faux si Ω n'est pas convexe, même s'il est connexe, comme le prouve l'exemple de la
fonction z → 1/z sur C -{0}. Il se généralisera toutefois à des ouverts plus généraux (simplement
connexes; voir après).
Exemple: Soient zo ∈ C
1
du
et r > 0: ∀z ∉ D(zo,r) : ⌠u-z = 0 ( u → u-z est dérivable sur un disque
⌡
γzo,r
contenant D(zo,r) et évitant z).
Calculons en passant cette intégrale pour z ∈ D(zo,r) (ce calcul va nous servir):
+∞ (z-zo)n 1
+∞ 
du 
n
⌠ du = ⌠ 1 . du = ⌠
∑
.du = ∑  ⌠
n.
n+1(z-zo) car la série intégrée est

(u-z
)
u-z
(u-z
u-z
z-z
u-z
⌡
o
o
o)
n=0 ⌡
 o 1- o ⌡n=0
γ

u-zo γ
γzo,r
⌡
 zo,r

zo,r
γzo,r
normalement convergente sur γzo,r ; pour n ∈ N , un calcul immédiat donne
⌠ du n+1 = 2iπ si n = 0,
⌡(u-zo)
γzo,r
et 0 sinon, donc: ∀z ∈ D(zo,r) :
⌠ du = 2iππ.
⌡u-z
γzo,r
"Extension" technique: le théorème de Cauchy est encore valable si f ∈ C(Ω)∩D(Ω-{p}) , où p est un
point de Ω.
En effet, il suffit encore de le vérifier pour les lacets γ = δT, T ⊂ Ω (cf. rque 1). Soit T un tel triangle:
si p∉T, le raisonnement fonctionne sur Ω - {p} , qui contient T ; si p∈T , quitte à diviser T en trois
triangles au plus, on se ramène au cas où p est un sommet de T; alors pour ε > 0 donné, on construit sur
T un triangle Tε de sommet p et de périmètre lε ≤ ε ; en décomposant T en Tε ∪ T1 ∪ T2 , on obtient:
⌠
⌡f(z)dz = ⌠
⌡f(z)dz ≤ ε.|| f ||∞,T ; ceci étant faisable pour tout ε, on conclut que ⌠
⌡f(z)dz est nul.
δT
δTε
δT
Cette extension qui n'en est en fait pas une (voir après) va nous permettre de faire le lien entre
dérivabilité et analyticité…
Soit f ∈ D(Ω) (Ω quelconque), zo ∈ Ω, R = d(zo,Ω c) et r ∈ ]0,R[ .
Soit z ∈ D(zo,r) ; appliquons le résultat ci-dessus à la fonction u →
avec γ = γzo,r : on obtient
⌠f(u)-f(z).du = 0 , donc:
⌡ u-z
f(u) - f(z)
si u ≠ z, z → f '(z), sur D(zo,R),
u-z
f(z) =
γzo,r
1
.
2iπ
⌠f(u).du (∀z ∈ D(zo,r)).
⌡ u-z
γzo,r
Exploitons cette formule intégrale:
"
La fonction g : (u,z) →
f(u)
est continue sur γzo,r× D(zo,r) et admet pour tout p ≥1 une dérivée partielle
u-z
δpg
[p!].f(u)
:(u,z) →
continue sur γzo,r× D(zo,r), donc f est de classe C∞ sur D(zo,r), et:
(u-z)p+1
δzp
∀p ≥1, ∀ z ∈ D(zo,r) , f (p)(z) =
"
p! ⌠ f(u)
p+1.du.
2iπ ⌡(u-z)
γzo,r
Sur D(zo,r), on a d'autre part:
2iπ.f(z)=
+∞ (z-zo)n f(u)
+∞ 
f(u)

n
⌠f(u).du = ⌠ f(u) . du = ⌠
∑
.du = ∑  ⌠
n.
n+1.du(z-zo)

(u-z
)
)
(u-z
u-z
z-z
u-z
⌡
⌡ u-z
o
o
o
o
o
n=0

⌡n=0
1γ

u-zo γ
γzo,r
⌡
 zo,r

zo,r
γzo,r
(avec toujours convergence normale de la série intégrée vu que f est bornée sur γzo,r ).
Par suite, f est développable en série entière en (z-zo) dans D(zo,r). De plus, si r ' ∈ ]0,R[ , l’unicité du d.s.e.
de f en (z-zo) sur D(zo,min(r,r’)) prouve que les coefficients du développement sont indépendants de r ; le
d.s.e. est finalement valable pour tout z ∈ D(zo,R), (puisqu’il existe alors r < R tel que z ∈ D(zo,r)).
Ce qui vient d'être fait étant valable pour tout zo ∈ Ω, on obtient le
Thm 3 Ω désigne un ouvert non vide quelconque de C.
"
Soit f : Ω → C: f ∈ D(Ω) ⇔ f ∈ C∞(Ω) ⇔ f est analytique sur Ω ; le cas échéant, on dit que f est
holomorphe sur Ω; l'ensemble des fonctions holomorphes sur Ω est noté H(Ω); muni des opérations
usuelles, H(Ω) est un C-espace vectoriel et un anneau commutatif unitaire, intègre si Ω est connexe.
"
Formules intégrales de Cauchy pour f ∈ H(Ω) et D(zo,r) ⊂ Ω:
∀z ∈ D(zo,r) : f(z) =
"
1 ⌠f(u)
p! ⌠ f(u)
.du ; f(p)(z) =
.
p+1.du (p ≥ 1).
2iπ ⌡ u-z
2iπ ⌡(u-z)
γzo,r
γzo,r
Développement en série entière pour f ∈ H(Ω), zo ∈ Ω et R = d(zo, Ωc):
+∞
∀z ∈ D(zo,R) : f(z) = ∑ an.(z-zo)n
avec:
n=0
∀n ≥ 0, ∀r ∈ ]0,R[: an=
f (n)(zo) 1
=
.
n!
2iπ
M(r)
⌠ f(u).du
, et |an| ≤ n , où M(r) = Sup |f(z)| .
r
⌡(u-zo)n+1
|z-zo| = r
γzo,r
2π
1
Remarque : pour 0 < r < R et n ∈ N : an.r = . ⌠
e-inθ.f(zo+r.eiθ).dθ. On retrouve à r fixé l'expression
2π ⌡
0
+∞
des coefficients de Fourier de θ → f(zo+r.eiθ) = ∑ an.rn.einθ (série normalement convergente /θ∈[0,2π
n=0
]).
n
De ce théorème découlent immédiatement quelques résultats importants:
Thm 4 (Liouville) : toute fonction entière (holomorphe sur C ) et bornée est constante.
(c’est évident avec le fait que les majorations des |an| sont valables pour tout r > 0).
•
On en déduit facilement le théorème de D'Alembert: soit P non constant dans C [X] ; si P était sans
racine dans C , 1/P serait entière sur C ; mais 1/P étant bornée (de limite nulle à l'infini) serait
alors constante : absurde.
•
Les majorations de Cauchy fournissent d'autres résultats; par exemple: si f est entière et s'il existe
α, M, R ∈ [0,+∞[ tels que: |z| ≥ R ⇒ |f(z)| ≤ M.|z|α , alors f est polynomiale de degré ≤ α .
+∞
M(r) M
(sur C : f(z) = ∑ an.zn ; pour r > R: M(r) ≤ M.rα , donc ∀n > α: |an| ≤ n ≤ n-α ; on conclut
r
r
n=0
en faisant tendre r vers +∞.
•
Une fonction f entière de partie réelle ou imaginaire constante est constante (appliquer Liouville à
ef (respt e if ). On verra que ce résultat est encore vrai pour f ∈ H(Ω), Ω connexe.
•
Une fonction holomorphe peut être bornée sur un ouvert non borné sans être constante; par
exemple: z → sin2z est bornée sur toute bande Ba = {|Im z| ≤ a } (a > 0), puisque:
∀ z = x+iy ∈ Ba : |sin2z| = sin2x + sh2y ≤ 1 + sh2a.
Thm 5 (Morera) : soit Ω un ouvert de C et f ∈ C(Ω); si ∀T triangle ⊂ Ω, ⌡
⌠f(z)dz = 0, alors f ∈ H(Ω).
δT
Démonstration: Soit D un disque ouvert (convexe) inclus dans Ω; l'hypothèse entraîne l'existence d'une
primitive F de f sur D (voir rque 1); F étant holomorphe sur D, f = F' l'est aussi; ceci étant vrai pour tout
D, f est finalement holomorphe sur Ω.
Corollaire: soit Ω ouvert de C; si p ∈ Ω, alors C(Ω) ∩ H(Ω-{p}) = H(Ω).
Démonstration : soit f ∈ C(Ω)∩H(Ω-{p}); si D est un disque de centre p (convexe) inclus dans Ω,
l'extension du théorème 2 sur D donne en particulier la nullité de
⌠
⌡f(z).dz pour tout triangle T inclus
δT
dans D; le théorème de Morera permet de déduire que f est holomorphe sur D, et finalement sur Ω.
Thm 6 (Ω ouvert de C ). f ∈ H(Ω).
2π
1
a ) f possède la propriété de la moyenne : ∀ D(zo,r) ⊂ Ω ; f(zo) = . ⌠
f(z +r.eiθ).dθ :
2π ⌡ o
0
(i.e. : la valeur de f au centre du cercle est la moyenne des valeurs de f sur ce cercle).
b) f vérifie le principe du maximum : si | f | présente un maximum relatif en zo ∈ Ω, alors f est
constante dans un voisinage de zo.
Démonstration :
a) est une réécriture de la formule intégrale de Cauchy au centre zo du disque D(zo,r).
+∞
b) Soit zo ∈ Ω et R > 0 tq |z-zo| < R ⇒ f(z) = ∑ an.(z-zo)n et |f(z)| ≤ |f(zo)| = |ao| ;
n=0
première démonstration:
si f(zo) = 0 , alors f est nulle sur D(zo,R);
si f(zo) ≠ 0 : supposons f non constante sur D(zo,R) et soit p l'ordre du zéro zo de f - f(zo):
f(z)
ap
∀z ∈ D(O,R),
= 1 + .(z-zo)p.[1+h(z)] , où h est holomorphe et h(zo) = 0;
ao
f(zo)
ap
iα
posons = ρ.e et prenons z = zo + r.e-iα/p avec r < R assez petit pour assurer |h(z)| ≤ 1/2;
ao
il vient:
ρ.rp
f(z)
f(z)
≥1+
= 1 + ρ.rp.(1+h(z)) donc
> 1: contradiction;
2
f(zo)
f(zo)
ainsi f est constante sur D(O,R); on conclut comme avant.
deuxième démonstration:
appliquons l'égalité de Parseval pour 0 < r < R à la fonction continue et 2π-périodique
+∞
g : θ → f(zo+r.eiθ) = ∑ an.rn.einθ , dont les coefficients de Fourier sont les an.rn :
n=0
2π
+∞
1
∑ |an|2.r2n. = . ⌠
|f(z +r.eiθ)|2.dθ ≤ |ao|2 : on conclut.
2π ⌡ o
n=0
0
•
Dans les hypothèses de b), on peut même affirmer que f est constante dans la composante connexe
de zo, d’après le principe des zéros isolés appliqué à f – f(zo).
•
Si f ne s'annule pas dans Ω et si | f | admet un minimum relatif en un point zo de Ω, alors f est
constante dans un voisinage de zo (principe du maximum appliqué à 1/f).
•
La fonction z → z vérifie la propriété de la moyenne sur C , mais n'y est pas holomorphe. On
verra dans un autre paragraphe que les fonctions continues qui vérifient la propriété de la moyenne
sont les fonctions harmoniques.
•
On peut en fait prouver que toute fonction continue sur Ω et vérifiant la propriété de la moyenne
vérifie le principe du maximum.
Preuve : plaçons-nous dans ce cadre, et supposons: ∃zo ∈ Ω, ∃r > 0, ∀z ∈ D(zo,r) , |f(z)| ≤ |f(zo)| : si
f(z)
f(zo) est nul, le résultat est trivial; sinon, g : z → 1 – Re
est positive, continue et vérifie encore
f(zo)
la propriété de la moyenne sur D(zo,r) :
2π
iθ
∀ρ ∈ [0,r[ : ⌠
⌡g(zo+ρ.e ) .dθ = 2π.g(zo) = 0, ce qui entraîne que g est nulle sur D(zo,r); il en
0
découle: ∀z∈D(zo,r): Re
f(z)
f(z)
≤ 1, soit donc f(z) = f(zo) : f est constante dans un
= 1 et
f(zo)
f(zo)
voisinage de zo.
_
Corollaire: soit Ω ouvert borné connexe de C, et f ∈ C(Ω ) ∩ H(Ω); alors :
__
i ) ||f ||∞, Ω = ||f ||∞,δΩ ( = ||f ||∞,Ω )
ii ) Si cette borne supérieure est atteinte dans Ω, alors f est constante.
Démonstration :
A = {z ∈ Ω, |f(z)| = ||f ||∞, Ω } est fermé (dans Ω) par continuité de f et ouvert d’après le principe du
maximum ; Ω étant connexe, A est soit vide, soit Ω tout entier : si A = Ω, alors f est localement
constante dans Ω, donc constante (connexité) : ii ) est prouvé et i ) est vérifié dans ce cas; si A = ∅,
alors i ) est immédiat.
" f peut être constante sur δΩ : prendre par exemple f(z) = z et un disque centré en 0.
__
"
La valeur M(r) introduite dans les inégalités de Cauchy est non seulement la borne supérieure de
|f(z)| pour |z-zo| = r, mais aussi pour |z-zo| ≤ r.
Applications :
• Soit S = ∑an.zn une série entière de RCV R ∈ ]0,+∞[ , alors:
S converge uniformément (cvu) sur D(O,R) ⇔ S cvu sur D(O,R) ⇔ S cvu sur C(O,R).
(soit (Sn) la suite des sommes partielles de la série (polynômes); la convergence uniforme de S sur
un ensemble A s'écrit (Cauchy): lim Sup |Sp(z) – Sq(z)| = 0; or pour (p,q) fixé, Sp-Sq vérifie le
p,q→+∞ z∈A
principe du maximum: Sup |(Sp-Sq)(z)| = Sup |(Sp-Sq)(z)| = Sup |(Sp-Sq)(z)| ).
|z|≤R
|z|=R
|z|<R
•
•
(Lemme de Schwarz) : soit f holomorphe sur D(O,1) , nulle en 0 et vérifiant | f | ≤ 1 ; alors :
i ) ∀ z ∈ D(O,1) : |f(z)| ≤ | z | ; |f ’(0)| ≤ 1 ;
ii ) s’il existe zo non nul tel que |f(zo)| = |zo|, alors f est de la forme z → α.z avec |α| = 1.
Preuve : la fonction g : z → f(z)/z si z ≠ 0, g(0) = f ’(0) est holomorphe sur D(O,1)-{0} et continue
sur D(O,1), donc holomorphe sur D(O,1) ; par le principe du maximum, on a alors pour 0 < r < 1 et
0 < | z | ≤ r < 1: |g(z)| ≤ 1/r , i.e. |f(z)| ≤ |z|/r (valable encore pour z = 0); à z fixé, on obtient alors
|f(z)| ≤ | z | en faisant tendre r vers 1 ; par continuité de g, on a aussi |g(0)| = |f ’(0)| ≤ 1. S’il existe zo
non nul tel que |g(zo)| = 1, alors |g| admet un maximum en zo et est constante, d’où le second
résultat.
Soit f holomorphe non constante sur un ouvert connexe Ω, et U un ouvert borné connexe
d'adhérence incluse dans Ω. Si | f | est constante sur δU, alors f admet au moins un zéro dans U:
f ∈ C( U )∩H(U) donc || f ||∞,U = || f ||∞,δU = a ∈ R+.
→ si a = 0: f est nulle sur U (et même sur Ω), d'où le résultat.
→ si a > 0, supposons f sans zéro dans U; alors 1/f ∈ C( U )∩H(U), et |1/f | = 1/a sur δU, donc
|1/f | ≤ 1/a dans U; il en résulte | f | = a dans U; alors (PMAX) f est constante dans U, puis dans
l'ouvert connexe Ω: absurde. Par suite, f admet au moins un zéro dans U.
4) THEORIE DE CAUCHY: EXTENSION DES RESULTATS.
Au paragraphe 3, nous avons obtenu, pour f holomorphe sur un ouvert Ω:
•
une expression intégrale de f sur tout disque D(zo,r) tel que D(zo,r) ⊂ Ω.
•
le développement en série entière en (z-zo) de f sur D(zo,d(zo,Ωc)) avec une expression intégrale des
coefficients, pour tout zo ∈ Ω.
On tente maintenant de voir ce qu'il en est autour des points où f n'est pas holomorphe
(on a par exemple vu que si f est continue dans un voisinage V d'un point a, et holomorphe sur V-a,
alors elle est holomorphe sur V; mais que se passe-t-il si f est non continue ou non définie en a?).
Ceci nous amène à considérer des couronnes dans C :
pour zo ∈ C , 0 ≤ s < S ≤ +∞ , on définit la couronne C(zo,s,S) = { z ∈ C , s < |z-zo| < S } ;
exemples: {1 < |z-zo| < 2}; {0 < |z-zo| < 1}; {1 < |z-zo|} ; C -{zo} sont des couronnes dans C .
On va généraliser les résultats du paragraphe 3 et fournir, pour f holomorphe sur une couronne C(zo,s,S)
• une expression intégrale de f sur toute couronne C(zo,r,R) telle que s < r < R < S;
• le développement en série "de Laurent" en (z-zo) de f sur C(zo,s,S) avec une expression intégrale des
coefficients.
Pour ce faire, nous aurons besoin de la notion suivante:
° C ; deux lacets γ et γ : [a,b] → Ω sont dits homotopes dans Ω s'il existe
Lacets homotopes ∅ ≠ Ω ⊂
o
1
ϕ: [0,1] × [a,b] → Ω continue telle que:
1) ∀ t ∈ [a,b] , ϕ(0,t) = γo(t) , ϕ(1,t) = γ1(t) .
2) ∀ λ ∈ [0,1] , ϕ(λ,a) = ϕ(λ,b).
Si γ1 est constant, on dit que γo est homotope à un point dans Ω.
Concrètement, on demande donc un passage de γ1 à γ2 par déformation continue et sans dénouement, dans le sens
où les "chemins" intermédiaires γλ restent "noués en a et b".
Dans la définition, [0,1] peut bien sûr être remplacé par n'importe quel segment réel; une telle application ϕ est
appelée une homotopie de lacets.
L'homotopie de lacets est une relation d'équivalence sur l'ensemble des lacets de C.
Exemples:
•
γO,1 et γO,2 sont homotopes comme lacets dans C* par (λ,t) ∈ [1,2]×[0,2π] → λeit.
•
Si Ω est étoilé par rapport à un point m, tout lacet γ de Ω est homotope au point m (lacet constant
t → m) par ϕ : (λ,t) → λ.m + (1-λ).γ(t); a fortiori, si Ω est convexe, tout lacet γ à support
inclus dans Ω est homotope à un point (n'importe lequel).
•
Si Ω est connexe, deux lacets constants sont toujours homotopes (on peut donc encore parler de
lacet homotope à un point, sans préciser lequel).
•
On appelle domaine simplement connexe de C tout ouvert connexe non vide dans lequel tout
lacet est homotope à un point. Intuitivement, un domaine simplement connexe de C est un ouvert
"en un seul morceau et sans trou"; l'intuition nous suffira, car il se trouve qu'elle rejoint la réalité: on
peut prouver qu'un ouvert de C est simplement connexe si et seulement s'il est homéomorphe à
D(O,1) (voir Rudin p.252): la simple connexité est donc une notion topologique.
° C ; soit f ∈ H(Ω);
THM DE CAUCHY Ω ⊂
Si γ1 et γ2 sont deux lacets homotopes dans Ω , alors ⌠
⌡f(z)dz = ⌠
⌡f(z)dz ;
γ1
γ2
En particulier: pour tout lacet γ homotope à un point dans Ω on a
⌠
⌡f(z)dz = 0.
γ
Pour une preuve, voir par exemple [Calcul infinitésimal. Dieudonné; p205).
Ceci généralise le théorème 2 du paragraphe 3 (cas Ω convexe); le premier résultat s'étend au cas de
deux chemins homotopes à extrémités fixes (définition naturelle)).
Exemples :
•
γO,1 n'est pas homotope à un point dans C \{0}, car
⌠du = 2iπ ≠ 0 (ceci n'est pas évident à obtenir
⌡u
γO,1
directement!); la condition de non-dénouement dans la définition de l'homotopie de lacets est donc
essentielle: ϕ : [0,1]×[0,2π] : (λ,t) → exp(iλt) lie le chemin constant 1 à γO,1, tout en restant dans C*
mais n'est pas une homotopie de lacets!
•
γn désignant le cercle C(O,1) parcouru n fois:
⌠du = 2inπ , et γn n'est homotope à γp que si n = p.
⌡u
γn
Applications :
•
Une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe admet une primitive sur cet ouvert.
•
Soit Ω un ouvert simplement connexe de C et f holomorphe sur Ω, ne s'annulant pas sur Ω; alors
il existe g holomorphe sur Ω telle que f = exp g:
f'
f'
; soit donc go une primitive de la fonction holomorphe sur
f
f
fo'
f'
f
l'ouvert simplement connexe Ω, et fo = exp go : de = go' = , on tire que est constante
fo
f
fo
(connexité), d'où l'existence d'un complexe λ tel que f = λ.fo ; f étant non nul, on peut écrire λ = ek ,
k ∈C , et finalement: f = exp g avec g = k+go.
L'égalité f = exp g fournit g' =
•
Théorème de Brouwer dans le plan: toute application continue de D(O,1) dans lui-même
admet au moins un point fixe.
On suppose qu'il existe f : D(O,1) → D(O,1) continue sans point fixe.
Pour x ∈ D(O,1) , soit g(x) l'intersection de la demi-droite fermée d'origine f(x) et contenant x
avec γO,1; on définit ainsi une application g : D(O,1) → γO,1 continue et égale à l'identité sur γO,1 ,
i.e. une rétraction du disque sur le cercle (pour la continuité : g(x) = f(x) + λ(x).(x-f(x)) où λ(x) est
l'unique solution ≥ 0 de: |x-f(x)|2.λ2 + 2.Re[(x-f(x)). f(x) ].λ + |f(x)|2 - 1 = 0 : λ est continue donc g
l'est).
L’application ϕ : (λ,t) ∈ [0,1]×[0,2π] → g(λ.eit) est une homotopie de lacets dans C * entre g(0) et
γO,1 ; γO,1 n'étant pas homotope à un point dans C *, il y a contradiction, et une telle application f
n’existe pas.
Développement en série de Laurent d'une fonction holomorphe sur une couronne:
Soit f holomorphe sur une couronne C = C (zo,s,S) , s < r < R < S, et z ∈ C(zo,r,R):
•
•
f(u)-f(z)
si u ≠ z , g(z) = f '(z) est continue sur C et holomorphe sur C -{z}, donc holomorphe sur C;
u-z
γzo,r et γzo,R sont homotopes dans C (clair);
g: u→
Le théorème de Cauchy fournit:
du
du
= 0 et ⌠
= 2iπ (vu), il suit:
⌠
⌡g(u)du = ⌠
⌡g(u)du; sachant que ⌠
⌡u-z
⌡u-z
γzo,r
2iπ.f(z) =
γzo,r
γzo,R
⌠f(u).du - ⌠f(u).du; calculons:
⌡ u-z
⌡ u-z
γzo,R
•
γzo,R
γzo,r
+∞
⌠f(u).du = ⌠ f(u) . du =.. = ∑  ⌠ f(u)n+1.du(z-zo)n ;
⌡ u-z
n=0 ⌡(u-zo)
u-zo 1-z-zo
γ

u-z
o
γzo,R
⌡
 zo,R

γzo,R
•
+∞
+∞
1
1
⌠-f(u).du = ⌠f(u). 1 du = .. = ∑  ⌠
f(u).(u-zo)n.du.
f(u).(u-zo)n-1.du.
n+1 = ∑  ⌠
n
⌡
⌡
)
u-z
z-z
u-z
(z-z
(z-z
⌡
n=0
n=1
 o 1- o
 o
 o)
z-zo
γzo,r

γzo,r

γzo,r
⌡
γzo,r
(on justifiera les interversions par la convergence normale des séries sur γzo,R (respt γzo,r )).
•
u → f(u).(u-zo)k étant holomorphe sur C pour tout entier relatif k, et les lacets γzo,ρ , s < ρ < S étant entre eux
homotopes dans C, il suit:
THM Soit f holomorphe sur une couronne C = C(zo , s , S ) (0 ≤ s < S ≤ +∞); alors:
•
Expression intégrale de f dans C(zo,r,R) pour s < r < R < S:
f(z) =
•
1  ⌠f(u)
f(u) 
.
.du - ⌠ .du.
2iπ  ⌡ u-z
⌡ u-z
γ

γzo,r
 zo,R

Développement en série de Laurent de f dans C:
+∞
+∞ bn
f(z) = ∑ an.(z-zo)n + ∑
n [parties régulière et singulière] avec
n=0
n=1 (z-zo)
1 ⌠ f(u)
1
∀ρ ∈ ]s,S[ , ∀n, an =
.
. ⌠f(u).(u-zo)n-1.du
n+1du, et bn =
2iπ ⌡(u-zo)
2iπ ⌡
γzo,ρ
γzo,ρ
c'est le développement de f en série de Laurent sur C; de façon condensée (dans le sens précédent):
+∞
1
f(z) = ∑ cn.(z-zo)n , avec ∀n ∈ Z , ∀ρ ∈ ]s,S[: cn =
.
2iπ
-∞
⌠ f(u)n+1.du.
⌡(u-zo)
γzo,ρ
Propriétés :
•
RCV ( ∑an.Zn) ≥ S ; RCV ( ∑bn.Zn) ≥ 1/s .
Pour ρ ∈ ]s,S[ et n ≥ 1, on a en effet :
M(ρ)
|an| = ... ≤ n donc RCV( ∑an.Zn ) ≥ RCV ( ∑Zn/ρn ) = ρ : faire tendre ρ vers S ;
ρ
|bn| = ... ≤ M(ρ).ρn donc RCV( ∑bn.Zn ) ≥ RCV ( ∑ ρn.Zn ) = 1/ρ ; faire tendre ρ vers s.
•
∞
+∞
La partie régulière z → ∑ an.(z-zo)n de f est holomorphe sur { |z-zo| < S};
n=0
∞ bn
+∞
La partie singulière z → ∑
n de f est holomorphe sur { |z-zo| > s} (par composition).
n=1 (z-zo)
Si C est un cercle privé de son centre (voir après: cas d'un point singulier isolé), la partie singulière de f
est donc holomorphe sur C -{zo}.
•
Le DSL de f converge normalement sur tout compact de C(zo,s,S).
C’est une conséquence immédiate de ce qui précède.
•
C'est le seul développement de cette forme qui possède cette propriété.
+∞
Supposons que f(z) = ∑ cn.(z-zo)n sur C , avec convergence normale sur tout compact; alors: ∀ρ ∈ ]s,S[ , ∀
-∞
p∈Z :
+∞
+∞
n-p-1
⌠ f(u)p+1du = ⌠
∑ cn.(u-zo)n-p-1du = ∑ cn. ⌠

⌡(u-zo) .du = 2iπ.cp : les cp sont bien ceux
⌡(u-zo)
-∞
⌡ -∞
γzo,ρ
γzo,ρ
γρ
obtenus précédemment.
Exemples:
1
* f(z) = (z-1)(2-z) :
DSL en z sur la couronne { 1 < | z | < 2 }:
+∞ zn
+∞ 1
1 1
1 1
f(z) = .
+ .
= ∑ n+1 + ∑ n ;
2
z z
1 n=0 2
n=1 z
112
z
+∞ 1 - 2n-1
1 1
1 1
f(z) = - .
+ .
= ∑
;
z
2 z
1 n=1 zn
11z
z
+∞
1
1
1
DSL en (z-1) sur {0 < | z - 1 | < 1}: f(z) =
+
= ∑ (z-1)n +
.
1 - (z-1) z-1 n=0
z-1
DSL en z sur la couronne { 2 < | z | } :
+∞ 1
* f(z) = exp(1/z) dans C -{0} : exp (1/z) = ∑ n!.zn ;
n=0
+∞
1
* f(z) = exp(z + 1/z) dans C -{0}: on trouvera ∀n≥0 , cn = c-n = ∑ p!(p+n)!.
p=0
5) POINTS SINGULIERS ISOLES. THEOREME DES RESIDUS.
Soient Ω un ouvert de C , a ∈ Ω et f ∈ H(Ω-{a}): a est dit point singulier isolé de f ; dans D(a,R)-{a}, où R vaut
+∞
+∞ bn
la distance de a à Ωc, on a donc le DSL de f : f(z) = ∑ an(z-a)n + ∑
n ; trois cas sont envisageables:
n=0
n=1 (z-a)
* Les bn sont tous nuls: on dit que a est une fausse singularité pour f ;
les propositions suivantes sont équivalentes:
i ) a est une fausse singularité pour f
ii ) f est prolongeable en une fonction holomorphe sur D(a,R);
iii ) f est bornée au voisinage de a ;
iv) (z-a).f(z) tend vers 0 quand z tend vers a.
(seul iv) ⇒ i ) n'est pas immédiat; supposant iv), g: z → (z-a).f(z) si z ≠ a, et 0 si z = a est
continue sur D(a,R) et holomorphe sur C, donc (vu) holomorphe sur D(a,R); écrire son DST
sur D(a,R); le premier coefficient est nul; déduire le DSL de f sur C).
* Les bn sont nuls à partir d'un certain rang: [bq≠ 0, et n>q ⇒ bn=0], a est dit pôle d'ordre q de f ;
les propositions suivantes sont équivalentes:
i ) a est un pôle d'ordre q de f;
ii ) L = lim (z-a)q.f(z) existe et est non nulle;
z→a
Le cas échéant, pour r assez petit, 0 n'est pas valeur d'adhérence de f(D(a,r)-{a})
(pour r assez petit, on a: 0 < |z-a| < r ⇒ |z-a|p|f(z)| ≥ |L|/2 ⇒ |f(z)| ≥ |L| /(2rp) > 0).
On a de plus lim |f(z)| = +∞.
z→a
* (bn) n'est pas à support fini: a est dit singularité essentielle de f .
La fonction f se comporte différemment au voisinage de a dans ce cas: pour r arbitrairement
petit tel que C = D(a,r)-{a} soit inclus dans Ω, f(C) est dense dans C :
1
est
f(z)-ω
holomorphe sur C et bornée par 1/ε, donc a est une fausse singularité pour g; de f = ω + 1/g, on
en déduit que a est un zéro de g (de sa prolongée; sinon, a sera une fausse singularité pour f).
Mézalor a est un pôle de f, ce qui n'est pas).
(supposons le contraire: ∃ω∈C , ∃ε > 0 , D(ω,ε)∩f(C) = ∅; alors g : z →
Le théorème de Picard (difficile) indique alors que dans tout voisinage de a, tout complexe, à
l'exception peut-être d'un seul, est atteint par f une infinité de fois.
Il est facile de le vérifier sur l'exemple de f : z → exp(1/z), qui a une singularité essentielle en
0:
la valeur non atteinte est bien sûr 0 ; soit α ≠ 0 , α = ρ.eiθ ; alors f(zk) = α pour les zk suivants:
1
, et chaque disque D(0,r) contient une infinité de zk.
k ∈Z ; zk =
ln ρ + i.(θ+2kπ)
Calcul de ⌠
⌡f(z).dz pour γ lacet inclus dans Ω-{a} et homotope à un point dans Ω:
γ
+∞ bn
* v: z → ∑ (z-a)n est définie et holomorphe sur C-{a} (vu), et la série cvn sur γ , donc:
n=1
⌠ dz
⌠
⌡v(z).dz = ... = b1.⌡z-a (interversion; les autres termes intégrés ont une primitive);
γ
γ
déf
* u == f-v est holomorphe sur Ω-{a} par différence, et [prolongeable en une fonction] holomorphe sur
un disque centré en a (car dans un voisinage épointé de a, u est la partie régulière du DSL de f en a),
donc [prolongeable en une fonction] holomorphe sur Ω: ⌠
⌡u(z).dz = 0 thm de Cauchy);
γ
Finalement, compte tenu de f = u+v sur γ, on obtient le théorème des résidus pour une singularité
dz
π.Res(f,a).Ind(a;γγ)
isolée:
= 2iπ
⌠f(z).dz = b1.⌠
⌡
⌡z-a
γ
γ
où:
Res(f,a) = b1 est appelé résidu de f en a,
1 ⌠ dz
et
.
est appelé indice de a par rapport à γ.
Ind(a;γγ) =
π ⌡z-a
2iπ
γ
on généralise facilement au cas d'un nombre fini de points singuliers isolés:
THM DES RESIDUS ∅ ≠ Ω ouvert de C ; a1 , ... , an ∈ Ω ; f holomorphe sur Ω-{a1, ...,an} ; γ lacet à
support inclus dans Ω-{a1,...,an} et homotope à un point dans Ω; alors:
n
⌠f(z)dz = 2.i.π . ∑ Ind(ak;γ).Res(f;ak).
⌡
k=1
γ
Démonstration:
• pour k = 1,...,n soit vk la partie singulière du DSL de f en ak sur {0 < |z-a| < Rk} ⊂ Ω; on obtient:
⌠
⌡vk(z).dz = 2iπ.Res(f,ak).Ind(γ,ak);
•
γ
n
f - ∑ vk est holomorphe sur Ω-{a1,...,an} et [prolongeable en une fonction] holomorphe sur Ω
k=1
(idem); on conclut comme ci-dessus.
Calcul pratique d’un résidu :
* si a est une fausse singularité pour f : Res(f,a) = 0;
g
* si a est un pôle simple: Res(f,a) = lim (z-a).f(z) ; si f = h , où g et h sont holomorphes sur D(a,R) et a
z→a
g(z)
g(a) g(a)
g(z)
=
, r(a) ≠ 0, alors Res(f,a) =
=
.
zéro simple de h: f (z) =
r(a) h '(a)
h(z) (z-a).r(z)
z.ei.z
1
e
exemple: f(z) =
: deux pôles simples i et -i ; Res(f,i) =
et Res(f,-i) = .
1+z2
2e
2
q-1
le dévt de Taylor (ou dans le
* si a est un pôle d'ordre q ≥ 2 : Res(f,a) est le coefficient de (z-a) dans
q
développement limité) de la fonction holomorphe z → (z-a) .f(z) au voisinage de a (évdt).
Dans la pratique, on effectue un développement limité généralisé de f(z) au voisinage de a.
1
exemple: f(z) = 2 3 ; i pôle d'ordre 3; on pose u = z-i ; alors quand u tend vers 0:
(z +1)
i  u -3 i  3u 3u²
-3i
1
=
. 1+
+ o(u²) : Res(f,i) = .
= 3. 1- f(z) = 3
16
8u  2i 2
u (z+i)3 8u3  2i

si
a
est
une
singularité
essentielle:
écrire
le
DSL
ou
un
développement
limité
généralisé.
*
+∞ 1
exemple: f(z) = exp(1/z) : dans C* : f(z) = ∑
n ; Res (f,0) = 1 ;
n=0 n!.z
Interprétation et propriétés de l'indice :
Théorème de relèvement: soit γ : [a,b] → C -{0} un chemin (Co, C1/m) ne contenant pas 0; alors
il existe deux applications r et θ continues, et de classe C1/m, avec r > 0, telles que:
∀t ∈ [a,b], γ (t) = r(t).ei.θ(t) ; r = | γ | et θ est définie modulo 2π (détermination continue de l'argument le
long de γ).
Démonstration:
γ
r = | γ | est de même régularité que γ; on se ramène au cas r = 1 en considérant .
r
Cas d'un chemin γ de classe C1: supposer le problème résolu, ce qui amènera à poser
t
γ '(u)
θ(t) = arg γ(a) - i.⌠
.du ; vérifier; θ est C1 . Si en outre θ1 et θ2 conviennent, alors...
⌡ γ(u)
a
(θ2-θ1)([a,b]) ⊂ 2π.Z : sa continuité la rend constante.
Cas d'un chemin γ Co-C1/m:
Soit a = ao < a1 < ... < ap = b une subdivision de [a,b] telle que:
i ) ∀ k = 0,..., p-1 : γ est prolongeable en une fonction γk de classe C1 sur [ak ,ak+1];
ii ) ∀ k = 1,..., p-1 : γk-1(ak) = γk(ak) = γ(ak); alors:
→ il existe θo C1 sur [ao,a1] telle que: ∀t ∈ [ao,a1], γ(t) = exp[iθo(t)];
→ il existe θ1 C1 sur [a1,a2] telle que ∀t ∈ [a1,a2], γ(t) = exp[i.θ1(t)] et θ1(a1) = θo(a1) ,
(θ1(a1) = arg γ(a1) = θo(a1) [2π], et le choix de θ1 |2π]: on choisit celle qui se recolle à θo)
........
→ il existe θp-1 C1 sur [ap-1,ap] telle que
∀t ∈ [ap-1,ap], γ(t) = exp[iθp-1(t)] et θp-1(ap-1) = θp-2(ap-1)
et on définit ainsi une fonction θ sur [a,b] qui convient, et est Co, C1/m.
Remarques:
n
n
* si γ est C (n≥1), alors r et θ sont évidemment C ;
* si γ est seulement continu, le résultat est encore vrai, avec r et θ continues: voir exos de maths pour
l'agrégation; analyse 1. Masson, p61).
Γ:
Soit maintenant γ:[a,b] → C un lacet quelconque, de support Γ; nous avons défini pour z ∈ C\Γ
Ind (z;γγ) =
1 ⌠ du
.
.
π ⌡u-z
2iπ
γ
1
iθ(t)
* z étant fixé, il existe r et θ continues et C /m telles que ∀ t ∈ [a,b]: γ(t) = z + r(t).e ; alors (avec
éventuellement découpage et relation de Chasles):
b
b θ(b) - θ(a)
1 ⌠ du
1 ⌠ γ '(t)
1
Ind(z,γ) =
.
=
.
.dt = ... =
.[ ln r(t) + i.θ(t)] =
:
2π
2iπ ⌡u - z 2iπ ⌡γ(t)-z
2iπ
a
γ
a
θ étant un argument continu de γ(t)-z sur [a,b]: Ind(z,γ) est un entier relatif qui représente le nombre
algébrique de fois où γ tourne autour de z.
γ '(t)
* Ind ( . ,γ ) est continue sur C \Γ car (t,z)→ γ(t) - z est continue sur [a,b]×C \Γ (dans le cas où γ est
seulement C1 par morceaux, utiliser la relation de Chasles), et à valeurs entières; Ind(.,γ) est donc
constante sur chaque composante connexe de C\Γ .
* C/Γ a une unique composante connexe non bornée (clair); γ et γ ' sont bornées par M et M ' sur [a,b] ;
M '.(b-a)
il suit: ∀z ∈ C\Γ , |z| > M ⇒ |Ind(γ;z)| ≤
, d'où: Ind(.,γ) est nulle sur la composante connexe
2π.(|z|-M)
non bornée de C/Γ (ceci se déduit aussi du thm de Cauchy).
Exemples de calculs d'intégrales par la méthode des résidus:
2π
•
I=
2π
⌠ dt
: intégrale de la forme ⌠
⌡F(cos t, sin t).dt où F est une fonction rationnelle;
⌡5-4.cos t
0
0
γ désignant le cercle C(0,1) parcouru une fois dans le sens trigonométrique, on cherche f telle que:
F(cos t,sin t ).dt = f(z).dz, avec z = eit , dz = iz.dt , ce qui revient à poser formellement
1
1 1
1
dz
F(cos t , sin t ).dt = F .z+  , .z- .
⌡f(z).dz:
2  z  2i  z  i.z ; alors I = ⌠
γ
i.dz
ici: I = ⌠
= 2iπ.Res(f , 1/2) = 2π/3.
⌡(2z-1)(z-2)
γO,1
2π
•
(a, b > 0) ; I =
⌠ 2 2 dt 2 2 : la méthode précédente s'applique, mais il est plus malin d'utiliser ici
⌡a cos t + b sin t
0
l'ellipse γ : t ∈ [0,2π] → a.cos t + ib.sin t et constater que
Im ⌠
dz
⌡z
= ab.I donc I =
γ '(t) (b²-a²).sin t.cos t + i.ab
=
:
a²cos²t + b².sin²t
γ(t)
1
2π
.Im [ 2iπ.Res ( 1/z , 0 ) ] =
.
ab
ab
γ
•
Développement en série de Fourier sur R : f : x →
1
.
2+cos x
f est C∞ paire et Jordan-Dirichlet indique que: ∀ x ∈ R , f(x) =
∀n≥0
∀x ∈R ,
ao(f) +∞
+ ∑ an(f).cos nx avec
2
n=1
2π
1 ⌠ cos nt
1  -2i.zn.dz
2
an(f) = .
.dt = .Re ⌠
= ... =
.( 3 - 2 )n; on obtient:
π ⌡2+cos t
π
⌡z²+4z+1
3
γ

0
 0,1

1
1
2 +∞
=
+
. ∑ ( 3 - 2 )n.cos nx .
2+cos x
3
3 n=1
2π
•
(p ∈ R -{-1,1}); calcul de I(p) =
⌠ cos² 2t .dt.
⌡1-2p.cos t + p²
0
même procédé; on trouve: si | p | < 1 : I(p) =
π.(1+p4)
π.(1+p4)
; si | p | > 1 : I(p) = 4 2 .
2
1-p
p .(p -1)
•
+∞
+∞
x2.dx π. 2
I= ⌠ 4 =
; intégrale de la forme ⌡
⌠F(t).dt où F est rationnelle de degré ≤ -2 , sans pôles réels. On
2
⌡ x +1
-∞
-∞
la fonction z → F(z); l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 quand R tend
intègre sur le lacet
vers +∞; (pour un calcul direct, commencer par réduire à [0,+∞[, puis faire u = 1/x ).
+∞
•
(n ≥ 1 ); In =
π
⌠ dx n = (2n-2)!2. 2n-2
(n≥ 1). même procédé; il y a ici un pôle multiple.
⌡(1+x²) [(n-1)!] 2
-∞
+∞
•
(n ≥ 2); In =
⌠ dx n = π (n≥2): intégrer sur le quartier [0,R,Rexp(2iπ/n)]:
⌡1+x n.sin π
n
0
l'intégrale sur [0,Rexp(2iπ/n)] redonne In (à une constante multiplicative près).
•
Intégrales de Fresnel: I =
+∞
2
⌠
⌡cos(t ).dt =
π
=
8
+∞
2
-z²
⌠
⌡sin(t ).dt = J : intégrer f(z) = e sur le quartier
0
0
+∞
-x²
[0,R,Rexp(iπ/4)] (apparaitra l'intégrale connue ⌠
⌡e .dx =
•
π
).
2
0
+∞
+∞
cos(xt)
π
≥0):
dt
=
(x
intégrales
de
la
forme
I(x) = ⌠
⌠f(t).eixt.dt où f est holomorphe sur [y ≥ 0] , sans
⌡
2ex
⌡ 1+t2
-∞
0
pôles réels: intégrer z → f(z).eixz sur
; étudier la limite de l'intégrale sur le demi-cercle; travailler
ixz
avec f(z) =
•
•
e
et x > 0 ;
1+z2
; évident.
+∞
x.sin x
π
dx = : même procédé; facile, mais majorer finement le reste; (on utilisera le TCVD ou la
I= ⌠
2e
⌡ 1+x²
0
minoration habituelle de sin x sur [0,π/2] ).
+∞
eiz
sin x
π
I= ⌠
.dx =
: intégrer sur une demi-couronne centrée en 0; remarquer qu'on a pris eiz au lieu de
2
z
⌡ x
0
sin z car en dehors de l'axe réel, il est impossible de majorer le sinus, en vertu de: |sin (a+ib)|2 = sin²a + sh²b.
Un lemme de Jordan : soit f holomorphe sur D(a,r) -{a} (a∈C , r > 0), présentant en a un pôle simple,
et γε l'arc θ → a + ε.eiθ , θ ∈ [α,β] (α, β ∈ R , α ≤ β ; 0 < ε < r); alors
lim ⌠f(z).dz = i.(β-α
ε→0 ⌡
γε
).Res(f,a).
Preuve: g = f -
Res(f,a)
est holomorphe en a et donc bornée au voisinage de a ; il en résulte facilement:
z-a
lim ⌠g(z).dz = 0 , puis le résultat.
ε→0 ⌡
γε
ei.z
sur le lacet
, puis faire tendre ε vers 0 et R vers +∞.
z
L'intégrale parasite sur l'axe imaginaire sera réelle et n'interviendra pas.
Remarque: on peut aussi intégrer f(z) =
6) SUITES ET SERIES DE FONCTIONS HOLOMORPHES.
Thm de convergence de Weierstrass : Ω ouvert de C ; (fn) suite de fonctions holomorphes sur Ω , qui
converge simplement vers f sur Ω, la convergence étant uniforme sur tout compact; alors f est holomorphe sur Ω,
et pour tout p ≥1, la suite (fn(p)) converge uniformément sur tout compact de Ω vers f(p).
Démonstration :
•
f est continue sur Ω grâce aux hypothèses; alors: ∀T triangle ⊂ Ω:
cvu
lim ⌠
fn(z).dz = lim 0 = 0 d'où le premier résultat par Morera.
⌠
⌡f(z).dz == n →
+∞ ⌡
n → +∞
δT
•
δT
Soit p ≥1 ; on prouve la cvu de la suite (fn(p)) vers f(p) sur les D(zo,r) ⊂ Ω (c'est suffisant, car si K est
un compact de Ω, notant 2α = d(K,Ωc) > 0, K est recouvert par un nombre fini de disques D(zi,α), zi
∈ K): soit R > r tq D(zo,R) ⊂ Ω; ∀p ≥ 0, ∀z ∈ D(zo,r) ⊂ D(zo,R),∀n ≥ 0:
|fn(p)(z)-f (p)(z)| =
p!
.
2π
f(u)
R.[p!]
⌠fn(u) - p+1
.du ≤
.||f -f ||
; on conclut aisément.
(R-r)p+1 n ∞,γzo,R
⌡ (u-z)
γzo,R
Exemples
+∞ 1
ζ: z → ∑
est définie et holomorphe sur Ω = { Re z > 1 }
n=1 nz
La convergence absolue sur Ω et uniforme sur {Re z ≥ a} pour a > 1 sont immédiates et prouvent bien
que ζ est holomorphe sur Ω.
La fonction ζ
Si Re z ≤ 0, le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge ; si z est réel dans ]0,1], on prouve la
divergence par le critère classique de comparaison avec une intégrale pour les fonctions réelles
positives.
Il reste le cas z = x+i.y, y ≠ 0 , 0 < x ≤ 1 : donnons deux méthodes:
• On prouve la divergence de ∑n-x.cos(y.ln n) à l’aide du critère de Cauchy en regardant les tranches
de la séries indexées sur In = {k ∈ N , 2nπ ≤ y.ln k ≤ 2nπ + π/4} (pour y > 0): une fois minorées,
ces tranches tendent vers +∞ avec n.
+∞
1
∑ f(n)
• On utilise le résultat suivant: si f ∈ C ([a,+∞[,C ) est telle que ⌠
⌡|f '(t)|dt converge, alors n≥a
a
+∞
et ⌠
⌡f(t)dt sont de même nature (écrire une égalité de Taylor avec reste intégral). Il s'applique à t→
a
+∞
a
1-x-iy - 1
dt
⌠ ; or pour a > 0 : ⌠dt = a
; pour x ∈ ]0,1[, cette
tz
tz
1-z
⌡
⌡
1
1
intégrale tend en module vers +∞ quand a tend vers +∞, et pour x = 1, l'intégrale n'a pas de limite
2nπ
2nπ+π/2
car a-iy n'a pas de limite quand a tend vers +∞ (prendre an = exp
et bn = exp
: on a
|y|
|y|
lim an-iy = 1 et lim bn-iy = -(sgn y).i ).
n→ +∞
n→ +∞
1
est de même nature que
t-z , et ∑
n≥1 nz
+∞ 1
+∞ 1
Etude de f : z → ∑
+ ∑
2
n=0 (z-n)
n=1(z+n)2
a)
=
+∞ 1
∑
(notation):
-∞ (z-n)2
Description de f et de ses singularités.
Les fonctions z → (z-n)-2 (n∈Z) sont holomorphes sur C\Z.
1
1
1
1
≤
≤
et
; de la
|z-n|2 (n-p)2 |z+n|2 (n+p)2
1
1
1
convergence de ∑
2 et ∑
2 , on déduit la convergence uniforme de ∑
2 et de
n>p (n-p)
n>p (n+p)
n≥0(z-n)
1
∑
2 sur Bp.
(z+n)
n≥1
Il en est de même sur tout compact de C\Z (inclus dans une bande Bp); donc (théorème de
Weierstrass): f est définie et holomorphe sur C\Z.
Soit p∈N*, et Bp = {-p ≤ Re z ≤ p}\Z ; on a: ∀z∈Bp, ∀n>p:
1
Soit p∈Z; de la même façon, on prouve que z → ∑
2 est holomorphe sur C\(Z\{p}); il en
(z-n)
n≠p
1
.
découle que p est pôle double de f , et que la partie singulière du DSL de f en p est
(z-p)2
Enfin, on peut constater que f est 1-périodique.
π 2
possède les mêmes propriétés que f:
b) g : z → 
sin πz
g est holomorphe sur C\Z, 1-périodique, et z2.g(z) admet 1 pour limite en 0: donc 0 est pôle double
de g, et la partie singulière du DSL de g en 0 est 1/z² ; par périodicité, il en découle que tout entier
1
.
relatif p est pôle double de g , avec pour partie singulière associée
(z-p)2
c)
f et g sont égales sur C\Z.
"
"
"
"
f est bornée sur A = [0,1] + i.(R -]-1,1[ ); en effet: pour z ∈ A, on a (cvn ⇒ cva):
+∞ 1
+∞ 1
+∞ 1
+∞ 1
1
1
|f(z)| ≤ ∑
2+
2 +
2+ ∑
2 ≤ ∑ 2 + 1+1+ ∑
2 < +∞.
|z+n|
|z-n|
n
|z|
|z-1|
n=1
n=2
n=1
n=2(n-1)
g est bornée sur A, car, pour z = x+iy ∈ A (x, y réels), on a:
π2
π2
≤
.
|g(z)| =
sin²πx + sh²πy sh²π
f-g est holomorphe sur C\Z et admet un prolongement holomorphe h sur C (mêmes pôles, et
même partie singulière en chaque pôle); h est bornée sur A par différence, et sur le compact
[0,1]+i[-1,1], donc sur la bande {0 ≤ Re z ≤ 1}, puis sur C par périodicité.D'après le
théorème de Liouville, h est donc constante.
1
Pour tout entier relatif n, on a lim
2 = 0 ; les deux séries définissant f(i.y) convergeant
y→ +∞(iy-n)
normalement par rapport à y au voisinage de +∞, il en résulte (interversion limite/sommes):
π²
lim f(i.y) = 0 ; enfin: lim g(i.y) = lim
= 0. Ce résultat prouve que h est nulle.
y→ +∞
y→ +∞
y→ +∞ sh²πy
+∞ 1
π 2
Conclusion: ∀ z ∈C \Z : ∑
=
.
-∞ (z-n)2 sin πz
------------------------------------------------------------------------
7) PRODUITS INFINIS DE FONCTIONS HOLOMORPHES.
Rappels sur les produits infinis de complexes :
n
+∞
Si (un) est une suite de complexes et si la suite ( ∏n = ∏ uk )n≥0 converge vers ∏ ∈ C , on note ∏ un = ∏.
k=0
n=0
Si de plus ∏ est non nul, on dit que le produit infini ∏ un converge de valeur ∏ (ceci suppose donc au moins
n≥0
que les un soient tous non nuls).
Critère de Cauchy de convergence: soit (un) une suite de complexes non nuls; alors
∏n
∏ un converge ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N , n > p ≥ N ⇒
- 1 ≤ ε (*).
∏p
n≥0
Démonstration:
hyp: le produit converge de valeur ∏ ≠ 0. Soit ε > 0 :
∃ N1 , n > p ≥ N1 ⇒ |∏
∏n - ∏p| ≤ ε.| ∏| / 2 ; ∃ N ≥ N1 , p ≥ N ⇒ |∏
∏p| ≥ |∏
∏| / 2 ;
∏p| ≤ ε.|∏
∏p| et on conclut.
∏n -∏
alors n > p ≥ N ⇒ |∏
∏k| ≤ |∏
∏k| / 2 : (∏
∏n)n≥k est dans le disque fermé D(∏k;|∏k|/2) ) : elle est
∏n-∏
hyp: (*) vérifié. ∃k, n≥ k ⇒ |∏
donc bornée (par un M > 0), et si elle converge, sa limite sera non nulle; soit ε > 0; (*) donne:
∃N ≥ k , n > p ≥ N ⇒ |∏
∏n -∏
∏p| ≤ ε.|∏
∏p| ≤ ε.M ; on conclut.
Remarque: le critère de Cauchy concerne la nature du produit infini ∏ un et non celle de la suite
n≥0
2n
n
1
1
n!

∏n); par exemple:  ∏  converge vers 0, mais ∏
→ 0 ≠ 1.
(∏
=
k
k
(2n)!
k=1 
k=n+1
Convergence absolue: soit (an) une suite de complexes.
a) ∏( 1+|an| ) est de même nature que ∑|an|. (en cas de convergence, on dit que ∏(1+an) est absolument
convergent).
b) Si ∏(1+|an| ) converge et si les an sont distincts de -1, alors ∏(1+an) converge.
Démonstration:
a) est immédiat; pour b), on utilisera le critère de Cauchy et l'inégalité suivante:
n
∏ (1+ak)
k=p+1
- 1 =
n-p
∑
∑
a .a ...a
q=1 p+1≤k1<...<kq≤n k1 k2 kq
n-p
 n

∑
≤ ∑
|ak1|.|ak2|...|akq| =  ∏ (1+|ak|)  - 1 .
 k=p+1

q=1 p+1≤k1<...<kq≤n
THM Ω ouvert de C ; soit (an)n≥0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω; si ∑|an| cvu sur tout compact
de Ω, alors:
+∞
1) f = ∏ (1+an) est définie sur Ω, et [f(z) = 0 ⇔ ∃ n , an(z) = -1].
n=0
'
f '(z) +∞ an(z)
2) f est holomorphe sur Ω, et: ∀ z ∈ Ω, f(z) ≠ 0 ⇒
= ∑
.
f(z) n=0 1 + an(z)
+∞ an' (z)
converge uniformément sur tout compact de Ω\ Z(f ).
3) La série ∑
n≥0 1 + an(z)
Démonstration:
1) Soit z ∈ Ω: ∑|an(z)| converge, donc ∏(1+|an(z)|) converge; s'il existe n tel que an(z) = -1 , alors f(z)
est bien défini et vaut 0; sinon, on a vu que ∏(1+an(z)) converge : f(z) est bien défini et non nul.
2) Les produits partiels ∏n sont holomorphes sur Ω ; on concluera que f l’est avec le théorème de
Weierstrass, en prouvant la convergence uniforme de (∏n) sur tout compact de Ω , grâce au critère
de Cauchy. Soit donc K un compact de Ω : pour n > p ≥ 1 et z ∈ K, il vient :
∏p(z) =
∏n(z)-∏
p
n
∏ (1+ak(z)) - 1
∏ (1+ak(z)) .
k=0
k=p+1
p
 n

≤ ∏ (1+|ak(z)| )  ∏ (1+|ak(z)| ) - 1 
k=p+1

k=0
p
+∞
n
 


  n


≤ ∏ exp(|ak(z)| ) exp  ∑ |ak(z)| - 1 ≤ exp( ∑ |ak(z)| ). exp  ∑ |ak(z)| - 1
 k=p+1


 k=p+1


k=0
k=0
On concluera avec la convergence uniforme sur K de ∑ |ak| qui entraîne d’une part la continuité de
n≥0
+∞
n
∑ |ak| sur K (fonction par conséquent bornée) et d’autre part : lim
Sup ∑ |ak(z)| = 0.
k=0
n,p→ +∞ z∈K k=p+1
n>p
On sait en outre que la suite (∏n’) converge vers f ’ sur Ω (et d’ailleurs uniformément sur tout
compact) ; pour z ∈ Ω\Z(f), il suit :
n ak'(z)
+∞ an'(z)
∏n'(z)
f '(z)
∑
= lim
= lim
= ∑
.
f(z) n→ +∞ ∏n(z) n→ +∞ k=0 1 + ak(z) n=0 1 + an(z)
3) Soit K un compact de Ω\Z(f); pour n ≥ 0, il vient, sur K :
∏n' f ' |f '|.|∏
∏n-f | + |f |.|f '- ∏n'|
; on
≤
∏n f
∏n|
|f |.|∏
obtiendra la convergence uniforme annoncée en remarquant que f et f ’ étant continues, | f | et |f ’|
sont bornées sur K, que | f | y est minorée (car elle ne s’y annule pas), et que la suite (∏n) est
uniformément minorée sur K (car elle converge uniformément sur K vers une fonction qui ne
s’annule pas).
EXEMPLES
+∞
z²
Etude de f : z → z. ∏ 1- :
n=1  n²
•
•
Le thm s'applique (vérification immédiate); f est holomorphe sur C ; ses zéros sont les entiers
f '(z) 1 +∞ 2z
relatifs; pour z ∈ C\Z , on obtient:
= + ∑
, la dernière série étant uniformément
f(z) z n=1 z²-n²
convergente sur tout compact de C\Z (ce qui se voit d'ailleurs immédiatement).
f'
1 +∞ 1
1 
On a donc obtenu: ∀ z ∈ C\Z : (z) = + ∑ 
+
. La cvu sur tout compact de C\Z
f
z n=1 z-n z+n
de cette série autorise le calcul suivant:
+∞ 1
f' '
1 +∞  1
1 
π 2
∀z ∈ C\Z ,   (z) = - ∑ 
+
= -∑
=-
= h'(z),

f 
sin πz
-∞ (z-n)2
z2 n=1 (z-n)2 (z+n)2
1
π
(prolongée par 0 aux k+ , h est holomorphe sur C/Z ) ; C/Z étant connexe,
2
tg πz
f'
- h est constante; étant en outre impaire, elle est nulle:
il en résulte que
f
f '(z) 1 +∞ 2z
π
Conclusion: ∀ z ∈C \Z :
= + ∑
=
.
f(z) z n=1 z²-n² tg πz
avec h: z →
•
∀ z ∈ C\Z :
f '(z)
u '(z)
π
=
=
avec u(z) = sin πz ; on déduit (f/u)' = 0 et f = λ.u (connexité);
f(z) tg πz u(z)
∏n) définissant f cvu sur tout compact de C , ce qui autorise l'interversion
rappelons que la suite (∏
suivante:
f(z)
lim
= lim
lim ∏n (z) = lim
lim ∏n (z) = lim 1 = 1; on trouve λ = 1/π,
z→0 z
z→0 n → +∞
n → +∞ z→0
n → +∞
puis:
+∞
z²
sin πz
Conclusion: ∀z ∈ C , f(z) = z. ∏ 1-  =
.
n²


π
n=1
Fonction Dzeta: Ω = {Re z > 1}; (pn)n≥1 désigne la suite croissante des nombres premiers (p1 = 2, ...).
•
•
+∞ 1
z→ ∏
-z est définie et holomorphe sur Ω.
n=1 1-pn
+∞
+∞ 1
1
; chaque an est définie et holomorphe sur Ω (et
Posons ∏
-z = ∏ (1+an(z)) avec an(z) =
z
1-p
p
n
n -1
n=1
n=1
même sur C\i.R); de plus, sur la bande { Re z ≥ a > 1}, la série ∑an est normalement convergente,
1
1
1
car: Re z ≥ a ⇒ ∀n≥1, |an(z)| ≤ a ≤ a ~ a , terme général indépendant de z d'une série
pn -1 n -1 n
convergente; on conclut avec le théorème de Weierstrass.
+∞ 1
z ∈ Ω: ζ(z) = ∏
-z .
n=1 1-pn
Soit z réel > 1 et N ≥ 1. On a:
N +∞
N
1
-k1.z -k2.z
1
cva
-k .z
∑ pn-kz ==
∏
∑
∑
p1 .p2 ....pN N =
.
-z = ∏
1-p
z
n
n=1 k=0
n=1
k1,k2,...,kN
k1,k2,...,kN pk1.pk2...pkN
 1 2 N
Il suit, avec l'unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, l'encadrement:
pN 1
≤ ∏N(z) ≤ ζ(z) , puis le résultat en faisant tendre N vers +∞. On conclut avec le principe des
∑
n=1nz
zéros isolés.
------------------------------------------------------------------------------------
8) FONCTIONS DEFINIES PAR UNE INTEGRALE.
Le résultat qui suit se place dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue (corollaires du thm de convergence
dominée):
THM Ω ouvert non vide de C ; I intervalle de R ; g : Ω × I → C , (z,t) → g(z,t); f : z → ⌠
⌡g(z,t) dt;
I
Si:
∀ z ∈ Ω , t → g(z,t) est mesurable sur I;
∀pp t ∈ I, z → g(z,t) est holomorphe sur Ω;
∀ K compact de Ω, ∃ gK intégrable sur I telle que: ∀ z ∈ K, ∀pp t ∈ I, |g(z,t)| ≤ gK(t),
alors
f est définie et holomorphe sur Ω;
∀p≥1,∀z ∈ Ω, t →
δpg
δpg
(p)
(z) = ⌠ p(z,t).dt.
p (z,t) est intégrable sur I et f
dz
⌡dz
I
Démonstration:
La seule continuité de z → g(z,t) pour presque tout t ∈ I et la troisième hypothèse assurent que f est
définie et continue sur Ω, par un corollaire classique du théorème de convergence dominée.
Pour prouver que f est holomorphe sur Ω, on va montrer que dans tout disque D(zo,r) d'adhérence
1 ⌠f(u)
.
.du; il suffira alors de reprendre la
incluse dans Ω, on a la formule de Cauchy: f(z) =
2iπ ⌡ u-z
γzo,r
démonstration faite au paragraphe 3 (thm 3) qui prouve dans ce cas (avec aussi la continuité de f ) que f
est bien développable en série entière en (z-zo) sur D(zo,r), et de conclure.
Soit donc un disque K = D(zo,r) ⊂ Ω; pour z ∈ D(zo,r) fixé et p ∈N, on peut écrire, avec nos
hypothèses:
δpg
[p!]
∀pp t ∈ I : p(z,t) =
.
δz
2iπ
hn(z,t) =
2π
g(zo+r.eiθ,t) iθ
g(u,t)
r.p!
⌠
.⌠
.e .dθ = lim hn(z,t) avec :
p+1.du =
2π ⌡(zo+r.eiθ-z)p+1
⌡(u-z)
n → +∞
γzo,r
0
r.p! n g(zo+r.e2ikπ/n,t) 2ikπ/n
. ∑
.e
(sommes de Riemann d’une fonction continue).
n k=1 (zo+r.e2ikπ/n-z)p+1
La suite (hn(z,.))n≥1 de fonctions mesurables sur I et convergeant pp vers
∀n≥1, ∀pp t ∈ I: |hn(z,t) | ≤ r.p!.
δpg
(z , .) vérifie:
δzp
gK(t)
, fonction majorante intégrable sur I.
(r-|z-zo| )p+1
δpg
(z,.) est intégrable sur I et (toujours avec les sommes de Riemann):
δzp
p
2ikπ/n
2ikπ/n
n
⌠δ gp(z,t).dt = lim ⌠hn(z,t)dt = lim r.p!. ∑ f(zo+r.e 2ikπ/n).e p+1
- z)
⌡δz
n → +∞ ⌡
n → +∞ n k=1 (zo + r.e
I
I
On déduit ( TCVD) que
2π
r.p! ⌠ f(zo+r.eiθ).eiθ
p! ⌠ f(u)
=
.
.dθ =
.
p+1.du.
2π ⌡(zo+r.eiθ-z)p+1
2iπ ⌡(u-z)
γzo,r
0
→ Avec p = 0, on obtient la formule de Cauchy attendue : f(z) =
l’holomorphie de f sur D(zo,r), puis sur Ω.
1
.
2iπ
⌠f(u).du, qui prouve
⌡ u-z
γzo,r
δpg
(p)
p (z,t).dt = f (z) sur D(zo,r), puis sur Ω.
⌡δz
I
→ Avec p ≥1, on obtient : ⌠
EXEMPLES
Fonction Gamma d'Euler :
a) Résultats concernant Γ dans le domaine réel:
+∞
∞
x-1 -t
• Γ:x→ ⌠
⌡t .e .dt est définie et de classe C sur ]0,+∞[ ; ses dérivées successives s’obtiennent par
•
•
0
dérivation sous l’intégrale ; Γ(1) = 1 ; ∀ x > 0 : Γ(x+1) = x.Γ(x) ; ∀ n∈N* : Γ(n+1) = n !.
n
t n
nx.(n!)
⌠
Γ(x) = lim 1 -  .tx-1.dt = lim
(formule de Gauss)
n → +∞ ⌡ n
n → +∞ x.(x+1)...(x+n)
0
La première formule s'obtient en considérant la suite ( fn : t → (1-t/n)n.tx-1.1[0,n](t) ), et en lui
appliquant par exemple le théorème de convergence dominée.
La seconde en découle directement (utiliser la fonction β d’Euler).
+∞
1
x
= x.eγx. ∏ 1 + .e-x/n (formule de Weierstrass : conséquence facile de la formule de
n
Γ(x)

n=1
Gauss).
z
b) Etude du produit infini ∏ 1 + .e-z/n et conséquences :
n


n≥1
-z/n
• ∀n≥1: [an: z →(1+z/n).e -1] ∈ H(C).
•
On vérifie la convergence normale de ∑|an| sur tout D(0,R) , R > 0 avec l'IAF:
u
R²
∀z∈ D(0,R) , ∀n≥1: |an(z)| = |(1+z/n).e-z/n-1| ≤ | z |. Sup - .e-u/n ≤ .eR/n , terme général
n²
n²
|u|≤R
indépendant de z d'une série convergente, d'où le résultat.
+∞
z
Par Weierstrass: H: z → z.eγ.z. ∏ 1 + .e-z/n est donc holomorphe sur C (et on a ses zéros).
n


n=1
Récapitulons:
•
•
H est le prolongement analytique de 1/Γ sur C . Ses zéros sont les éléments de Z- ; ils sont
simples.
~
Γ = 1/H est le prolongement analytique de Γ sur C-Z- ; il ne s’annule pas sur C-Z- et présente en
chaque élément de Z- un pôle simple.
•
∀z ∈ C-Z- :
•
∀z∈
+∞
~
+∞ z
Γ'(z)
H'(z)
1
-t
==- -γ+ ∑
; Γ '(1) = ⌠
⌡e .ln t.dt = - γ.
~
n(n+z)
H(z)
z
n=1
Γ(z)
0
1
-1
z²
sin π.z
~
~
C-Z : Γ(z+1)
= z.Γ(z) (PZI) ;
=
= z. ∏ 1 -  =
~ ~
~ ~
n²


π
n=1
Γ(z).Γ(1-z) z. Γ(z).Γ(-z)
+∞
(formule des compléments).
1
+∞
z-1 -t
c) Etude de f : z → ⌠
⌡t .e .dt et g : z → ⌠
⌡t .e .dt
z-1
•
•
•
•
-t
0
1
∀z ∈ C , t → tz-1.e-t est continue sur ]0,+∞[.
∀t > 0 : z → tz-1.e-t est holomorphe sur C.
∀a ∈ R , ∀t≥1, ∀z ∈C , Re z ≤ a ⇒ |tz-1.e-t| ≤ ta-1.e-t , fonction intégrable sur [1,+∞[ .
∀b >0 , ∀t ∈ ]0,1[, ∀z∈C , Re z ≥ b ⇒ |tz-1.e-t| ≤ tb-1 , fonction intégrable sur ]0,1].
Donc f est holomorphe sur {Re z > 0}, g est holomorphe sur C , et nous allons maintenant écrire
explicitement le prolongement analytique de f à C-Z- pour préciser les résultats obtenus ci-dessus
b) Prolongement analytique de f :
1
Pour Re z > 0 :
f(z)
=
1
+∞ (-1)n.tn
(*) 1 +∞ (-1)n n+z-1
⌠
z-1 -t
z-1
∑
∑
t
t
.e
.dt
=
1
+
.t
.dt
=
+
.
.dt


⌠
⌠

⌡
z n=1 n! ⌡
n=1 n!

⌡
0
=
1
0
0
+∞ (-1)n 1
+∞ (-1)n 1
1
+ ∑
.
= ∑
.
.
z
n=1 n! z+n
n=0 n! z+n
(*): ∀ t ∈ [0,1], ∀ n ≥1, ∀ z ∈ {Re z > 0} :
(-1)n.tn z-1 1
.t ≤ : cvn de la série sur [0,1].
n!
n!
+∞ (-1)n 1
~
Ceci nous amène à étudier f : z → ∑
.
:
n=0 n! z+n
n
(-1) 1
• ∀n≥0: z →
.
est holomorphe sur C-Z- .
n! z+n
•
(-1)n 1
(-1)n 1
1
≤ : la série ∑
.
.
n! z+n n!
n≥0 n! z+n
converge donc unift sur tout demi-plan {Re z > -p}- Z-, et a fortiori sur tout compact de C-Z- .
∀p∈N, ∀n ≥ max (0,p+1), ∀z ∈C-Z- , Re z > -p ⇒
~
Par suite: f est bien holomorphe sur C-Z- .
~
~
Les fonctions f et f sont holomorphes et égales sur {Re z > 0}, et f est le prolongement analytique de f
sur C-Z- . Récapitulons :
+∞
+∞ (-1)n 1
z-1 -t
∑
.e
.dt
+
.
.
t
⌠
⌡
n=0 n! z+n
1
(-1)p
~
~
: -p est pôle simple de Γ et Res(Γ,-p) =
.
p!
•
~
∀ z ∈ C-Z- : Γ(z) =
•
∀p∈N
Pour aller plus loin dans l'étude de la fonction Γ, voir par exemple [Dieudonné. Calcul
infinitésimal.p293]
Fonction Dzeta de Riemann
+∞ 1
a) Expression intégrale de ζ(z) = ∑
pour Re z > 1 (z est ici fixé)
n=1 nz
+∞
+∞
z-1.e-t.dt , on obtient: ∀n≥1: 1 = 1 . ⌠uz-1.e-nu.du.
• En faisant t = nu dans Γ(z) = ⌠
t
⌡
nz Γ(z) ⌡
0
0
z-1
u
• ∀n: u → uz-1.e-nu est Co sur [0,+∞[ ; ∑ uz-1.e-nu cv ∀u > 0, de somme u , et ∀n ≥1, ∀u > 0:
e -1
n≥1
n
uRe z - 1
∑ uz-1.e-ku ≤ eu-1 , fonction intégrable sur ]0,+∞[; par suite:
k=1
+∞
+∞
uz-1
1 ⌠ uz-1
. u .du = H(z). ⌠ u .du
Re z > 1 ⇒ ζ(z) =
e -1
~
⌡e -1
Γ(z) ⌡
0
0
1
+∞
z-1
u
uz-1
b) Etude de ϕ : z → ⌠ u .du et ψ : z → ⌠ u .du (ζ = H.ϕ + H.ψ sur {Re z > 1}):
⌡e -1
⌡e -1
0
1
uz-1
• ∀ z ∈ C : u → u est continue sur ]0,+∞[ ;
e -1
uz-1
• ∀ u > 0 : z → u est holomorphe sur C.
e -1
uz-1
uRe z - 1 ua-1
≤ u , fonction de u intégrable sur [1,+∞[ ;
= u
u
e -1
e -1
e -1
•
∀a∈R, ∀u ≥ 1, ∀ z ∈C , Re z ≤ a ⇒
•
∀a > 1, ∀u∈ ]0,1], ∀ z ∈ C , Re z ≥ a ⇒
uz-1
uRe z - 1
≤
≤ ua-2 , fonction de u intégrable sur ]0,1] ;
u
e -1
u
en conséquence: ϕ ∈ H({Re z > 1}) et ψ ∈ H(C ).
c)
Nouvelle expression de ϕ et conséquences:
•
u
est analytique sur D(0,2π) (clair); en particulier, nous pouvons écrire :
eu-1
∞
+∞
u
∀u ∈ [0,1], u = 1 + ∑ an.un , où (an)n≥1 est une suite réelle telle que ∑|an| converge.
e -1
n=1
1
+∞ an def 1
1 ⌠ +∞
cvn 1
Pour Re z > 1 : ϕ(z) =
+  ∑ an.un+z-2.du ==
+ ∑
==
+ λ(z).
z-1 ⌡n=1
z-1 n=1 n+z-1
z-1
•
•
u→
0
On vérifie facilement (avec la convergence de ∑|an| ) que λ ainsi définie est holomorphe sur C-Z-,
et présente en chaque point de Z- un pôle simple.
•
H présentant un zéro simple en chaque point de Z-, il en découle que H.λ est prolongeable en une
H(z)
fonction holomorphe sur C . De ζ(z) =
+ (Hλ+Hϕ)(z) sur {Re z > 1}, il en découle
z-1
finalement que :
•
~
~
~
ζ admet un prolongement holomorphe ζ sur C-{1} ; 1 est pôle simple de ζ , et Res ( ζ ; 1 ) = 1.
~
Pour aller plus loin et obtenir des renseignements sur les zéros de ζ : formule sommatoire de Poisson:
~
exos agreg ana 1 p99; autre expression de ζ : exos agreg ana 2 p117.
Pour des résultats sur (an): voir les nombres et polynômes de Bernoulli dans [Dieudonné. Calcul
infinitésimal. p297] : avec la définition choisie (attention : elle diffère d’un livre à l’autre), on a :
a1 = -1/2 , et pour n ≥1 : a2n+1 = 0 ; a2n =
(-1)n-1
.B , où Bn est le nème nombre de Bernoulli.
(2n)! n
-------------------------------------------------------------------
9) FONCTION DE DEUX VARIABLES REELLES ASSOCIEE A UNE FONCTION D'UNE
VARIABLE COMPLEXE. FONCTIONS HARMONIQUES.
Notations:
~
Le plan complexe s'identifie à R2 par [ x+i.y ↔ (x,y)] , et un ouvert Ω de C s'identifie à l'ouvert Ω de
R2 correspondant.
Soit f : Ω → C une fonction de la variable complexe: f = P + i.Q, où P et Q sont à valeurs réelles; on
~
~
~
~ ~ ~
associe à f , P et Q les fonctions f , P et Q , de Ω dans C, par: f (x,y) = f(x+i.y) ; P(x,y) = P(x+iy) ;
~
~
~ ~
Q(x,y) = Q(x+iy), de sorte que: f = P + i.Q.
Condition nécessaire et suffisante d'holomorphie: conditions de Cauchy:
Soit z = x+iy ∈ Ω ; pour u = h+i.k ∈ C de module assez petit, on a [z,z+u] ⊂ Ω ; alors:
⇔
∃α ∈ C, f(z+u) - f(z) = α.u + ou→0( | u | )
f est dérivable en z
~
~
⇔
∃α ∈ C, f (x+h,y+k) - f (x,y) = α.h + (iα).k + o(h,k)→0( ||(h,k)|| )
~
~
~
δf
δf
⇔
f est différentiable en (x,y) et
(x,y) = - i. (x,y)
δx
δy
~ ~
⇔
P et Q sont différentiables en (x,y) et
~
~
~
~
δP
δQ
δQ
δP
(x,y) = (x,y) et
(x,y) = - (x,y)
δx
δy
δx
δy
("conditions de Cauchy")
~
~
~
~
δP
δP
δf
δf
Le cas échéant, on a alors f '(z) = (x,y) = (-i). (x,y) =
(x,y) - i (x,y) .
δx
δy
δy
δx
~ ~
~
Remarque : notons F = ( P , Q ) l'application de Ω dans R2 associée à f, et B la base canonique
de R2 : si f est dérivable en z avec f ’(z) = a+i.b , F est différentiable en (x,y) et la matrice de
a -b 
2
2
2
dF(x,y) dans B est 
 b a ; il suit Det dF(x,y) = a +b = |f '(z)| : si f '(z) ≠ 0, dF(x,y) est une
similitude directe de R2 qui correspond dans le plan complexe à la multiplication par f '(z).
On retrouve ainsi la conservation des angles orientés de courbes.
~
~
~ δf
δf
Ω), on a alors: f ' =
= (-i ). .
Si f ∈ H(Ω
δy
δx
~
~
n
~(n) δn f
~
~
∞
nδ f
Par une récurrence immédiate, il en découle: f est C sur Ω, et ∀n ∈N , f = n = (-i ) . n .
δx
δy
~
~
~ ~
~ δ2 f δ2 f
~
~
En particulier: ∆ f = 2 + 2 = 0 : f est harmonique sur Ω (ainsi donc que P et Q ).
δx δy
•
Si f = P+iQ ∈ H(Ω), Ω connexe, et si P et Q sont liées par une relation linéaire a.P + b.Q = c,
a, b, c réels avec (a,b) ≠ (0,0), alors f est constante; en particulier: si P ou Q est constante, alors f est
constante. (différentier la relation par rapport à x et y: pour (x,y) fixés, le système obtenu a une
~ ~
solution non nulle (a,b), et son déterminant, qui est le jacobien de F = ( P , Q ), est donc nul).
De même, si f ne s'annule pas et a un module ou un argument constant, f est constante (dans un
disque inclus dans Ω, on a f = exp g , où g est holomorphe (vu), et la condition implique que eRe g ou
Im g est constante; alors g, puis f sont constantes dans D, puis dans Ω (connexité).Le cas où | f | est
constante se règle aussi avec le principe du maximum.
Notation différentielle complexe:
~
~
~
~
~ δf
δf
Si f est différentiable sur Ω, sa différentielle s'écrit: d f = .dx + .dy ; dans les notations dx et dy, les
δx
δy
lettres x et y représentent les deux projections (différentiables sur R2 ): x : (x,y) → x ; y : (x,y) → y;
_
_
introduisons les applications z = x+i.y et z = x -i.y : z et z sont différentiables sur R2, et:
_
dz = dx + i.dy ; dz = dx - i.dy.
~
~
~
~
_
_
~ 1 δ f δ f 
δ f  _
1
1 δ f
1


- i. .dz + .
+ i. .dz , ce qui
De dx = .(dz + dz ) et dy = .(dz - dz ) on tire alors: d f = .
2i
2 δx δy
2 δx
2
δy
δ 1 δ
δ
δ
δ 1 δ
__
nous amène à introduire les opérateurs =  - i.  et _ =  + i. , de sorte que:
δz 2δx δy δz 2δx
δy 
~
~
~ δf
δf _
__
df = .dz + _.dz .
δz
δz
~
~
~
δf
δf
δ__
f
+ i. = 0 s'écrit _ = 0, et si f ∈ H(Ω):
La condition de Cauchy
δy
δx
δz
~
~
~
~
~

~ δf
δ f 1 δ f δ f  δ f
= (-i ). = .
- i.
= .
f'=
δy 2 δx δy δz
δx
~
~
~ __
δf
Résumons:
f est holomorphe sur Ω ⇔ f est différentiable sur Ω et _ = 0 ;
δz
~
~
~ δf
~
δf
le cas échéant: df = .dz ; f ' =
.
δz
δz
2
2
~
δ
δ
___
___
L'opérateur laplacien ∆ s'écrit: ∆ = 4. _ ( = 4. _ ) : on retrouve f holomorphe ⇒ f harmonique.
δzδz
δz δz
Conséquences pour les fonctions harmoniques.
La partie réelle d'une fonction holomorphe sur un ouvert est harmonique; examinons la réciproque:
~
~
~ δP
δP
~
~
– i.
, ce qui amène
Soit P réelle harmonique sur Ω. Si P = Re f avec f holomorphe, on aura : f ' =
δy
δx
~
~
~
~
~ δP
δP ~
δg
δg
à considérer g =
– i.
; g est différentiable et
= - i.
, donc g est holomorphe sur Ω.
δx
δy
δx
δy
Si Ω est simplement connexe, g admet alors une primitive f = A + i.Q , A et Q réelles; on obtient donc :
~
~
~
~
~
~
~ δA
δA
δA δP δA δP
– i.
, d'où
=
et
=
: A et P diffèrent d’une constante, (connexité), et on peut
f'=
δy
δx δx δy δy
δx
choisir A = P. Ainsi:
~
~
Si P est harmonique réelle sur Ω simplement connexe, alors P est la partie réelle d’une fonction f
holomorphe sur Ω.
Remarque:
On peut aussi prouver le résultat en appliquant le théorème de Poincaré à la forme différentielle
~
~
δP
δP
~
ω = - .dx +
dy (fermée donc exacte sur Ω simplement connexe): ∃ Q réelle et de classe
δy
δx
~
~
~
~
~
δP
δQ δP δQ
=et
=
: f = P+iQ est donc holomorphe
C1 sur Ω telle que ω = dQ, ce qui fournit:
δy
δx δx δy
sur Ω, de partie réelle P.
Dans le cas général (Ω quelconque), le résultat s'applique sur tout disque inclus dans Ω, et P possède
donc dans Ω les propriétés locales de la partie réelle d'une fonction holomorphe; il en découle:
Toute fonction harmonique sur un ouvert quelconque de R2 est de classe C∞ et possède la
propriété de la moyenne sur cet ouvert.
(Le résultat vaut pour les fonctions à valeurs complexes en séparant les parties réelle et
imaginaire).
Remarque:
P: (x,y)→ ln x²+y² est harmonique sur C* (c’est localement la partie réelle d’une
détemination du logartihme complexe; voir après) mais n'est pas la partie réelle d'une fonction
δP
δP
holomorphe sur C* (si c'était le cas, on aurait, pour z = x+iy ∈ C *: f '(z) = (x,y) - i. (x,y)
δx
δy
1
*
=…= : absurde, car on sait que z → 1/z n'a pas de primitive sur C ).
z
Représentation intégrale d’une fonction harmonique dans un disque. Noyau de Poisson.
+∞
~
Soit P harmonique réelle sur un disque D(O,R). On a donc P = Re f, avec f: z → ∑ an.zn ; imposons ao
n=0
réel (quitte à ôter i.Im ao) et fixons r dans [0,R[; il vient :
_
1 +∞
∀t∈R , P(r.eit ) = ao + . ∑ rn.(an.eint + an.e-int ).
2 n=1
La série est normalement convergente par rapport à t, donc ce développement est le développement en
série de Fourier de la fonction t → P(r.eit) ; on obtient l’expression intégrale de ses coefficients:
2π
2π
P(r.eit )
1
1
it
⌠
ao = . ⌠
).dt
et
a
=
.
P(r.e
it n .dt pour n ≥ 1 .
n
π ⌡ (r.e )
2π ⌡
0
0
En reportant ces résultats dans l’expression de f, il suit , pour |z| < R :
2π
2π
1
z n
1 +∞ ⌠
it
|z| < R ⇒ f(z) = . ⌠
P(r.e ).dt + . ∑ P(r.eit ). it .dt .
⌡
r.e 
π n=1 ⌡
2π
0
0
z n
La convergence normale par rapport à t de ∑ P(r.eit). it pour |z| < r permet l’interversion
r.e 
intégrale/somme ; après calcul, on tire:
2π
1 ⌠r.eit + z
|z| < r ⇒ f(z) =
.
.P(r.eit ).dt.
it
2π ⌡ r.e - z
0
En prenant les parties réelles des deux membres, on déduit une expression:
~
Si P est harmonique sur un disque D(0,R), alors: ∀ r ∈ ]0,R[ , ∀ z ∈ D(0,r):
2π
1 ⌠ r2 - | z |2
it
P(z) =
.
it
2.P(r.e ).dt (formule de Poisson).
2π ⌡|r.e - z |
0
(Le résultat, prouvé pour P réelle, est vrai pour P complexe: séparer les parties réelle et imaginaire).
La formule de Poisson fournit une expression de P dans D(0,r) qui ne fait intervenir que les valeurs de P
sur γzo,r.
2π
1 ⌠ r2 - | z |2
.
En prenant P = 1, on obtient l'identité
it
2.dt = 1 pour | z | < r < +∞.
2π ⌡|r.e - z |
0
Application: résolution du problème de Dirichlet sur un disque
Soient D(zo,r) un disque de C et f ∈C2ππ-per(R,C). Il existe une unique fonction F continue sur
π], F(zo+r.eiθθ) = f(θ
θ).
D(zo,r) , harmonique sur D(zo,r), et telle que: ∀θ ∈ [0,2π
Pour établir l’existence de la solution au problème de Dirichlet, on se ramène tout d’abord par
changement de variable au cas zo = 0, et, par C–linéarité, au cas où f est à valeurs réelles. On propose
2π
1 ⌠ r2 - | z |2
alors, conformément avec la formule de Poisson, pour |z| < r : F(z) = .
it
2.f(t).dt : F est la
2π ⌡|r.e - z |
0
2π
1 ⌠r.eit + z
.f(t).dt , qui est holomorphe sur D(O,r) (voir les résultats
partie réelle de la fonction z → .
it
2π ⌡ r.e - z
0
~
classiques sur les fonctions définies par une intégrale); F est donc harmonique sur D(O,r); il s’agit
maintenant de prouver que F se prolonge par continuité sur D(O,r) en une fonction vérifiant la
condition au bord : ∀θ ∈ [0,2π], F(r.eiθ ) = f(θ) .
Soit donc θo un réel fixé ; pour z dans D(O,1), il vient :
θo+π
θo+π
r2 - | z |2
r2 - | z |2
⌠
2π.|F(z)-f(θo)| =
.|f(t) - f(θo)|.dt ;
it
2.[f(t) - f(θo)].dt ≤ ⌠
⌡|r.e - z |
⌡|r.eit - z |2
θo-π
θo-π
Soit ε > 0 ; par continuité de f en θo , il existe η dans]0,π[ tel que :
|t-θo| ≤ η ⇒ | f(t) – f(θo) | ≤ ε ; posant M = || f ||∞ ,il découle de ceci :
θo
r2 - | z |2
∪
.dt
où
A
=
[θ
-π,θ
-η]
[θ
+η,θ
+π]
;
2π.|F(z)-f(θo)| ≤ ε + 2M. ⌠ it
o
o
o
o
⌡|r.e - z |2
A
r2 -| z |2
est continue sur S×A, et
Si S désigne le secteur {z = ρ.eiθ , 0 ≤ ρ ≤ r , |θ-θo| ≤ η/2 }, (z,t) → it
|r.e - z |2
r2 - | z |2
.dt est continue en particulier en r.eiθo ; sa valeur en ce point est nulle, donc:
⌡|r.eit - z |2
A
r2 - | z |2
∃ V ∈ V(r.eiθo ), z ∈ V∩D(0,r) ⇒ ⌠ it
.dt ≤ ε.
⌡|r.e - z |2
A
Alors, pour z ∈ V∩D(0,r), on a : 2π.|F(z)-f(θo)| ≤ (2M+1)ε, et le résultat est donc démontré.
donc z → ⌠
Si F et G sont deux solutions du problème, alors H = F-G est continue sur D(zo,r) et nulle sur γzo,r ;
étant en outre harmonique sur D(zo,r), elle y possède la propriété de la moyenne, et satisfait donc au
principe du maximum (paragraphe 3, remarques au théorème 6); si H était non nulle, son maximum sur
D(zo,r) serait atteint en un point de D(zo,r), et H serait constante [non nulle] sur D(zo,r), d’où
contradiction avec sa continuité sur D(zo,r) ; ainsi H est nulle et F = G.
Ce résultat va permettre de caractériser les fonctions harmoniques: soit f continue sur un ouvert Ω, et
possédant la propriété de la moyenne dans Ω. Soit D(zo,r) un disque inclus dans Ω : il existe une
(unique) fonction g continue sur D(zo,r) et harmonique sur D(zo,r) qui coïncide avec f sur γzo,r ; alors
f-g est nulle sur γzo,r et a la propriété de la moyenne sur D(zo,r); comme ci-dessus, on en déduit que f=g
sur D(zo,r); ainsi, f est localement harmonique, i.e. harmonique sur Ω; par suite:
Toute fonction continue et possédant la propriété de la moyenne sur un ouvert quelconque de R2
est harmonique sur cet ouvert.
10) LOGARITHMES ET PUISSANCES COMPLEXES.
Soit θo ∈ R ; exp : R + i.]θo -π, θo +π[ → C -R-.eiθo est bijective holomorphe et sa dérivée (exp) ne s'annule
pas: on définit donc sa réciproque, qui s'explicite aisément:
log : C -R-.eiθo → R + i.]θo-π, θo+π[ , log z = ln | z | + i.arg z , arg z ∈ ]θo-π,θo+π[ ;
C'est une "détermination du logarithme complexe"; il est essentiel d'en préciser le départ et l’arrivée.
θo +π
θo - π
exp
θo
log
D'après le théorème d'inversion globale:
log est holomorphe sur C - R-.eiθo , de dérivée z →
log n’est pas prolongeable par continuité sur C
*
1
.
z
, car il n’y a pas d’argument continu sur C *.
Convention pour la suite : cas θo = 0; pour z ∈ C \R- : on note Arg z l'argument principal de z , à savoir
l'argument de z qui appartient à ]-π,π[ , et on définit la détermination principale du logartithme complexe
(que l'on distinguera par sa majuscule):
Log : C\R- → R+ i.]-π,π[ , z → Log z = ln |z| + i.Arg z.
•
•
•
Log | ]0,+∞[ est la fonction logarithme népérien ln connue (fonction dérivable de dérivée x → 1/x, qui
s'annulle en 1).
+∞ zn
Pour |z| < 1 : ∑
= - Log (1-z) , car les deux fonctions sont égales sur ]-1,1[; en d'autres termes, la
n=1 n
+∞ zn
sur C -[1,+∞[ .
fonction z → - Log(1-z) est le prolongement analytique de z → ∑
n=1 n
Attention à l'utilisation des formules usuelles: C\R- n'étant pas stable par addition ou multiplication, on
prendra garde de ne considérer que des quantités qui existent; en outre, la partie imaginaire de Log z est
toujours dans ]-π,π[, et on a par exemple, pour z, z ' ∈ C\R- , notant α = Arg z + Arg z’ :
si α ∈ ]-π,π[ : Log ( z.z ' ) = Log z + Log z ' ; si α > π : Log ( z.z ' ) = Log z + Log z ' - 2i.π ;
si α < - π : Log ( z.z ' ) = Log z + Log z ' + 2i.π ; si α = π ou -π : Log ( z.z ' ) n'est pas défini .
si n ∈ Z et zn ∈ C \R- :Log (zn) = n.Log z + 2i.k.π , où k est l'unique entier relatif tel que
1
(nArg z+2kπ)∈]-π,π[ . on a tout de même toujours : Log = - Log z .
z
Applications:
"
+∞ einθ
einθ
Calcul de ∑
pour θ ∈ ]0,π[ : on sait que ∑
est convergente, et donc (Abel):
n
n=1 n
+∞ zn
+∞ einθ
∑
∑
=
lim iθ
; z → - Log(1-z) étant le prolongement analytique (donc continu) de
z→e
n=1 n
n=1 n
iθ
z ∈ [0,1[.e
+∞ einθ
+∞ zn
sur C - [1,+∞[, il suit ∑
= - Log (1-eiθ), soit donc:
z→ ∑
n=1 n
n=1 n
+∞ einθ
+∞ cos nθ
+∞ sin nθ π-θ
∑
= - Log [2sin(θ/2)ei(θ-π)/2]; ceci fournit : ∑
= - ln [ 2sin (θ/2) ] ; ∑
=
.
2
n=1 n
n=1 n
n=1 n
On peut retrouver ces résultats sans logarithme complexe (mais c'est un peu plus long!) en utilisant:
1
1
1
1
ix
n i(n+1)t
+∞ einθ
.e
1
e
t
eix
n-1
⌠
⌠
⌠
∑
t
=⌠
.dt
,
ce
qui
fournit:
=
lim
.dt
.dt
=
.dt (on vérifie
ix
ix
n ⌡
⌡ 1-t.e
⌡1-t.eix
n=1 n
n→ +∞ ⌡1-t.e
0
0
0
0
que le reste tend vers 0). Il reste alors à s'atteler au calcul de:
1
1
+∞ sin nθ
+∞ cos nθ
-(t-cos
x)
sin x
∑
=⌠
.dt et ∑
=⌠
.dt .
⌡t²-2t.cos x + 1
⌡t²-2t.cos x + 1
n=1 n
n=1 n
0
0
π
Calcul de I(x) = ⌡
⌠ln(x2-2x.cos θ +1).dθ pour x ∈ ]0,1[ :



"
∀θ ∈ R



-π
: ln (x - 2x.cos θ +1) = ln |x - eiθ|2 = 2.ln |1-e-iθx| = 2.Re Log (1- e-iθx) car |e-iθx| < 1; il
2
suit:
π
-iθ
I(x) = 2.Re ⌠
⌡Log (1-e x).dθ = -2.Re
⌠i.Log (1-z).dz = 0 car z → Log(1-z) est holomorphe sur
z
z
⌡
γo,x
l'ouvert simplement connexe C - [1,∞[ , qui contient le lacet γo,x .
-π
On pourra vérifier que I est définie et continue a priori sur R -{-1,1}, paire, que I(0) = 0, et que
pour x > 1, on a: I(x) = 4π.ln x + I(1/x); ainsi: Pour |x| < 1 : I(x) = 0 ; pour |x| > 1: I(x) = 4π.ln |x|.
Un calcul direct fournit I(-1) = I(1) = 0 (intégrales impropres).
"
On peut retrouver ces résultats en calculant I(x) pour x ∈ ]0,1[ à l'aide des sommes de Riemann
(voir par exemple Précis Ana 1 Breal p.187).
+∞
ln x
Pour n ≥ 2 : calcul de In = ⌠ n .dx en utilisant la détermination principale du log complexe:
⌡x -1
0
Log z
sur le quartier de couronne [ ε ≤ ρ ≤ R ; 0 ≤ θ ≤ e2iπ/n ] évidé en ω = e2iπ/n
On intègre f(z) = n
z -1
par un demi cercle de rayon η ; il vient (les chemins sont orientés dans le sens trigonométrique:
1-η
R
R
ω.Log(ωt)
ω.Log(ωt)
ln
x
.dt - ⌠
.dt + ⌠
0 = ⌠ n .dx - ⌠
n
⌡f - ⌠
⌡f - ⌠
⌡f ; ce qui s'écrit:
x
t
-1
-1
⌡
⌡
⌡ tn-1
γR γε γη
ε
ε
1+η
R
1-η
1-η
R
R
ln
x
ln
t
dt
ln
t
dt
+⌡
0 = ⌠ n .dx - ω. ⌠ n .dt + ⌠ n .dt - ω.Log ω . ⌠ n + ⌠ n
⌠f - ⌡
⌠f - ⌡
⌠f;
⌡x -1
⌡t -1
⌡t -1
⌡t -1 ⌡t -1
γR γε γη
ε
ε
ε
1+η
1+η






•






2π ε
⌠f ≤ n .1-εn. ln²ε + 4π²/n² tend vers 0;
⌡
quand ε → 0 :
γε
•
quand R → +∞ :
2π R
⌠
⌡f ≤ n .Rn-1. ln²R + 4π²/n² tend vers 0; il suit:
γR



+∞
1-η
+∞
ln
x
ln
t
ln t
0 = ⌠ n .dx - ω. ⌠ n .dt + ⌠ n .dt
⌡x -1
⌡t -1
⌡t -1
0
0
1+η
•
+∞

1-η
dt
dt 
 - ω.Log ω .  ⌠⌡t -1 + ⌠⌡t -1

 0 1+η 
n
n
-⌡
⌠f ;
γη
iπ.ω.Log ω
quand η → 0 : ω pôle simple de f , donc ⌠
; d'où:
⌡f tend vers i.πRes(f;ω) =
n
γη
+∞
ln x
0 = (1-ω) . ⌠ n .dx - ω.Log ω . lim
⌡x -1
η→0
0
+∞
1-η
dt
dt  iπ.ω.Log ω
 ⌠⌡t -1 + ⌠⌡t -1 - n (la limite existe donc);
 0 1+η 
n
n
Notons L la limite présente ; en séparant parties réelle et imaginaire, on déduit:
+∞
π2
ln x
π
π
L = - .cotg
et ⌠ n .dx = 2 2
.
n
n
n .sin (π/n)
⌡x -1
0
Puissances complexes:
Soit λ ∈ C : à chaque détermination du logarithme complexe correspond une détermination de la fonction
"puissance λ-ième", par la formule: zλ = exp [ λ.log z ] , holomorphe de dérivée z → λ.zλ-1 .
Pour la détermination principale du logarithme complexe:
•
•
•
•
∀z ∈ Ω = C\R- ,∀ λ ∈R : zλ = eλ.Log z = |z|λ .eiλ.Arg z ; |zλ| = | z |λ .
La restriction de [z → zλ] à ]0,+∞[ est la fonction puissance λ-ième connue;
Si λ ∈ Z , l'application [z → zλ] est la fonction puissance λ-ième connue;
+∞ λ.(λ-1)....(λ-n+1)
∀ z ∈ C tel que |z| < 1 , (1+z)λ = 1 + ∑
.zn (prolgt sur C si λ ∈ N ).
n!
n=1
On prendra garde ici encore aux formules "usuelles" en revenant toujours au logarithme complexe sous-jacent;
on
1
a tout de même (pour un même log sous-jacent) zλ+µ = zλ.zµ ; z-λ = λ mais attention à (zλ)µ et (z.z')λ.
z
Applications:
+∞
•
Calcul de I(λ) =
⌠ λ dx = π
pour 0 < λ < 1 (cette intégrale vaut aussi Γ(λ).Γ(1-λ))
⌡x (1+x) sin (λπ)
0
1
zλ(1+z)
-1 est pôle simple et l'on prend 0 < ε < 1 < R , d'où : Ind (γ, -1) = 1 et
Res(f;-1) = (-1)-λ = exp [-λlog(-1)] = e-iπλ.
avec la détermination log : C \R + → R + i.]0,2π[ ; f(z) =
γ2
γR
γε
α
γ1
-iπλ
On obtient alors (thm des résidus): ⌠
⌡f(z)dz = 2iπ.e , soit donc:
γ
f(z)dz = 2iπ.e-iπλ + ⌠f(z)dz - ⌠f(z)dz ;
⌠ f(z)dz - ⌠
⌡
⌡
⌡
⌡
γ2
γ1
γε
γR
( les chemins γ1 , γ2 , γε , γR sont orientés dans le sens trigonométrique ; on notera qu’ils sont fonctions
des trois variables α, ε et R).
R
R
dt
⌠ eiα.(1-λ)
→⌠
⌡f(z)dz = tλ.(1 + t.eiα).dt tend vers ⌠
tλ.(1 + t) quand α tend vers 0 , à (ε,R) fixés ;
⌡
⌡
γ2
ε
R
ε
R
dt
e-iα.dt
⌠
→ ⌠f(z)dz = 
tend vers e-2iπλ.⌠
tλ.(1 + t) qd α tend vers 0 à (ε,R) fixé ;
λ
i.(2π-α).λ
-iα
⌡
t
.e
.(1
+
t.e
)
⌡
⌡
γ1
ε
ε
→
ε1-λ
⌠
⌡f(z)dz ≤ 2π.1 - ε tend vers 0 quand ε tend vers 0, uniformément \α ;
γε
→
R1-λ
⌠
⌡f(z)dz ≤ 2π.R - 1 tend vers 0 quand R tend vers +∞, uniformément \α ;
γR
Faisons tendre α vers 0 , on obtient (à (ε,R) fixé):
R
⌠ tλ-1 .dt = - 2iπ.e -iπλ + lim
f(z)dz (cette limite existe);
(1- e-2iπλ ). 
⌡f(z)dz - ⌠
⌡1 + t
⌡
α → 0 ⌠

ε
γε

γR
Faisons tendre (ε,R) vers (0,+∞) ; on obtient (avec la cvu \α qui permet d'intervertir les limites):
R
+∞
dt
dt
π
2iπλ
-iπλ
⌠
(1-e
). 
= 2iπ.e
, d'où : ⌠
=
.

λ
λ
sin(λ.π)
⌡t .(1 + t)
⌡t .(1 + t)
0
ε
Remarque: si on veut utiliser la détermination principale du log, prendre lacet γ symétrique du précédent
1
par rapport à Oy ; intégrer la fonction f(z) = λ
.
z (1-z)
+∞
•
+∞
λ-1
λ.i.π/2
ix
⌠x .e .dx = Γ(λ).e
⌠xλ-1.e-ix.dx = Γ(λ).e-λ.i.π/2 pour 0 < λ < 1 (ou 0< Re λ< 1).
; ⌡
⌡
0
0
γε
γR
et la détermination principale du Log ;
(se fait de même pour Re λ ∈ ]0,1[ ) : utiliser le lacet
+∞
+∞
sin
x
πα


πα
⌠cos x
on obtient en passant I(α) = ⌠
 xα .dx = Γ(1-α).cos 2  et J(α) =  xα .dx = Γ(1-α).sin 2 
⌡
⌡
0
0
pour 0 < α < 1.
----------------------------------------------------------------
11) FONCTIONS MEROMORPHES.
Par "pôle" d'une fonction holomorphe, on entend ici: vrai pôle, ou fausse singularité (il n'est pas gênant de
considérer une fausse singularité comme un pôle d'ordre nul).
Def : Soit Ω un ouvert non vide de C; une fonction f à valeurs complexes est dite "méromorphe sur Ω" s'il
existe une partie A de Ω sans point d'accumulation dans Ω telle que:
- f est définie et holomorphe sur Ω-A
- les éléments de A sont des pôles de f.
(Ω-A est bien un ouvert de C).
• P(f) = A est alors exactement l'ensemble des pôles de f dans Ω; il est fermé (car son complémentaire
est ouvert) et discret (les pôles sont des points isolés) dans Ω; si K est un compact de Ω, alors
K∩P(f) est fini. P(f) est au plus dénombrable.
Ω); il contient H(Ω) et est une C-algèbre
• L'ensemble des fonctions méromorphes sur Ω est noté M(Ω
Ω) est un corps.
unitaire; si Ω est connexe, M(Ω
Démonstration des points non immédiats:
Soient f, g ∈ M(Ω): P = P(f)∪P(g) est sans point d'accumulation dans Ω ; f-g , f.g ∈ H(Ω-P); soit a ∈ P:
il existe deux entiers naturels m et n tels que [z → (z-a)n.f(z)] et [z → (z-a)m.g(z)] soient prolongeables
en des fonctions holomorphes dans un voisinage de a (l'une pouvant être déjà holomorphe sur ce
voisinage); alors [z → (z-a)max(m,n).(f-g)] et [z → (z-a)n+m.f.g] vérifient aussi cette propriété: a est donc
un pôle de f-g et f.g .
Supposons maintenant Ω connexe; soit f ∈ M(Ω) - {0}; A = Z(f)∪P(f) est sans point d'accumulation
dans Ω, et 1/f est définie et holomorphe sur Ω-A ; en outre, Z(f)∩P(f) = ∅; soit a ∈ A, et D un disque
ouvert de centre a inclus dans Ω tel que (D-{a})∩A soit vide.
• Si a est un pôle d'ordre q ≥ 0 de f , on peut écrire dans D-{a}: f(z) = g(z).(z-a)-q , où g est
holomorphe sur D et ne s'y annule pas (quitte à diminuer le rayon de D), puis:
(1/f)(z) = (z-a)q.(1/g)(z) où 1/g est holomorphe sur D: a est une fausse singularité de 1/f , et même
un zéro d'ordre q de son prolongement holomorphe sur D.
• Si a est un zéro d'ordre q ≥ 1 de f , on peut écrire, avec les mêmes conditions sur g: f(z) = g(z).(z-a)q
puis: (1/f)(z) = (z-a)-q.(1/g)(z) : a est un pôle d'ordre q de 1/f .
En conclusion, 1/f est bien méromorphe sur Ω; on remarquera que f et 1/f échangent leurs zéros et
leurs pôles, avec conservation de l'ordre de multiplicité.
Soit Ω un ouvert connexe non vide de C; le quotient de deux fonctions holomorphes sur Ω (la seconde étant
supposée non nulle) est une fonction méromorphe sur Ω (retombée de ce qui précède); en outre, toute fonction
méromorphe sur Ω peut localement s'écrire comme le quotient de deux fonctions holomorphes (clair). On peut
démontrer mieux (non évident: voir par exemple dans [Rudin] le théorème de factorisation de Weierstrass):
Toute fonction méromorphe sur Ω connexe est le quotient de deux fonctions holomorphes sur Ω.
Théorème des résidus (version générale): Soit Ω un ouvert non vide de C et f ∈ M(Ω); pour tout lacet γ à
support inclus dans Ω-P(f) et homotope à un point dans Ω, on a: ⌠
⌡f(z)dz = 2iπ .
γ
∑ Ind(a;γ).Res(f;a)
a∈P(f)
(cette somme ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls).
Démonstration:
Soit ϕ:[0,1]×[a,b] → Ω une homotopie de lacets entre γ et un point de Ω; X = ϕ([0,1]×[a,b]) est
compact inclus dans Ω ouvert, donc d(X,Ωc) = α > 0; posons Ω ' = {z ∈ C , d(z,X) < α/2 } (ouvert
borné de C ), de sorte que: X ⊂ Ω ' ⊂ Ω' ⊂ Ω. Alors:
A = Ω' ∩ P(f) est fini (car Ω' ∩P(f) l'est);
f est holomorphe sur Ω'-A ;
γ est à support inclus dans Ω'-A et homotope à un point dans Ω ' ;
Il suffit alors d'appliquer la version déjà prouvée du théorème pour conclure, en remarquant que pour a
dans P(f)- Ω ' , Ind(γ,a) = 0.
.
Applications
1) Soit Ω un ouvert connexe de C et f ∈ M(Ω) – {0}.
a) Description des pôles de f '/f .
f '/f est holomorphe sur Ω - [Z(f)∪P(f)]; ses pôles sont donc dans Z(f)∪P(f); soit a ∈ Z(f)∪P(f),
r > 0 tel que D = D(a,r) soit inclus dans Ω-[Z(f)∪P(f)], et C = D-{a}:
Si a est un zéro de f d'ordre m (éventuellement une fausse singularité):
∃g∈H(D), g(a) ≠ 0, et ∀z ∈ D: f(z) = (z-a)m.g(z) ;
quitte à diminuer r, on peut supposer que g ne s'annule pas sur D; alors: z ∈ C ⇒
f '(z) m g '(z)
=
+
f(z) z-a g(z)
f'
où g '/g est holomorphe sur D: a est pôle simple de f '/f , et Res  , a  = m = ordre(a,f ).
f 
Si a est un pôle de f d'ordre m : idem en remplaçant m par -m dans ce qui précède: a est pôle simple
f'
de f '/f , avec Res  , a  = - m = -ordre(a,f ).
f 
On appelle lacet élémentaire de C tout lacet γ tel que C\γ a deux composantes connexes, la fonction
indice valant 1 sur la composante connexe bornée de C\γ , que l'on notera Bγ dans la suite. Par exemple:
le bord d'un disque parcouru une fois dans le sens trigonométrique; le "bord orienté d'un compact", au
sens indiqué dans [Cartan; théorie élémentaire des fonctions analytiques; p 64].
b) Soit γ ⊂ Ω - [P(f)∪Z(f)] un lacet élémentaire homotope à un point dans Ω; on note Z (respt P) le
nombre de zéros (respt de pôles) de f dans Bγ, comptés avec leur ordre de multiplicité; alors :
1 ⌠f '(z)
.
.dz ( = Ind (0,foγ)).
Z-P=
2iπ ⌡ f(z)
γ
On applique le théorème des résidus à f '/ f ∈ M(Ω):
1 ⌠f '(z)
.
.dz
2iπ ⌡ f(z)
γ
c)
=
f'
f'
∑
∑
Res , a 
Ind(a;γ).Res , a  =
f
f




a∈P(f)∪Z(f)
a∈Bγ∩[P(f)∪Z(f)]
=
∑
∑
ordre(f,a) ordre(f,a) = Z - P.
a∈Bγ∩P(f)
a∈Bγ∩Z(f)
En particulier: si a est un complexe, f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω, γ un lacet
élémentaire de Ω homotope à un point dans Ω et sur lequel f ne prend pas la valeur a, alors le
nombre de solutions de l'équation f(z) = a dans Bγ est :
1 ⌠ f '(z)
.
.dz = Ind ( a, foγ ).
2iπ ⌡f(z)-a
γ
( γ ⊂ Ω - Z(f-a) et f-a est non nulle sur Ω ; on applique ce qui précède à f-a ).
Card ( Bγ ∩ Z(f) ) =
Suivent des exemples d'utilisation de cette formule; on pourra trouver d'autres applications concrètes
dans [Dieudonné, calcul infinitésimal; p244].
2) a) Complément au théorème d'inversion locale: soit f holomorphe non constante au voisinage d’un
point zo de C, zo étant zéro d'ordre p ≥ 1 de f -f(zo); alors il existe un voisinage ouvert V de zo et un
voisinage ouvert W de f(zo) tels que: ∀ Z ∈ W-{f(zo)}, l'équation f(z) = Z admet exactement p solutions
deux à deux distinctes dans V-{zo}.
Le PZI appliqué à f - f(zo) permet de définir un réel r > 0 tel que zo soit l'unique zéro de f - f(zo) dans
D(zo,r) ; notons γ = γzo,r . Si Z est dans la composante connexe W de C - foγ contenant f(zo), le
nombre de solutions de l'équation f(z) = Z dans V = D(zo,r) est: Ind(Z,foγ) = Ind(f(zo),foγ) , soit donc
aussi le nombre de solutions de l'équation f(z) = f(zo) dans V, c'est à dire p.
Si p ≥ 2 et Z ≠ f(zo), en prenant r assez petit de sorte que f ' ne s'annule pas sur D(zo,r) - {zo} (zo est un
zéro isolé de f ' ), les zéros de f-Z seront tous simples.
b) Complément au théorème d’inversion globale : soit f holomorphe et injective sur un ouvert Ω ; alors
sa dérivée ne s’annule pas sur Ω (et f –1 est holomorphe sur f(Ω)).
f étant injective, elle n’est pas localement constante ; si sa dérivée s’annulait en un point zo de Ω, alors zo
serait un zéro d’ordre ≥ 2 de f – f(zo), et le complément précédent contredirait encore l’injectivité. Ainsi,
f ’ ne s’annule pas sur Ω, et le TIG (cf 1c) fournit l’holomorphie de f-1 sur f(Ω).
γ
3) Théorème de Rouché: soient f, g holomorphes non constantes sur un ouvert connexe Ω de C,
⊂ Ω-Z(f) un lacet élémentaire homotope à un point dans Ω et tel que |f -g| < |g| sur γ; alors f et g ont le
même nombre de zéros dans Bγ.
1 ⌠g '(z)
.
.dz; il suit:
g ne s'annule pas sur γ (clair), donc le nombre de zéros de g dans B est
2iπ ⌡ g(z)
γ
1 ⌠f '(z)
1 ⌠g '(z)
1 ⌠h '(z)
A=
.
.dz .
.dz =
.
.dz où h = f/g est définie et holomorphe sur un ouvert
2iπ ⌡ f(z)
2iπ ⌡ g(z)
2iπ ⌡ h(z)
γ
γ
γ
contenant γ (continuité de g); par suite: A = Ind (0 , hoγ) = 0 , car Supp(hoγ) ⊂ D(1,1), d'où le résultat.
Voici deux applications du théorème de Rouché:
a) (Encore) une démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss:
Si P ∈ C[X] est unitaire de degré n ≥1, alors |Z-n.P - 1| tend vers 0 quand |Z| tend vers +∞, donc pour R
assez grand, on a |P-Zn| < |Z|n sur γ0,R , et d'après le théorème de Rouché, P admet donc autant de racines
dans D(O,R) que Zn , à savoir n (multiplicité); ne pouvant en avoir plus, il en a exactement n (comptées
avec leurs ordres de multiplicité).
b) Perturbation des coefficients d'un polynôme et influence sur les racines: soit P ∈ C [X] de degré
n ≥ 1, zo un zéro simple non nul de P et ε tel que 0 < ε < |zo| tel que D(zo,ε) ne contienne aucune racine
de P autre que zo. Soit k , 0 ≤ k ≤ n; il existe de ρ > 0 tel que pour tout coefficient h de module < ρ, le
polynôme Q = P+h.Zk a une et une seule racine σ(h) dans D(zo,ε). En outre, l'application h → σ(h) est
holomorphe dans un voisinage de 0.
Soit ρ = min { |z|-k.|P(z)| , |z-zo| = ε}> 0 (minimum sur un compact d'une fonction continue qui ne
s'annule pas); il vient, pour |h| < ρ et |z-zo| < ε: |P(z)- Q(z)| = |h|.|z|k < ρ.|z|k ≤ |P(z)|, donc le théorème de
Rouché s'applique avec γ = γzo,ε (et Ω = C ), et l'on conclut.
ϕ: z → -z-k.P(z) est une bijection de D(zo,ε) dans D(0,ρ), de réciproque σ; ϕ est holomorphe sur D(zo,ε)
k.P(z) - z.P'(z)
: ϕ'(zo) est non nul, donc il existe ε', 0 < ε' < ε tel que ϕ' ne s'annule pas
de dérivée ϕ'(z) =
zk+1
sur D(zo,ε'); alors (théorème d'inversion globale) σ est holomorphe dans V = ϕ(D(zo,ε')).
On généralise facilement ce résultat: si P ∈ C[X] admet n racines distinctes non nulle zo,…,zn-1 , alors il
n
existe ε > 0, et ρ > 0 tels que pour tous αo,…,αn de modules < ρ, le polynôme P + ∑ αk.Zk admet dans
k=0
chaque disque D(zk,ε) exactement une racine.
__________________________________________________________________________________________